я расстояния от точки А до оси х на чертеже (рис. 20)
надо взять отрезок 1Х.
17
Аналогично, расстояние от точки А до оси у выражается отрезком 1у и
расстояние от точки А до оси z -- отрезком /z (рис. 20).
Итак, расстояния точки от плоскостей проекций и от осей проекций могут
быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. При этом
должен быть учтен его масштаб.
Рассмотрим примеры построения третьей проекции точки по двум заданным.
Пусть (рис. 21) точка В задана ее фронтальной и горизонтальной проекциями.
Введя ось z (рис. 22:
Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23
расстояние ОВХ произвольно, если нет каких-либо условий) и проведя
через В" линию связи, перпендикулярную к оси , откладываем на ней вправо от
этой оси отрезок B'"B-, равный В'ВХ.
На рис. 23 построена проекция С' по заданным проекциям С" и С'" (ход
построения указан стрелками).
ВОПРОСЫ К §§ 4-5
1. Что такое "система ·, 2" и как называются плоскости проекций и
.,?
2. Что называется осью проекций?
3. Как получается чертеж точки в системе ,, ..?
4. Что такое "система ·, .%, Яэ" и как называется плоскость проекций
,?
5. Что такое "линия связи"?
6. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой
проекции в виде точек, выражает некоторую точку?
7. Как строится профильная проекция точки по ее фронтальной и
горизонтальной проекциям?
§ 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
Модель положения точки в системе л1г 2, 3 (рис. 16) аналогична
модели, которую можно построить, зная прямоугольные координаты 1)
этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно
перпендикулярных плоскостей -- плоскостей координат. Прямые, по которым
пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка
пересечения осей координат называется началом координат и обозначается
буквой О 2). Для осей координат будем применять обозначения,
показанные на рис. 16.
Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных
углов, деля пространство на восемь частей -- восемь октантов 3).
На рис. 16 изображен один из октантов. Показано образование отрезков,
определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены
перпендикуляры к каждой из плоскостей
1) Иначе -- "декартовы координаты". Система координат
Декарта может быть прямоугольной и косоугольной; здесь рассматривается
прямоугольная система. Декарт (1596--1650) - французский математик и
философ.
2) Начальная буква латинского слова "origo" -- начало.
3) Octo (лат.) -- восемь.
18
координат. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой
1), выразится числом, полученным от сравнения отрезка АА"' (или
равного ему отрезка ОАХ на оси х) с некоторым отрезком, принятым за единицу
масштаба. Также отрезок АА" (или равный ему отрезок ОАу на оси у) определит
.вторую координату точки А, называемую ординатой 2); отрезок АА'
(или равный ему отрезок OAZ на оси ) - третью координату, называемую
аппликатой 3).
При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой х,
ордината -- буквой у, аппликата -- буквой z.
Построенный на рис. 16 параллелепипед называют параллелепипедом
координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам
сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих
трехзвенную ломаную линию (рис. 24). Надо отложить последовательно отрезки
ОАХ, АХА' и А'А или ОАУ, АуА'" и А'"А и т. п., т. е. точку А можно получить
шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.
На рис. 24 для наглядного изображения взята известная из курса черчения
средней школы проекция, называемая кабинетной 4). В ней оси х и z
взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла z.
В кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси у или параллельно ей,
сокращаются вдвое.
Рис. 25
Рис. 16 показывает, что построение проекций точки сопровождается
построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять
плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А
определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции А'
определяется координатами х и у.
Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А
определяется координатами х = 7, у= 3, z = 5. Если масштаб для построения
чертежа задан или выбран, то (рис. 25) откладывают на оси х от некоторой
точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси,
проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем
проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х.
Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по
данным ее проекциям. Например, на рис. 18 отрезок ОАХ выражает абсциссу
точки А, отрезок АХА' -- ее ординату, отрезок АХА" - аппликату.
Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость,
параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая
плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны
заданной величине (рис. 26, плоскость а).
') Abscissa (лат.) - отсеченная, отделенная.
2) Ordinata (лат.) -- от ordinatim ducta (лат.) -- подряд
проведенная.
3) Applicata (лат.) -- приложенная.
*) Кабинетная проекция относится к числу косоугольных (подробнее см. в
§ 75).
19
Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная
соответствующей координатной оси. Например, имея заданными абсциссу и
ординату, получаем прямую, параллельную оси z (на рис. 26 это прямая АВ).
Она является линией пересечения двух плоскостей и , где --
геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит
геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны
между собой ординаты.
Рис. 26
Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. На рис.
26 показана точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых
есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, -- по заданной
ординате и -- по заданной аппликате.
Точка может находиться в любом из восьми октантов (нумерацию октантов
см. на рис. 27). Следовательно, нужно знать не только расстояние данной
точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому
надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают
относительными числами. Мы будем применять для отсчета координат систему
знаков, указанную на рис. 27, т. е. будем применять систему координат,
называемую "правой". Правая система характеризуется тем, что поворот на 90°
"положительного" луча Ох (рис. 27) в сторону "положительного" луча Оу
происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на плоскость
хОу сверху).
В системе, называемой "левой", "положительный" луч Ох направлен от
точки О вправо.
При изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не
плоскости проекций, а систему некоторых трех взаимно перпендикулярных
плоскостей, непосредственно связанных с данным телом, например грани
прямоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т. п. Для
такой системы координат встречается название "внутренняя".
§ 7. ТОЧКА В ЧЕТВЕРТЯХ И ОКТАНТАХ ПРОСТРАНСТВА
В § 4 было сказано, что плоскости 1 и 2 при пересечении образуют
четыре двугранных утла; их называют квадрантами или четвертями пространства.
На рис. 28 указан принятый порядок отсчета четвертей. Ось проекций делит
каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные
1 и -- 1, 2 и -- 2. Если, например, точка расположена во второй
четверти, то горизонтальная проекция получается на -- 1, а фронтальная --
на 2.
В дальнейшем изложении за основу для построения чертежа точки в любой
из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16).
Считают, что зритель всегда находится в первой четверти (условно -- на
бесконечно большом расстоянии от 1 и от 2). Плоскости проекций считают
непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти,
а также на полуплоскостях и 2.
20
На рис. 13 дан чертеж для случая, когда точка расположена в первой
четверти (рис. 29). Если точка одинаково удалена от и 2, то А'АХ = А"АХ.
На рис. 30 показана точка В, расположенная во второй четверти, т. е.
над -- % и сзади 2 (рис. 29). Точка В ближе к 2, чем к -- ,: на чертеже
В'ВХ < В"ВЖ. Там же
III
Рис. 28 Рис. 29
показана точка С, одинаково удаленная от -! и от 2: проекции С" и С'
совпадают между собой.
На рис. 31 дан чертеж для случая, когда точка D расположена в третьей
четверти. Горизонтальная проекция получается над осью проекций, фронтальная
проекция -- под осью проекций. Так как D'DX > D"DX, то точка D
расположена от --2 дальше, чем от --.
На рис. 32 даны точки и F, расположенные в четвертой четверти. Точка
Е ближе к ,, чем к -- 2 (рис. 29): Е"ЕХ < Е'ЕХ. Точка F одинаково
удалена от -- 2 и от ..: F'FX = F"FX.
На рис. 33 в системе ,, 2 изображены точки А и В, расположенные
симметрично относительно пл. ,. На чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные
проекции
Рис. 31 Рис. 33
таких точек совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находятся
на равных расстояниях от оси проекций: А"АХ = В"ВХ.
В практике черчения имеет место применение первой и третьей четвертей
пространства. Подробнее см. в § 41.
На рис. 27 было показано, что плоскости координат в своем пересечении
образуют восемь трехгранных углов -- восемь октантов. Нумерация октантов
указана на рис.27. Как видно из рис.28, четверти нумеруются как I--IV
октанты.
21
Применяя для отсчета координат точки систему знаков, указанную на рис.
27, получим следующую таблицу: |
|
Знаки координат |
|
Знаки координат |
|
|
|
У |
|
|
|
У |
z |
|
I |
+ |
+ |
+ |
V |
|
+ |
+ |
|
|
+ |
_ |
+ |
VI |
-- |
-- |
+ |
|
III |
+ |
_ |
_ |
VII |
_ |
_ |
_ |
|
IV |
+ |
+ |
- |
VIII |
- |
+ |
- |
Например, точка (--20; + 15; --18) находится в восьмом октанте.
Совмещение плоскостей производится согласно рис. 34, т. е. пл. 3 отводится
против часовой стрелки, если смотреть на пл. ! по направлению от +z к О.
Рис. 34
На рис. 34 даны также чертежи точек: А, расположенной в первом октанте,
и С, расположенной в седьмом октанте; проекции одной и той же точки не могут
наложиться одна на другую. Для остальных октантов две или все три (для
второго и восьмого октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться
наложенными друг на друга.
ВОПРОСЫ К §§ 6-7
1. Что такое прямоугольные декартовы координаты точки?
2. В какой последовательности записываются координаты в обозначении
точки?
3. Что такое квадранты или четверти пространства?
4. Что такое октанты?
5. Какие знаки имеют координаты точки, расположенной в седьмом октанте?
6. В чем различие между "правой" и "левой" системами координат?
Чем различаются между собой чертежи точек, из которых одна расположена
в первой четверти, а другая -- в третьей?
§ 8. ОБРАЗОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
До сих пор мы встречались с двумя системами плоскостей проекций -- п1г
2 и ·, -, 3. В случае необходимости можно образовать и другие системы.
Например, введя в систему ^ - некоторую пл. 41 (рис.35), мы получим,
помимо системы -, 2 с проекциями А' и А" точки А, еще систему ,, 4 с
проекциями А и той же точки А.
Образуется ли при этом также система 2, 4? Нет: плоскости 2 и 4 не
перпендикулярны одна к другой.
22
Пл. 1 входит в обе системы 1, 2 и 1, 4. Поэтому проекция А' точки
А (рис. 35) относится и к системе 5 4. При проецировании же точки А на
пл. 4 получаем точку на расстоянии от пл.
1; равном AA' и А"АХ.
Рис. 35 Рис. 36 Рис. 37
На рис. 36 плоскости 1; 2 и 4 показаны совмещенными в одну плоскость
--плоскость чертежа; полученный при этом чертеж дан на рис. 37. Помимо оси
2/ 1) введена еще ось 4/1; она выбирается согласно условиям,
вытекающим из задания, как это будет показано дальше. Из точки А' проведена
перпендикулярно к оси 4/1 линия связи, на которой отложен отрезок
, равный отрезку А"АХ, т. е. расстоянию в пространстве от
точки А до пл. 1.
Рис. 38 Рис. 40
На рис. 38 показан чертеж, в котором помимо системы 5 2 дана еще
система 2, 5, т. е. в систему Пц, 2 введена дополнительная пл. 5,
перпендикулярная к 2. Теперь в обеих системах (пь 2 и 2, 5) содержится
пл. 2. Поэтому сохраняется расстояние точки А именно от пл. 2 и на чертеже
отрезок AvAxl должен быть взят равным отрезку А'АХ.
Очевидно, плоскость 3 (рис. 15) можно истолковать как дополнительную,
проведенную перпендикулярно и к 2, и к nt. Но при этом обычно помимо
системы 1; 2 рассматривают еще систему 2, 3. По аналогии с рис. 38 можно
было бы придать рис. 22 форму, показанную на рис. 39 слева, где "' = =
В'ВХ. Если же использовать вспомогательную прямую по рис. 17 (продолженную
биссектрису угла ), то построение принимает вид, указанный на рис. 39
справа. Можно ли по-ступ"ть аналогично при построении, например, проекции
(рис. 37) или (рис. 38)? Да; это показано на
рис. 40 и 41. Но здесь, конечно, угол 45°, построен-
Рис. 41
1) Это обозначение оси соответствует ранее принятому -- х.
При введении новой оси, например 4/1, ее обозначение - xt.
23
ный на рис. 17, не получается. Как видно из чертежей на рис. 40 и 41,
надо провести биссектрису угла, образуемого осями 2/ и K4/nt (рис. 40) и
осями 2/ и -/5 (рис. 41).
Но, как было сказано на с. 23, предпочтительными являются построения,
показанные на рис. 39 слева и на рис. 37 и 38.
В дальнейшем (§ 33) мы встретимся еще с другими примерами введения
дополнительных плоскостей для образования требуемой системы плоскостей
проекций.
§ 9. ЧЕРТЕЖИ БЕЗ УКАЗАНИЯ ОСЕЙ ПРОЕКЦИЙ
В дальнейшем изложении наряду с чертежами, содержащими оси проекций,
будут применяться чертежи без указания осей.
Из сравнения чертежей на рис. 42 следует, что в одном случае положение
плоскостей 1 и 2 установлено проведением линии их пересечения и что
установлены расстояния точки А от этих плоскостей. На втором же чертеже на
рис. 42 вопрос о расстояниях точки А от плоскостей , и 2 отпадает, так как
ось проекций отсутствует; рассматривается некоторая точка А, заданная своими
проекциями, безотносительно к тому, где находятся плоскости проекций. При
этом, конечно, тем большее значение приобретает линия связи проекций, ее
направление и правильное проведение.
Можно ли, имея чертеж без указания оси проекций, ввести эту ось и тем
задать расстояния точки от условно выбранных плоскостей 1 и 2? Да, можно.
Вводя ось, надо ее провести обязательно перпендикулярно к линии связи, но
безразлично,
Рис. 43
в какой именно точке на этой линии (если не указывается какое-либо
условие). При этом положение проекций не изменится. Действительно, проведя
ось проекций, мы выбираем некоторое положение двугранного угла ,2
относительно данной точки А (рис. 43). Перенесение оси на чертеже вверх или
вниз соответствует параллельному перемещению в пространстве двугранного угла
2 в новое положение (на рис. 43 положение 45) в направлении
биссекторной плоскости двугранного угла1), смежного с углом 12.
Введение оси проекций (а это делается обычно в соответствии с
каким-либо условием) было показано на рис. 37 и 38: оси п3/ 1 и 2/5.
Здесь оси были нужны для построения: от них отсчитывались размеры. Вообще,
оси, если их рассматривать в первоначальном значении линий пересечения
плоскостей проекций, помогают представлению пространственной картины по
чертежу.
Базы отсчета размеров являются неотъемлемой составляющей технических
чертежей; выбор положения баз не является ограниченным и определяется,
исходя из необходимости и целесообразности.
1) Биссекторная плоскость двугранного угла -- плоскость,
проходящая через ребро двугранного угла и делящая его пополам. Bissektor
(лат.) -- надвое рассекающий.
24
На рис. 44 слева показано, как устанавливается разность расстояний
точек А и В от плоскостей проекций пь 2 и 3. Чертеж на рис. 44 справа дан
с осями проекций.
Рис. 44
В данном примере разность расстояний точек от пл. определяется
отрезком А"1, равным А"АХ -- В"ВХ или А'"3, от пл. 2 -- отрезком В'2,
равным В'ВХ -- А'АХ или В'"3, от пл. 3 -- отрезком В"1, равным А"Аг -- В"В2
или А'2.
ВОПРОСЫ К §§ 8-9
1. Как образуются системы плоскостей проекций?
2. Какому условию должна отвечать плоскость, вводимая в систему ,, .,
в качестве дополнительной плоскости проекций?
3. Как строится проекция точки, заданной в системе ·, 2 на m. it.,,
перпендикулярнойк пл. ·?
4. Устанавливаются ли расстояния точки от плоскостей проекций при
наличии оси проекций?
5. Как следует понимать чертеж точки при отсутствии оси проекций?
6. Какое назначение имеют оси /, и -/5; на рис. 40 и 41?
7. Как устанавливается на чертеже в системе ,, 2 расстояние точки от
пл. , и от пл. 2?
§ 10. ПРОЕКЦИИ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ
Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В
(рис. 45). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы
получаем проекции отрезка АВ -- фронтальную (А"В") и горизонтальную
(А'В1)').
Можно ли утверждать, что такой чертеж (рис. 45) выражает именно отрезок
прямой линии? Да; если представить себе (рис. 46), что через А'В' и через
А"В" проведены проецирующие плоскости (т. е. перпендикулярные соответственно
к 1 и к 2), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее
отрезок АВ. При этом точка, заданная своими проекциями на А'В' и на А"В",
принадлежит отрезку АВ.
На рис. 47 дан чертеж отрезка АВ в системе 1, 2, 3· Проекции А'" и
В'" построены так, как это было показано на рис. 18 для одной точки А.
Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей
·,, 2 и 3, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни
одна из проекций прямой не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к
ней. Такая прямая называется прямой общего положения.
25
Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47
Каждая из проекций меньше самого отрезка: А'В' < АВ, А"В" < АВ,
А'"В'" < < АВ. Обозначая углы между прямой и плоскостями 1; 2 и 3
соответственно через 1, 2 и 3, получим
А'В' = ABcos 1, А" В" = АВ cos 2, А'" В'" = ABcos 3.
Если А'В' = А"В" = А"'В'", то прямая образует с плоскостями проекций
равные между собой углы (~ 35°)1); при этом каждая из проекций
прямой расположена
под углом 45° к соответствующим осям проек-ций или линиям связи между
проекциями.
Действительно, если (рис. 48) А'В" = А'В' и А'В' = А'"В'", то фигура
А"В"В'А' - равнобочная трапеция и В"1 = В'2, откуда В"'3 = А'"3, т. е. угол
А'"В"'3 = 45°, а так как фигура А"В"В'"А"' - параллелограмм, то каждый из
углов В"А"1 и В'А'2 равен 45°.
Как построить на чертеже без осей проекций, например, профильную
проекцию отрезка прямой линии? Построение показано на рис. 49, где слева дан
исходный чертеж отрезка АВ прямой общего положения, в середине показано
применение вспомогательной прямой, проведенной под углом 45°· к направлению
линии связи В"В', а справа -- построение в разности расстояний точек А и В
от пл. 2, т. е. по отрезку : задавшись положением хотя бы проекции А'"
(на линии связи А"А'"), откладываем А'"2 = и, проведя из точки 2
перпендикуляр до пересечения с линией связи проекций В" и В'", находим
положение проекции В'".
Рис. 49
1) Вывод см. в § 13.
26
§ 11. ОСОБЫЕ (ЧАСТНЫЕ) ПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ
ПРОЕКЦИЙ
Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые
(иначе, частные) положения. Рассмотрим их по следующим двум признакам:
А. Прямая параллельна одной плоскости проекций.
Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций.
В первом случае одна проекция отрезка прямой равна самому отрезку. Во
втором случае две проекции отрезка равны ему1).
А. Прямая параллельна одной плоскости проекций
1. Прямая параллельна пл. , (рис. 50). В таком случае фронтальная
проекция прямой параллельна оси проекций и горизонтальная проекция отрезка
этой прямой равна самому отрезку: А'В'=АВ. Такая прямая называется
горизонтальной.
Если, например, проекция А"В" совпадает с осью проекций, то отрезок АВ
расположен в пл. , 2).
Рис. 50
Рис. 51
2. Прямая параллельна пл. 2 (рис. 51). В таком случае ее
горизонтальная проекция параллельна оси проекций и фронтальная проекция
отрезка этой прямой равна самому отрезку: C"D" = CD. Такая прямая называется
фронтальной.
Если, например, проекция C'D' совпадает с осью проекций, то это
соответствует положению отрезка CD в самой пл. 2.
') Все это, конечно, с учетом масштаба чертежа.
2) На рис. 50 справа дан чертеж без указания оси проекций.
То же сделано на рис. 51.
27
3. Прямая параллельна пл. 3 (рис. 52). В таком случае горизонтальная и
фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси
проекций Ох и профильная проекция этой прямой равна самому отрезку: E"F" =
EF. Такая прямая называется профильной.
Рис. 52 Рис. 53
Можно ли считать, что на чертежах, подобных указанным на рис. 50 и 51,
изображены отрезки именно прямых линий? Да; доказательство такое же, как для
прямой общего положения (рис. 46).
Если же на чертеже в системе 5 2 обе проекции перпендикулярны к оси
проекций, то проецирующие плоскости, проведенные через E'F и E"F", сливаются
в одну и оригиналом может быть не только прямая линия, но и некоторая
плоская кривая (рис. 53).
Б. Прямая параллельна двум плоскостям проекций
1. Прямая параллельна плоскостям 1 и 2 (рис. 54), т. е.
перпендикулярна к пл. 3. Проекция на пл. 3 представит собой точку.
2. Прямая параллельна плоскостям , и 3 (рис. 55), т. е.
перпендикулярна к пл. 2. Проекция на пл. 3 представляет собой отрезок
прямой, равный CD'.
Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56 Рис. 57
3. Прямая параллельна плоскостям 2 и 3 (рис. 56), т. е.
перпендикулярна к
пл. nt. Проекция на пл. 3 представит собой отрезок, параллельный и
равный E"F".
На рис. 57 дано наглядное изображение положения рассмотренных прямых').
') Для этих прямых встречается название "проецирующие прямые".
28
Рис. 58 Рис. 59
Обычно строятся проекции отрезков прямой линии с указанием концевых
точек отрезка. Если же по каким-либо причинам показывают некоторую
неопределенную часть прямой линии, то практически тоже показывают отрезок
линии, но не обозначают концевых точек этого отрезка. При этом можно
пользоваться обозначением каждой проекции только одной буквой, относя ее к
какой-либо точке прямой (рис. 58): "прямая, проходящая через точку А".
Обратим внимание на чертеж слева на рис. 59. Относительно прямой,
изображенной на нем, можно сказать лишь то, что она проходит через точку L и
параллельна пл. jtj, но в остальном положение этой прямой не определяется.
Определенность была бы внесена горизонтальной проекцией, т. е. проекцией на
плоскости, по отношению к которой прямая параллельна.
Если же мы имеем дело с прямой, заданной двумя своими точками
(например, с отрезком прямой, заданным своими концами), то можно точно
определить положение этой прямой и в том случае, если не задана ее проекция
на плоскости, параллельной этой прямой. Так, например, если дан отрезок АВ
прямой (рис. 59, справа), то мы можем установить не только параллельность
этой прямой по отношению к пл. -, но и то, что точка A данной прямой более
удалена от пл. 2, чем точка В.
§ 12. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
На рис. 60 дан чертеж некоторой прямой общего положения, проходящей
через точку А. Если известно, что точка В принадлежит этой прямой и что
горизонтальная проекция точки В находится в точке В', то фронтальная
проекция В" определяется так, как показано на рис. 60.
На рис. 61 показано построение точки на профильной прямой. Положим, что
задана проекция С" этой точки; надо найти ее горизонтальную проекцию.
Построение выполнено при помощи профильной проекции А'"В"' отрезка АВ,
взятого на профильной прямой. Ход построения показан стрелками. Сначала
определена проекция С", а по ней -- искомая проекция С".
Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение
АС А°С°
отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 62):
Рис. 61 Рис. 62
29
как прямые АА°, СС° и ВВ° параллельны между собой. Аналогично,
отношение отрезков на проекции прямой линии равно отношению отрезков на этой
прямой. Если бы точка делила пополам отрезок прямой, то проекция этой точки
также делила бы проекцию отрезка пополам, и наоборот.
Из сказанного следует, что на рис. 61 деление проекций А"В" и А'В'
точками С" и С' соответствует делению в пространстве отрезка АВ точкой С в
том же отношении. Этим можно воспользоваться для более простого построения
точки на профильной прямой. Если (как и на рис. 61) на проекции А"В" (рис.
63) задана проекция С", то, очевидно, надо разделить А'В' в том же
отношении, в каком точка С" делит проекцию А"В". Проведя из точки А'
некоторую вспомогательную прямую, откладываем на ней = А"С" и 1 -2 =
С"В". Проводим прямую В'2 и параллельно ей через точку 1 прямую до
пересечения с А'В' в точке С'. Эта точка представляет собой искомую
горизонтальную проекцию точки С, принадлежащей отрезку АВ.
Рис. 63 Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66
На рис. 64 дан пример деления отрезка прямой линии в некотором заданном
отношении.
Отрезок CD разделен в отношении 2:5. Из точки С' проведена
вспомогательная прямая, на которой отложено семь (2 + 5) отрезков
произвольной длины, но равных между собой. Проведя отрезок D'7 и параллельно
ему через точку 2 прямую, получаем точку К', причем С'К': K'D' = 2:5; затем
находим К". Точка К делит отрезок CD в отношении 2 :5.
На рис. 65 показаны точки и , в которых прямая, заданная отрезком
АВ, пересекает плоскости проекций. Эти точки называются следами: точка --
горизонтальный след прямой, точка N -- ее фронтальный след.
Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М') совпадает с
самим следом, а фронтальная проекция этого следа М" лежит на оси проекций.
Фронтальная проекция фронтального следа " совпадает с точкой , а
горизонтальная проекция ' ' лежит на той же оси проекций.
Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо (рис. 66)
продолжить фронтальную проекцию А"В" до пересечения с осью 2/ и через
точку М" (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикуляр
к оси 2/1 до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А'В'.
Точка М' -- горизонтальная проекция горизонтального следа; она совпадает с
самим следом (= знак совпадения).
Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию
А'В' до пересечения с 2/1; через точку ' (горизонтальную проекцию
фронтального
30
следа) проводим перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной
проекции А"В". Точка N" -- фронтальная проекция фронтального следа; она
совпадает с самим следом.
По положению точек и N можно судить, к каким четвертям пространства
отнесена данная прямая. На рис. 65 прямая АВ проходит через IV, I и II
четверти.
Прямая не имеет следа на плоскости проекций том случае, когда она
параллельна этой плоскости.
На рис. 67 прямая пересекает не только пл. 1 и 2, но и пл. 3. Точка
-- профильный след прямой, т. е. след на профильной плоскости проекций.
Этот след совпадает с его собственной проекцией на пл. 3, а фронтальная и
горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях z и у.
Рис. 67
В данном случае прямая проходит за точкой через пятый октант и,
встречая далее пл. 2, уходит в шестой октант; прямая из первого октанта
выходит в четвертый октант ').
Соответствующий чертеж дан на рис. 67 справа. Прямая показана в первом
октанте -- проекции М'Р', М"Р" и М'"Р'" и в пятом октанте -- проекции '',
"" и "'"'.
Рис. 68
Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у
горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа у = 0, у
профильного следа -- 0.
Построение следов профильной прямой (рис. 68) может быть выполнено
следующим способом (рис. 68, справа).
') Условимся показывать на чертежах сплошными линиями те проекции,
которые соответствуют положению отрезка в первой четверти или в первом
октанте.
31
Строим профильную проекцию (A'"B'"), определяем положение профильных
проекций горизонтального следа (М'") и фронтального следа (N'") и затем
находим положение остальных проекций этих следов (последовательность
построения на чертеже показана стрелками).
ВОПРОСЫ К §§ 10-12
1. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая
называется прямой общего положения?
2. Как доказывается, что чертеж, содержащий две связанные между собой
проекции в виде отрезков прямой линии, выражает именно отрезок прямой линии?
3. Как выражается соотношение между проекцией отрезка прямой и самим
отрезком?
4. Как расположена прямая в системе 1, 2, 3, если все три проекции
отрезка этой прямой равны между собой?
5. Как построить профильную проекцию отрезка прямой общего положения по
данным фронтальной и горизонтальной проекциям?
6. Как выполнить построение по вопросу 5 на чертеже без осей проекций?
7. Какие положения прямой линии в системе .-..,., 3 считаются
"особыми" (иначе -- "частными")?
8. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если
его горизонтальная проекция равна самому отрезку?
9. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если
его фронтальная проекция равна самому отрезку?
10. Какое свойство параллельного проецирования касается отношения
отрезков прямой линии?
11. Как разделить на чертеже отрезок прямой линии в заданном отношении?
12. Что называется следом прямой линии на плоскости проекций?
13. Какая координата равна нулю: а) для фронтального следа прямой, б)
для горизонтального следа прямой?
14. Где располагается горизонтальная проекция фронтального следа прямой
линии?
15. Где располагается фронтальная проекция горизонтального следа прямой
линии?
16. Может ли быть случай, когда прямая линия в системе ,,·2, 3 имеет
следы на каждой из этих плоскостей, сливающиеся в одну точку?
§ 13. ПОСТРОЕНИЕ НА ЧЕРТЕЖЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ 1 и 2
Из рассмотрения левой части рис. 69 можно заключить, что отрезок АВ
является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет
равен проекции отрезка (А1 = А°В°), а другой катет равен разности расстояний
концов отрезка от плоскости проекций 0.
Рис. 69
32
Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости
проекций, имеют разные знаки (рис. 69, справа), то надо иметь в виду
разность алгебраическую:
В1 = ВВ° - (-АА0) = ВВ° + АА°.
Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол,
составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот _ угол входит в
тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной
величины отрезка.
Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в
любом месте поля чертежа. На рис. 70 показано построение, примененное Г.
Монжем:
Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72
от точки 1 отложен отрезок , равный проекции A'ff, и проведена
гипотенуза А"У, выражающая натуральную величину отрезка АВ. Угол с вершиной
в точке А" равен углу между АВ и пл. 1
На рис. 71 слева длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с пл.
1определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В'
при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*.
На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. п2,
определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В"
(А"А* = А'2). АВ = В"А*.
Ограничены ли чем-либо углы . и - для прямой общего положения? Да,
каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего
положения - + - < 90°. Действительно (рис. 72), в прямоугольном
треугольнике ""' сумма углов + - = 90°. Но в треугольниках ""'
''' при общей гипотенузе "' катет "" больше катета "' и,
следовательно, >1. Подставляя в + 2=90° угол вместо , получим
1+ 2<90°.
Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и A"B"A*. В
каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из
катетов является проекцией этого отрезка. Другой же катет равен разности
расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* - В"1
= разности расстояний от nlt a A"A* = А'2 = разности расстояний от я2).
Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и
пл. 1 (угол ), в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2).
В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и
угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол,
определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы,
составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка).
Положим (рис. 73), что AB есть заданный отрезок (на рис. 71 он
соответствует гипотенузам A'B* и B"A*). Построим на нем, как на диаметре,
окружность. Приняв точку А за вершину, построим угол (т. е. заданный угол
с пл. 1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с
треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную
проекцию отрезка AB,a катет В1 -- разность расстояний концов отрезка АВ от
пл. 1.
В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевсшй
33
Построим (рис. 73) также прямоугольный треугольник А2В по той же