у совершенным знанием (определенностью) относительно какой-либо категории, и "совершенством" самой категории -- очень скоро. Допустим, что мы намеренно модифицируем программу, передающую геометрию Евклида, так, что генератор виртуальной реальности по-прежнему будет передавать круги достаточно хорошо, но менее, чем совершенно. Разве мы не смогли бы сделать какой-либо вывод о совершенных кругах, ощущая эту несовершенную передачу? Это полностью зависело бы от того, знали бы мы, в каких отношениях была изменена программа или нет. Если бы мы это знали, мы могли бы с определенностью решить (за исключением грубых ошибок и т.д.), какие аспекты ощущений, полученных нами внутри машины, представляли совершенные круги точно, а какие неточно. И в этом случае знание, которое мы приобрели там, было бы так же надежно, как и любое знание, которое мы приобрели бы, используя правильную программу. Представляя круги, мы осуществляем передачу в виртуальной реальности почти такого же рода в своем мозге. Причина того, почему этот способ мышления о кругах не бесполезен, состоит в том, что мы можем создать точные теории о том, какими свойствами совершенных кругов обладают воображаемые нами круги, а какими нет. Используя совершенную передачу в виртуальной реальности, мы могли бы получить впечатление о шести идентичных кругах, которые касаются кромки седьмого идентичного им круга в плоскости, не перекрывая друг друга. Это впечатление при подобных обстоятельствах было бы эквивалентно точному доказательству возможности такой ситуации, потому что геометрические свойства переданных форм были бы абсолютно идентичны геометрическим свойствам абстрактных форм. Но такой вид "практического" взаимодействия с совершенными формами не способен дать всестороннее знание геометрии Евклида. Большая часть интересных теорем относится не к одной геометрической форме, а к бесконечным классам геометрических форм. Например, сумма углов любого треугольника Евклида равна 180°. Мы можем измерить отдельные треугольники с совершенной точностью в виртуальной реальности, но даже в виртуальной реальности мы не можем измерить все треугольники, и поэтому мы не можем проверить теорему. Как же мы можем ее проверить? Мы доказываем ее. Традиционно доказательство определяют как последовательность утверждений, удовлетворяющих самоочевидным правилам вывода, но чему физически эквивалентен процесс доказательства? Чтобы доказать утверждение о бесконечно большом количестве треугольников сразу, мы исследуем определенные физические объекты (в данном случае символы), которые обладают общими свойствами с целым классом треугольников. Например, когда при надлежащих обстоятельствах мы наблюдаем символы "rАВС=rDEF" (т. е. "треугольник АВС конгруэнтен треугольнику DEF"), мы делаем вывод, что все треугольники из какого-то определенного конкретным образом класса всегда имеют ту же самую форму, что и соответствующие им треугольники из другого класса, определенного иначе. "Надлежащие обстоятельства", которые придают этому выводу статус доказательства, заключаются, говоря языком физики, в том, что символы появляются на странице под другими символами (некоторые из которых представляют аксиомы геометрии Евклида), и порядок появления символов соответствует определенным правилам, а именно, правилам вывода. Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это все равно, что спросить, как следует запрограммировать генератор виртуальной реальности для передачи мира геометрии Евклида. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, для нашего лучшего понимания, заставят наши символы вести себя в уместной степени как абстрактные категории, которые они обозначают. Как мы можем быть уверены, что они будут вести себя именно так? А мы и не можем быть уверены в этом. Предположим, что некоторые критики возражают против наших правил вывода, потому что они считают, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных категорий. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (за исключением теоремы Геделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого метода доказательства, используемого нами). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, потому что наша интуиция говорит, что символы будут копировать абстрактные категории в совершенстве. Все, что мы можем сделать, -- это объяснить. Мы должны объяснить, почему мы думаем, что при определенных обстоятельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с высказанными нами правилами. А критики могут объяснить, почему они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Расхождение во мнениях относительно двух таких теорий -- это частично расхождение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. Такого рода расхождения могут быть адресованы нормальными методами науки. Иногда они легко разрешимы, а иногда -- нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуальный конфликт, связанный с природой самих абстрактных категорий. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяснениями не физических объектов, а абстрактных категорий. Либо мы придем к общему пониманию со своими критиками, либо согласимся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придем к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в противоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью исключительно методологических средств. На первый взгляд, характер традиционного символического доказательства кажется весьма отличным от характера "практического" виртуального доказательства. Но теперь мы видим, что они относятся друг к другу так же, как вычисления относятся к физическим экспериментам. Любой физический эксперимент можно рассматривать как вычисление, и любое вычисление -- как физический эксперимент. В обоих видах доказательства физическими категориями (независимо от того, находятся они в виртуальной реальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих видах доказательства физические категории представляют интересующие нас абстрактные категории. И в обоих случаях надежность доказательства зависит от истинности теории о том, что физические и абстрактные категории действительно имеют соответствующие свойства. Из вышеизложенного рассуждения также можно увидеть, что доказательство -- это физический процесс. В действительности, доказательство -- это разновидность вычисления. "Доказать" высказывание значит осуществить вычисление, которое, будучи выполненным правильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово "доказательство" для обозначения объекта, например, текста, написанного чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можно использовать в качестве программы для воссоздания вычисления соответствующего вида. Следовательно, ни математические теоремы, ни процесс математического доказательства, ни впечатление о математической интуиции не подтверждает никакую определенность. Ничто не подтверждает ее. Наше математическое знание, так же как и наше научное знание, может быть глубоким и широким, может быть неуловимым и удивительно объяснительным, может быть принятым без разногласий; но оно не может быть определенным. Никто не может гарантировать, что в доказательстве, которое ранее считалось обоснованным, однажды не обнаружат глубокое недоразумение, казавшееся естественным из-за ранее несомненного "самоочевидного" допущения о физическом мире, или об абстрактном мире, или об отношении некоторых физических и абстрактных категорий. Именно такое ошибочное, самоочевидное допущение привело к тому, что саму геометрию ошибочно классифицировали как раздел математики в течение двух тысячелетий, приблизительно с 300 года до н.э., когда Евклид написал свой труд "Элементы", до девятнадцатого века (а в некоторых словарях и школьных учебниках до сегодняшнего дня). Геометрия Евклида сформировала часть интуиции любого математика. В конечном счете, некоторые математики начали сомневаться в самоочевидности, в частности, одной из аксиом Евклида (так называемой "аксиомы о параллельных"). Сначала они не сомневались в истинности этой аксиомы. Говорят, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс был первым, кто подверг ее проверке. Аксиома о параллельных необходима при доказательстве того, что сумма углов треугольника составляет 180°. Легенда гласит, что в совершенной секретности (из-за боязни быть осмеянным) Гаусс разместил своих ассистентов с фонарями и теодолитами на вершинах трех холмов, чтобы вблизи измерить вершины самого большого треугольника. Он не обнаружил никаких отклонений от предсказаний Евклида, однако теперь мы знаем, что это произошло потому, что его инструменты не обладали достаточной чувствительностью. (С геометрической точки зрения окрестность Земли оказывается довольно пассивным местом). Общая теория относительности Эйнштейна включала новую теорию геометрии, которая противоречила геометрии Евклида и была доказана экспериментально. Сумма углов реального треугольника в действительности не обязательно составляет 180°: истинная сумма зависит от гравитационного поля внутри этого треугольника. Весьма похожая ошибочная классификация была вызвана фундаментальной ошибкой относительно самой природы математики, которую математики допускали с античных времен, а именно, что математическое знание более определенно, чем какая-либо другая форма знания. Такая ошибка не оставляет выбора классификации теории доказательства, кроме как части математики, поскольку математическая теорема не может быть определенной, если теория, подтверждающая метод ее доказательства, сама по себе неопределенна. Но как мы только что видели, теория доказательства не является разделом математики -- она является наукой. Доказательства не абстрактны. Не существует абстрактного доказательство чего-либо, так же, как не существует абстрактного вычисления чего-либо. Конечно, можно определить класс абстрактных категорий и назвать их "доказательствами", но эти "доказательства" не могут подтвердить математические утверждения, потому что их невозможно увидеть. Они могут убедить кого-либо в истинности высказывания не более, чем абстрактный генератор виртуальной реальности, который физически не существует, может убедить людей, что они находятся в другой среде, или абстрактный компьютер может разложить на множители число. Математическая "теория доказательств" не имела бы никакого отношения к тому, какие математические истины можно или нельзя доказать в действительности, точно так же, как теория абстрактного "вычисления" не имеет никакого отношения к тому, что математики -- или кто-то еще -- могут или не могут вычислить в реальности, по крайней мере, если не существует отдельной эмпирической причины считать, что абстрактные "вычисления" в этой теории похожи на реальные вычисления. Вычисления, включая и особые вычисления, квалифицируемые как доказательства, -- это физические процессы. Теория доказательств говорит о том, как обеспечить, чтобы эти процессы правильно имитировали абстрактные категории, которые они должны имитировать. Теоремы Геделя называли "первыми новыми теоремами чистой логики за две тысячи лет". Но это не так: теоремы Геделя говорят о том, что можно, а что нельзя доказать, а доказательство -- это физический Процесс. В теории доказательства нет ничего, что касалось бы только чистой логики. Новый способ доказательства Геделем общих утверждений о доказательствах зависит от определенных допущений о том, какие физические процессы могут или не могут представить абстрактный факт так. что наблюдатель сможет обнаружить его и убедиться, благодаря ему. Гедель перевел такие допущения в явное и выраженное невербально доказательство своих результатов. Его результаты были самоочевидно доказанными не потому, что были "чисто логическими", а потому, что математики нашли эти допущения самоочевидными. Одно из сделанных Геделем допущений было традиционным: доказательство может иметь только конечное число этапов. Интуитивное доказательство этого допущения состоит в том, что мы конечные существа и никогда не смогли бы постичь буквально бесконечное число утверждений. Кстати, именно эта интуиция стала причиной беспокойства многих математиков, когда в 1976 году Кеннет Эппел и Вольфганг Хакен использовали компьютер для доказательства знаменитой "гипотезы четырех цветов" (о том, что, используя всего четыре разных цвета, любую карту, нарисованную на плоскости, можно раскрасить так, что никакие два примыкающих района не будут иметь одинаковый цвет). Программа требовала сотни часов машинного времени, что означало, что этапы доказательства, если оно было бы записано, не смог бы прочитать ни один человек за много жизней, не говоря уже о том, чтобы признать его самоочевидным. "Следует ли воспринимать слово компьютера как то, что гипотеза четырех цветов доказана?" -- задавались вопросом скептики -- хотя им и в голову никогда не приходило составить каталог всех импульсов всех нейронов своего собственного мозга при принятии относительно "простого" доказательства. Такое же беспокойство может показаться более оправданным, будучи примененным к предполагаемому решению с бесконечным числом этапов. Но что такое "этап" и что такое "бесконечный"? В пятом веке до н.э. Зенон из Элеи на основе похожей интуиции пришел к выводу, Что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у черепахи будет преимущество на старте. Как-никак, к тому времени, когда Ахиллес поравняется с черепахой, она еще немножко продвинется вперед. К тому времени, когда он достигнет этой точки, она продвинется еще чуть-чуть и так до бесконечности. Таким образом, эта процедура "обгона" потребует от Ахиллеса выполнения бесконечного количества этапов обгона, которое он, будучи конечным существом, предположительно выполнить не сможет. Но то, что Ахиллес сможет сделать, невозможно обнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от того, что он сможет сделать в соответствии с управляющими законами физики. И если эти законы скажут, что он обгонит черепаху, то он ее обгонит. В соответствии с классической физикой обгон требует бесконечного количества этапов вида "переход на настоящее место нахождения черепахи". В этом смысле данное действие является вычислительно бесконечным. Точно так же, если рассматривать как доказательство то, что одна абстрактная величина становится больше другой при применении данного набора действий, то это доказательство с бесконечным количеством этапов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательство как физически конечный процесс -- и только это имеет значение. Интуиция Геделя относительно этапов и конечности, насколько нам известно, действительно накладывает некоторые физические ограничения на процесс доказательства. Квантовая теория требует дискретных этапов, и ни один из известных способов взаимодействия физических объектов не позволил бы бесконечному количеству этапов превзойти измеримый вывод. (Однако, могло бы оказаться возможным, что за всю историю вселенной было бы выполнено бесконечное количество этапов -- я объясню это в главе 14). Классическая физика, даже будь она истинной (что исключено), не согласилась бы с такого рода интуицией. Например, непрерывное движение классических систем предусмотрело бы "аналогичное" вычисление, в котором было бы не слишком много этапов и которое обладало бы репертуаром, существенно отличающимся от машины Тьюринга. Известны некоторые примеры хитросплетенных классических законов, в соответствии с которыми бесконечный объем вычислений (бесконечный в соответствии с нормами машины Тьюринга или квантового компьютера) можно было бы выполнить с помощью физически конечных методов. Безусловно, классическая физика несовместима с результатами бесчисленных экспериментов, поэтому размышление о том, какими "были бы" "действительные" классические законы физики, носит весьма искусственный характер: однако эти примеры показывают, что никто не может доказать, независимо от знания физики, что доказательство должно состоять из конечного числа этапов. Эти же соображения применимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода и что они должны быть "применимы напрямую". Ни одно из этих требований не имеет смысла для абстрактного: это физические требования. Гильберт в своем влиятельном эссе "On the Infinite" со знанием дела высмеял идею реальности требования "конечного количества ступеней". Однако вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование реально, и оно следует только из физической интуиции самого Гильберта и других математиков. По крайней мере, одно из направлений интуиции Геделя относительно доказательства, оказывается, было ошибочным; к счастью, это никак не влияет на доказательства его теорем. Он унаследовал это направление из предыстории греческой математики, и оно не вызывало сомнений ни у одного поколения математиков до тех пор, пока в 1908 году открытия в области квантовой теории вычислений не доказали его ложность. Это направление интуиции заключается в том, что доказательство -- это конкретная разновидность объекта, а именно, последовательность утверждений, которая подчиняется правилам вывода. Я уже говорил о том, что доказательство лучше рассматривать не как объект, а как процесс, разновидность вычислений. Однако в классической теории доказательства или вычисления это не делает фундаментальной разницы по следующей причине. Если мы можем пройти через процесс доказательства, мы можем только с небольшим дополнительным усилием вести запись всего важного, что происходит во время этого процесса. Эта запись, физический объект, составит доказательство в смысле последовательности утверждений. II наоборот, если бы у нас была такая запись, мы могли бы прочитать ее, проверить, удовлетворяет ли она правилам вывода, и в процессе этого мы докажем вывод. Другими словами, в классическом случае преобразование процессов доказательства и объектов доказательства -- это всегда легковычисляемая задача. Теперь давайте рассмотрим некоторое математическое вычисление, которое является трудновыполнимым на всех классических компьютерах, но предположим, что квантовый компьютер легко может выполнить это вычисление, задействовав интерференцию между, скажем. 10500 вселенными. Чтобы прояснить это, пусть вычисление будет таково, что ответ после его получения (в отличие от результата разложения на множители) невозможно будет проверить с помощью легкообрабатываемых вычислений. Процесс программирования квантового компьютера для получения вычислений такого рода, обработки программы и получения результата составляет доказательство того, что математическое вычисление имеет именно этот частный результат. Но в этом случае не существует способа записать все, что произошло во время процесса доказательства, потому что большая часть этого произошла в других вселенных, и измерение состояния вычисления изменило бы интерференционные свойства и тем самым лишило бы доказательство обоснованности. Таким образом, создание старомодного объекта доказательства было бы невозможно; более того, во вселенной, как мы ее знаем, далеко не достаточно материала, чтобы составить такой объект, поскольку в этом доказательстве этапов было бы больше, чем существует атомов в известной вселенной. Этот пример показывает, что из-за возможности квантового вычисления два понятия доказательства не эквивалентны. Интуиция доказательства как объекта не охватывает все способы, с помощью которых можно доказать математическое утверждение в реальности. И опять мы видим неадекватность традиционного математического метода получения определенности через попытки исключить каждый возможный источник неопределенности или ошибки из нашей интуиции до тех пор, пока не останется только самоочевидная истина. Именно это и сделал Гедель. Именно это делали Черч, Пост и особенно Тьюринг, когда они пытались интуитивно постичь свои универсальные модели вычисления. Тьюринг надеялся, что его абстрактная бумажная модель настолько проста, настолько открыта и четко определена, что не зависит ни от каких допущений относительно физики, которые можно было бы исказить постижимым образом, и, следовательно, она может стать основой абстрактной теории вычисления, независимой от лежащей в ее основе физики. "Он считал, -- как однажды выразился Фейнман, -- что он понял бумагу". Но он ошибался. Реальная, квантово-механическая бумага очень отличается от абстрактного материала, используемого машиной Тьюринга. Машина Тьюринга является всецело классической, она не принимает во внимание возможность того, что на бумаге могут быть написаны различные символы в различных вселенных и что они могут интерферировать друг с другом. Безусловно, искать интерференцию между различными состояниями бумажной центы непрактично. Но дело в том, что интуиция Тьюринга, из-за содержания в ней ложных допущений из классической физики, заставила его удалить те вычислительные свойства его гипотетической машины, которые он намеревался сохранить. Именно поэтому результирующая модель вычисления была неполной. Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательства и определенности, вполне естественны. Настоящее обсуждение имеет своей целью привести нас к ожиданию того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уверенность, с которой математики натыкались на эти ошибки, а также их неспособность признать даже возможность ошибки во всем этом, на Мой взгляд, связана с древней и широко распространенной путаницей между методами математики и ее предметом. Сейчас я поясню это. В отличие от отношений между физическими категориями, отношения между абстрактными категориями независимы от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они абсолютно и объективно определяются автономными свойствами самих абстрактных категорий. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким Образом, изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, Истины, изучаемые математикой, абсолютно определенны. Но это не говорит ни об определенности самого нашего знания этих необходимых истин, ни о том, что методы математики дают своим выводам необходимую им истинность. Как-никак, математика изучает еще и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными. Необходимая истина -- это всего лишь предмет математики, а не награда за то, что мы занимаемся математикой. Математическая определенность не является и не может являться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина, определенная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являться математическое объяснение. Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведет к выводам, которые, несмотря на их неопределенность. Можно принимать и без проблем применять, по крайней мере, в течение тысячи лет? В конечном счете, причина в том, что некоторая часть нашего знания физического мира столь же надежна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы также понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с абстрактными. Но, в принципе, надежность нашего знания математики остается второстепенной по отношению к нашему знанию физической реальности. Обоснованность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно правил, управляющих поведением каких-либо физических объектов, будь то генераторы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг. Таким образом, математическая интуиция -- это вид физической интуиции. Физическая интуиция -- набор эмпирических правил (некоторые из которых возможно врожденные, а большая часть -- развившиеся в детстве), о том, как ведет себя физический мир. Например, у нас есть интуиция существования физических объектов и того, что эти объекты обладают определенными свойствами: формой, цветом, весом и положением в пространстве, некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этими объектами не наблюдают. Другая интуиция заключается в том, что существует физическая переменная -- время -- по отношению к которой изменяются свойства, но, тем не менее, объекты способны сохранять свою идентичность с течением времени. Еще одна интуиция заключается в том, что объекты взаимодействуют и что это взаимодействие может изменить некоторые их свойства. Математическая интуиция описывает способ демонстрации свойств абстрактных категорий физическим миром. Одним из таких направлений интуиции является абстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежащее в основе поведения объектов. Интуицию, предполагающую, что пространство допускает замкнутые поверхности, отделяющие "внутреннюю часть" от "наружной части", можно уточнить, преобразовав ее в математическую интуицию множества, разделяющего все на члены и нечлены этого множества. Однако дальнейшее уточнение математиками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге) показало, что эта интуиция перестает быть точной, когда рассматриваемое множество содержит "слишком много" членов (слишком большую степень бесконечности членов). Даже если бы хоть какая-то физическая или математическая интуиция была врожденной, это не предоставило бы ей какого-то особого авторитета. Врожденную интуицию невозможно воспринимать как суррогат "воспоминаний" Платона о мире Форм. Ибо ложность многих направлений интуиции, которые случайно развились у людей в процессе эволюции, -- банальное наблюдение. Например, человеческий глаз и математическое обеспечение, которое им управляет, воплощают ложную теорию о том, что желтый свет состоит из смеси красного и зеленого света (в смысле, что желтый свет дает нам точно такое же ощущение как смесь красного и зеленого света). В реальности все три типа света имеют разные частоты и не могут быть созданы посредством смешивания света других частот. Тот факт, что смесь красного и зеленого света кажется нам желтым светом, не имеет ничего общего со свойствами света, но связан со свойствами наших глаз. Это результат компромисса, имевшего место на каком-то этапе отдаленной эволюции наших далеких предков. Существует только возможность (хотя я в нее не верю), что геометрия Евклида или логика Аристотеля каким-то образом встроены в структуру нашего мозга, как считал философ Иммануил Кант. Но это логически не означало бы их истинности. Даже если представить еще более невероятный случай, что у нас есть врожденная интуиция, от которой мы не в состоянии избавиться, такая интуиция, тем не менее, не стала бы необходимой истиной. Значит, реальность действительно имеет более объединенную структуру, чем это было бы возможно, если бы математическое знание можно было проверить с определенностью. А следовательно, ее структура -- это иерархия, как и считалось традиционно. Математические категории являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на область абстракций, о которой размышляли Платон и Пенроуз: несмотря на то, что по определению они неосязаемы, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от законов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрести знание об этой области. И она накладывает строгие ограничения. Тогда как в физической реальности постижимо все, постижимые математические истины в точности составляют бесконечно малое меньшинство, которое оказывается в точности соответствующим какой-то физической истине -- как тот факт, что если определенными символами, написанными чернилами на бумаге, манипулировать определенным образом, появятся другие определенные символы. То есть, это и есть те истины, которые можно передать в виртуальной реальности. У нас нет другого выбора, кроме как принять, что непостижимые математические категории тоже реальны, т.к. они сложным образом возникают в наших объяснениях постижимых категорий. Существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определенных абстрактных объектов. Таким образом, структура физической реальности дает нам окно в мир абстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченный диапазон перспектив. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например, натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся такими же важными или "фундаментальными" для абстрактного мира, какими глубокие законы природы являются для физического мира. Но эта видимость может ввести в заблуждение. Поскольку действительно мы видим только то, что некоторые абстрактные структуры фундаментальны по отношению к нашему пониманию абстракций, у нас нет никакой причины считать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Просто некоторые абстрактные категории ближе, чем другие, и их проще увидеть из нашего окна. ТЕРМИНОЛОГИЯ Математика -- изучение абсолютно необходимых истин. Доказательство -- способ установления истинности математических высказываний. (Традиционное определение): последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок, заканчивается желаемым выводом и удовлетворяет определенным "правилам вывода". (Лучшее определение): вычисление, моделирующее свойства какой-то абстрактной категории, результат которого устанавливает, что абстрактная категория обладает данным свойством. Математическая интуиция (традиционное) -- высший самоочевидный источник доказательства в математическом рассуждении. (Действительное): Множество теорий (осознанных и неосознанных) о поведении определенных физических объектов, поведение которых моделирует поведение интересных абстрактных категорий. Интуиционизм -- доктрина, связанная с тем, что все рассуждение об абстрактных категориях ненадежно, кроме того случая, когда оно основано на прямой самоочевидной интуиции. Это математическая версия солипсизма. Десятая задача Гильберта -- "раз и навсегда установить определенность математических методов", найдя набор правил вывода, достаточный для всех обоснованных доказательств, и затем доказать состоятельность этих правил в соответствии с их собственными нормами. Теорема Геделя о неполноте -- доказательство того, что десятая задача Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют обоснованные доказательства, которые эти правила не определяют как таковые. РЕЗЮМЕ Сложные и автономные абстрактные категории объективно существуют и являются частью структуры реальности. Существуют логически необходимые истины об этих категориях, которые и составляют предмет математики. Однако, эти истины невозможно знать определенно. Доказательства не дают их выводам определенность. Обоснованность конкретной формы доказательства зависит от истинности наших теорий о поведении объектов, с помощью которых мы осуществляем доказательство. Следовательно, математическое знание наследственно производно и полностью зависит от нашего знания физики. Постижимые математические истины -- это в точности то бесконечно малое меньшинство, которое можно передать в виртуальной реальности. Однако непостижимые математические категории (например, среды Кантгоуту) тоже существуют, т. к. они сложным образом появляются в наших объяснениях постижимых категорий. Я сказал, что вычисление всегда было квантовой концепцией, потому что классическая физика несовместима с интуицией, создавшей основу классической теории вычисления. То же самое относится ко времени. За тысячу лет до квантовой теории время было первой квантовой концепцией. Глава 11. Время: первая квантовая концепция Как движется к земле морской прибой, Так и ряды бессчетные минут, Сменяя предыдущие собой, Поочередно к вечности бегут. Уильям Шекспир (Сонет 60) Даже будучи одним из наиболее знакомых свойств физического мира, время имеет репутацию глубоко загадочного. Загадка -- часть самого понятия времени, с которым мы растем. Святой Августин, например, сказал: "Что же тогда есть время? Если никто не спросит меня, я знаю; если я захочу объяснить это тому, кто спросит, я не знаю". (Confessions) Мало кто считает, что расстояние загадочно, но то, что время загадочно, знают все. И вся загадочность времени проистекает из его основного логического свойства, а именно, что настоящий момент, который мы называем "сейчас", не стационарен, а постоянно движется в направлении будущего. Это движение называется потоком времени. Мы увидим, что потока времени не существует. Тем не менее, такое представление совершенно обыденно. Мы принимаем это как должное настолько, что это принимается в самой структуре нашего языка. В книге A Comprehensive Grammar of the English Language Рэндольф Квирк и его соавторы объясняют концепцию времени с помощью диаграммы, показанной на рисунке 11.1. Каждая точка на линии представляет конкретный стационарный момент. Треугольник "s" показывает, где на линии расположена "непрерывно движущаяся точка, настоящий момент". Считается, что она движется слева направо. Некоторые люди, как Шекспир в процитированном выше сонете, считают определенные события "стационарными", а саму линию движущейся мимо них (справа налево на рисунке 11.1), так что моменты из будущего проносятся мимо настоящего момента, чтобы стать прошлыми моментами. "время можно считать линией (теоретически, линией бесконечной длинны), на которой расположен, как постоянно движущаяся точка, настоящий момент. Все что находится перед настоящим моментом, - в будущем, все что находится за настоящим моментом, - в прошлом". Рис. 11.1. Общеизвестная концепция времени, принятая в английском языке (основанная на Квирк и др. A Comprehensive Grammar of the English Language, . 175) Рис. 11.2. Движущийся объект как последовательность "снимков", которые один за другим становятся настоящим моментом Что мы подразумеваем под высказыванием "время можно считать линией"? Мы подразумеваем, что точно так же, как линию можно считать последовательностью точек в различных положениях, так и любой движущийся или изменяющийся объект можно считать последовательностью неподвижных вариантов "снимков" самого себя, по одному варианту в каждый момент. Сказать, что каждая точка линии представляет конкретный момент, все равно, что сказать, что можно представить все снимки собранными вдоль линии, как на рисунке 11.2. Некоторые из них показывают вращающуюся стрелку, какой она была в прошлом, Другие показывают, какой она будет в будущем, а один из них -- тот, на который сейчас показывает движущийся s -- показывает стрелку такой, какая она сейчас, хотя через мгновение этот конкретный вариант стрелки будет в прошлом, потому что s передвинется. Совокупность мгновенных вариантов объекта является движущимся объектом в том же смысле, в каком последовательность неподвижных картинок, спроецированных на экран, в совокупности является фильмом (движущейся картинкой). Ни одна из них в отдельности не изменяется. Изменение состоит в том, что в последовательности на них указывает ("освещает") движущийся s ("кинопроектор"), так что друг за другом, по очереди они оказываются в настоящем моменте. Современные грамматисты стараются не давать субъективных оценок использования языка; они стараются только записывать, анализировать и понимать. Следовательно, Квирка и др. никак нельзя обвинить в качестве теории времени, описываемой ими. Они не претендуют на то, что это хорошая теория. Они претендуют только на то, и, по-моему, довольно правильно, что это наша теория. К сожалению, эта теория не хороша. Скажем прямо, причина того, что теория времени изначально загадочна, в том, что она изначально бессмысленна. Дело не совсем в том, что она фактически неточна. Мы увидим, что она не имеет смысла даже сама по себе. Возможно, вас это удивит. Мы привыкли видоизменять свой здравый смысл, чтобы приспособиться к научным открытиям. Здравый смысл часто оказывается ложным, даже крайне ложным. Но для здравого смысла необычно быть бессмысленным в том, что касается повседневного опыта. Тем не менее, именно это и произошло в данном случае. Рассмотрим снова рисунок 11.2. Он иллюстрирует движение двух объектов. Один из них -- это вращающаяся стрелка, показанная в виде последовательности снимков. Другой -- движущийся "настоящий момент", который перемещается по картинке слева направо. Однако движение настоящего момента не показано на картинке в виде последовательности снимков. Вместо этого один конкретный момент выделен с помощью s, более темных линий и единственной надписи "(сейчас)". Таким образом, даже несмотря на то, что надпись гласит, что "сейчас" движется по картинке, показан только один его снимок, в один конкретный момент. Почему? Как-никак, основная цель этого рисунка -- показать, что происходит не в один момент, а за более длительный период. Если бы мы хотели, чтобы на рисунке был показан только один момент, нам было бы достаточно показать только один снимок вращающейся стрелки. Рисунок должен иллюстрировать разумную теорию о том, что любой движущийся или изменяющийся объект является последовательностью снимков, по одному снимку на каждый момент. Таким образом, если движется s, почему мы не показываем последовательность и его снимков? Один показанный снимок, должно быть, только один из множества снимков, которые существовали бы, если бы этот рисунок точно описывал принцип действия времени. В действительности, в таком виде этот рисунок определенно вводит в заблуждение: он показывает, что s не движется, а скорее начинает существовать в конкретный момент, а потом немедленно прекращает свое существование. Если бы это было так, это сделало бы "сейчас" стационарным моментом. Ничего не значит добавленная мной надпись "Движение настоящего момента" и штрихпунктирная линия, которая показывает, что s движется вправо. Сам рисунок, так же, как и диаграмма Квирк и др. (рисунок 11.1), показывает, что s никогда не достигнет момента, отличного от выделенного. В лучшем случае, можно было сказать, что рисунок 11.2 -- это рисунок-гибрид, который искаженно иллюстрирует движение двумя различными способами. В отношении движущейся стрелки он иллюстрирует теорию времени. Однако рисунок просто утверждает, что настоящий момент движется, при этом показывая, что он не движется. Как нам следует изменить рисунок, чтобы он проиллюстрировал теорию времени относительно движения настоящего момента так же, как и движения стрелки? Включив другие снимки "s", по одному на каждый момент: каждый снимок будет обозначать, где в этот момент находится "сейчас". А где оно находится? Очевидно, что в каждый момент "сейчас" является этим самым моме