World Wide GEB

GEB
Duglas R. Hofshtadter.
[ predydushchaya ] [ oglavlenie ] [ sleduyushchaya ]

Perevod Aleksandra Semenova

G L A V A II
Soderzhanie i forma
v matematike.

|ta dvuh-golosovaya invenciya vdohnovila menya na sozdanie dvuh osnovnyh personazhej knigi. Kol' skoro L'yuis Kerroll pozvolyal sebe vol'nosti s cherepahoj i Ahillom Zenona, tak i ya pozvolil sebe vol'nost' v obrashchenii s CHerepahoj i Ahillom L'yuisa Kerrolla. V dialoge Kerrolla odna i ta zhe cepochka sobytij povtorno proishodit mnogo raz, tol'ko kazhdyj raz na bolee i bolee vysokom urovne. |to zamechatel'naya analogiya Postoyanno narastayushchego kanona Baha. No glavnoe - Kerroll, s prisushchim emu ostroumiem, stavit zdes' glubokuyu filosofskuyu problemu: dejstvitel'no slova i mysli vytekayut iz formal'nyh pravil, ili eto ne tak? |tot vopros - glavnyj vopros etoj knigi.

Zdes' i v sleduyushchih glavah my budem videt' neskol'ko novyh formal'nyh sistem. |to rasshirit nashi predstavleniya o koncepcii formal'nyh sistem i uzhe v konce etih dvuh glav vy dolzhny imet' ves'ma neplohoe predstavlenie otnositel'no vozmozhnostej formal'nyh sistem i ponyat', pochemu oni interesuyut matematikov i logikov.

Pq-sistema

Formal'naya sistema dannoj glavy nazyvaetsya pq-sistemoj. |ta sistema ne predstavlyaet nikakogo interesa dlya matematikov i logikov. Na samom dele ona - moe lichnoe izobretenie, i ee cennost' tol'ko v tom, chto na nej mozhno prodemonstrirovat' mnogie idei, kotorye igrayut vazhnuyu rol' v etoj knige. Imeyutsya tri razlichnyh simvola sistemy:

q p -
bukvy r, q i simvol defis.
Rq-sistema imeet beskonechnoe chislo aksiom. Poskol'ku my ne mozhem vypisat' vse aksiomy v stolbik, dolzhen imet'sya inoj put' ih opisaniya. Na samom dele nam neobhodimo ne prosto opisanie aksiom. Nam nuzhen sposob, vyyasnit' yavlyaetsya li lyubaya proizvol'no vzyataya nami cepochka aksiomoj ili net. Prostoe opisanie, hotya i moglo by harakterizovat' aksiomy polnost'yu, no vse zhe nas ne ustroit. Ved' kak byt' s tem sposobom, kotorym harakterizovalis' teoremy MIU-sistemy? My ne hoteli by tratit' neopredelennyj, vozmozhno beskonechnyj, otrezok vremeni, tol'ko na to, chtoby vyyasnit', yavlyaetsya nekotoraya cepochka aksiomoj ili net. Poetomu my opredelim aksiomy takim sposobom, chto by imelas' ochevidnaya razreshayushchaya proceduru na aksiomnost' lyuboj cepochki sostavlennoj iz simvolov q, p i defisov.

Opredelenie:

p_ q

Obratite vnimanie, chto 'x' dolzhen stoyat' vmesto toj zhe samoj podcepochki defisov, v oboih sluchayah svoego vozniknoveniya. Naprimer _ _ p_q _ _ _ yavlyaetsya aksiomoj. Simvol'noe zhe vyrazhenie 'xp_qx _', estestvenno, ne aksioma (potomu chto 'x' ne prinadlezhit pq-sisteme). |ta nasha zapis', skoree, pochva iz kotoroj proizrastayut vse aksiomy, i ona nazyvaetsya shemoj aksiom.
Pq-sistema imeet tol'ko odno pravilo vyvoda:

Pravilo: Predpolozhim chto x, y i z stoyat vmesto specificheskih podcepochek, sostoyashchih isklyuchitel'no iz defisov. Teper' predpolozhim, chto xpuqz -teorema. Togda xpu _ qz _ - tozhe teorema.

Naprimer, x - eto podcepochka '_ _', y - podcepochka ' _ _ _ ', a z - sootvetstvenno, cepochka '_' Togda nashe pravilo glasit:
Esli _ _ p _ _ _ q _ - teorema, to cepochka _ _ p _ _ _ _ q _ _ - tozhe teorema.

Kak obychno, pravilo vyvoda ustanavlivaet "geneticheskuyu" svyaz' mezhdu dvumya cepochkami, no nikogda ne utverzhdaet prinadlezhnost' lyuboj iz nih k teoremam.

Naibolee pouchitel'nym uprazhneniem dlya vas, bylo by najti razreshayushchuyu proceduru dlya pq-sitemy. |to ne trudno. Esli vy porazmyshlyaete nad etim, to vashi usiliya cherez nekotoroe vremya navernyaka budete voznagrazhdeny. Poprobujte!

Razreshayushchaya Procedura

Predpolagayu, chto vy poprobovali najti razreshayushchuyu proceduru. Prezhde vsego (hotya eto mozhet pokazat'sya dlya upominaniya slishkom ochevidnym) sleduet ukazat' sleduyushchee. Kazhdaya teorema pq-sistemy imeet tri otdel'nyh gruppy defisov i otdelyayushchie ih elementy - snachala odin simvol p, a potom odin simvol q, raspolozhennye imenno v takom poryadke. |to mozhno obosnovat', opirayas' na "nasledstvennost'", takim zhe sposobom, kak my pokazali, chto vse teoremy MIU-sistemy nachinayutsya s simvola M. Znachit, my mozhem isklyuchit' vse cepochki, krome vseh cepochek etoj formy. Naprimer, my mozhem srazu isklyuchit' takuyu cepochku:
_ _ p _ _ p _ _ p _ _q _ _ _ _ _ _ _ _ .
Teper' vydeliv frazu "vse odnoj formy", mozhet pokazat'sya glupym, sprashivat' kakie eshche mogut u nas ostat'sya cepochki krome teh, kotorye imeyut etu formu? CHto eshche moglo by igrat' rol' pri opredelenii ee svojstv? YAsno, chto bol'she nichego! No imejte v vidu, pri obsuzhdenii formal'nyh sistem, ponyatie "forma" stanovit'sya bolee slozhnym i abstraktnym i my dolzhny budem bol'she udelyat' vnimanie znacheniyu termina "forma". V lyubom sluchae, pozvol'te mne davat' termin pravil'no postroennaya cepochka, lyuboj cepochke, kotoraya nachinaetsya s gruppy defisov, potom imeet odin simvol p, dalee gruppa defisov, zatem odin simvol q, i opyat'- gruppa defisov.

No vernemsya k razreshayushchej procedure... Universal'nym kriteriem dlya otneseniya cepochki k teoremam yavlyaetsya to, chto pervye dve gruppy defisov v summe dolzhny soderzhat' stol'ko zhe defisov, skol'ko v poslednej gruppe defisov.
Naprimer _ _ p _ _ q _ _ _ _ yavlyaetsya teoremoj, tak kak 2 plyus 2 ravnyaetsya 4, v to zhe vremya _ _ p _ _ q _ - ne teorema, tak kak 2 plyus 2 ne 1. Nazovem ego "kriteriem slozheniya". Posmotrim, pochemu eto - nadezhnyj kriterij. Dlya nachala, vzglyanem na shemu aksiom. Ochevidno, chto shema porozhdaet tol'ko takie aksiomy, kotorye udovletvoryayut kriteriyu slozheniya. Vo-vtoryh, smotrite na pravilo vyvoda. Esli pervaya (ishodnaya) cepochka v nashem pravile vyvoda udovletvoryaet kriteriyu slozheniya, to i vtoraya (poluchennaya iz pervoj) dolzhna udovletvoryat'. I naoborot, esli pervaya cepochka ne udovletvoryaet kriteriyu slozheniya, to i vtoraya ne budet etomu kriteriyu udovletvoryat'. Pravilo vyvoda delaet etot priznak nasledstvennoj sobstvennost'yu teorem: lyubaya teorema peredaet ego svoemu potomku. Vot pochemu kriterij slozheniya - pravil'nyj.

Imeetsya, mezhdu prochim, fakt otnositel'no pq-sistemy, kotoryj pozvolil by nam uverenno govorit', chto sistema navernyaka imeet razreshayushchuyu proceduru do togo, kak my obnaruzhili kriterij slozheniya. |tot fakt v tom, chto pq-sistema ne uslozhnena protivopolozhno drug drugu napravlennymi gruppami pravil udlineniya i sokrashcheniya cepochek. Imeetsya tol'ko udlinyayushchee pravilo. Lyubaya formal'naya sistema, predpisyvayushchaya kak delat' bolee dlinnye teoremy iz bolee korotkih, no nikogda ne sokrashchaet dlinu cepochek, obyazatel'no dolzhna imet' razreshayushchuyu proceduru dlya svoih teorem. Davajte predpolozhim, chto vam dayut cepochku simvolov. Snachala prover'te, yavlyaetsya li ona aksiomoj ili net (ya predpolagayu, chto imeetsya razreshayushchaya procedura dlya proverki na aksiomnost', inache nashe delo - beznadezhno). Esli eto aksioma, to ona, po opredeleniyu, yavlyaetsya teoremoj i proverka zakonchena. No predpolozhim, chto eto ne aksioma. Togda, chto by byt' teoremoj, eta cepochka dolzhny byla by proizojti ot bolee korotkih cepochek s pomoshch'yu odnogo iz pravil sistemy.
Probegaya cherez razlichnye pravila, odno za drugim, vy mozhete tochno opredelit' ne tol'ko te pravila, kotorye mogli proizvesti etu teoremu, no tak zhe kratchajshuyu cepochku na "genealogicheskom dereve" ot kotoroj ona mogla by proizojti. Takim obrazom, vy reduciruete problemu do togo, chto by opredelyat', yavlyaetsya li lyubaya iz neskol'kih novyh, no bolee korotkih cepochek teoremoj. Kazhdaya zhe iz nih, v svoyu ochered', mozhet byt' podvergnuta takomu zhe analizu i tak dalee. Samoe hudshee, chto mozhet sluchit'sya - eto budet lavinoobrazno uvelichivat'sya chisla bolee korotkih cepochek, kazhduyu iz kotoryh nado tak zhe proveryat'. No poskol'ku vy vse zhe prodolzhaete uporno dvigat'sya nazad takim sposobom, v konce koncov, vy neizbezhno priblizit'sya k istochniku vseh teorem - sheme aksiom. Vy ne mozhete beskonechno poluchat' vse bolee korotkie i korotkie cepochki. Poetomu, v konechnom schete, vy ili obnaruzhite, chto odna iz poluchennyh vami korotkih cepochek - aksioma, libo vy v itoge dostignite situacii, kogda prosto upretes' v tupik. Okazhetsya, chto ni odna iz poluchennyh vami bolee korotkih cepochek ne mozhet dalee ukorachivat'sya s pomoshch'yu obrashcheniya togo ili inogo pravila. Poetomu net osobo glubokoj tajny v formal'nyh sistemah, pravila kotoryh tol'ko udlinyayut cepochki. Glubina voznikaet vo vzaimodejstvii udlinyayushchih i ukorachivayushchih pravil. Imenno eto privnosit v formal'nye sistemy nekotoroe obayanie.

"Snizu vverh" protiv "sverhu vniz"

Opisannyj vyshe metod mozhno nazvat' nishodyashchej razreshayushchej proceduroj, i yavlyaetsya protivopolozhnost'yu procedury voshodyashchej, rabotu kotoroj ya opishu teper'. Ona ochen' napominaet metod, kotorym dzhin metodichno vosproizvodil teoremy MIU-sistemy. No situaciyu oslozhnyaet prisutstviem shema aksiom. Poetomu snachala my predstavim sebe "kovsh", v kotoryj my budem "brosat'" teoremy po mere togo, kak oni budut proizvedeny. Dalee vse proishodit tak:

_ p _ q _ _

I t.d., i t.d. *

* Sleduet, navernoe, utochnit', chto na kazhdom novom shage v kovshe pomeshchayutsya tol'ko vnov' poluchennye teoremy. T.e. teoremy snachala "vytryahivayutsya" iz kovsha vse do odnoj. Potom k nim primeryayut pravila, i esli oni primenimy, novaya teorema otpravlyaetsya v kovsh. V rezul'tate na N-om shage my imeem N-nnoe pokolenie teorem ot pervoj aksiomy, N-1 pokolenie ot vtoroj, N-2 ot tret'ej i t.d. Krome togo, v kovsh podbrasyvaetsya ocherednaya, N -ya po schetu aksioma. Prim A. S.

Vazhnym momentom yavlyaetsya to, chto, pol'zuyas' etim sposobom, vy neizbezhno rano ili pozdno proizvedete kazhduyu teoremu sistemy. Bolee togo, kovsh stanovit'sya zapolnennym vse bolee i bolee dlinnymi teoremami po mere vashego prodvizheniya v rabote. |to, opyat' zhe, posledstviya togo, chto u nas net sokrashchayushchih pravil. Tak, esli vy imeete nekuyu cepochku, naprimer _ _p _ _ _ q _ _ _ _ _, i hotite ee proverit' na prinadlezhnost' k mnozhestvu teorem, to sledujte vyshe opisannym shagam i pri etom sravnivajte kazhduyu vnov' proizvedennuyu cepochku s proveryaemoj. Esli sovpadenie proizojdet, to vasha cepochka - teorema! Esli zhe v nekotoryj moment vse, chto idet v kovsh okazhetsya bolee dlinnym, chem ispytyvaemaya cepochka, vykinet ee. Ona - ne teorema!
Opisannyj vyshe metod - voshodyashchaya razreshayushchaya procedura. Zdes' poisk nachinaetsya s osnovaniya, sostoyashchego iz aksiom, i dvizhetsya k proveryaemoj cepochke. Opisannaya zhe ranee procedura - nishodyashchaya. Ona dejstvuet naoborot. Poisk nachinaetsya s proveryaemoj cepochki i dvizhetsya k osnovaniyu.

Izomorfizmy porozhdayut smysl

Teper' my priblizilis' k glavnoj teme etoj glavy (a v dejstvitel'nosti - glavnoj teme etoj knigi). Vozmozhno, vas uzhe ne raz poseshchala nazojlivaya mysl', mol, sobstvenno govorya, pq-teorema ochen' napominaet summirovanie.
Cepochka _ _ p _ _ _ q _ _ _ _ _ yavlyaetsya teoremoj potomu kak 2 plyus 3 ravnyaetsya 5. Vozmozhno, dazhe, vam prishlo na um, chto teorema _ _p _ _ _ q _ _ _ _ _ yavlyaetsya utverzhdeniem, sformulirovannym strannym obrazom, no oznachayushchim chto 2 plyus 3 -5. Naskol'ko razumen takoj vzglyad na etot predmet? Horosho, priznayus', ya prednamerenno vybral simvol "p" chto by nameknut' na termin "plyus", a simvol "q" dolzhen provacirovat' v vas associaciyu s terminom "equals" - ravnyaetsya. Tak chto poluchaetsya?
Cepochka _ _p _ _ _ q _ _ _ _ _ na samom dele rasshifrovyvaetsya kak: "2 plyus 3 ravno 5"?

CHto nas zastavlyaet eto chuvstvovat'? Moj otvet - my oshchushchaem izomorfizm mezhdu qp-teoremami i vychisleniem summy dvuh chisel. Vo Vvedenii, ya opredelil znachenie termina "izomorfizm", kak "preobrazovanie pri kotorom sohranyaetsya soderzhanie informacii". Teper' my mozhem vniknut' v soderzhanie etogo ponyatiya glubzhe i uvidet' ego sovsem s drugoj storony. Slovo "izomorfizm" primenyaetsya, kogda dve slozhnyh struktury mogut byt' otobrazheny (sproecirovany) drug na druga takim obrazom, chto kazhdoj chasti odnoj struktury sootvetstvuet nekotoraya chast' drugoj. Pri etom "sootvetstvuet" oznachaet, chto kazhdaya iz etih dvuh chastej igrayut podobnye roli v svoej strukture. Takoe ponimanie termina "izomorfizm" vytekaet iz bolee tochnogo znacheniya ego v matematike.

Dlya matematika bol'shaya radost' obnaruzhit' izomorfizm mezhdu dvumya strukturami, kazhdaya iz kotorye emu izvestny otdel'no. Ochen' chasto takoe oshchushchenie voznikaet kak neozhidannost', vspyshka molnii, ozarenie. Takaya "vspyshka" - osobyj istochnik naslazhdeniya. Vospriyatie izomorfizma mezhdu dvumya izvestnymi strukturami obychno okazyvaetsya sushchestvennym progressom v sistematizacii uzhe nakoplennyh znanij. I ya utverzhdayu, chto imenno oshchushchenie izomorfizma vyzyvaet to samoe chuvstvo ponimaniya u lyudej, kotoroe oni vsyakij raz otchetlivo ispytyvayut.
I poslednee chto sleduet skazat' o vospriyatii izomorfizmov: tak kak oni proyavlyayutsya, obrazno govorya, v raznyh formah i sile ne vsegda polnost'yu yasno, kogda vy dejstvitel'no nashli izomorfizm. Takim obrazom "izomorfizm" - eto termin so vsej obychnoj dlya slov neopredelennost'yu, kotoraya est' ih nedostatok i preimushchestvo odnovremenno.

No v nashem sluchae my imeem prevoshodnyj obrazec dlya naglyadnoj demonstracii koncepcii izomorfizma. Vo-pervyh my imeet "raznourovnevyj" izomorfizm - to est' proekciyu mezhdu dvumya strukturami:

plyus

ravnyaetsya

odin

dva

tri

Takaya simvol'no-slovesnoe sootvetstvie imeet naimenovanie - interpretaciya
Vo-vtoryh, na bolee vysokom urovne, imeetsya sootvetstvie mezhdu istinnymi utverzhdeniyami o summah dvuh chisel i teoremami. No, obratite vnimanie, eto vysoko-urovnevoe sootvetstvie ne mozhet byt vosprinyato bez predvaritel'nogo vybora interpretacii dlya simvolov. Poetomu, bylo by tochnee nazvat' eto sootvetstviem mezhdu istinnymi utverzhdeniyami i interpretiruemymi teoremami. V lyubom sluchae my pokazali dvuhurovnevoe sootvetstvie, kotoroe tipichno dlya vseh izomorfizmov.

Kogda vy vpervye znakomites' s nekoj formal'noj sistemoj, vy ne znaete o nej nichego. I esli vy nadeetes' obnaruzhit' nekotoroe skrytoe znachenie v nej, to vasha pervejshaya zadacha - proizvesti interpretaciyu simvolov sistemy kakim-libo razumnym sposobom. To est', nuzhna takaya interpretaciya, chto by na bolee vysokim urovnem vyrisovalos' sootvetstvie mezhdu istinnymi utverzhdeniyami i teoremami formal'noj sistemy. Vy mozhete sdelat' neskol'ko predvaritel'nyh popytok naugad prezhde chem obnaruzhite horoshij nabora slov, svyazannyh s simvolami. |to ochen' pohozhe na popytku vzlomat' kod ili rasshifrovat' nadpis' na neznakomom yazyke, podobno linejnomu pis'mu B ostrova Krit. Edinstvennyj sposob prodvinut'sya - sposob prob i oshibok, sposob kompetentnyh dogadok, opirayushchihsya na fakty.
Kogda vy nahodite horoshij nabor, "osmyslennyj" nabor, vnezapno mnogo nachinaet shodit'sya, i vy chuvstvuete chto vash vybor - udachen. Vy dvizhetes' v vernom napravlenii. Vasha rabota uskoryaetsya chrezvychajno. Dovol'no skoro vse stanovit'sya na svoi mesta. Dzhon CHedvik opisyval takoe volnenie, vspominaya o rasshifrovke linejnoj pis'mennosti B.
No eto bolee chem neobychnaya situaciya, dlya normal'nogo cheloveka, okazat'sya na meste "deshifrovshchika" formal'noj sistemy, najdennoj v processe raskopok razrushennoj civilizacii! Matematiki (a eshche ran'she lingvisty, filosofy i nekotorye drugie specialisty) yavlyayutsya, chut' li ne edinstvennymi, kto ispol'zuet formal'nye sistemy. I oni vsegda imeyut interpretaciyu svoih formal'nyh sistem v svoem soznanii. |toj interpretaciej oni pol'zuyutsya sami i pytayutsya publichno izdat' dlya drugih. Osnovnye usiliya etih lyudej napravleny na to, chtoby sozdat' formal'nuyu sistemu, teoremy kotoroj izomorfno otrazhayut nekotoruyu chast' dejstvitel'nosti. V takom sluchae vybor simvolov horosho motiviruetsya, kak i vybor formal'nyh (tipografskih) pravil vyvoda. Kogda ya izobrel pq-sistemu, ya byl v takom polozhenii. Vy videli, pochemu ya vybral simvoly, kotorye vybral. Net nikakoj sluchajnosti v tom, chto teoremy sistemy izomorfny slozheniyu. Potomu chto ya special'no iskal sposob otrazit' slozhenie tipografskim sposobom.

Bessmyslennye i osmyslennye interpretacii.

Vy mozhete vybrat' inuyu interpretaciyu, chem tu, kotoruyu predlozhil ya. Vam ne obyazatel'no nepremenno interpretirovat' kazhduyu teoremu kak istinnuyu. No imeetsya malo prichin delat' interpretaciyu, v kotoroj, skazhem, vse teoremy poluchilis' by lozhnymi. I, konechno zhe, eshche men'she prichin delat' interpretaciyu, dlya kotoroj net nikakoj svyazi s real'nost'yu voobshche. Takuyu interpretaciyu gde net ni polozhitel'noj, ni otricatel'noj svyazi mezhdu teoremami i zdravym smyslom. Poetomu davajte budem delat' razlichie mezhdu dvumya tipami interpretacij formal'nyh sistem. Dlya nachala mozhem sdelat' bessmyslennuyu interpretaciyu, v kotoroj my ne v sostoyanii uvidet' kakuyu-libo izomorfnuyu svyaz' teorem s real'nost'yu. Takih interpretacij najdetsya v izobilii. Voobshche govorya, lyuboj sluchajnyj vybor privedet nas k celi. Naprimer, voz'mem takuyu:

loshad'

schastlivyj

yabloko

Teper' _ p _ q _ _ priobretaet novuyu interpretaciyu: "yabloko loshad' yabloko schastlivyj yabloko, yabloko". Pohozhe na poeticheskie santimenty, obrashchennye k loshadi i, vozmozhno, sposobnye vdohnovit' ee. Nadeyus', eto opravdaet nash sposob interpretacii pq-cepochki. Odnako takaya interpretaciya imeet krajne nebol'shuyu "soderzhatel'nost'". V nej lyubaya teorema zvuchit ne bolee pravdopodobno, chem lyubaya ne teorema. Vse zvuchat odinakovo horosho! Loshad' mogla by naslazhdat'sya poeticheskim slogom tipa "schastlivaya, schastlivaya, schastlivaya yabloko loshad'" (otobrazhaetsya na ne teoremu qqq _ p) s ne men'shim entuziazmom, chem strokoj, poluchennoj iz teoremy.

Drugoj vid interpretacii budem nazyvat' soderzhatel'nym. V takoj interpretacii teoremy imeyut nekotoruyu svyaz' s real'nost'yu, to est' sushchestvuet izomorfizm mezhdu teoremami i nekotoroj chast'yu dejstvitel'nosti. Poetomu horosho razlichaetsya interpretaciya i ee soderzhanie. Konechno lyuboe izvestnoe slovo mozhet ispol'zovat'sya kak interpretaciya dlya 'p', no tol'ko "plyus" - edinstvennyj osmyslennyj vybor, kotoryj my smogli pridumat'. V itoge znacheniem 'p' kazhetsya "plyus", hotya etot simvol mozhet imet' milliony interpretacij.

Aktivnoe soderzhanie protiv passivnogo

Vozmozhno, naibolee sushchestvennym faktom etoj glavy, esli gluboko zadumat'sya, yavlyaetsya sleduyushchee: pq-sistema kak budto vynuzhdaet nas priznat' soderzhatel'nuyu glubinu simvolov formal'noj sistemy, hotya pervonachal'no ee simvoly kazalis' bessmyslennymi. Prosto nel'zya ne prijti k takomu zaklyucheniyu, esli vami obnaruzhen izomorfizm. No razlichie mezhdu soderzhaniem v formal'nyh sistemah i soderzhaniem v yazyke, odnako, ochen' vazhnoe. V yazyke, kogda my uznaem znachenie slova, my nachinaem delat' novye utverzhdeniya osnovannye na etom soderzhanii. V nekotorom smysle soderzhanie stanovitsya aktivnym, tak kak s nim, pomimo sushchestvuyushchih, privnosyatsya novye pravila dlya postroeniya novyh sentencij. |to oznachaet, chto nasha sposobnost' vladet' yazykom malo napominaet zakonchennyj produkt:
Kolichestvo pravil dlya sozdaniya predlozheniya uvelichivaetsya, kogda my izuchaem nekotoroe novoe ponyatie. S drugoj storony v formal'nyh sistemah teoremy zhestko predopredeleny pravilami vyvoda. My mozhem vybirat' "smysl" osnovyvayas' na izomorfizme (esli my mozhem najti hotya by odin) mezhdu teoremami i istinnymi utverzhdeniyami. No eto ne daet nam prava vyhodit' iz sistemy i dobavlyat' ishodya iz "zdravogo smysla" novye teoremy k formal'no vyvedennym. Imenno otnositel'no etogo i predosteregalo vas v glave I Trebovanie Formal'nosti.

V MIU-sisteme, konechno, ne bylo nikakogo soblazna vyhodit' za ramki chetyreh pravil. Potomu chto nikakaya interpretaciya ne brosalas' nam v glaza i ne byla najdena. No zdes', v nashej novoj sisteme, my legko mogli by soblaznit'sya nedavno najdennym "smyslom" kazhdogo simvola i "rasshirit'" krug teorem, polagat', chto i cepochka
_ _ p _ _ p _ _ p _ _ q _ _ _ _ _ _ _ _
tak zhe yavlyaetsya teoremoj. Vo vsyakom sluchae, mozhno bylo by sozhalet', chto eta cepochka ne teorema. No pri vsem zhelanii, ya ne mogu protivit'sya faktu. |to ne teorema. I bylo by ser'eznoj oshibkoj dumat', chto dannaya cepochka "dolzhna" byt' teoremoj na tom osnovanii, chto 2 plyus 2 plyus 2 ravnyaetsya 8. Bylo by dazhe zabluzhdeniem pripisyvat' lyuboj smysl etoj stroke voobshche, tak kak ona neverno postroena, hotya nasha smyslovaya interpretaciya voznikla iz pravil'no vystroennyh cepochek.
V formal'noj sisteme soderzhanie dolzhno ostavat'sya passivnym. My mozhem chitat' kazhduyu cepochku v sootvetstvii so znacheniem simvolov, iz kotoryh ona sostoit. No my ne imeem prava sozdavat' novye teoremy tol'ko na osnovanii smysla, kotoryj my pripisyvaem etim simvolam. Takim obrazom, interpretiruemye formal'nye sistemy my mogli by raspolozhit' gde-to poseredine mezhdu bessmyslennymi sistemami i osmyslennymi. O simvol'nyh cepochkah takih sistem mozhno dumat' kak o "podrazhanii" real'nosti, no takoe shodstvo dolzhno vytekat' isklyuchitel'no iz formal'nyh svojstv sistemy.

Dvusmyslennost'!

Teper' ya hochu vyrubit' pod koren' vsyakuyu illyuziyu otnositel'no togo, chto yakoby ob®ektivno imeetsya nekotoryj smysl u simvolov pq-sistemy. Rassmotrim sleduyushchuyu associaciyu:

ostaetsya, esli

vychest' iz

odin

dva

Teper' _ _ q _ _ _ q _ _ _ _ _ imeet novuyu interpretaciyu "2 ostaetsya, esli 3 vychest' iz 5". Konechno eto istinnoe utverzhdenie. Vse teoremy tozhe budut istinnymi v etoj novoj interpretacii. Ona tak zhe nadelena smyslom, kak i staraya. I ochevidno glupo sprashivat': "A kotoraya iz interpretacij na samom dele otrazhaet soderzhanie cepochki?" Interpretaciya budet osmyslena v tom ob®eme, v kakom ona otrazhaet izomorfizm s real'nym mirom. Kogda razlichnye aspekty real'nogo mira izomorfny drug drugu (v nashem sluchae slozhenie i vychitanie), to odna formal'naya sistema mozhet byt' izomorfna k obeim i poetomu mozhet priobretat' dva passivnyh soderzhaniya. |ta dvojnaya znachimost' simvolov i cepochke - ochen' vazhnoe yavlenie. Zdes' eto mozhet kazat'sya trivial'nym, lyubopytnym, razdrazhayushchim. No my k etomu vernemsya v bolee glubokom kontekste, i eto eshche prineset ogromnoe izobilie idej.

Davajte podvedem itog otnositel'no pq-sistemy. Pri lyuboj iz dvuh interpretacij, kazhdaya pravil'no postroennaya cepochka, chisto grammaticheski, otnositsya libo k istinnym, libo k lozhnym utverzhdeniyam. Ideya otnositel'no pravil'no postroennyh cepochek v lyuboj formal'noj sisteme sostoit v tom, chto oni yavlyayutsya temi cepochkami, v kotoryh esli interpretirovat' simvol za simvolom, to vyrastaet grammaticheski vernoe vyrazhenie. (Konechno, eto zavisit ot interpretacii, no obychno, eto vsegda imeetsya vvidu). I tak, sredi pravil'no postroennyh cepochke vstrechayutsya teoremy. Oni opredelyayutsya shemoj aksiom i pravilami vyvoda. Presleduemaya mnoyu cel', pri izobretenii pq-sistemy, sostoyala v tom, chtoby podrozhat' slozheniyu: ya hotel, chtoby kazhdaya teorema pri interpretacii vyrazhala istinnye utverzhdenie o summe dvuh chisel. I naoborot: ya hotel, chtoby summirovanie dvuh polozhitel'nyh celyh chisel bylo predstavleno kak cepochka simvolov, kotoraya budet teoremoj. |ta cel' byla dostignuta. Poetomu zamet'te, vse lozhnye utverzhdeniya o summah tipa "2 plyus 3 ravno 6" sootvetstvuyut cepochkam, kotorye hotya i yavlyayutsya pravil'no postroennymi, no ne yavlyayutsya teoremami.

Real'nost' i formal'nye sistemy

Zdes' my vpervye vstrechaemsya so sluchaem formal'noj sistemy chastichno baziruyushchejsya na ob®ektivnoj real'nosti, i, kazhetsya, podrazhaet ej sovershenno. Teoremy etoj sistemy izomorfny istinam etoj chasti dejstvitel'nosti. Odnako dejstvitel'nost' i formal'nye sistemy nezavisimy. Nikto ne obyazan znat', chto imeetsya izomorfizm mezhdu nimi. Kazhdaya iz nih - sama po sebe. Odin plyus odin ravnyaetsya dva. No dejstvitel'no li my znaem chto _ p _ q _ _ yavlyaetsya teoremoj? I esli _ p _ q _ _ yavlyaetsya vse zhe teoremoj, to kakoe otnoshenie eto imeet k arifmeticheskomu slozheniyu?

Vy mogli by zadat'sya voprosom: tot, kto delaet etu formal'nuyu sistemu ili lyubuyu druguyu, prolivaet li novyj svet na istiny v oblasti interpretacii ili net? My uznali, chto-libo novoe o summe dvuh chisel postroiv pq-sistemu? Konechno net! No my uznali nechto novoe otnositel'no prirody summirovaniya kak processa, a imenno: summirovanie legko imitiruetsya s pomoshch'yu tipografskih pravil manipulyacii bessmyslennymi simvolami. No eto po-prezhnemu ne dolzhno vyzyvat' bol'shogo udivleniya. Tak kak summirovanie dostatochno prostaya ideya. |to dostatochno banal'nyj fakt, chto process summirovaniya mozhet byt' realizovan v hitrospletennyh mehanizmah podobnyh kassovomu apparatu.

No yasno, chto my edva kosnulis' poverhnosti toj bezdny, v tolshchu kotoroj uhodyat gromady formal'nyh sistem. Estestvenno zadat' vopros otnositel'no togo, a ne yavlyaetsya li nekotoraya chast' nashej real'nosti pohozhej v svoem povedenii na nabor bessmyslennyh simvolov, s kotorymi manipuliruyut po nekotorym formal'nym pravilam? Mozhet byt', i vsya nasha dejstvitel'nost' yavlyaetsya nekoj formal'noj sistemoj? V ochen' shirokom smysle, otvet mog by, kazhetsya, byt' polozhitel'nym. Mozhno predpolozhit', naprimer, chto nasha real'nost' - eto obosoblennaya, ochen' slozhnaya formal'naya sistema. Ee simvoly ne lozhatsya na bumagu, a skoree pomeshcheny v trehmernom prostranstve. |to - elementarnye chasticy, iz kotoryh vse v etom mire i sostoit (My predpolagaem, chto v beskonechnoj cepi voprosov "iz chego sostoit. . . iz chego sostoit. . . iz chego sostoit. . .", imeetsya takoj otvet, chto termin "elementarnaya chastica" imeet smysl). A "tipografskie pravila" - eto zakony fiziki, kotorye soobshchayut kak oni izmenyatsya, uchityvaya polozhenie i skorost' vseh chastic. Kakovy budut novoe polozhenie i skorosti vseh chastic-simvolov v "sleduyushchij" moment vremen. Poluchaetsya, chto teoremy etoj ciklopicheskoj formal'noj sistemy - eto vozmozhnye konfiguracii vseh chastic Vselennoj v raznye momenty vremeni na protyazhenii vsej ee istorii. Edinstvennaya aksioma (kotoraya vozmozhno byla) - pervonachal'naya konfiguraciya vseh chastic v "nachal'nyj moment vremeni". |to grandioznaya koncepciya, odnako, ona nastol'ko velika, chto imeet tol'ko teoreticheskij interes. Krome togo, kvantovaya mehanika (i drugie razdely fiziki), brosayut na nee, po krajnej mere, neskol'ko somnenij. Voznikayut somnenie dazhe v chisto teoreticheskoj vozmozhnost' vsego etogo. Po sushchestvu my sprashivaem: yavlyaetsya vsya Vselennaya v celom determinirovannoj sistemoj? I etot vopros ostaetsya otkrytym.

Matematika i manipulyaciya s simvolami.

Vmesto togo, chtoby imet' delo s takoj bol'shoj sistemoj kak Vselennaya, davajte ogranichimsya matematikoj kak "nashej real'nost'yu". Zdes' voznikaet ser'eznyj vopros. Dopustim my probovali stroit' formal'nuyu sistemu v nekotoroj chasti matematiki. Kak mozhno byt' uverennym, chto vse vypolneno pravil'no, osobenno, esli my znakomy poka tol'ko na odnu sotuyu procenta s etoj chast'yu matematiki? Predpolozhim chto cel' formal'noj sistemy - v tom, chtoby poluchit' novye znaniya v etoj discipline. Kak my budem znat', chto interpretaciya kazhdoj nashej teoremy istina? Esli my ne dokazali etogo! Izomorfizm sovershenen? I kak my dokazhem chto izomorfizm sovershenen, esli my dazhe ne znaem vsego otnositel'no istiny v dannoj discipline?

Predpolozhim, chto v raskopkah, gde-nibud', my fakticheski obnaruzhili nekuyu tainstvennuyu formal'nuyu sistemu. My pereprobovali by razlichnye interpretacii i vozmozhno, nakonec, natolknulis' by na tu, kotoraya, kazhetsya, interpretiruet kazhduyu teoremu kak istinnuyu, a kazhduyu ne teoremu - kak lozh'. No eto tol'ko to, chto my smogli proverit' neposredstvenno na konechnom chisle sluchaev.
Mnozhestvo zhe teorem, skoree vsego, beskonechno. Kak my budem znat', chto vse teoremy vyrazhayut istiny v etoj interpretacii, esli my ne znaem vse, chto sushchestvuet i otnositel'no dannoj sistemy i otnositel'no oblasti ee interpretacii?
Imenno v etom, neskol'ko strannom, polozhenii my okazhemsya, kogda popytaemsya srazhat'sya za sootvetstvie mezhdu prirodoj natural'nyh chisel (to est' neotricatel'nyh chisel 0, 1, 2, . . .) i formal'nymi sistemami s tipografskimi simvolami. Neobhodimo ponyat', chto my nazyvaem "istinoj" v teorii natural'nyh chisel i chego my mozhem dobit'sya manipuliruya simvolami.

Tak chto pozvol'te mne kratko zaglyanut' v osnovy togo, chto pozvolyaet nazvat' nekotorye utverzhdeniya v teorii chisel istinoj, a drugie - lozh'yu. Skol'ko budet 12 umnozhit' na 12? Kazhdyj znaet, chto eto 144. No kak mnogo lyudej stanut davat' etot otvet, tratya svoe lichnoe vremya na risovanie pryamougol'nika razbitogo 12 po 12 kletok, a potom podschityvaya chislo poluchivshihsya malen'kih kvadratikov? Bol'shinstvo lyudej rascenili by takoj risunok i podschet kak nenuzhnyj. Vmesto etogo oni by predlozhili v kachestve dokazatel'stvo neskol'ko roscherkov na bumage, tipa etogo:

1 2
X l 2
-----------
2 4
1 2
-----------
1 4 4

I eto sluzhilo by "dokazatel'stvom". Pochti kazhdyj gluboko uveren, chto esli by on schitali kvadratiki, to rezul'tat poluchilsya by tot zhe. I tol'ko malaya chast' lyudej dumayut, chto neizbezhnost' podobnogo sovpadeniya mozhet okazat'sya pod somneniem.
Konflikt mezhdu etimi dvumya protivopolozhnymi tochkami zreniya priobretaet osobuyu ostrotu, kogda vy rassmatrivaet rezul'tat proizvedeniya 987654321 na 123456789. Prezhde vsego, fakticheski, net vozmozhnosti postroit' sootvetstvuyushchij pryamougol'nik. No chto huzhe, dazhe esli vy ego postroite, i ogromnaya armiya lyudej potratit stoletiya, podschityvaya nebol'shie kvadratiki, tol'ko ochen' legkovernyj chelovek poverit v poluchennyj otvet. Ved' ochen' veroyatno, chto gde-nibud', tak ili inache, no kto-to naportachit pri podschete. Tak mozhno li, v konce koncov uznat' pravil'nyj otvet?! Esli vy doveryaete simvolicheskomu processu, kotoryj ispol'zuet manipulyacii nad ciframi soglasno chetkim i prostym pravilam, togda mozhno. Esli verite. Takoj process detyam predstavlyayut kak nekoe ustrojstvo, iz kotorogo mozhno vynut' pravil'nyj otvet poteryannyj v processe peretasovki. Dlya mnogih detej smysl processa - sochetanie. Zakony manipulyacii chislami pri umnozhenii baziruyutsya vsego na neskol'kih osnovnyh svojstvah slozheniya i umnozheniya, kotorye bezogovorochno rasprostranyayutsya na absolyutno vse chisla.

Osnovnye zakony arifmetiki

Raznovidnost' togo, chto ya podrazumevayu illyustrirovano nizhe. Predpolozhim, chto vy votknuli v zemlyu neskol'ko palok:

/ // // // / /

Teper' vy nachinaete schitat' ih. V to zhe vremya kto-to drugoj schitaet ih tozhe, tol'ko s drugogo konca. Budet li eto ochevidnym, chto vy oba poluchite odinakovyj otvet? Rezul'tat processa podscheta ne zavisit ot puti, kotorym eto sdelano. |to dejstvitel'no, yavlyaetsya predpolozheniem otnositel'no prirody togo, chto my nazyvaem podschetom. Bylo by bessmyslennym dokazyvat' eto, potomu chto eto yavlyaetsya nastol'ko fundamental'nym, chto vy ili vidite eto ili net. No v poslednem sluchae ot kakih-libo dokazatel'stv vam budet malo proku.
Takogo zhe roda soobrazheniya privodyat nas k kommutativnosti i associativnosti slozheniya (to est' to, chto vsegda soblyudaetsya ravenstvo b + c = c + b, i to, chto vsegda soblyudaetsya ravenstvo b + (c + d) = (b + c) + d ). To zhe samoe predpolozhenie mozhno vvesti dlya kommutativnosti i associativnosti umnozheniya, tol'ko nado predstav'te mnozhestvo kubikov, iz kotoryh sobran bol'shoj kub. Umnozhenie kommutativno i associativno hotya by potomu, chto esli vy vrashchaete tverdyj kub razlichnym sposobom chislo kubikov v nem ne budet menyat'sya. |ti predpolozheniya ne poddayutsya proverke vo vseh vozmozhnyh variantah, potomu chto chislo takih sluchaev- beskonechno. My ih dopuskaem, my verim im (esli my kogda-libo zadumyvalis' o nih) tak gluboko, kak my mozhem verit' chemu-libo eshche. Kolichestvo deneg ne izmenitsya u vas v karmane, esli vy spuskaetes' vdol' po ulice. Prover'te eto, teper', dvigayas' vverh i vniz. CHislo knig, kotorye my imeem, ne izmenit'sya, esli my upakuem ih v korob, zapihnem v avtomobil', provezem odnu sotnyu mil', razgruzim korob, raspakuem ego, posle chego rasstavim knigi na novoj polke. Vse eti strannye svojstva i sostavlyayut prirodu togo, chto my nazyvaem chislom.

Est' takoj osobyj tipa lyudej, kotorye kak tol'ko nekotoryj besspornyj fakt zapisan, oni nahodyat zabavnym pokazyvat', chto "fakt" v konce koncov, lozhen. YA - takoj chelovek. I kak tol'ko ya zapisal vse eti primery s primeneniem palok, deneg i knig, ya tut zhe izobrel ryad situacij, v kotoryh oni byli nepravil'nymi. Vy, vozmozhno, sdelali tozhe samoe. |to demonstriruet, chto abstraktnye chisla ves'ma otlichayutsya ot teh ezhednevnyh "chisel", kotorymi my pol'zuemsya v konkretnyh zhiznennyh situaciyah.

Lyudi lyubyat izobretat' vyskazyvaniya, kotorye razrushayut osnovy matematiki, no kotorye, yakoby demonstriruyut "bolee glubokie istiny" tipa "1 i 1 daet 1" (dlya vlyublennyh) ili "1 plyus 1 plyus 1 stanovitsya 1" (Bozhestvennaya troica). Vy mozhete legko najti dyry v "logike" etih lozungov, pokazyvaya, naprimer, pochemu ispol'zovat' simvol "plyus" v oboih sluchayah neumestno. No takie sluchae rasprostraneny povsemestno. Dve kapli dozhdya skol'zyat po okonnomu steklu i soedinyayutsya v odnu. Summa dvuh daet edinicu? Oblako rastekaetsya na dva otdel'nyh oblaka - eto svidetel'stvuet o tom zhe samom? Niskol'ko ne legche provesti chetkuyu gran' mezhdu sluchayami, gde proishodyashchee mozhno nazvat' "summirovaniem", a gde sleduet ispol'zovat' kakoe-to drugoe slovo. Esli vy zadumaetes' nad etim voprosom, to, vozmozhno, pridumaete nekotoryj obobshchennyj kriterij, kotoryj obobshchaet razlichnye sluchai vmeste i ubezhdaet kazhdogo yasno otlichat' odno ot vsego drugogo. No kak byt' otnositel'no samoj idei podscheta? Kak naschet chisla gazov, sostavlyayushchih atmosferu? Gde-nibud', esli poprobuete, vy navernyaka smozhete najti utverzhdeniya tipa: ". . . v Indii razgovarivayut na 17-ti yazykah i 462 dialektah". Imeetsya chto-to strannoe v podobnyh "tochnyh" utverzhdeniyah, esli koncepciya "yazyka" i "dialekta" sami po sebe nechetkie!

Ideal'nye chisla

Da, chisla kak ob®ekty real'nogo mira vedut sebya daleko ne ideal'no. Odnako imeetsya drevnyaya i dazhe vrozhdennaya uverennost' lyudej, chto chisla ne dolzhny ploho sebya vesti. Est' chto-to chistoe i bezuprechnoe v abstraktnom predstavlenii o chislah, udalennyh ot podscheta businok, dialektov ili oblakov. I dolzhen imet'sya sposob govorit' otnositel'no chisel bez postoyannogo nalichiya nesuraznostej, kotorye vtorgayutsya i prosachivayutsya iz nashej real'nosti. Ved' u nas est' chetkie, odnoznachno ponyatnye pravila, kotorye upravlyayut imenno "ideal'nymi" chislami. Oni sostavlyayut arifmetiku i ee bolee prodvinutoe prodolzhenie - teoriyu chisel. I imeetsya tol'ko odin razumnyj vopros, kotoryj sleduet zadat', chto by perejti ot chisel v real'nom mire k chislam kak formal'nym ob®ektam.
Esli my reshim kapsulizirovat' (zamknut') teoriyu chisel v ideal'noj sisteme, mozhem li my etogo dobit'sya na samom dele? YAvlyayutsya li chisla kristal'no chistymi i regulyarnymi nastol'ko, chto ih svojstva mogut byt' polnost'yu vosproizvedeny v pravilah formal'noj sistemy?
Kartina Osvobozhdenie (figura 13), odna iz krasivejshih rabot |shera, predstavlyaet razitel'nyj kontrast mezhdu formal'nym i neformal'nym,

FIGURA 13. Osvobozhdenie. M. C. |sher (1955).

a tak zhe demonstriruet izumitel'nuyu oblast'yu perehoda.
YAvlyayutsya li chisla stol' zhe svobodnymi kak pticy? Sil'no li oni stradayut ot kristallizacii v okovah pravil formal'noj sistemy? Imeetsya li volshebnaya oblast' mezhdu chislami v zhizni i chislami na bumage?

Kogda ya govoryu o svojstvah natural'nyh chisel, ya ne tol'ko imeyu v vidu svojstva tipa summy nekotoroj konkretnoj pary natural'nyh chisel. V konce koncov, eto mozhet byt' vyyasneno pryamym podschetom (hotya by teoreticheski ) i vsyakij, kto vyros v etom stoletii, ne somnevaetsya otnositel'no vozmozhnosti mehanizacii takih processov kak podschet, slozhenie, umnozhenie i tak dalee. No ya imeyu v vidu svojstva takogo vida, v issledovan kotoryh zainteresovany matematiki. Oni stavyat voprosy dlya otveta na kotorye nikakoj vychislitel'nyj process ne primenim. Dazhe teoreticheski ne primenim. Davajte voz'mem klassicheskij primer takogo svojstva natural'nyh chisel. Vot utverzhdenie: "Imeetsya beskonechnoe mnozhestvo prostyh chisel *". Prezhde vsego, net ni kakogo sposoba podscheta, v rezul'tate kotorogo kogda-nibud' podtverdilos' ili bylo oprovergnuto dannoe utverzhdenie. Luchshee chto my mozhem sdelat' - eto nahodit' novye i novye prostye chisla na protyazhenii nekotorogo vremeni, no vse zhe priznavaya, chto ih tam eshche "mnogo". No nikakoj, skol' ugodno upornyj podschet nikogda ne dast okonchatel'nyj otvet na vopros konechnoe ili beskonechnoe ih chislo. Vsegda budet bol'she. |to utverzhdenie nazyvaetsya "Teoremoj Evklida" (obratite vnimanie na zaglavnuyu "T"!) i ono sovsem ne ochevidno. Ono mozhet kazat'sya ubeditel'nym ili naprotiv vyglyadet' somnitel'no, no ono neochevidno. Odnako matematiki, so vremen Evklida, vsegda nazyvayut eto istinoj. S kakoj by eto stati?

* Prostym nazyvaetsya takoe natural'noe chislo, kotoroe delit'sya tol'ko na 1 i na samo sebya. Vse ostal'nye chisla nazyvayutsya sostavnymi. Ih mozhno poluchit' umnozheniem prostyh chisla v raznyh kombinaciyah, to est' "sostavit'" iz prostyh. Pim A.S.

Dokazatel'stvo Evklida

A vse delo v tom, chto umozaklyucheniya predstavlennye im ubezhdayut, chto eto dejstvitel'no tak. Davajte prosledim ego rassuzhdeniya. My rassmotrim variant dokazatel'stva Evklida. |to dokazatel'stvo pokazyvaet, nezavisimo to togo, kakoe prostoe chislo vy vyberete, najdetsya prostoe chislo bol'shee chem eto. Vyberete chislo N. Peremnozh'te vse polozhitel'nye celye chisla, nachinaya s 1 i zakanchivaya N. Drugimi slovami podschitajte faktorial chisla N, zapisyvaetsya "N!"*. Teper' otvet'te, chego vy dob'etes' deleniem poluchennogo chisla na kazhdoe iz chisel ot 1 do N, esli predvaritel'no k N! pribavit' vsego lish' 1?

* N!=1*2*3*4*. . .*(N-2)*(N-1)*N Prim A. S.

** Cluchaj dlya 2 : (N!+1)/2 = N!/2+1/2 = [1*3*4*. . . *(N-1)*N] + 1/2 pervoe slagaemoe - natural'noe chislo, vtoroe slagaemoe - drobnyj ostatok 1/2. Ih summa ne natural'noe chislo. Znachit N!+1 bez ostatka na 2 ne delit'sya! Prim. A.S.

*** Dlya lyubogo k men'she N: (N!+1)/k = N!/k+1/k = [1*2*3*4*. . .*(k-1)*(k+1)*. . .* (N-1)*N] + 1/k pervoe slagaemoe - natural'noe chislo, vtoroe slagaemoe - drobnyj ostatok 1/k. Summa ne natural'noe chislo. Znachit N!+1 bez ostatka na k ne delit'sya! Prim. A.S.

Inymi slovami, esli N!+1 i delit'sya na kakoe-to chislo (krome 1 i samogo sebya), to eto chislo budet bol'shim, chem N. N!+1 ili samo po sebe yavlyaetsya prostym, ili ego prostoj delitel' bol'she chem N. V lyubom sluchae my pokazali, chto dolzhno sushchestvovat' prostoe chislo bol'she chem N. Process dokazatel'stva proishodit bez tochnogo opredeleniya chemu ravno chislo N. Kakoe by chislo N my ne vzyali, sushchestvuet prostoe chislo bol'shee, chem N i takim obrazom beskonechnost' mnozhestva prostyh chisel dokazano.
Poslednij sdelannyj nami shag, kstati, nazyvaetsya obobshcheniem, i my vstretim ego pozzhe v bolee formal'nom kontekste. Obobshchenie proizoshlo togda, kogda my ot vyvodov otnositel'no kazhdogo konkretnogo chisla (N) pereshli voobshche k lyubomu chislu N i ukazali, chto chislo N ne opredeleno, poetomu nashi vyvody rasprostranyayutsya na vse chisla.
Dokazatel'stvo Evklida - eto harakternyj primer togo iz chego sostoit "nastoyashchaya matematika". Ono prostoe, ubeditel'noe i krasivoe. |to Dokazatel'stvo pokazyvaet, chto, sovershaya neskol'ko korotkih shagov, mozhno prodelat' dovol'no dalekij put' ot ishodnoj tochki. V nashem sluchae ishodnaya tochka - osnovnye idei otnositel'no umnozheniya, deleniya i tak dalee. Korotkie shagi - eto shagi rassuzhdenij. I hotya kazhdyj otdel'nyj shag rassuzhdenij dlya nas sovershenno prozrachen, no konechnyj rezul'tat ne stol' ocheviden. My nikogda ne smozhem neposredstvenno proverit' yavlyaetsya li eto utverzhdenie istinnym ili net, i vse zhe my uvereny v etom, tak kak my verim v pravil'nost' rassuzhdenij. Esli vy priznaete silu argumentov, to u vas net ni kakogo vyhoda, kak tol'ko soglasit'sya vyslushat' dovody Evklida do konca, i togda vy prosto vynuzhdeny soglasit'sya s ego zaklyucheniem. |to ochen' udachnoe obstoyatel'stvo. Znachit matematiki vsegda mogut dogovorit'sya o tom kakie utverzhdeniya oni budut ob®yavlyat' "istinnymi", a kakie budut ob®yavlyat' "lozhnymi".
Dokazatel'stvo Evklida demonstriruet chetkij i posledovatel'nyj process rassuzhdenij. Kazhdoe zaklyuchenie svyazano s predydushchim zheleznoj logicheskoj svyaz'yu. Vot pochemu ono nazyvaetsya "dokazatel'stvom", a ne prosto "pravdopodobnoj dogadkoj". Cel' matematiki - vystroit' nepokolebimoe dokazatel'stvo dlya nekotorogo neochevidnogo utverzhdeniya. Sam fakt shagov, svyazyvayushchih utverzhdeniya nekotorym zhestkim sposobom predpolagaet, chto dolzhna sushchestvovat' nekaya shablonnaya struktura, soedinyayushchaya eti utverzhdeniya vmeste. |ta struktura mozhet byt' luchshe vsego raskryta, esli najdetsya nekij osobyj slovar' special'no stilizovannyj i nabrannyj iz simvolov podhodyashchih tol'ko dlya vyrazheniya utverzhdenij otnositel'no chisel. Togda my mozhem posmotret' na nashe dokazatel'stvo v novoj, perevedennoj versii. |to budet nabor utverzhdenij, kotorye vystroeny odno za drugim nekotorym izvestnym nam sposobom. No eti utverzhdeniya, poskol'ku oni predstavleny s pomoshch'yu nebol'shogo i stilizovannogo slovarya, priobretayut formu shematicheskoj konstrukcii. Inymi slovami, esli ih prochitat' vsluh, oni vse eshche kazhutsya utverzhdeniyami otnositel'no chisel i ih svojstv, no esli ih rassmatrivat', zapisannymi na bumage, oni uzhe kazhutsya abstraktnymi shemami, a poshagovaya struktura dokazatel'stva napominaet postepennoe preobrazovanie simvolicheskih konstrukcij soglasno nekotoromu ogranichennomu naboru tipografskih pravil.

Pobeda nad beskonechnost'yu

Hotya v dokazatel'stve Evklid pokazyvaetsya, chto vse chisla imeyut nekotoroe svojstvo, my izbegzhali neobhodimosti obrashchat'sya k kazhdomu iz beskonechnogo mnozhestva konkretnyh sluchaev.
Tak proizoshlo potomu, chto my ispol'zovali frazy tipa "kakoj by ni byl N" ili "nezavisimo ot togo, kakim yavlyaetsya chislo N". My mogli dokazat' teoremu eshche raz, tak chto by ispol'zovat' pri dokazatel'stve frazu "vsyakoe N". Znaya ee kontekst, i pravil'no ispol'zuya takie frazy my ne obyazany imet' delo s beskonechnym mnozhestvom utverzhdenij. My imeem delo tol'ko s dvumya ili tremya ideyami vklyuchayushchie v sebya slovo "vse". Hotya sami po sebe eti idei opisany strokoj konechnoj dlinny, no oni yavlyayutsya voploshcheniem beskonechnosti. Ispol'zuya ih, my obhodim ochevidnuyu problemu, prisutstviya beskonechnogo chisla faktov, kotorye my hotim dokazat'.

My ispol'zuem termin "vse" neskol'kimi sposobami, kotorye predopredelyaet hod nashih rassuzhdenij. To est' imeyutsya pravila, kotorym my pri ispol'zovanii termina "vse" povinuemsya. My mozhem ne osoznavat' ih, i trebovat', chtoby eti terminy primenyalis' isklyuchitel'no na osnove soderzhaniya slov. No eto, v konce koncov, okazyvaetsya nastol'ko gromozdim dlya otobrazheniya v rechi, chto my prosto-naprosto pol'zuemsya pravilami, kotorye nikogda ne afishiruem. My ispol'zuem eti slova na protyazhenii vsej nashej zhizni po nekotoromu shablonu i vmesto shablona "pravilo" my pripisyvaem napravleniyu nashego myslitel'nogo processa shablonnoe slovo "mysl'". |to otkrytie bylo klyuchevoj tochkoj na puti k formalizacii teorii chisel.

Esli by my popytalis' vniknut' v dokazatel'stvo Evklida gorazdo glubzhe, my by videli, chto ono sostoit iz mnozhestva malen'kih, pochti beskonechno malen'kih shagov. Esli by vse eti shagi byli vypisany na liste odin za drugim, to dokazatel'stvo pokazalos' by nam neveroyatno slozhnym i dlinnym. Dlya nashego uma gorazdo yasnee, kogda neskol'ko shagov nakladyvayutsya drug na druga vmeste i formiruyut odno edinstvennoe predlozhenie. Esli by my pytalis' postepenno dvigayas' vglub' dokazatel'stva, my stali by razlichat' otdel'nye elementarnye chasti. Drugimi slovami, detalizaciya mozhet idti tol'ko do opredelennogo predela, i zdes' my obnaruzhivaem "atomnuyu" strukturu myslitel'nogo processa. Dokazatel'stvo mozhet byt' razobrano na mnozhestv kroshechnyh, diskretnyh skachkov, kotorye, opyat' sol'yutsya v edinoe celoe, esli smotret' na nih s bolee udalennoj tochki. V glave VIII ya pokazhu primer razbieniya dokazatel'stva na elementarnye edinicy, i vy budete videt', kak neveroyatno mnogo shagov prishlos' tam sovershit'. No vozmozhno eto vas niskol'ko ne udivit. Proishodyashchee v mozge Evklida, kogda on otkryl dokazatel'stvo, navernoe, zatronuli milliardy nejronov, mnogie iz kotoryh srabatyvali s chastotoj mnogo soten impul'sov v sekundu. Dazhe prostoe proiznesenie standartnogo predlozheniya vozbuzhdaet sotni tysyach nejronov. Esli mysli Evklida byli mnogo slozhnee, to vpolne vozmozhno, chto ego dokazatel'stvo soderzhit ogromnoe chislo shagov! (Konechno, najdetsya ne mnogo pryamyh sootvetstvij mezhdu proishodyashchim v nervnoj sisteme mozga i shagami dokazatel'stva v formal'noj sisteme. No slozhnost' etih dvuh processov sopostavima. Vse eto vyglyadit tak, kak budto priroda hochet slozhnost' dokazatel'stva beskonechnosti mnozhestva prostyh chisel sohranit' dazhe togda, kogda dlya nego ispol'zuyutsya ochen' razlichnye sistemy.)

V posleduyushchih glavah my pokazhem formal'nuyu sistemu, kotoraya: (1) vklyuchaet stilizovannyj slovar', gde vse utverzhdeniya otnositel'no teorii chisel mogut byt' vyrazheny, i (2) ona imeet pravila, sootvetstvuyushchie vsem tipam rassuzhdenij, kotorye vidyatsya dlya etogo neobhodimymi. Tam vozniknet ochen' vazhnyj vopros, imeyut li pravila dlya manipulyacii simvolami, kotorye my sformuliruem, ravnuyu sposobnost' k razmyshleniyam (naskol'ko teoriya chisel imeet k etomu otnoshenie) s obychnymi rassudochnymi sposobnostyami nashego uma? Ili, obobshchaya: mozhno li teoreticheski dostignut' nashego urovnya myshleniya, ispol'zuya nekotoruyu formal'nuyu sistemu?