Курс начертательной геометрии под редакцией В.Гордон --------------------------------------------------------------- OCR: Сергей Болдырев --------------------------------------------------------------- ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора к двадцать четвертому изданию 6 Предисловие к восемнадцатому изданию 7 Принятые обозначения 8 Введение 9 Глава I. Образование проекций 10 § 1. Проекции центральные 10 § 2. Проекции параллельные 11 § 3. Метод Монжа 13 Вопросы к главе I 14 Глава П. Точка и прямая 15 § 4. Точка в системе двух плоскостей проекций ,, 2 15 § 5. Точка в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3 17 Вопросы к §§ 4-5 18 § 6. Ортогональные проекции и система прямоугольных координат .... 18 § 7. Точка в четвертях и октантах пространства 20 Вопросы к §§6-7 22 § 8. Образование дополнительных систем плоскостей проекций 22 § 9. Чертежи без указания осей проекций 24 Вопросы к §§ 8-9 25 § 10. Проекции отрезка прямой линии 25 § 11. Особые (частные) положения прямой линии относительно плоскостей про екций 27 § 12. Точка на прямой. Следы прямой 29 Вопросы к §§ 10-12 32 § 13. Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций 1 и 2 · · · 32 § 14. Взаимное положение двух прямых 35 § 15. О проекциях плоских углов 37 Вопросы к §§ 13-15 40 Глава III. Плоскость 42 § 16. Различные способы задания плоскости на чертеже 42 § 17. Следы плоскости 43 § 18. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения 44 Вопросы к §§ 16-18 49 § 19. Положения плоскости относительно плоскостей проекций 49 Вопросы к § 19 54 § 20. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию 54 § 21. Построение проекций плоских фигур 55 Вопросы к §§ 20-21 61 Глава ГУ. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости .... 62 § 22. Обзор взаимных положений двух плоскостей, прямой линии и плоскости 62 § 23. Пересечение прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций 64 § 24. Построение линии пересечения двух плоскостей 65 Вопросы  §§ 22-24 68 § 25. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения 69 § 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью 70 Вопросы к §§ 25-26 72 § 27. Построение прямой линии и плоскости, параллельных между собой ... 72 § 28. Построение взаимно параллельных плоскостей 73 Вопросы к §§ 27-28 74 § 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости 74 § 30. Построение взаимно перпендикулярных плоскостей 77 § 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями 78 Вопросы к §§ 29-31 80 Глава V. Способы перемены плоскостей проекций и вращения 81 § 32. Приведение прямых линий и плоских фигур в частные положения отно сительно плоскостей проекций 81 § 33. Способ перемены плоскостей проекций 81 Вопросы к §§ 32-33 85 § 34. Основы способа вращения 85 § 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси, перпендику лярной к плоскости проекций 86 Вопросы к §§ 34-35 90 § 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей вращения, перпендикулярных к плоскости 1 или 2 90 § 37. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси, параллельной плоскости проекций, и вокруг следа плоскости .... 92 Вопросы к §§ 36-37 96 § 38. Примеры решения задач с применением способов перемены плоскостей проекций и вращения 96 Вопросы к § 38 106 Глава VI. Изображение многогранников 107 § 39. Построение проекций многогранников 107 § 40. Чертежи призм и пирамид 108 § 41. Система расположения изображений на технических чертежах 112 § 42. Пересечение призм и пирамид плоскостью и прямой линией .... 114 Вопросы к §§ 39 --42 118 § 43. Пересечение одной многогранной поверхности другою 118 § 44. Общие приемы развертывания гранных поверхностей (призмы и пирамиды) 121 Вопросы к §§ 43-44 124 Глава VII. Кривые линии 125 § 45. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании 125 § 46. Плоские кривые линии 127 § 47. Пространственные кривые линии 130 Вопросы  §§ 45-47 131 § 48. Винтовые линии -- цилиндрические и конические 131 Вопросы к § 48 136 Глава VIII. Кривые поверхности 137 § 49. Общие сведения о кривых поверхностях 137 § 50. Обзор некоторых кривых поверхностей, их задание и изображение на чертежах , 139 A. Поверхности линейчатые развертываемые 139 Б. Поверхности линейчатые неразвертываемые 143 B. Поверхности нелинейчатые 148 Г. Поверхности, задаваемые каркасом 149 Д. Поверхности графические 149 Вопросы к §§ 49-50 150 § 51. Поверхности вращения 150 Вопросы  § 51 156 § 52. Винтовые поверхности и винты 157 Вопросы  § 52 163 § 53. Проведение плоскостей, касательных  кривым поверхностям 164 § 54. Примеры построения очерков проекций тела вращения с наклонной осью 166 Вопросы к §§ 53-54 169 Глава IX. Пересечение кривых поверхностей плоскостью и прямой линией .... 170 § 55. Общие приемы построения линии пересечения кривой поверхности плос костью 170 § .56. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. Построение раз вертки.. 171 Вопросы к §§ 55-56 176 § 57. Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение развертки 176 Вопросы к § 57 185 § 58. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения "линии среза" на поверхности комбинированного тела вращения 185 § 59. Пересечение кривых поверхностей прямой линией 189 Вопросы к §§ 58-59 192 Глава X. Пересечение одной поверхности другою, ю которых хотя бы одна кривая 194 § 60. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою 194 § 61. Подбор вспомогательных секущих плоскостей в случаях, когда они могут пересекать обе поверхности по прямым линиям 195 § 62. Применение вспомогательных секущих плоскостей, параллельных пло скостям проекций 200 Вопросы к §§ 60-62 201 § 63. Некоторые особые случаи пересечения одной поверхности другою . . . 202 § 64. Применение вспомогательных секущих сфер 206 § 65. Проецирование линии пересечения двух поверхностей вращения второго порядка на плоскость, параллельную их общей плоскости симметрии . . 211 Вопросы  §§ 63 -- 65 216 § 66. Примеры построения линий пересечения одной поверхности другою . . . 217 § 67. Пересечение кривой линии с кривой поверхностью 225 Вопросы к §§ 66-61 . 226 Глава XI. Развертывание кривых поверхностей 227 § 68. Развертывание цилиндрических и конических поверхностей 227 § 69. Условное развертывание сферической поверхности 229 § 70. Примеры построения разверток некоторых форм 231 Вопросы к главе XI 233 Глава XII. Аксонометрические проекции 234 § 71. Общие сведения 234 § 72. Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения и углы между осями 238 § 73. Построение прямоугольной аксонометрической проекции окружности . . . 243 § 74. Примеры построений в изометрической и диметрической проекциях ... 251 § 75. Некоторые косоугольные аксонометрические проекции 255 Вопросы к главе XII 258 Приложения 259 § 76. О родственном соответствии и его применении к решению некоторых задач 259 Вопросы к § 76 265 Добавление. Начертательная геометрия и машинная графика. (А. А. Чекмарев) 266 Список дополнительной литературы 272 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Учебное пособие соответствует программе, утвержденной Министерством общего и профессионального образования РФ, для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов. Одним из направлений перестройки высшей школы является усиление самостоятельности, предоставляемой студентам при изучении той или иной дисциплины. При изучении начертательной геометрии этому будет способствовать настоящее издание "Курс начертательной геометрии", а также новое издание "Сборник задач по курсу начертательной геометрии" В.О. Гордона, Ю.Б. Иванова, Т.Е. Солнцевой. Совместное их использование даст студентам возможность не только понять и осмыслить весь курс, уяснить план и ход решения задач, приведенных в задачнике в качестве примеров, но и самостоятельно проверить свои решения, сверив их с помещенными в конце задачника ответами. Для повторения и закрепления изучаемого материала в целях самопроверки к материалу каждого параграфа имеется значительное число вопросов. В конце книги помещено небольшое дополнение, написанное профессором А.А. Чекмаревым "Начертательная геометрия и машинная графика", о применении персональных компьютеров для решения на экране монитора графических задач начертательной геометрии. В настоящем издании указана учебная литература для желающих ознакомиться с различными вариантами изложения разделов программы и с некоторыми дополнительными вопросами начертательной геометрии. В книге указана также литература, относящаяся к машинной графике. Профессор Ю.Б. Иванов ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ После 14-го издания учебника (1962 г.), пересмотренного и сокращенного, следовали стереотипные выпуски. Настоящее издание книги значительно переработано, прежде всего с целью согласования с пособием "Сборник задач по курсу начертательной геометрии" В. О. Гордона, Ю. Б. Иванова и Т. Е. Солнцевой. В связи с этим из учебника исключен соответствующий материал -- задачи для самостоятельного решения и некоторые примеры построений, включенные в упомянутый выше сборник. В этом же сборнике приведены ответы на все задачи в графической форме. Учтены также пожелания, высказанные по содержанию и объему учебника. В основу учебника, как и прежде, положена программа, утвержденная Министерством высшего и среднего специального образования СССР для машиностроительных, приборостроительных и механико-технологических специальностей втузов. Поэтому в книге изложены "Система ортогональных проекций" и "Аксонометрия". Пожелания о сокращении объема с тем, чтобы он соответствовал времени, отводимому по учебному плану на курс начертательной геометрии, конечно, не могли быть удовлетворены за счет программного материала. Но такое сокращение было в поле зрения автора. В то же время переработка книги позволила ввести местами новый материал для более полного изложения "некоторых разделов программы и обоснования отдельных положений. Значительно увеличено число вопросов для повторения изучаемого материала и самопроверки. Обозначения, принятые в книге при первом издании (1936 г.), в основном введены еще в XIX столетии отечественными учеными Н. И. Макаровым и В. И. Кур-дюмовым и применяются, как показывает опыт, в учебной работе и в учебной литературе без каких-либо осложнений. Эти обозначения просты, выразительны и не загромождают чертежи. Очевидно, на сегодняшний день нельзя указать систему обозначений, которая могла бы считаться апробированной в качестве обладающей безусловными достоинствами для внедрения ее в учебную практику. Если "старым" обозначениям присущи некоторые недостатки, то не меньшие, а подчас и значительно большие недостатки присущи так называемым "новым" системам. Как и в предыдущих изданиях (начиная с 14-го), в книге помещена таблица для сопоставления обозначений в учебной литературе сегодняшнего дня. В этом издании указана литература, преимущественно учебная, для желающих ознакомиться с вариантами изложения разделов программы и некоторыми дополнительными вопросами. В работе по подготовке книги к переизданию автором учтены советы и замечания А. В. Бубенникова, Ю. Б. Иванова, Л. А. Ольховского и др., которым автор приносит сердечную благодарность. Автор благодарен В. П. Панченко за помощь в подготовке чертежей. Хотя работа над книгой со времени кончины М. А. Семенцова-Огиевского (1950 г.) выпала на мою долю и книга с тех пор претерпела ряд существенных изменений и дополнений, наши имена стоят рядом в заглавии в память о нашей долголетней дружбе и совместной работе. В. Гордон ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Точки в пространстве -- прописными буквами латинского алфавита A, B, С, ..., а так же цифрами. Последовательность точек (и других элементов) -- подстрочными индексами·. a1, А2, А3... Линии в пространстве - по точкам, определяющим линию, и строчными буквами ла- тинского алфавита a, b, c, ... Углы -- строчными буквами греческого алфавита , , ,  и . Плоскости -- строчными буквами греческого алфавита , , ,  и . Поверхности -- римскими цифрами, а также прописными буквами русского алфавита: цилиндр -- Ц, конус -- К, сфера -- Сф., ... Плоскости проекций -- строчной буквой греческого алфавита . Произвольная плоскость -- , горизонтапьная -- , фронтальная -- 2, профильная (или дополнительная) -- Пз, любая дополнительная -- 4, 5,... Оси проекций -- строчными буквами х, у, z или (при введении дополнительных пло- скостей) 2/, 2/3, 2/5, ... Начапо координат - прописной буквой О. Проекции точек:: на произвольную плоскость  -- A0, Bo, Co,...; на горизонтальную плоскость  --A', B', С',...; на фронтальную плоскость 2 -- A", В", C"...; на профильную плоскость Пз -- А'", В'", C'" .. на дополнительную плоскость 4 -- АIV , BIV , CIV ... 10. Проекции линий -- по проекциям точек, определяющих линию; кроме того: горизонтапьная линия -- буквой h; фронтальная линия -- буквой f; профильная линия -- буквой р. 11. Обозначение плоскостей, заданных следами: горизонтальный след плоскости  -- h0a; фронтальный след плоскости  -- foa; профильный след плоскости  -- oa В тех случаях, когда плоскость не требует наименования, обозначение следов упрощено - ho, fo, po". Для проецирующих плоскостей задается проекция плоскости: ' -- горизонтально-проецирующая плоскость; " -- фронтально-проецирующая плоскость;  '"-- профильно-проецирующая плоскость. Точки схода следов плоскости -- прописными буквами , ,  с индексом соответствую-щей плоскости: , У, . 12. При преoбaзoвaнии эпюра (чертежа) вращением (или совмещением) в новом поло- жении точки -- 0x01 graphic плоскости -- 0x01 graphic следов плоскости -- 0x01 graphic . После второго вращения соответственно . 0x01 graphic Новое положение точки схода следов при вращении плоскости a -- 0x01 graphic 13. Плоскость проекций (картинная плоскость) в аксонометрии -- буквой а, а проекция любого элемента на эту плоскость -- с индексом а. ВВЕДЕНИЕ В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм1). Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету. Начертательная геометрия, вызывая усиленную работу пространственного воображения, развивает его. Наконец, начертательная· геометрия передает ряд своих выводов в практику выполнения технических чертежей, обеспечивая их выразительность и точность, а следовательно; и возможность осуществления изображенных предметов. Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций 2). Рассмотрение метода проекций начинают с построения. проекций точки, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме. *) Пространственные формы можно изображать не только на плоской, но и на-какой-либо другой поверхности, например цилиндрической или сферической, что изучается в специальных отделах начертательной геометрии. 2) В основе этого слова латинское projectio -- бросание вперед, вдаль (от projicere-- бросить, выставить вперед). В дальнейшем изложении в смысле "построить проекции" будет применяться слово "проецировать", а не слово "проектировать", как это имело место раньше. ГЛАВА I ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ § 1. ПРОЕКЦИИ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ Для получения центральных проекций (центральное проецирование) надо задаться плоскостью проекций и центром проекций -- точкой, не лежащей в этой плоскости (рис. 1: плоскость 0 и точка S). Взяв некоторую точку А и проведя через S и А прямую линию до пересечения ее с пл. 0, получаем точку А°. Так же поступаем, например, с точками В и С. Точки А°, В°, С° являются центральными проекциями точек А, В, С на пл. 0: они получаются в пересечении проецирующих прямых (или, иначе, проецирующих лучей) SA, SB, SC с плоскостью проекций'). 0x01 graphic Если для некоторой точки D (рис. 1) проецирующая прямая окажется параллельной плоскости проекций, то принято считать, что они пересекаются, но в бесконечно удаленной точке: точка D также имеет свою проекцию, но бесконечно удаленную (D"). Не изменяя положения пл. 0 и взяв новый центр S1 (рис. 2), получаем новую проекцию точки А -- точку A°1 Если же взять центр S2 на той же проецирующей прямой SA, то проекция А° останется неизменной (А°" А°). Итак, при заданных плоскости проекций и центре проекций (рис. 1) можно построить проекцию точки; но имея проекцию (например, А°), нельзя по ней определить положение самой точки А в пространстве, так как любая точка проецирующей прямой SA проецируется в одну и ту же точку; для единственного решения, очевидно, необходимы дополнительные условия. Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность 2) *) Центр проекций называют также полюсом проекций, а центральную проекцию -- полярной. ) В связи с этим центральные проекции также называют коническими. Понятие о конической поверхности см. в стереометрии. 10 или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой ли-нии, не проходящей через центр проекций, или ломаной и кривой, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей). 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 3 Рис. 4 Очевидно, проекция линии получается в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью проекций (рис. 3). Но, как показывает рис. 4, проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций. От проецирования точки и линии можно перейти к проецированию поверхности и тела. § 2. ПРОЕКЦИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным. Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (см. стрелку на рис. 5). Так построенные проекции называются параллельными. Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален. Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 5 Рис. 6 Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию (рис. 6). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют цилиндрическую поверхность; поэтому параллельные проекции также называют цилиндрическими1). Понятие о цилиндрической поверхности см. в стереометрии. 11 В параллельных проекциях, так же как и в центральных: 1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой; 2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекцию; 3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая (рис. 5: точка D° служит проекцией точек D, D1, D2); 4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости (рис. 7: отрезок А°В° служит проекцией отрезков АВ и А1В1 и отрезка А2В2 плоской кривой линии); для единственного решения необходимы дополнительные условия; 5) для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию; 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 7 6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой (рис. 8: точка К принадлежит прямой, проекции К° принадлежит проекции этой прямой). Кроме перечисленных свойств для параллельных проекций можно указать еще следующие: 7) если прямая параллельна направлению проецирования (прямая АВ на рис. 8), то проекцией прямой (и любого ее отрезка) является точка (A°, она же В°); 8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную свою величину (рис. 8: CD = C°D°, как отрезки параллельных между параллельными). В дальнейшем будут рассмотрены еще некоторые свойства параллельных проекций, показывающие, какие натуральные соотношения в рассматриваемых предметах сохраняются в проекциях этих предметов. Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 90°; во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к пл. пр. При рассмотрении параллельных проекций следовало бы представить себя удаленным на бесконечно большое расстояние от изображения. На самом же деле предметы и их изображения рассматриваются с конечного расстояния; при этом лучи, идущие в глаз зрителя, образуют поверхность коническую, а не цилиндрическую. Следовательно, более естественное изображение получается (при соблюдении определенных условий) центральным проецированием, а не параллельным. Поэтому, когда требуется, чтобы изображение давало такое же зрительное впечатление, как и самый предмет, применяют перспективные проекции, в основе которых лежит центральное проецирование 1). 1) Перспективные проекции в программу данного курса не входят. Интересующихся отсылаем к книгам: Глаголев Н. А. Начертательная геометрия.- М: Гостехиздат, 1953; Добряков А. И. Курс начертательной геометрии.--М.: ГТТИ, 1931. 12 Но сравнительно большая простота построения и свойства параллельных проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений, объясняют широкое применение параллельного проецирования, несмотря на условность, указанную выше. § 3. МЕТОД МОНЖА Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого  о ц ж а, изданном в 1799 г. под названием "Geometric' descriptive". Гаспар Монж (1746--1818) вошел в историю как крупный французский геометр конца XVIII и начала XIX вв., инженер, общественный и государственный деятель в период революции 1789--1794 гг. и правления Наполеона I, один из основателей знаменитой Политехнической школы в Париже, участник работы по введению метрической системы мер и весов. Будучи одним из министров в революционном правительстве Франции, Монж много сделал для ее защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Монж не сразу получил возможность опубликовать свой труд с изложением разработанного им метода. Учитывая большое практическое значение этого метода для выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатание книги. Лишь в конце XVIII столетия это запрещение было снято. После реставрации Бурбонов Гаспар Монж подвергся гонению, вынужден был скрываться и кончил свою жизнь в нищете. Изложенный Мон-жем метод -- метод параллельного проецирования (причем берутся прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций) -- обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей. Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным из слов древнегреческого языка, обозначающих "прямой" и "угол". В дальнейшем изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях. В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции. В случае применения параллельных косоугольных проекций это будет каждый раз оговариваться. Начертательная геометрия (н. г.) стала предметом преподавания в нашей стране с 1810 г., когда в только что основанном Институте корпуса инженеров путей сообщения начались занятия наряду с другими дисциплинами учебного плана и по начертательной геометрии. Это было вызвано все возрастающим ее практическим значением. В Институте корпуса инженеров путей сообщения1) протекала преподавательская деятельность окончившего этот институт в 1814 г. Якова Александровича Севастьянова (1796--1849), с именем которого связано появление в России первых сочинений по н. г., сначала переводных с французского языка, а затем первого оригинального труда под названием "Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвященного изложению метода ортогональных проекций. 1) Теперь Петербургский государственный университет путей сообщения. Лекции Я. А. Севастьянов читал на русском языке, хотя преподавание в те годы вообще велось на французском языке. Тем самым Я. А. Севастьянов положил начало преподаванию и установлению терминологии в н. г. на родном языке. Еще при жизни Я. А. Севастьянова н. г. вошла в учебные планы ряда гражданских и военных учебных заведений. Крупный след в развитии н. г. в XIX столетии в России оставили Николай Иванович Макаров (1824--1904), преподававший этот предмет в Петербургском технологическом институте, и Валериан Иванович Курдюмов (1853--1904), который, будучи профессором Петербургского института инженеров путей сообщения по кафедре строительного искусства, читал в этом институте курс н. г. В своей практике преподавания В. И. Курдюмов приводит многочисленные примеры применения н. г. к решению инженерных задач. Деятельностью и трудами В. И. Курдюмова как бы завершился почти столетний период развития н. г. и ее преподавания в России. В этот период наибольшее внимание было уделено организации пртподавания, созданию трудов, предназначенных служить учебниками, разработке улучшенных приемов и способов решения ряда задач. Это были существенные и необходимые моменты в развитии преподавания н. г.; однако ее научное развитие отставало от достижений в области методики изложения предмета. Лишь в трудах В. И. Курдюмова теория получила более яркое отражение. Между тем в некоторых зарубежных странах в XIX столетии н. г. уже получила значительное научное развитие. Очевидно, для ликвидации отставания и для дальнейшего развития научного содержания н. г. необходимо было расширить ее теоретическую основу и обратиться  исследовательской работе. Это можно видеть в трудах и деятельности Евграфа Степановича Федорова (1853 -- 1919), знаменитого русского ученого, геометра-кристаллографа, и Николая Алексеевича Рынина (1877--1942), которые, уже в последние годы перед Великой Октябрьской социалистической революцией обратились к развитию начертательной геометрии как науки. К настоящему времени начертательная геометрия как наука получила значительное развитие в трудах советских ученых Н.А.Глаголева (1888--1945), А. И. Д обряк ова (1895-1947), Д. Д. Морду  аи-Бо л товск ого (1876-1952), М. Я. Громова (1884-1963), С. М. Колотова (1885-1965), Н. Ф. Четверухина (1891-1974), И. И. Котова (1909-1976) и многих других1). ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1 1. Как строится центральная проекция точки? 2. В каком случае центральная проекция прямой линии представляет собой точку? 3. В чем заключается способ проецирования, называемый параллельным? 4. Как строится параллельная проекция прямой линии? 5. Может ли параллельная проекция прямой линии представлять собой точку? 6. Если точка принадлежит данной прямой, то как взаимно располагаются их проекции? 7. В каком случае в параллельной проекции отрезок прямой линии проецируется в натуральную свою величину? 8. Что такое "метод Монжа"? 9. Как расшифровывается слово "ортогональный"? 1) Интересующихся более подробными сведениями отсылаем к 6--13-му изданиям или, например, к книге: Бубенников А. В., Громов М. Я. Начертательная геометрия.-- М.: Высшая школа, 1965. ГЛАВА II ТОЧКА И ПРЯМАЯ § 4. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1,2 Выше (§ 2) было сказано, что проекция точки не определяет положения точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за "плоскость нулевого уровня", и числовая отметка считается положительной, если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной, если точка ниже этой плоскости. На этом основан метод проекций с числовыми отметками 1). В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях проекций. На рис. 9 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой 1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой 2,-- вертикально. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций, пл. 1 называют горизонтальной плоскостью проекций. Плоскости проекций  и 2 образуют систему 1 ,2. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось проекций разделяет каждую из плоскостей 1 и 2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение  или обозначение в виде дроби 2/1. Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют обозначения 1 и 2. На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе 1, 2. Проведя из А перпендикуляры к  и 2, получаем проекции точки А: горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А". Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к 1 и 2, определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта плоскость в пересечении с  и 2 образует две взаимно перпендикулярные прямые А'АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций. Следовательно, проекции неко- 0x01 graphic 0x01 graphic рис.9 рис.10 1) Метод проекций с числовыми отметками в программу излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей. 15 торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 11 Рис. 12 Повернув пл.  вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А' расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей , и 2 получается чертеж, известный под названием эпюр1) (эпюр Монжа). Это чертеж в системе 1,2 (или в системе двух прямоугольных проекций). Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину, изображенную на рис. 10. Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ, перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое расстояние. Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции, получается возможность установить положение определяемой ими точки. 0x01 graphic Рис. 14 Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом -- чертеж: и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова "чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением (перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.). 1) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр" пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а женскому роду этого слова во французском языке. 16 § 5. ТОЧКА В СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1, 2, 3 В ряде построений и при решении задач оказывается необходимым вводить в систему 1; 2 и другие плоскости проекций. Известно, что в практике составления чертежей, например машин и их частей, чертеж преимущественно содержит не два, а большее число изображений. Рассмотрим введение в систему ^ 2 еще одной плоскости проекций (рис. 15): обозначенная буквой 3 плоскость перпендикулярна и к 1 и к 2. Ее называют профильной плоскостью проекций. Так же, как и пл. 2, пл. 3 расположена вертикально. Помимо оси проекций х, появляются еще оси z и у, перпендикулярные к оси х. Буквой О обозначена точка пересечения всех трех осей проекций. Так как ось х% 3, ось y% 2, ось z% 3 то в точке О совпадают проекции оси х на пл. 3, оси у на пл. 2 и оси z на пл. . На рис. 15 показана схема совмещения плоскостей 1, 2 и 3 в одну плоскость. Для оси у дано два положения (рис. 17). Наглядное изображение на рис. 16 и чертеж на рис. 18 содержат горизонтальную, фронтальную и профильную проекции некоторой точки A. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 15 Рис. 16 Рис.17 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20 Горизонтальная и фронтальная проекции (А1 и А") расположены на одном перпендикуляре к оси х- на линии связи А"А', фронтальная и профильная проекции (А" и А") -- на одном перпендикуляре к оси z - на линии связи А"А". Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной показано на рис. 17. Можно воспользоваться или дутой окружности, проводимой из точки О, или биссектрисой угла уОу. Расстояние точки А от пл.  измеряется на чертеже отрезком А"АХ или отрезком А'"Ау, расстояние от 2 -- отрезком А'АХ или отрезком А'"Аг, расстояние от 3 -- отрезком А'Ау или отрезком А"Аг. Поэтому проекцию А'" можно построить и так, как показано на рис. 18, т. е. откладывая на линии связи проекций А" и А" от оси z вправо отрезок, равный А'АХ. Такое построение предпочтительно. Расстояние от точки А до оси х (рис. 19) измеряется в пространстве отрезком ААХ. Но отрезок ААХ равен отрезку A'"O (см. с. 12, пункт 8). Поэтому для определени