="100" alt="0x01 graphic" src="gordon-159.png">


     65
     прЯмые Ђ‚ и  Ђ‘ первой плоскости пересекают  пл. , т.е. точки Љ  и Љг
принадлежат, обеим плоскостЯм.
     ‘ледовательно,  в общем  случае длЯ  построениЯ  линии пересечениЯ двух
плоскостей надо найти какие-либо две точки, комедиЯ  из которых  принадлежит
обеим плоскостЯм; эти точки определЯют линию пересечениЯ плоскостей.
     „лЯ  нахождениЯ  каждой из таких двух точек обычно приходитсЯ выполнЯть
специальные построениЯ.  Ќо  если хотЯ бы одна из пересекающихсЯ  плоскостей
перпендикулЯрна  к  плоскости   проекций,  то   построение  проекций   линии
пересечениЯ упрощаетсЯ. Ќачнем с такого случаЯ.
     Ќа  рис. 164 показано пересечение  двух  плоскостей,  из  которых  одна
(заданнаЯ треугольником DEF) расположена перпендикулЯрно к  пл.  п2. ’ак как
треуголь-шк,Ћ…ђ проецируетсЯ  на  пл.  2  в  виде прЯмой  линии (D"F"),  то
фронтальнаЯ   проекциЯ  отрезка   прЯмой,   по  которому   пересекаютсЯ  оба
треугольника, представлЯет собой отрезок Љ'[Љ'2 на проекции D"F". „альнейшее
построение Ясно из чертежа.
     <img width="145" height="213" alt="0x01 graphic" src="gordon-160.png">
     <img width="143" height="187" alt="0x01 graphic" src="gordon-161.png">

     ђис. 165
     „ругой пример  дан на рис. 165.  ѓоризонтально-проецирующаЯ плоскость 
пересекает  плоскость  треугольника  ABC.  ѓоризонтальнаЯ   проекциЯ   линии
пересечениЯ этих плоскостей -- отрезок M'N' -- определЯетсЯ на следе '.
     ’еперь  рассмотрим  общий  случай  построениЯ  линии  пересечениЯ  двух
плоскостей.  Џусть  одна  из  плоскостей,  ,  задана двумЯ  пересекающимисЯ
прЯмыми,  а другаЯ, ,-- двумЯ параллельными прЯмыми. Џостроение показано на
рис. 166.  ‚  результате  взаимного  пересечениЯ  плоскостей   и  получена
прЯмаЯ Љ1Љ2. ‚ыразим это записью:  · = 12·
     „лЯ  определениЯ положениЯ точек Љ1  и  Љ2 возьмем  две вспомогательные
фронтально-проецирующие  плоскости  (  1,  и  2),  пересекающие каждую  из
плоскостей  и  . Џри пересечении плоскостей  и    плоскостью 1 получаем
прЯмые с проекциЯми 1"2", 1'2' и 3"4", 3'4'. ќти прЯмые, расположенные в пл.
 1, в своем  пересечении определЯют  первую  точку,  Љ1, линии  пересечениЯ
плоскостей  и .
     ‚ведЯ, далее,  пл. 2, получаем в  ее пересечении  с   и    прЯмые  с
проекциЯми  5"б", 5'6' и 7"8", 7'8'. ќти  прЯмые, расположенные в  пл. а2, в
своем пересечении определЯют вторую точку, Љ2, общую длЯ  и .
     Џолучив   проекции  Љ1<sup>'</sup>   и  Љ'2,   находим   на  следах   
<sup>"</sup>1 и    <sup>"</sup>2 проекции Љ<sup>"</sup>1 и Љ <sup>"</sup>2.
ќтим определЯютсЯ проекции Љ<sup>'</sup>1Љ <sup>'</sup>2 и Љ"1Љ<sup>"</sup>2
искомой   прЯмой  пересечениЯ  плоскостей      и     (проекции   проведены
штрихпунктирной линией).


     66


     Џри построении можно <b>иметь в</b> виду  следующее: <b>так  как</b>  вспомогательные
секущие плоскости   1 <b>и  2</b>  взаимно  параллельны,  то,  построив  проекции
1<sup>'</sup>2<b>',</b>  и <b>3'4',</b> следует длЯ  проекций  <b>5'6' и  7'8' взЯть</b> по одной
точке, хотЯ бы <b>5</b> и 8, так как <b>5'6' || ѓ2' и 7'8' % 3'4'.</b>
     <b>‚</b> рассмотренном  построении были  взЯты в качестве  вспомогательных две
фронтально-проецирующие  плоскости.   Љонечно,  можно   было  взЯть  <b>и</b>  иные
плоскости,  например  две горизонтальные  или  одну  горизонтальную,  другую
фронтальную <b>и</b> т. д.  ‘ущность построений от этого <b>не</b> менЯетсЯ.  Ћднако может
встретитьсЯ такой случай. Џоложим, что были взЯты <b>в</b> качестве вспомогательных
<b>две</b> горизонтальные плоскости <b>и</b> полученные при пересечении ими
     <img width="290" height="370" alt="0x01 graphic" src="gordon-162.png">

     плоскостей  и   горизонтали оказались взаимно параллельными. Ќо  рис.
167 показывает, что   и  пересекаютсЯ  между  собой,  хотЯ  их горизонтали
параллельны.  ‘ледовательно,  получив  взаимно  параллельные  горизонтальные
проекции горизонталей AB и CD и знаЯ, что плоскости  при этом не обЯзательно
параллельны,  а могут  пересекатьсЯ (по  общей  длЯ  них  горизонтали), надо
испытать  плоскости   и   при  помощи хотЯ  бы  горизонтально-проецирующей
плоскости (см.  рис.  167);  если  прЯмые,  по  которым  эта вспомогательнаЯ
плоскость  пересечет  и , также оказались  бы параллельны одна другой, то
плоскости  и  не пересекаютсЯ, а параллельны одна другой. Ќа рис. 167  эти
прЯмые пересекаютсЯ в точке Љ, через  которую  и  проходит линиЯ пересечениЯ
плоскостей  и  параллельно прЯмым BA и CD.
     …сли плоскости заданы их следами на плоскостЯх проекций, то естественно
искать   точки,  определЯющие   прЯмую   пересечениЯ  плоскостей,  в  точках
пересечениЯ одноименных  следов плоскостей  (рис.  168): прЯмаЯ,  проходЯщаЯ
через эти  точки,  ЯвлЯетсЯ  общей  длЯ  обеих плоскостей, т. е.  их  линией
пересечениЯ.


     67


     ‘хему  построениЯ  линии  пересечениЯ  двух плоскостей  (см. рис.  166)
можно,  конечно, распространить и  на случай заданиЯ  плоскостей их следами.
‡десь  роль  вспомогательных  секущих плоскостей  исполнЯют  сами  плоскости
проекций:
     <img width="225" height="35" alt="0x01 graphic" src="gordon-163.png">

     ’очки пересечениЯ одноименных следов плоскостей ЯвлЯютсЯ  следами линии
пересечениЯ   этих  плоскостей.   Џоэтому   длЯ  построениЯ  проекций  линии
пересечениЯ плоскостей   (рис. 168) надо: 1) найти точку Њ' в пересечении
следов h'0 и h'0


     <img width="350" height="147" alt="0x01 graphic" src="gordon-164.png">

     <img width="306" height="157" alt="0x01 graphic" src="gordon-165.png">

     ђис. 171
     и точку N"  в пересечении f"o и f"o, а по ним -- проекции Њ" и N'; 2)
провести прЯмые линии M"N" и M'N'.
     Ќа рис. 169--171  показаны  случаи,  когда  известно  направление линии
пересечениЯ. Џоэтому достаточно  иметь лишь одну точку от пересечениЯ следов
и далее провести через эту точку прЯмую, исходЯ из положениЯ плоскостей и их
следов.

     <b>‚ЋЏђЋ‘› Љ</b> §§ 22-24

     1. Љакое взаимное положение могут занимать две плоскости?
     2. Љаков признак параллельности двух плоскостей?
     3. Љак взаимно располагаютсЯ фронтальные  следы двух параллельных между
собой фронтально-проецирующих плоскостей?


     68


     4.  Љак  взаимно  располагаютсЯ горизонтальные следы  двух параллельных
между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
     5. Љак взаимно располагаютсЯ одноименные следы  двух параллельных между
собой плоскостей?
     6.   ‘лужит  ли  признаком   взаимного   пересечениЯ  двух   плоскостей
пересечение хотЯ бы одной пары их одноименных следов?
     7. Љак установить взаимное положение прЯмой и плоскости?
     8.  Љак  строитсЯ   точка  пересечениЯ  прЯмой   линии   ч  плоскостью,
перпендикулЯрной к одной или к двум плоскостЯм проекций?
     9. ЉакаЯ точка из числа расположенных на общем  перпендикулЯре к а) пл.
, б) пл. bj считаетсЯ видимой соответственно на , на 2?
        10.</b> Љак строитсЯ <b>линиЯ</b> пересечениЯ двух плоскостей, <b>из</b> которых <b>хотЯ  бы
одна перпендикулЯрна <b>Љ Џ‹. 1 €‹€ Љ Џ‹.  2?</b>
     ‚  чем  заключаетсЯ  общий  способ  построениЯ  линии пересечениЯ  двух
плоскостей?

        § 25. Џ…ђ…‘…—…Ќ€… ЏђџЊЋ‰ ‹€Ќ€€ ‘ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’њћ ЋЃ™…ѓЋ ЏЋ‹Ћ†…Ќ€џ

     „лЯ построениЯ точки  пересечениЯ прЯмой с плоскостью общего  положениЯ
надо выполнить следующее (рис. 158):
     1)  через   данную  прЯмую  (Ђ‚)   провести  некоторую  вспомогательную
плоскость (ос),
     2)   построить   прЯмую   ()  пересечениЯ   плоскости  данной  ()  и
вспомогательной (ос),
     3)  определить положение  точки (Љ) пересечениЯ прЯмых -- данной (Ђ‚) и
построенной ().
     Ќа  рис.  172   показано  построение  точки  пересечениЯ  прЯмой  FK  с
плоскостью общего положениЯ, заданной двумЯ пересекающимисЯ прЯмыми Ђ‚ и CD,
     <img width="119" height="204" alt="0x01 graphic" src="gordon-166.png">
     <img width="106" height="175" alt="0x01 graphic" src="gordon-167.png">

     ђис. 172 ђис. 173
     —ерез  прЯмую  FK   проведена  вспомогательнаЯ  фронтально-проецирующаЯ
плоскость  .  ‚ыбор фронтально-проецирующей плоскости объЯснЯетсЯ удобством
построениЯ  точек пересечениЯ  ее  фронтального  следа  с проекциЯми  Ђ"‚" и
‘<sup>"</sup>D". Џо точкам Њ" и " найдены горизонтальные проекции Њ' и ' и
тем самым определена  прЯмаЯ , по которой вспомогательнаЯ пл.  пересекает
данную пл.  . ‡атем найдена  точка  Љ', в которой  горизонтальнаЯ  проекциЯ
прЯмой непосредственно или


     69


     при своем  продолжении пересекает  проекцию  M'N'. Џосле этого остаетсЯ
найти фронтальную проекцию точки пересечениЯ -- точку Љ".
     Ќа  рис.  173   показано  построение  точки  пересечениЯ  прЯмой  MN  с
плоскостью,  заданной  треугольником  ABC. •од построениЯ не  отличаетсЯ  от
рассмотренного    на   рис.   172.   Ќо   вспомогательнаЯ   (на   этот   раз
горизонтально-проецирующаЯ) плоскость в данном .случае указана  только одним
следом ', проходЯщим через  проекцию  M'N'. Џл.  пересекает ABC no  прЯмой
DE.   Ќо    можно   обойтись   и   без   ':   мысленно   представлЯЯ   себе
вспомогательную.горизонтально-проецирующую  плоскость, проходЯщую  через ,
выражаем проекциЯми E'D' и E"D" отрезок ED, по которому проведеннаЯ через MN
горизонтально-проецирующаЯ плоскость пересекает треугольник.
     ‘читаЯ,  что в пространстве  заданы прЯмаЯ и  непрозрачный треугольник,
определим видимые и невидимые части прЯмой MN относительно плоскостей   1 и
2.
     ‚ точке  на пл.  1 совмещаютсЯ горизонтальные проекции двух точек, из
которых одна принадлежит  прЯмой MN (фронтальнаЯ проекциЯ E"1), а  другаЯ --
стороне треугольника Ђ ‘ (фронтальнаЯ проекциЯ E").
     €з  расположениЯ  фронтальных проекций …'1 и …" следует, что на участке
ЉЊ прЯмаЯ находитсЯ  над  треугольником и, следовательно,  на горизонтальной
проекции отрезок Њ'Љ' -- весь видимый, а отрезок K'D' -- невидимый.
     Ќа  фронтальной  проекции в  точке  F" совмещаютсЯ фронтальные проекции
двух точек, из  которых одна  принадлежит  прЯмой  MN, а другаЯ  --  стороне
треугольника Ђ‚. Џо расположению горизонтальных проекций F'  и F( заключаем,
что прЯмаЯ MN на участке  Љ находитсЯ за треугольником и, следовательно, на
фронтальной проекции отрезок F"K" -- невидимый, а отрезок K"N" -- видимый.
     Ќа рис. 174--  176 даны примеры  построениЯ точки пересечениЯ прЯмой  с
плоскостью  общего  положениЯ,  выраженной  следами. ‚ первом примере  через
прЯмую AB проведена горизонтально-проецирующаЯ пл. , а во втором (рис. 175)
-- горизонтальнаЯ плоскость,  что  оказалось 'возможным сделать,  так  как в
этом примере прЯмаЯ AB -- горизонтальнаЯ.
     <img width="93" height="140" alt="0x01 graphic" src="gordon-168.png">
     <img width="104" height="113" alt="0x01 graphic" src="gordon-169.png">
     <img width="88" height="120" alt="0x01 graphic" src="gordon-170.png">

     ђис. 176
     €зображеннаЯ   на  рис.   176   прЯмаЯ   перпендикулЯрна   к   пл.  ,.
ѓоризонтальные  проекции  всех точек  этой  прЯмой  сливаютсЯ в одну  точку.
‘ледовательно, положение проекции Љ' искомой точки пересечениЯ прЯмой  AB  с
пл.  известно. Џоложение проекции Љ" определено при помощи горизонтали.

     <b>§  26.   ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€…  ‹€Ќ€€   Џ…ђ…‘…—…Ќ€џ   „‚“•</b>  Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰  ЏЋ  ’Ћ—ЉЂЊ
Џ…ђ…‘…—…Ќ€џ <b>ЏђџЊ›• ‹€Ќ€‰</b> ‘ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’њћ

     ‚ §  24 был  изложен  общий  способ построениЯ линии,  пересечениЯ двух
плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис.
166). ђассмотрим теперь  другой способ  построениЯ в применении к плоскостЯм
общего  положениЯ.  ќтот  способ  заключаетсЯ    том,  что   находЯт  точки
пересечениЯ двух


     70


     прЯмых,  принадлежащих  одной  из  плоскостей,   с  другой  плоскостью.
‘ледовательно,  надо  уметь   строить  точку  пересечениЯ  прЯмой  линии   с
плоскостью общего положениЯ, что изложено в § 25.
     Ќа рис. 177 показано  пересечение треугольника ABC плоскостью, заданной
двумЯ  параллельными прЯмыми  (DE \\ FG).  Џостроение  свелось к  построению
точек ki и Љ2, в которых прЯмые DE и F G пересекают плоскость  треугольника,
и  к проведению через эти точки отрезка прЯмой линии.  ЏредставлЯЯ себе, что
через  DE  и  FG   проведены   фронтально-проецирующие  плоскости,   находим
параллельные  прЯмые, по  которым эти плоскости пересекают треугольник. Ћдна
из них выражена проекциЯми 1' 2' и 1" 2"; длЯ другой показана одна точка 3",
3',  через  горизонтальную  проекцию  которой проведена  прЯмаЯ  параллельно
проекции 1 2'. Ћпределив положение проекций  и Љ'2, находим проекции Љ'[ и
Љ2 и проекции отр. Љ1Љ2.
     Љонечно, и в рассмотренном случае применим общий способ (см. рис. 166),
но пришлось бы провести больше линий, чем это сделано на рис. 177.
     Ќа  рис. 178 дано построение линии пересечениЯ двух треугольников ABC и
DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников.
     ЏрЯмаЯ KiK2 построена по точкам пересечениЯ сторон Ђ‘ и ‚‘ треугольника
ABC с плоскостью  треугольника DEF. ‚спомогательнаЯ  фронтально-проецирующаЯ
плоскость,  проведеннаЯ  через  Ђ  ‘  (на  чфтеже  эта  плоскость  особо  не
обозначена),  пересекает треугольник DEF по прЯмой с проекциЯми 1"2" и 1'2';
в пересечении проекций Ђ'‘' и 1'2' получена горизонтальнаЯ проекциЯ точки Kt
пересечениЯ  прЯмой Ђ‘  и  треугольника  DEF,  затем  построена  фронтальнаЯ
проекциЯ Љ"1. ’ак же .найдена и точка Љ2,
     ‚ примерах на рис. 177  и  178 мы встретились с  вопросом  о разделении
плоских  фигур  на части, видимые и невидимые длЯ зрителЯ, так как плоскости
считаютсЯ
     <img width="170" height="230" alt="0x01 graphic" src="gordon-171.png">

     с<img width="142" height="184" alt="0x01 graphic" src="gordon-172.png">
     ( -.·-<img width="151" height="173" alt="0x01 graphic" src="gordon-173.png">

     ђис.178 ђис.179


     непрозрачными.  Ќа   чертежах   это  показано   при  помощи   штриховки
соответствующих частей треугольников ABC. ‚идимость определена на  основании
таких же рассуждений, какие  имели место в  примере,  рассмотренном  на рис.
173.
     Ќа рис. 179 приведен еще один пример  построениЯ линии пересечениЯ двух
треугольников.  ‚ данном случае  с одинаковым  основанием можно считать, что
треугольник ABC проходит в прорезь в  треугольнике DEF  или треугольник  DEF
проходит  в прорезь  в  треугольнике ABC: надо  лишь  условитьсЯ, в каком из
треугольников  считать  эту  прорезь по  прЯмой ЉгЉ2.  Њежду  тем в  случае,
приведенном на рис. 178, прорезь только в треугольнике DEF и треугольник ABC
проходит через нее.
     ‘амое построение на рис. 179 сводитсЯ к нахождению точки Љ, и точки N 2
при помощи фронтально-проецирующих плоскостей 1, и 2.
     ‘ледует еще раз обратить внимание на то, что применение штриховых линий
вместо сплошных,  например  на рис. 159, 161, 164, 165, 173--179, подсказано
желанием сделать изображениЯ  более  наглЯдными. …сли исходить  из понЯтиЯ о
проекции  как   геометрическом  образе,  то  вопрос  о  "прозрачности"   или
"непрозрачности", о "видимости"  и "невидимости" отпал бы:  все надо было бы
изображать сплошными линиЯми. Ќо длЯ приданиЯ чертежам  наглЯдности  введены
некоторые условности, в том числе штриховые линии.

     <b>‚ЋЏђЋ‘› Љ</b> §§ 25-26

     1. ‚ чем заключаетсЯ в общем случае способ построениЯ точки пересечениЯ
прЯмой с, плоскостью?
     2.  Љакие  действиЯ и  в  какой последовательности  надо выполнить  длЯ
построениЯ этой точки (см. вопрос 1)?
     3. Љак определить "видимость" при пересечении прЯмой с плоскостью?
     4.  Љак  можно  построить прЯмую пересечениЯ двух  плоскостей,  если не
применЯть общего способа, описанного в § 24?
     5. Љак  определить  "видимость"  в  случае  взаимного  пересечениЯ двух
плоскостей?
     6. —ем отличаютсЯ случаи, рассмотренные на рис. 178 и 179?

     <b>§ 27.</b> ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€… <b>ЏђџЊЋ‰ ‹€Ќ€€ €</b> Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’€, <b>ЏЂђЂ‹‹…‹њЌ›• Њ…†„“</b> ‘ЋЃЋ‰

     Џостроение   прЯмой,  параллельной  заданной  плоскости,   основано  на
следующем положении,  известном из геометрии:  прЯмаЯ параллельна плоскости,
если эта прЯмаЯ параллельна любой прЯмой в плоскости.
     —ерез  заданную  точку  в  пространстве   можно  провести  бесчисленное
множество  прЯмых  линий, параллельных  заданной  плоскости:  „лЯ  получениЯ
единственного решениЯ требуетсЯ какое-нибудь дополнительное условие.
     Ќапример,  через   точку     (рис.  180)  требуетсЯ  провести  прЯмую,
параллельную плоскости, заданной треугольником ABC, и плоскости  проекций !
(дополнительное условие).
     Ћчевидно,  искомаЯ  прЯмаЯ  должна  быть  параллельна линии пересечениЯ
обеих  плоскостей,  т.е.  должна  быть  параллельна   горизонтальному  следу
плоскости,  заданной  треугольником  ABC.  „лЯ определениЯ направлениЯ этого
следа можно воспользоватьсЯ  горизонталью плоскости,  заданной треугольником
ABC.  Ќа рис. 180 проведена горизонталь DC и  затем  через точку M проведена
прЯмаЯ, параллельнаЯ этой горизонтали.
     Џоставим обратную задачу:  через  заданную  точку  провести  плоскость,
параллельную  заданной прЯмой  линии. Џлоскости, проходЯщие через  некоторую
точку  Ђ  параллельно некоторой  прЯмой ‚‘, образуют  пучок плоскостей, осью
которого  ЯвлЯетсЯ прЯмаЯ, проходЯщаЯ через точку Ђ  параллельно прЯмой  ‚‘.
„лЯ  получениЯ  единственного  решениЯ  требуетсЯ какое-либо  дополнительное
условие.


     72


     Ќапример, надо  провести  плоскость,  параллельную прЯмой CD, не  через
точку, а через прЯмую  Ђ‚ (рис. 181). ЏрЯмые Ђ‚ и CD - скрещивающиесЯ.  …сли
через  одну  из  двух  скрещивающихсЯ прЯмых  требуетсЯ  провести плоскость,
параллель-
     <img width="160" height="133" alt="0x01 graphic" src="gordon-174.png">
     <img width="103" height="94" alt="0x01 graphic" src="gordon-175.png">

     ђис. 180 ђис. <b>181</b>
     ную  другой,  то  задача  имеет  единственное  решение.  —ерез точку  ‚
проведена  прЯмаЯ,  параллельнаЯ  прЯмой  CD;  прЯмые  Ђ‚  и  BE  определЯют
плоскость, параллельную прЯмой CD.

     Љак установить, параллельна ли даннаЯ прЯмаЯ данной плоскости?
     Њожно попытатьсЯ провести в этой плоскости некоторую прЯмую параллельно
данной  прЯмой. …сли  такую  прЯмую  в  плоскости не  удаетсЯ  построить, то
заданные прЯмаЯ и плоскость не параллельны между собой.
     Њожно попытатьсЯ  найти также  точку пересечениЯ данной прЯмой с данной
плоскостью. …сли  такаЯ точка не  может  быть найдена,, то заданные прЯмаЯ и
плоскость взаимно параллельны.

     <b>§ 28. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€… ‚‡Ђ€ЊЌЋ ЏЂђЂ‹‹…‹њЌ›•</b> Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰

     Џусть   даетсЯ  точка  Љ,  через   которую   надо  провести  плоскость,
параллельную некоторой плоскости,  заданной  пересекающимисЯ прЯмыми AF и BF
(рис. 182).
     Ћчевидно, если  через точку  Љ провести прЯмые  ‘Љ и DK, соответственно
параллельные прЯмым  AF и BF, то плоскость, определЯемаЯ  прЯмыми  ‘Љ и  DK,
окажетсЯ параллельной заданной плоскости.
     „ругой  пример  построениЯ  дан  на  рис.  183  справа.  —ерез точку  A
проведена пл.  параллельно пл. а. ‘начала  через точку Ђ  проведена прЯмаЯ,
заведомо  параллельнаЯ  пл.  . ќто  горизонталь  с проекциЯми  "" и '',
причем A'N'\\ h<sup>'</sup>o. ’аk
     <img width="117" height="111" alt="0x01 graphic" src="gordon-176.png">
     <img width="215" height="107" alt="0x01 graphic" src="gordon-177.png">

     ђис. 182 ђис. 183
     как  точка N ЯвлЯетсЯ фронтальным  следом горизонтали AN, то через  эту
точку пройдет след f"o% f"o,, а через • - след h'o ||  h'o. Џлоскости 
и  взаимно параллельны, так как их одноименные пересекающиесЯ следы взаимно
параллельны.


     73


     Ќа  рис. 184 изображены две параллельные  между собой плоскости -- одна
га них задана треугольником  ‹‚‘, другаЯ -- параллельными  прЯмыми DE  и FG.
—ем же устанавливаетсЯ параллельность этих плоскостей? ’ем, что в плоскости,
заданной прЯмыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиесЯ
     <img width="260" height="161" alt="0x01 graphic" src="gordon-178.png">

     ђис. 184
     прЯмые KN и ЉЊ, соответственно параллельные пересекающимсЯ прЯмым Ђ‘  и
‚‘ другой плоскости.
     Љонечно,  можно  было  бы попытатьсЯ  найти точку пересечениЯ  хотЯ  бы
прЯмой   DE  с   плоскостью   треугольника   ABC.  Ќеудача   подтвердила  бы
параллельность плоскостей.

     <b>‚ЋЏђЋ‘› Љ §§</b> 27-28

     1.  Ќа  чем  основано  построение  прЯмой линии,  котораЯ  должна  быть
параллельна некоторой плоскости?
     2. Љак провести плоскость через прЯмую параллельно заданной прЯмой?
     3. —ем определЯетсЯ взаимнаЯ параллельность двух плоскостей?
     4. Љак провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?
     5. Љак  проверить  на чертеже,  параллельны  ли  одна  другой  заданные
плоскости?

        § 29. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€… ‚‡Ђ€ЊЌЋ Џ…ђЏ…Ќ„€Љ“‹џђЌ›• ЏђџЊЋ‰ € Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’€

     €з  всех возможных  положений прЯмой,  пересекающей плоскость,  отметим
случай,  когда  прЯмаЯ перпендикулЯрна  к плоскости,  и  рассмотрим свойства
проекций такой прЯмой.
     Ќа  рис.  185  задана  плоскость,  определЯемаЯ  двумЯ  пересекающимисЯ
прЯмыми AN  и AM,  причем AN ЯвлЯетсЯ горизонталью, a AM  --  фронталью этой
плоскости. ЏрЯмаЯ Ђ‚, изображеннаЯ на том же чертеже, перпендикулЯрна к AN и
к AM и, следовательно, перпендикулЯрна к определЯемой ими плоскости.
     ЏерпендикулЯр к плоскости перпендикулЯрен к любой прЯмой, проведенной в
этой плоскости. Ќо чтобы при этом проекциЯ перпендикулЯра к плоскости общего
положениЯ  оказалась  перпендикулЯрной  к  одноименной  проекции  какой-либо
прЯмой этой плоскости, прЯмаЯ должна  быть горизонталью,  или фронталью, или
профильной  прЯмой  плоскости.  Џоэтому,  желаЯ  построить  перпендикулЯр  к
плоскости, берут в  общем  случае две такие прЯмые (например, горизонталь  и
фронталь, как это показано на рис. 185).
     €так,   у  перпендикулЯра   к  плоскости  его  горизонтальнаЯ  проекциЯ
перпендикулЯрна к горизонтальной проекции горизонтали,  фронтальнаЯ проекциЯ
перпендику-


     74


     лЯрна   к   фронтальной   проекции   фронтали,    профильнаЯ   проекциЯ
перпендикулЯрна к профильной проекции профильной прЯмой этой плоскости.
     Ћчевидно, в случае,  когда плоскость выражена следами  (рис.  186),  мы
получаем  следующий  вывод:  если  прЯмаЯ  перпендикулЯрна к  плоскости,  то
горизонтальнаЯ проекциЯ этой прЯмой перпендикулЯрна к горизонтальному  следу
плоскости,  а  фронтальнаЯ  проекциЯ  перпендикулЯрна к  фронтальному  следу
плоскости.
     €так,  если   в   системе   ,,  2   горизонтальнаЯ  проекциЯ   прЯмой
перпендикулЯрна  к  горизонтальному  следу  и  фронтальнаЯ  проекциЯ  прЯмой
перпендикулЯрна  к  фронтальному следу  плоскости, то  в  случае  плоскостей
общего положениЯ (рис. 186), а также горизонталъно-и фронтально-проецирующих
прЯмаЯ перпендикулЯрна к  плоскости. Ќо длЯ профильно-проецирующей плоскости
может оказатьсЯ, что прЯмаЯ к этой плоскости не перпендикулЯрна, хотЯ
     <img width="380" height="202" alt="0x01 graphic" src="gordon-179.png">

     проекции  прЯмой соответственно  перпендикулЯрны  к  горизонтальному  и
фронтальному  следам  плоскости.  Џоэтому  в  случае  профильно-проецирующей
плоскости  надо рассмотреть  также взаимное  положение  профильной  проекции
прЯмой и профильного следа данной  плоскости и лишь после этого  установить,
будут ли перпендикулЯрны между собой данные прЯмаЯ и плоскость.
     Ћчевидно (рис. 187), горизонтальнаЯ проекциЯ перпендикулЯра к плоскости
сливаетсЯ  с горизонтальной проекцией линии  ската, проведенной в  плоскости
через основание перпендикулЯра.
     Ќа рис. 186 из  точки Ђ проведен перпендикулЯр к пл.  (Ђ"‘" % f"o, AC
% h'o и  показано построение точки …, в которой перпендикулЯр Ђ‘ пересекает
пл.  . Џостроение  выполнено  с помощью  горизонтально-проецирующей пл.  ,
проведенной через перпендикулЯр Ђ….
     Ќа   рис.   188  показано   построение   перпендикулЯра  к   плоскости,
определЯемой треугольником ABC. ЏерпендикулЯр'проведен через точку Ђ.
     ’ак  как  фронтальнаЯ проекциЯ перпендикулЯра  к плоскости должна  быть
перпендикулЯрна   к  фронтальной   проекции   фронтали   плоскости,  а   его
горизонтальнаЯ   проекциЯ   перпендикулЯрна   к   горизонтальной    проекции
горизонтали, то  в плоскости через  точку Ђ проведены  фронталь с проекциЯми
A'D'  и  A"D"  и горизонталь Ђ"…", Ђ'…'. Љонечно,  эти прЯмые не обЯзательно
проводить именно через точку Ђ.
     „алее проведены проекции перпендикулЯра: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Џочему
проекции на рис.  188 на участках A"N" и Ђ'Њ'  показаны штриховыми  линиЯми?
Џотому, что  здесь  рассматриваетсЯ плоскость, заданнаЯ треугольником ABC, а
не   только   этот  треугольник:  перпендикулЯр  находитсЯ  частично   перед
плоскостью, частично за ней.


     75
     <img width="395" height="353" alt="0x01 graphic" src="gordon-180.png">

     Ќа рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходЯщей через точку
Ђ  перпендикулЯрно к  прЯмой  ‚‘. Ќа рис.  189  плоскость выражена  следами.
Џостроение начато с проведениЯ через точку Ђ горизонтали искомой  плоскости:
так как  горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулЯрен к ‚'‘, то
и горизонтальнаЯ проекциЯ  горизонтали  должна быть перпендикулЯрна  к  ‚'‘.
Џоэтому  A'N'%  ‚'‘'.  ЏроекциЯ  A"N" \\  оси  х,  как  это  должно  быть  у
горизонтали.  ‡атем  проведен через  точку  " ("  -  фронтальнаЯ  проекциЯ
фронтального  следа  горюонтали AN) след  f"o%  ‚"‘",  получена точка X,  и
проведен след h'o" II-4'-V' (h^LB'C).
     Ќа рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. ќти
прЯмые перпендикулЯрны к ‚‘ (Ђ"Њ"% ‚"‘", A'N' %
     ‚'‘); определЯемаЯ ими плоскость перпендикулЯрна к ‚‘.
     ’ак  как перпендикулЯр  к плоскости перпендикулЯрен  к  каждой  прЯмой,
проведенной   в   этой  плоскости,   то,   научившись  проводить   плоскость
перпендикулЯрно  к  прЯмой,  можно  воспользоватьсЯ   этим  длЯ   проведениЯ
перпендикулЯра из некоторой  точки Ђ к прЯмой общего положениЯ ‚‘. Ћчевидно,
можно наметить следующий план построениЯ проекций искомой прЯмой:
     1) через точку Ђ провести плоскость (назовем  ее ), перпендикулЯрную к
‚‘;
     2) определить точку Љ пересечениЯ прЯмой ‚‘ с ил. ;
     соединить точки Ђ и Љ отрезком прЯмой линии.
     ЏрЯмые ЂЉ и ‚‘ взаимно перпендикулЯрны.
     Џример построениЯ  дан на рис. 191. —ерез точку  Ђ  проведена плоскость
(), перпендикулЯрнаЯ к  ‚‘. ќто  сделано при  помощи  фронтали, фронтальнаЯ
проекциЯ


     76


     A"F"  которой  проведена перпендикулЯрно к фронтальной проекции ‚"‘", и
горизонтали, горизонтальнаЯ проекциЯ которой перпендикулЯрна к ‚'‘.
     ‡атем найдена точка Љ,  в которой прЯмаЯ ‚‘ пересекает пл. . „лЯ этого
через прЯмую ‚‘ проведена горизонтально-проецирующаЯ плоскость  (на чертеже
она задана только горизонтальным следом <sup>1</sup>). Џл.  пересекает пл.
 по прЯмой с проекциЯми 1'2' и 1 "2". ‚ пересечении этой прЯмой с прЯмой ‚‘
получаетсЯ  точка  Љ.  ЏрЯмаЯ  ЂЉ  ЯвлЯетсЯ  искомым перпендикулЯром  к  ‚‘.
„ействительно,  прЯмаЯ  ЂЉ  пересекает  прЯмую  ‚‘  и  находитсЯ  в  пл.  ,
перпендикулЯрной к прЯмой ‚‘', следовательно, AKLBC.
     ‚  § 15 было  показано  (рис. 92), как можно  провести перпендикулЯр из
точки на прЯмую. Ќо там это было выполнено  при помощи введениЯ в  систему 
1,2 дополнительной плоскости и образованиЯ, таким образом, системы 3,  1,
в  которой  пл.  3  проводитсЯ  параллельно  заданной  прЯмой.  ђекомендуем
сравнить построениЯ, данные на рис. 92 и 191,
     Ќа рис. 192 изображены плоскость  общего положениЯ  о, проходЯщаЯ через
точку A,  и перпендикулЯр AM к этой плоскости, продолженный до пересечениЯ с
пл. , в точке ‚'.
     “гол 1 между пл.  и пл. nt и угол  между прЯмой AM и пл.  ЯвлЯютсЯ
острыми углами прЯмоугольного треугольника ‚'AM', и, следовательно, 1 +  =
90°. Ђналогично, если пл.   составлЯет  с  пл. 2  угол  ?,  а прЯмаЯ  AM,
перпендикулЯрнаЯ к о, составлЯет с пл. 2 угол ,  2 +  = 90°. €з этого,
прежде  всего,  следует,  что плоскость  общего  положениЯ,  котораЯ  должна
составлЯть с пл.  угол ,,  а с пл. 2 угол 2, может быть построена, лишь
если 180° &gt;1 +2&gt;90°.
     „ействительно, складываЯ почленно   +  = 90° и 2 +  = 90°, получим
1  + 2 +  +   = 180°, . е.  + 2 &lt; 180°, а так как   +  &lt; 90°
(см.  с. 33),  1 + 2 &gt; 90°. …сли взЯть  :1 + 2 =  90°, то получитсЯ
профильно-проецирующаЯ плоскость, а если взЯть  , + 2 = 180°, то получитсЯ
профильнаЯ  плоскость,  т.  е.  в  обоих этих случаЯх  плоскость  не  общего
положениЯ, а частного.

     <b>§ 30. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€…</b> ‚‡Ђ€ЊЌЋ Џ…ђЏ…Ќ„€Љ“‹џђЌ›• Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰

     Џостроение  плоскости ,  перпендикулЯрной  к  плоскости о, может  быть
произведено двумЯ путЯми: 1) пл.  проводитсЯ через прЯмую, перпендикулЯрную
к пл. а; 2) пл.  проводитсЯ перпендикулЯрно к прЯмой,  лежащей в пл. ос или
параллельной  этой  плоскости. „лЯ получениЯ единственного решениЯ требуютсЯ
дополнительные условиЯ.
     Ќа  рис.   193   показано  построение   плоскости,  перпендикулЯрной  к
плоскости, заданной  треугольником CDE. „ополнительным условием здесь служит
то, что искомаЯ плоскость должна проходить  через  прЯмую Ђ‚. ‘ледовательно,
искомаЯ плоскость  определЯетсЯ  прЯмой  Ђ‚ и  перпендикулЯром  к  плоскости
треугольника.  „лЯ  проведениЯ  этого перпендикулЯра к пл. CDE  в  ней взЯты
фрон-
     <img width="222" height="186" alt="0x01 graphic" src="gordon-181.png">

     ђис. 193 ђис. 194
     таль CN и горизонталь ‘Њ: если B"F" % ‘"" и ‚'F'%‘'Њ', то BF%пл. CDE.
     ЋбразованнаЯ пересекающимисЯ прЯмыми Ђ ‚ и ‚F плоскость перпендикулЯрна
к  пл.  CDE, так как проходит через перпендикулЯр к этой плоскости. Ќа  рис.
194   горизонтально-проецирующаЯ   плоскость      проходит  через  точку  Љ
перпендикулЯрно    к   плоскости,   заданной   треугольником    ABC.   ‡десь
дополнительным условием ЯвлЯ-
     77
     лась перпендикулЯрность искомой  плоскости  сразу к  двум плоскостЯм: к
пл.  ABC и к пл. ,.  Џоэтому  и  ответом служит  горизонтально-проецирующаЯ
плоскость. Ђ так как она проведена перпендикулЯрно к горизонтали AD, т. е. к
прЯмой, принадлежащей пл. ABC, то пл.  перпендикулЯрна к пл. ABC.
     Њожет  ли  перпендикулЯрность  одноименных  следов  плоскостей  служить
признаком перпендикулЯрности самих плоскостей?
     Љ    очевидным   случаЯм,   когда    это   так,    относитсЯ   взаимнаЯ
перпендикулЯрность  двух  горизонтально-проецирующих плоскостей,  у  которых
горизонтальные  следы  взаимно перпендикулЯрны.  ’акже  это имеет  место при
взаимной  перпендикулЯрности   фронтальных  следов   фронтально-проецирующих
плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулЯрны.
     ђассмотрим   (рис.   195)   горизонтально-проецирующую   плоскость   ,
перпендикулЯрную к плоскости общего положениЯ а.
     …сли пл.  перпендикулЯрна к пл.  1 и к пл. , то  % h'o как к линии
пересечениЯ пл.  и пл. ,. Ћтсюда  h'o%  и, следовательно, h'o % ', как
к одной из прЯмых в пл. .
     €так,  перпендикулЯрность   горизонтальных   следов   плоскости  общего
положениЯ     и    горизонтально-проецирующей     соответствует     взаимной
перпендикулЯрности этих плоскостей.
     Ћчевидно, перпендикулЯрность фронтальных следов фронтально-проецирующей
плоскости  и  плоскости  общего  положениЯ  также   соответствует   взаимной
перпендикулЯрности этих плоскостей.
     <img width="106" height="193" alt="0x01 graphic" src="gordon-182.png">
     <img width="106" height="93" alt="0x01 graphic" src="gordon-183.png">

     ђис. 196
     Ќо если  одноименные следы  двух плоскостей  общего  положениЯ  взаимно
перпендикулЯрны, то  самые плоскости не перпендикулЯрны между собой, так как
здесь  не  соблюдаетсЯ  ни  одно  из  условий,  изложенных  в  начале  этого
параграфа.
     ‚ заключение  рассмотрим рис.  196. ‡десь имеет  место  случай взаимной
перпендикулЯрности одноименных следов  в обеих их парах и перпендикулЯрности
самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положениЯ -- профильнаЯ 
и профильно-проецирующаЯ 

     <b>§ 31. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€…</b> ЏђЋ…Љ–€‰ <b>“ѓ‹Ђ Њ…†„“  ЏђџЊЋ‰ € Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’њћ €</b> Њ…†„“ „‚“Њџ
Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’џЊ€

     …сли  прЯмаЯ  не  перпендикулЯрна к плоскости,  то углом между прЯмой и
плоскостью  называют  угол  между  этой  прЯмой и  ее  проекцией  на  данной
плоскости.
     Ћб углах между прЯмой и плоскостЯми проекций см, § 13.
     Ќа рис. 197 изображена прЯмаЯ Ђ‚, пересекающаЯ пл, 0 в точке D; угол 
образован отрезком BD данной прЯмой и проекцией B°D этого отрезка на пл. 0.
     78

     Џостроение проекций угла между прЯмой Ђ‚ и некоторой пл.  выполнено на
рис. 198. Џл.  задана ее горизонталью (проекции ђ"Ќ"  и  ђ'Ќ') и  фронталью
(проекции P"F" и PF).
     Џостроение выполнено в следующем порЯдке:
     а)  найдена точка D  пересечениЯ прЯмой Ђ‚ с пл.  о, длЯ чего через  Ђ‚
проведена горизонтально-проецирующаЯ плоскость ;
     б) из точки Ђ проведен перпендикулЯр к пл. а;
     в) найдена точка  пересечениЯ этого перпендикулЯра с пл.' ос, длЯ чего
проведена горизонтально-проецирующаЯ плоскость ;
     г)  через  точки D"  и …",  D' и  проведены  прЯмые, чем  определЯютсЯ
проекции прЯмой Ђ‚ на пл. .
     <img width="138" height="85" alt="0x01 graphic" src="gordon-184.png">
     <img width="137" height="192" alt="0x01 graphic" src="gordon-185.png">

     ђис. 197 ђис. 198
     “гол A"D"E" представлЯет собой фронтальную проекцию угла между Ђ‚ и пл.
, а угол A'D …' -- горизонтальную проекцию этого угла.
     Џостроение  проекции  угла  между   прЯмой  и  плоскостью   значительно
упрощаетсЯ, если плоскость не ЯвлЯетсЯ  плоскостью общего положениЯ, так как
в   подобных  случаЯх  точка  пересечениЯ   заданной   прЯмой  с  плоскостью
определЯетсЯ без дополнительных построений.
     <img width="174" height="166" alt="0x01 graphic" src="gordon-186.png">
     <img width="155" height="169" alt="0x01 graphic" src="gordon-187.png">


     „ве  пересекающиесЯ между  собой плоскости  образуют  четыре двугранных
угла. ЋграничиваЯсь рассмотрением угла между  и , показанного на рис. 199,
построим его  линейный угол, длЯ чего пересечем  ребро   двугранного  угла
плоскостью , перпендикулЯрной к .
     Џостроение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Џл. ос задана
треугольником , пл.  -- треугольником .
     а) Џостроена  пл.  % ,  проходЯщаЯ через точку N  (пл.   задана  ее
фронталью NF и горизонталью ).
     79
     б)  Џостроена  линиЯ пересечениЯ плоскостей  и  (прЯмаЯ E);  так как
пл.  проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку …,  длЯ чего
взЯта вспо-
     могательнаЯ плоскость .
     в) Ќайдена линиЯ пересечениЯ плоскостей  и  (прЯмаЯ NG);  здесь также
надо было найти только точку G (вспомогательнаЯ пл. ).
     ’очка  N  ЯвлЯетсЯ   вершиной  искомого  линейного  угла,  угол  E'N'G'
представлЯет собой  горизонтальную  проекцию этого угла, угол  E'N"G" -- его
фронтальную проекцию.
     Ќа рис.  195  построены проекции линейного угла, измерЯющего двугранный
угол,  образуемый  пл.   с плоскостью  проекций  к,. ’ак как  длЯ получениЯ
линейного угла надо провести плоскость, перпендикулЯрную к ребру двугранного
угла, то  длЯ  получениЯ  утла  наклона пл.   к  пл. ,  проведена  пл.  ,
перпендикулЯрнаЯ к следу  h'o. Ђналогично, длЯ получениЯ угла между пл.  и
пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулЯрно к. следу f"o.
     Ќа рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла ЯвлЯетсЯ угол ""', а
горизонтальнаЯ  проекциЯ угла  совпадает со следом  ".  ‚еличина угла может
быть определена построением прЯмоугольного,треугольника  по  катетам  "' и
''.

        ‚ЋЏђЋ‘› Љ §§ 29-31

     1. Љак располагаютсЯ проекции перпендикулЯра к плоскости?
     2.  Љак взаимно располагаютсЯ  горизонтальные проекции перпендикулЯра к
плоскости  в   ее   линии   ската,  проведенной   через   точку  пересечениЯ
перпендикулЯра с плоскостью?
     3.  Љак  провести  плоскость, перпендикулЯрную к  данной  прЯмой (через
точку на прЯмой и через точку вне прЯмой)?
     4. Љак провести перпендикулЯр из  точки на прЯмую общего положениЯ (при
помощи плоскости, перпендикулЯрной к прЯмой, и при помощи введениЯ в систему
к,, Я- дополнительной плоскости проекций)?
     5. Љак построить взаимно перпендикулЯрные плоскости?
     6. ‚  каких случаЯх взаимнаЯ перпендикулЯрность  одной пары одноименных
следов   плоскостей   соответствует   взаимной    перпендикулЯрности   самих
плоскостей?
     7.  ‚  каком  случае   в  системе  1,2   взаимнаЯ  перпендикулЯрность
плоскостей  выражаетсЯ  взаимной перпендикулЯрностью  фронтальных  следов? ‚
каком  случае  в  системе  ·,  л2  взаимнаЯ  перпендикулЯрность  плоскостей
выражаетсЯ взаимной перпендикулЯрностью горизонтальных следов?
     8. ЏерпендикулЯрны ли плоскости общего положениЯ одна к другой, если их
одноименные следы взаимно перпендикулЯрны?
     9. —то называетсЯ углом между прЯмой и плоскостью и какие действиЯ надо
выполнить длЯ построениЯ на чертеже проекций этого угла?
     Љакие  действиЯ  надо  выполнить  длЯ  построениЯ на  чертеже  проекций
линейного угла длЯ данного двугранного?


     ѓ‹Ђ‚Ђ V. ‘ЏЋ‘ЋЃ› Џ…ђ…Њ…Ќ› Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰ ЏђЋ…Љ–€‰ € ‚ђЂ™…Ќ€џ

        § 32. Џђ€‚…„…Ќ€… ЏђџЊ›• ‹€Ќ€‰ €</b> Џ‹Ћ‘Љ€• <b>”€ѓ“ђ
        ‚ —Ђ‘’Ќ›… ЏЋ‹Ћ†…Ќ€џ Ћ’ЌЋ‘€’…‹њЌЋ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰ ЏђЋ…Љ–€‰

     ‡адание прЯмых линий и плоских фигур в частных положениЯх относительно
     плоскостей  проекций (см. §§11, 19) значительно  упрощает построениЯ  и
решение задач,  а  подчас  позволЯет получить  ответ или непосредственно  по
данному чертежу, или при помощи простейших построений.
     Ќапример, определение расстоЯниЯ  точки Ђ до горизонтально-проецирующей
плоскости  (рис. 201), заданной  треугольником  BCD,  сводитсЯ к  проведению
перпендикулЯра из проекции Ђ' к проекции,  выраженной отрезком B'D'. €скомое
расстоЯние определЯетсЯ отрезком Ђ'Љ'.
     €злагаемые  в  настоЯщей  главе способы дают  возможность переходить от
общих  положений прЯмых линий и плоских фигур в системе 1,  2  к частным в
той же системе или в дополнительной.
     „остигаетсЯ это:
     1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прЯмаЯ линиЯ
или плоскаЯ фигура, не изменЯЯ своего положениЯ в пространстве,  оказалась в
каком-либо  частном положении в новой  системе  плоскостей  проекций (способ
перемены плоскостей проекций);
     2)  изменением положениЯ прЯмой линии или плоской фигуры путем поворота
вокруг некоторой  оси  так,  чтобы  прЯмаЯ или  фигура оказалась  в  частном
положении  относительно  неизменной   системы  плоскостей  проекций  (способ
вращениЯ и частный случай его -- способ совмещениЯ).
     ‚ведение  дополнительных  'плоскостей   проекций  в  систему   1;   2
рассматривалось  в § 8,  а примеры построений в дополнительных системах были
приведены в §§ 13 и 15. ’еперь рассмотрим это подробнее.

        § 33. ‘ЏЋ‘ЋЃ Џ…ђ…Њ…Ќ›</b> Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰ <b>ЏђЋ…Љ–€‰ <sup>1</sup>)

     <b>Ћбщие     сведениЯ.</b>     ‘ущность     способа     перемены    плоскостей
проекций<sup>2</sup>) заключаетсЯ в том, что положение точек, линий, плоских
фигур,  поверхностей  в пространстве  остаетсЯ неизменным, а система 1,  2
дополнЯетсЯ плоскостЯми, образующими с  1 или 2, или  между  собой системы
двух взаимно перпендикулЯрных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.
     <img width="87" height="131" alt="0x01 graphic" src="gordon-188.png">
     ђис. 201<sup>1</sup>) Њы применЯем распространенное  название "перемена
плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций  и - остаютсЯ и
лишь вводЯтсЯ дополнительные плоскости проекций. ·
     <sup>2</sup>)  ‚первые  на  русском  Языке способ  перемены  плоскостей
проекций был изложен €. €. ‘омовым в его  книге  "ЌачертательнаЯ геометриЯ",
1862.  ‡атем  этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение  в
трудах Ќ. €. Њакарова и ‚. €. Љурдюмова.


     ЉаждаЯ новаЯ система выбираетсЯ так, чтобы получить положение, наиболее
удобное длЯ выполнениЯ требуемого построениЯ. .
     ‚ рЯде случаев длЯ получениЯ  системы плоскостей проекций,  разрешающей
задачу, бывает достаточно ввести только одну  плоскость, например 3% 1 или
4%2;  при  этом  пл.  3  окажетсЯ  горизонтально-проецирующей,  а  пл. 4
-фронтально-проецирующей.  …сли введение  одной  плоскости, 3  или  4,  не
позволЯет разрешить  задачу,  то  прибегают  к последовательному  дополнению
основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводЯт плоскость 3%
1,  получают  первую новую  систему  --  3, 1,  а затем  от  этой  системы
переходЯт ко второй  новой системе, вводЯ некоторую пл. 4% 3. Џри этом пл.
4 оказываетсЯ плоскостью общего положениЯ в основной  системе 1, 2. ’аким
образом,  производитсЯ последовательный  переход от системы 1  2 к системе
3, 4 через промежуточную систему 3, 1.
     …сли "плоскости 3 и 4  все  же не  разрешают вопроса полностью, можно
перейти к третьей новой системе, вводЯ  еще одну плоскость, перпендикулЯрную
к 4.
     Џри построениЯх  в новой системе плоскостей проекций соблюдаютсЯ  те же
условиЯ относительно положениЯ зрителЯ, которые были установлены длЯ системы
плоскостей 1 и 2 (см. § 7).
     Ћсь проекций будем отмечать записью в  виде  дроби,  считаЯ,