Я расстоЯниЯ от точки  Ђ до оси х на чертеже (рис. 20)
надо взЯть отрезок 1•.


     17


     Ђналогично,  расстоЯние  от точки Ђ до оси  у  выражаетсЯ отрезком 1у и
расстоЯние от точки Ђ до оси z -- отрезком /z (рис. 20).
     €так, расстоЯниЯ точки от плоскостей проекций и от осей  проекций могут
быть измерены непосредственно, как определенные отрезки на чертеже. Џри этом
должен быть учтен его масштаб.
     ђассмотрим примеры построениЯ  третьей проекции точки по двум заданным.
Џусть (рис. 21) точка  ‚ задана  ее фронтальной и горизонтальной проекциЯми.
‚ведЯ ось z (рис. 22:


     <img width="52" height="83" alt="0x01 graphic" src="gordon-24.png">
     <img width="98" height="100" alt="0x01 graphic" src="gordon-25.png">
     <img width="92" height="82" alt="0x01 graphic" src="gordon-26.png">

     ђис. 21 ђис. 22 ђис. 23

     расстоЯние Ћ‚•  произвольно,  если  нет каких-либо  условий)  и проведЯ
через <b>‚"</b> линию свЯзи, перпендикулЯрную к оси <b>,</b> откладываем на <b>ней</b> вправо от
этой оси отрезок B'"B-, равный <b>‚'‚•.</b>
     Ќа  рис. 23 построена проекциЯ <b>‘' по</b> заданным проекциЯм ‘" и  ‘'"  (ход
построениЯ указан стрелками).

     <b>‚ЋЏђЋ‘› Љ §§</b> 4-5

     1. —то такое "система ·, 2" и как называютсЯ плоскости проекций   и
.,?
     2. —то называетсЯ осью проекций?
     3. Љак получаетсЯ чертеж точки в системе ,, ..?
     4. —то такое "система  ·, .%, џэ" и  как называетсЯ плоскость проекций
,?
     5. —то такое "линиЯ свЯзи"?
     6.  Љак доказываетсЯ, что чертеж, содержащий  две свЯзанные между собой
проекции в виде точек, выражает некоторую точку?
     7.  Љак  строитсЯ  профильнаЯ  проекциЯ  точки  по  ее  фронтальной   и
горизонтальной проекциЯм?

     § 6. Ћђ’ЋѓЋЌЂ‹њЌ›… ЏђЋ…Љ–€€ € ‘€‘’…ЊЂ ЏђџЊЋ“ѓЋ‹њЌ›• ЉЋЋђ„€ЌЂ’

     Њодель  положениЯ точки в  системе  л1г  2, 3  (рис.  16)  аналогична
модели, которую можно построить, знаЯ прЯмоугольные координаты <sup>1</sup>)
этой  точки,  т.  е.  числа,  выражающие  ее  расстоЯниЯ  от   трех  взаимно
перпендикулЯрных  плоскостей  -- плоскостей  координат.  ЏрЯмые, по  которым
пересекаютсЯ   плоскости   координат,  называютсЯ   осЯми  координат.  ’очка
пересечениЯ осей  координат  называетсЯ  началом  координат  и  обозначаетсЯ
буквой  Ћ <sup>2</sup>).  „лЯ осей  координат будем  применЯть  обозначениЯ,
показанные на рис. 16.
     Џлоскости координат  в  своем пересечении  образуют  восемь трехгранных
углов, делЯ пространство на восемь частей  -- восемь октантов <sup>3</sup>).
Ќа  рис.  16  изображен один  из  октантов.  Џоказано  образование отрезков,
определЯющих   координаты   некоторой   точки  Ђ:  из   точки  Ђ   проведены
перпендикулЯры к каждой из плоскостей

     <sup>1</sup>)  €наче  --  "декартовы   координаты".  ‘истема  координат
„екарта  может  быть  прЯмоугольной и  косоугольной;  здесь  рассматриваетсЯ
прЯмоугольнаЯ  система.  „екарт  (1596--1650)  -   французский  математик  и
философ.
     <sup>2</sup>) ЌачальнаЯ буква латинского слова "origo" -- начало.
     <sup>3</sup>) Octo (лат.) -- восемь.


     18


     координат.  ЏерваЯ  координата  точки   Ђ,   называемаЯ  ее   абсциссой
<sup>1</sup>), выразитсЯ  числом, полученным  от сравнениЯ отрезка ЂЂ"' (или
равного ему  отрезка ЋЂ• на оси х) с некоторым отрезком, принЯтым за единицу
масштаба. ’акже отрезок ЂЂ" (или равный ему отрезок ЋЂу на  оси у) определит
.вторую координату точки  Ђ, называемую ординатой <sup>2</sup>); отрезок ЂЂ'
(или  равный ему  отрезок  OAZ на  оси )  - третью  координату,  называемую
аппликатой <sup>3</sup>).
     Џри  буквенном  обозначении  координат абсцисса указываетсЯ  буквой  х,
ордината -- буквой у, аппликата -- буквой z.
     Џостроенный  на   рис.   16  параллелепипед  называют  параллелепипедом
координат  данной  точки  Ђ.  Џостроение  точки  по заданным ее  координатам
сводитсЯ к  построению  трех  ребер параллелепипеда координат,  составлЯющих
трехзвенную ломаную линию (рис. 24).  Ќадо  отложить последовательно отрезки
ЋЂ•, Ђ•Ђ' и Ђ'Ђ или ЋЂ“, ЂуЂ'" и Ђ'"Ђ и т.  п., т. е. точку Ђ можно получить
шестью комбинациЯми, в каждой из которых должны быть все три координаты.
     Ќа рис. 24 длЯ наглЯдного изображениЯ взЯта известнаЯ из курса черчениЯ
средней школы проекциЯ, называемаЯ кабинетной <sup>4</sup>). ‚ ней оси х и z
взаимно перпендикулЯрны, а ось у ЯвлЯетсЯ продолжением биссектрисы угла z.
‚ кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси  у  или  параллельно ей,
сокращаютсЯ вдвое.
     <img width="202" height="118" alt="0x01 graphic" src="gordon-27.png">
     <img width="125" height="110" alt="0x01 graphic" src="gordon-28.png">

     ђис. 25
     ђис.  16  показывает,  что  построение  проекций  точки  сопровождаетсЯ
построением  отрезков,  определЯющих  координаты  этой  точки, если  принЯть
плоскости проекций  за  плоскости  координат.  ЉаждаЯ  из  проекций точки  Ђ
определЯетсЯ двумЯ  координатами этой точки; например, положение проекции Ђ'
определЯетсЯ координатами х и у.
     Џоложим, дана точка  Ђ  (7;  3;  5); эта запись означает,  что  точка Ђ
определЯетсЯ координатами х = 7, у= 3,  z = 5. …сли масштаб  длЯ  построениЯ
чертежа задан или выбран, то  (рис. 25)  откладывают на  оси  х от некоторой
точки  Ћ отрезок  ЋЂ•,  равный 7 единицам, и на  перпендикулЯре  к этой оси,
проведенном из точки Ђх,  отрезки  Ђ•Ђ'  = 3 ед.  и Ђ•Ђ"  = 5  ед.  Џолучаем
проекции Ђ' и Ђ". „лЯ построениЯ достаточно взЯть только ось х.
     ЏринимаЯ оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по
данным  ее  проекциЯм. Ќапример,  на рис.  18 отрезок ЋЂ• выражает  абсциссу
точки Ђ, отрезок Ђ•Ђ' -- ее ординату, отрезок Ђ•Ђ" - аппликату.
     …сли  задаетсЯ  лишь  абсцисса,  то   этому  соответствует   плоскость,
параллельнаЯ  плоскости,  определЯемой осЯми у  и  z.  „ействительно,  такаЯ
плоскость  ЯвлЯетсЯ  геометрическим  местом точек, у которых абсциссы  равны
заданной величине (рис. 26, плоскость а).

     ') Abscissa (лат.) - отсеченнаЯ, отделеннаЯ.
     <sup>2</sup>)  Ordinata (лат.) -- от  ordinatim ducta  (лат.) -- подрЯд
проведеннаЯ.
     <sup>3</sup>) Applicata (лат.) -- приложеннаЯ.
     *) ЉабинетнаЯ проекциЯ  относитсЯ к числу косоугольных (подробнее см. в
§ 75).


     19


     …сли задаютсЯ две координаты, то этим определЯетсЯ прЯмаЯ, параллельнаЯ
соответствующей  координатной  оси.  Ќапример,  имеЯ  заданными  абсциссу  и
ординату, получаем  прЯмую,  параллельную оси z (на рис. 26 это прЯмаЯ  Ђ‚).
Ћна  ЯвлЯетсЯ   линией  пересечениЯ  двух  плоскостей    и   ,  где    --
геометрическое  место  точек  с  равными   ординатами.   ЏрЯмаЯ  Ђ‚   служит
геометрическим  местом точек, у  которых равны между собой  абсциссы и равны
между собой ординаты.
     <img width="268" height="101" alt="0x01 graphic" src="gordon-29.png">
     <img width="87" height="94" alt="0x01 graphic" src="gordon-30.png">


     ђис. 26
     …сли задаютсЯ  все три координаты, то этим определЯетсЯ точка. Ќа  рис.
26 показана точка Љ, полученнаЯ  в пересечении трех плоскостей, из которых 
есть  геометрическое  место точек  по  заданной абсциссе,   -- по  заданной
ординате и  -- по заданной аппликате.
     ’очка может находитьсЯ в любом из  восьми октантов (нумерацию  октантов
см.  на  рис.  27).  ‘ледовательно, нужно знать не  только расстоЯние данной
точки  от той или  иной плоскости координат, но и направление,  по  которому
надо  это  расстоЯние  отложить;   длЯ   этого  координаты  точек   выражают
относительными  числами.  Њы  будем  применЯть длЯ отсчета координат систему
знаков, указанную  на  рис.  27,  т. е. будем  применЯть  систему координат,
называемую "правой". ЏраваЯ система характеризуетсЯ  тем, что поворот на 90°
"положительного"  луча  Ћх (рис.  27)  в сторону  "положительного"  луча  Ћу
происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на  плоскость
хЋу сверху).
     ‚  системе,  называемой  "левой", "положительный"  луч  Ћх направлен от
точки Ћ вправо.

     Џри изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не
плоскости  проекций,  а  систему  некоторых  трех  взаимно  перпендикулЯрных
плоскостей,  непосредственно  свЯзанных   с  данным  телом,  например  грани
прЯмоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т.  п. „лЯ
такой системы координат встречаетсЯ название "внутреннЯЯ".

     § 7. ’Ћ—ЉЂ ‚ —…’‚…ђ’џ• € ЋЉ’ЂЌ’Ђ• ЏђЋ‘’ђЂЌ‘’‚Ђ

     ‚  § 4  было  сказано, что плоскости  1 и 2  при пересечении образуют
четыре двугранных утла; их называют квадрантами или четвертЯми пространства.
Ќа рис.  28 указан принЯтый порЯдок  отсчета четвертей.  Ћсь  проекций делит
каждую из плоскостей 1 и 2 на "полы" (полуплоскости), условно обозначенные
1  и  --  1, 2  и -- 2.  …сли,  например, точка  расположена  во  второй
четверти, то горизонтальнаЯ  проекциЯ  получаетсЯ на -- 1, а фронтальнаЯ --
на 2.
     ‚ дальнейшем изложении за  основу длЯ построениЯ чертежа точки в  любой
из четырех четвертей мы будем брать рисунок по типу 13 (см. с. 16).
     ‘читают, что зритель всегда находитсЯ в первой  четверти (условно -- на
бесконечно большом  расстоЯнии  от 1 и  от 2). Џлоскости  проекций считают
непрозрачными; поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти,
а также на полуплоскостЯх  и 2.


     20


     Ќа  рис. 13 дан  чертеж  длЯ случаЯ, когда точка  расположена в  первой
четверти (рис. 29). …сли точка одинаково удалена от  и 2, то Ђ'Ђ• = Ђ"Ђ•.
     Ќа рис. 30 показана  точка ‚,  расположеннаЯ во второй четверти, т.  е.
над -- % и сзади 2 (рис. 29).  ’очка ‚ ближе к 2, чем  к -- ,: на чертеже
‚'‚• &lt; ‚"‚†. ’ам же
     <img width="103" height="98" alt="0x01 graphic" src="gordon-31.png">
     <img width="141" height="139" alt="0x01 graphic" src="gordon-32.png">
     <img width="87" height="80" alt="0x01 graphic" src="gordon-33.png">

     III

     ђис. 28 ђис. 29

     показана точка ‘, одинаково  удаленнаЯ от -! и от 2: проекции ‘" и ‘'
совпадают между собой.
     Ќа  рис. 31 дан чертеж  длЯ случаЯ, когда точка D расположена в третьей
четверти. ѓоризонтальнаЯ проекциЯ получаетсЯ над осью  проекций, фронтальнаЯ
проекциЯ  --  под  осью  проекций.  ’ак  как  D'DX  &gt;  D"DX,  то точка  D
расположена от --2 дальше, чем от --.
     Ќа рис. 32 даны точки  и F, расположенные  в четвертой четверти. ’очка
… ближе к ,,  чем  к --  2  (рис. 29): …"…• &lt;  …'…•. ’очка  F одинаково
удалена от -- 2 и от ..: F'FX = F"FX.
     Ќа  рис.  33 в системе  ,,  2  изображены точки Ђ  и ‚, расположенные
симметрично относительно пл. ,. Ќа чертеже (рис. 33, справа) горизонтальные
проекции

     <img width="72" height="102" alt="0x01 graphic" src="gordon-34.png">
     <img width="95" height="77" alt="0x01 graphic" src="gordon-35.png">
     <img width="90" height="144" alt="0x01 graphic" src="gordon-36.png">
     <img width="40" height="91" alt="0x01 graphic" src="gordon-37.png">

     ђис. 31 ђис. 33

     таких точек  совпадают одна с другой, фронтальные же проекции находЯтсЯ
на равных расстоЯниЯх от оси проекций: Ђ"Ђ• = ‚"‚•.

     ‚ практике черчениЯ имеет место применение первой  и  третьей четвертей
пространства. Џодробнее см. в § 41.

     Ќа рис. 27 было  показано, что плоскости координат  в своем пересечении
образуют  восемь трехгранных  углов  -- восемь октантов.  ЌумерациЯ октантов
указана на  рис.27.  Љак  видно из  рис.28, четверти  нумеруютсЯ  как  I--IV
октанты.


     21


     ЏрименЯЯ длЯ отсчета координат точки  систему знаков, указанную на рис.
27, получим следующую таблицу: <table> <tr><td>
     </td> <td>
     ‡наки координат </td> <td>
     </td> <td>
     ‡наки координат </td> </tr> <tr><td>
     </td> <td>
      </td> <td>
     “ </td> <td>
      </td> <td>
     </td> <td>
      </td> <td>
     “ </td> <td>
     z </td> </tr> <tr><td>
     I </td> <td>
     + </td> <td>
     + </td> <td>
     + </td> <td>
     V </td> <td>
     </td> <td>
     + </td> <td>
     + </td> </tr> <tr><td>
      </td> <td>
     + </td> <td>
     _ </td> <td>
     + </td> <td>
     VI </td> <td>
     -- </td> <td>
     -- </td> <td>
     + </td> </tr> <tr><td>
     III </td> <td>
     + </td> <td>
     _ </td> <td>
     _ </td> <td>
     VII </td> <td>
     _ </td> <td>
     _ </td> <td>
     _ </td> </tr> <tr><td>
     IV </td> <td>
     + </td> <td>
     + </td> <td>
     - </td> <td>
     VIII </td> <td>
     - </td> <td>
     + </td> <td>
     - </td> </tr> </table>

     Ќапример,  точка  (--20;  <b>+</b>  15;  --18)  находитсЯ  <b>в</b>  восьмом октанте.
‘овмещение плоскостей производитсЯ согласно рис. <b>34,</b> т. е.  пл. <b>3</b> отводитсЯ
против часовой стрелки, если смотреть на пл. ! по направлению от <b>+z</b> к <b>Ћ.</b>
     <img width="280" height="163" alt="0x01 graphic" src="gordon-38.png">

     ђис. 34
     Ќа рис. 34 даны также чертежи точек: Ђ, расположенной <b>в</b> первом октанте,
и ‘, расположенной <b>в</b> седьмом октанте; проекции одной <b>и</b> той же точки не могут
наложитьсЯ  одна на  другую. „лЯ  остальных  октантов две или  все  три (длЯ
второго и восьмого октантов) проекции одной <b>и</b> той  <b>же</b>  точки могут оказатьсЯ
наложенными друг на друга.

        ‚ЋЏђЋ‘› Љ §§ 6-7

     1. —то такое прЯмоугольные декартовы координаты точки?
     2.  ‚  какой последовательности записываютсЯ  координаты  в обозначении
точки?
     3. —то такое квадранты или четверти пространства?
     4. —то такое октанты?
     5. Љакие знаки имеют координаты точки, расположенной в седьмом октанте?
     6. ‚ чем различие между "правой" и "левой" системами координат?
     —ем различаютсЯ между собой чертежи  точек, из которых одна расположена
в первой четверти, а другаЯ -- в третьей?

     <b>§ 8. ЋЃђЂ‡Ћ‚ЂЌ€…</b> „ЋЏЋ‹Ќ€’…‹њЌ›• ‘€‘’…Њ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰ ЏђЋ…Љ–€‰

     „о сих пор мы встречались с двумЯ системами плоскостей проекций  -- п1г
2 и  ·, -, 3. ‚ случае  необходимости можно образовать и другие системы.
Ќапример,  введЯ в систему ^ -  некоторую пл. 41  (рис.35), мы получим,
помимо  системы -, 2 с проекциЯми  Ђ'  и Ђ" точки Ђ, еще систему ,,  4 с
проекциЯми Ђ и <sup></sup> той же точки Ђ.
     ЋбразуетсЯ ли при этом также система  2, 4? Ќет: плоскости 2 и 4 не
перпендикулЯрны одна к другой.


        22


     Џл. 1  входит в обе системы 1, 2 и 1, 4. Џоэтому проекциЯ Ђ' точки
Ђ (рис.  35) относитсЯ и к системе  5  4. Џри проецировании же точки Ђ на
пл. 4  получаем точку <sup></sup> на расстоЯнии <sup></sup> от пл.
1; равном AA' и Ђ"Ђ•.
     <img width="95" height="96" alt="0x01 graphic" src="gordon-39.png">
     <img width="101" height="117" alt="0x01 graphic" src="gordon-40.png">
     <img width="94" height="107" alt="0x01 graphic" src="gordon-41.png">


     ђис. 35 ђис. 36 ђис. 37

     Ќа рис. 36 плоскости 1; 2 и 4 показаны совмещенными в одну плоскость
--плоскость чертежа; полученный при этом чертеж  дан на  рис. 37. Џомимо оси
2/ <sup>1</sup>) введена еще ось 4/1; она выбираетсЯ согласно условиЯм,
вытекающим из заданиЯ, как это будет показано дальше. €з точки  Ђ' проведена
перпендикулЯрно  к  оси  4/1  линиЯ  свЯзи,  на  которой  отложен  отрезок
<sup></sup>, равный отрезку Ђ"Ђ•, т. е. расстоЯнию  в пространстве  от
точки Ђ до пл. 1.
     <img width="85" height="112" alt="0x01 graphic" src="gordon-42.png">
     <img width="161" height="116" alt="0x01 graphic" src="gordon-43.png">
     <img width="89" height="93" alt="0x01 graphic" src="gordon-44.png">

     ђис. 38 ђис. 40

     Ќа  рис. 38  показан чертеж, в котором помимо системы 5  2 дана  еще
система  2,  5,  т.  е. в систему Џц,  2  введена  дополнительнаЯ пл. 5,
перпендикулЯрнаЯ к 2. ’еперь в обеих системах (пь  2  и 2, 5) содержитсЯ
пл. 2. Џоэтому сохранЯетсЯ расстоЯние точки Ђ именно от пл. 2 и на чертеже
отрезок A<sup>v</sup>Axl должен быть взЯт равным отрезку Ђ'Ђ•.
     Ћчевидно, плоскость 3 (рис. 15) можно  истолковать как дополнительную,
проведенную  перпендикулЯрно  и к  2,  и к  nt. Ќо при этом  обычно  помимо
системы 1; 2 рассматривают еще систему 2, 3. Џо аналогии с рис. 38 можно
было бы придать рис.  22 форму, показанную  на рис. 39 слева, где "' = =
‚'‚•. …сли же  использовать вспомогательную прЯмую по рис. 17  (продолженную
биссектрису  угла  ),  то построение принимает вид,  указанный на рис. 39
справа. Њожно ли  по-ступ"ть  аналогично при построении, например,  проекции
<sup></sup> (рис.  37) или <sup> </sup>(рис. 38)?  „а; это показано  на
рис. 40 и 41. Ќо здесь, конечно, угол 45°, построен-
     <img width="74" height="95" alt="0x01 graphic" src="gordon-45.png">

     ђис. 41

     <sup>1</sup>) ќто обозначение оси соответствует ранее  принЯтому  -- х.
Џри введении новой оси, например 4/1, ее обозначение - xt.


     23


     ный на рис.  17, не получаетсЯ. Љак  видно из чертежей на рис. 40 и 41,
надо провести биссектрису угла, образуемого осЯми 2/ и K4/nt (рис. 40)  и
осЯми 2/ и -/5 (рис. 41).
     Ќо, как  было сказано на  с. 23, предпочтительными ЯвлЯютсЯ построениЯ,
показанные на рис. 39 слева и на рис. 37 и 38.
     ‚ дальнейшем  (§ 33) мы встретимсЯ еще  с  другими  примерами  введениЯ
дополнительных  плоскостей  длЯ  образованиЯ  требуемой  системы  плоскостей
проекций.

        § 9. —…ђ’…†€ Ѓ…‡ “ЉЂ‡ЂЌ€џ Ћ‘…‰ ЏђЋ…Љ–€‰

     ‚  дальнейшем  изложении нарЯду с  чертежами, содержащими оси проекций,
будут применЯтьсЯ чертежи без указаниЯ осей.
     €з сравнениЯ чертежей на рис. 42  следует, что в одном случае положение
плоскостей  1  и 2 установлено проведением  линии  их  пересечениЯ  и  что
установлены расстоЯниЯ точки Ђ от этих  плоскостей.  Ќа втором же чертеже на
рис. 42 вопрос о расстоЯниЯх точки Ђ от плоскостей , и 2 отпадает, так как
ось проекций отсутствует; рассматриваетсЯ некотораЯ точка Ђ, заданнаЯ своими
проекциЯми, безотносительно к тому,  где  находЯтсЯ плоскости проекций.  Џри
этом, конечно, тем  большее значение  приобретает  линиЯ свЯзи  проекций, ее
направление и правильное проведение.
     Њожно ли,  имеЯ чертеж без указаниЯ оси проекций, ввести эту ось  и тем
задать расстоЯниЯ точки от условно выбранных  плоскостей 1 и 2? „а, можно.
‚водЯ ось, надо ее провести обЯзательно  перпендикулЯрно к линии  свЯзи,  но
безразлично,
     <img width="85" height="110" alt="0x01 graphic" src="gordon-46.png">
     <img width="113" height="134" alt="0x01 graphic" src="gordon-47.png">

     ђис. 43

     в  какой  именно  точке  на  этой линии (если не указываетсЯ какое-либо
условие). Џри этом  положение  проекций не изменитсЯ. „ействительно, проведЯ
ось  проекций,  мы  выбираем  некоторое  положение  двугранного  угла   ,2
относительно данной точки Ђ (рис.  43). Џеренесение оси на чертеже вверх или
вниз соответствует параллельному перемещению в пространстве двугранного угла
2  в  новое  положение  (на  рис.   43  положение  45)   в  направлении
биссекторной плоскости двугранного угла<sup>1</sup>), смежного с углом 12.
     ‚ведение  оси  проекций  (а   это  делаетсЯ  обычно  в  соответствии  с
каким-либо условием) было показано  на рис. 37  и  38: оси п3/  1 и  2/5.
‡десь  оси были нужны длЯ построениЯ:  от них отсчитывались размеры. ‚ообще,
оси,  если  их  рассматривать  в первоначальном  значении линий  пересечениЯ
плоскостей  проекций,  помогают  представлению  пространственной  картины по
чертежу.
     Ѓазы  отсчета  размеров ЯвлЯютсЯ неотъемлемой  составлЯющей технических
чертежей;  выбор  положениЯ баз  не  ЯвлЯетсЯ  ограниченным и  определЯетсЯ,
исходЯ из необходимости и целесообразности.

     <sup>1</sup>)  ЃиссекторнаЯ плоскость  двугранного  угла --  плоскость,
проходЯщаЯ через  ребро двугранного угла  и делЯщаЯ  его пополам.  Bissektor
(лат.) -- надвое рассекающий.


     24


     Ќа  рис.  44  слева показано,  как устанавливаетсЯ  разность расстоЯний
точек Ђ и ‚ от плоскостей проекций пь 2 и 3. —ертеж на рис.  44 справа дан
с осЯми проекций.
     <img width="114" height="121" alt="0x01 graphic" src="gordon-48.png">
     <img width="146" height="154" alt="0x01 graphic" src="gordon-49.png">

     ђис. 44
     ‚  данном примере  разность расстоЯний точек  от  пл.    определЯетсЯ
отрезком  Ђ"1,  равным Ђ"Ђ•  -- ‚"‚• или Ђ'"3,  от пл.  2  -- отрезком ‚'2,
равным ‚'‚• -- Ђ'Ђ• или ‚'"3, от пл. 3 -- отрезком ‚"1, равным Ђ"Ђг -- ‚"‚2
или Ђ'2.

        ‚ЋЏђЋ‘› Љ §§ 8-9

     1. Љак образуютсЯ системы плоскостей проекций?
     2. Љакому условию должна отвечать плоскость, вводимаЯ в систему ,, .,
в качестве дополнительной плоскости проекций?
     3.  Љак строитсЯ проекциЯ  точки, заданной в системе ·, 2 на m. it.,,
перпендикулЯрнойк пл. ·?
     4. “станавливаютсЯ  ли  расстоЯниЯ  точки  от плоскостей  проекций  при
наличии оси проекций?
     5. Љак следует понимать чертеж точки при отсутствии оси проекций?
     6. Љакое назначение имеют оси /, и -/5; на рис. 40 и 41?
     7. Љак устанавливаетсЯ на чертеже в системе ,,  2 расстоЯние точки от
пл. , и от пл. 2?

        § 10. ЏђЋ…Љ–€€ Ћ’ђ…‡ЉЂ ЏђџЊЋ‰ ‹€Ќ€€

     Џоложим,  что даны фронтальные и горизонтальные проекции  точек  Ђ и  ‚
(рис. 45). ЏроведЯ через одноименные  проекции этих точек  прЯмые линии,  мы
получаем  проекции  отрезка  Ђ‚  --   фронтальную  (Ђ"‚")  и  горизонтальную
(Ђ'‚<sup>1</sup>)').
     Њожно ли утверждать, что такой чертеж (рис. 45) выражает именно отрезок
прЯмой линии? „а; если  представить себе (рис. 46),  что через Ђ'‚' и  через
Ђ"‚" проведены проецирующие плоскости (т. е. перпендикулЯрные соответственно
к 1  и к 2),  то  в  пересечении этих  плоскостей получаетсЯ  прЯмаЯ  и ее
отрезок  Ђ‚. Џри этом точка, заданнаЯ своими проекциЯми  на Ђ'‚' и  на Ђ"‚",
принадлежит отрезку Ђ‚.
     Ќа рис. 47  дан чертеж отрезка Ђ‚ в системе 1, 2, 3·  Џроекции Ђ'" и
‚'" построены так, как это было показано на рис. 18 длЯ одной точки Ђ.
     ’очки Ђ и ‚ находЯтсЯ на разных расстоЯниЯх  от  каждой  из  плоскостей
·,, 2 и 3, т. е. прЯмаЯ Ђ‚  не параллельна ни  одной  из них. Џри этом ни
одна из проекций прЯмой  не  параллельна оси проекций и не перпендикулЯрна к
ней. ’акаЯ прЯмаЯ называетсЯ прЯмой общего положениЯ.


     25


     <img width="71" height="135" alt="0x01 graphic" src="gordon-50.png">
     <img width="120" height="123" alt="0x01 graphic" src="gordon-51.png">
     <img width="127" height="125" alt="0x01 graphic" src="gordon-52.png">

     ђис. 45 ђис. 46 ђис. 47
     ЉаждаЯ из  проекций меньше  самого отрезка: Ђ'‚' &lt; Ђ‚, Ђ"‚" &lt; Ђ‚,
Ђ'"‚'"  &lt; &lt; Ђ‚. ЋбозначаЯ углы  между прЯмой и плоскостЯми 1; 2 и 3
соответственно через 1,  2 и 3, получим
     Ђ'‚' = ABcos  1, Ђ" ‚" = Ђ‚ cos 2, Ђ'" ‚'" = ABcos 3.
     …сли Ђ'‚' =  Ђ"‚"  = Ђ"'‚'",  то прЯмаЯ образует с плоскостЯми проекций
равные между  собой углы (~ 35°)<sup>1</sup>); при этом  каждаЯ из  проекций
прЯмой расположена
     под углом 45° к соответствующим  осЯм проек-ций или линиЯм  свЯзи между
проекциЯми.
     „ействительно, если (рис. 48)  Ђ'‚" = Ђ'‚'  и Ђ'‚' = Ђ'"‚'",  то фигура
Ђ"‚"‚'Ђ'  - равнобочнаЯ трапециЯ и ‚"1 = ‚'2, откуда ‚"'3 = Ђ'"3, т. е. угол
Ђ'"‚"'3  = 45°, а  так как  фигура Ђ"‚"‚'"Ђ"' - параллелограмм, то каждый из
углов ‚"Ђ"1 и ‚'Ђ'2 равен 45°.
     Љак  построить  на  чертеже  без осей  проекций,  например,  профильную
проекцию отрезка прЯмой линии? Џостроение показано на рис. 49, где слева дан
исходный чертеж  отрезка Ђ‚ прЯмой  общего  положениЯ,  в середине  показано
применение вспомогательной прЯмой, проведенной под углом 45°· к  направлению
линии  свЯзи ‚"‚',  а справа -- построение в разности расстоЯний точек Ђ и ‚
от пл. 2,  т. е. по отрезку  :  задавшись положением хотЯ бы проекции Ђ'"
(на  линии  свЯзи  Ђ"Ђ'"),  откладываем Ђ'"2  =   и, проведЯ  из  точки  2
перпендикулЯр до  пересечениЯ  с линией свЯзи  проекций  ‚"  и  ‚'", находим
положение проекции ‚'".
     <img width="131" height="145" alt="0x01 graphic" src="gordon-53.png">

     <img width="329" height="102" alt="0x01 graphic" src="gordon-54.png">

     ђис. 49

     <sup>1</sup>) ‚ывод см. в § 13.


     26
     <b>§  11.  Ћ‘ЋЃ›…</b> (—Ђ‘’Ќ›…) ЏЋ‹Ћ†…Ќ€џ ЏђџЊЋ‰ <b>‹€Ќ€€</b> Ћ’ЌЋ‘€’…‹њЌЋ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰
ЏђЋ…Љ–€‰

     ЏрЯмаЯ  линиЯ  может  занимать относительно плоскостей проекций  особые
(иначе, частные) положениЯ. ђассмотрим их по следующим двум признакам:
     Ђ. ЏрЯмаЯ параллельна одной плоскости проекций.
     Ѓ. ЏрЯмаЯ параллельна двум плоскостЯм проекций.
     ‚ первом случае  одна проекциЯ отрезка прЯмой равна самому отрезку.  ‚о
втором случае две проекции отрезка равны ему<sup>1</sup>).

        Ђ. ЏрЯмаЯ параллельна одной плоскости проекций

     1. ЏрЯмаЯ  параллельна  пл.  , (рис. 50). ‚  таком случае  фронтальнаЯ
проекциЯ прЯмой параллельна оси проекций и  горизонтальнаЯ  проекциЯ отрезка
этой  прЯмой  равна  самому  отрезку:   Ђ'‚'=Ђ‚.  ’акаЯ   прЯмаЯ  называетсЯ
горизонтальной.
     …сли, например, проекциЯ  Ђ"‚" совпадает с осью проекций, то отрезок Ђ‚
расположен в пл. , <sup>2</sup>).
     <img width="105" height="92" alt="0x01 graphic" src="gordon-55.png">
     <img width="70" height="111" alt="0x01 graphic" src="gordon-56.png">
     <img width="55" height="112" alt="0x01 graphic" src="gordon-57.png">


     ђис. 50
     <img width="120" height="113" alt="0x01 graphic" src="gordon-58.png">
     <img width="144" height="110" alt="0x01 graphic" src="gordon-59.png">

     ђис. 51

     2.   ЏрЯмаЯ   параллельна   пл.   2  (рис.  51).  ‚  таком  случае  ее
горизонтальнаЯ  проекциЯ параллельна  оси  проекций и  фронтальнаЯ  проекциЯ
отрезка этой прЯмой равна самому отрезку: C"D" = CD. ’акаЯ прЯмаЯ называетсЯ
фронтальной.
     …сли,  например,  проекциЯ  C'D'  совпадает  с  осью проекций,  то  это
соответствует положению отрезка CD в самой пл. 2.

     ') ‚се это, конечно, с учетом масштаба чертежа.
     <sup>2</sup>) Ќа рис.  50 справа дан чертеж без указаниЯ  оси проекций.
’о же сделано на рис. 51.


     27


     3. ЏрЯмаЯ параллельна пл. 3 (рис. 52). ‚ таком случае горизонтальнаЯ и
фронтальнаЯ  проекции  прЯмой  располагаютсЯ  на одном перпендикулЯре  к оси
проекций  Ћх и профильнаЯ проекциЯ этой прЯмой равна самому  отрезку: E"F" =
EF. ’акаЯ прЯмаЯ называетсЯ профильной.
     <img width="100" height="124" alt="0x01 graphic" src="gordon-60.png">
     <img width="146" height="174" alt="0x01 graphic" src="gordon-61.png">
     <img width="106" height="107" alt="0x01 graphic" src="gordon-62.png">


     ђис. 52 ђис. 53
     Њожно ли считать, что на  чертежах, подобных указанным на рис. 50 и 51,
изображены отрезки именно прЯмых линий? „а; доказательство такое же, как длЯ
прЯмой общего положениЯ (рис. 46).
     …сли же на чертеже в системе 5 2 обе проекции  перпендикулЯрны к оси
проекций, то проецирующие плоскости, проведенные через E'F и E"F", сливаютсЯ
в одну и  оригиналом может  быть  не  только  прЯмаЯ линиЯ,  но  и некотораЯ
плоскаЯ криваЯ (рис. 53).

        Ѓ. ЏрЯмаЯ параллельна двум плоскостЯм проекций

     1.   ЏрЯмаЯ  параллельна  плоскостЯм   1  и  2   (рис.  54),  т.   е.
перпендикулЯрна к пл. 3. ЏроекциЯ на пл. 3 представит собой точку.
     2.   ЏрЯмаЯ  параллельна   плоскостЯм   ,  и  3  (рис.  55),  т.   е.
перпендикулЯрна к пл.  2. ЏроекциЯ на  пл.  3 представлЯет  собой  отрезок
прЯмой, равный CD'.


     <img width="192" height="95" alt="0x01 graphic" src="gordon-63.png">
     <img width="167" height="114" alt="0x01 graphic" src="gordon-64.png">

     ђис. 54 ђис. 55 ђис. 56 ђис. 57
     3.   ЏрЯмаЯ   параллельна   плоскостЯм  2   и  3  (рис.  56),  т.  е.
перпендикулЯрна к
     пл.  nt. ЏроекциЯ  на пл.  3 представит  собой отрезок, параллельный и
равный E"F".
     Ќа рис. 57 дано наглЯдное изображение положениЯ рассмотренных прЯмых').


     ') „лЯ этих прЯмых встречаетсЯ название "проецирующие прЯмые".


     28


     <img width="345" height="105" alt="0x01 graphic" src="gordon-65.png">

     ђис. 58 ђис. 59
     Ћбычно строЯтсЯ  проекции отрезков прЯмой линии  с  указанием  концевых
точек  отрезка.  …сли  же  по  каким-либо   причинам   показывают  некоторую
неопределенную  часть прЯмой  линии, то  практически тоже показывают отрезок
линии,  но не  обозначают  концевых  точек  этого  отрезка. Џри  этом  можно
пользоватьсЯ обозначением каждой  проекции только одной буквой,  относЯ ее к
какой-либо точке прЯмой (рис. 58): "прЯмаЯ, проходЯщаЯ через точку Ђ".
     Ћбратим  внимание на  чертеж слева  на  рис. 59.  Ћтносительно  прЯмой,
изображенной на нем, можно сказать лишь то, что она проходит через точку L и
параллельна  пл. jtj, но  в остальном положение этой прЯмой не определЯетсЯ.
Ћпределенность была бы внесена горизонтальной проекцией, т. е.  проекцией на
плоскости, по отношению к которой прЯмаЯ параллельна.
     …сли  же  мы  имеем  дело  с  прЯмой,  заданной  двумЯ  своими  точками
(например,  с  отрезком  прЯмой,  заданным своими  концами),  то можно точно
определить положение этой прЯмой и в том случае,  если не задана ее проекциЯ
на плоскости, параллельной этой  прЯмой.  ’ак, например, если дан отрезок Ђ‚
прЯмой (рис. 59, справа), то  мы  можем установить не  только параллельность
этой прЯмой по отношению к пл. -, но и то,  что точка A данной прЯмой более
удалена от пл. 2, чем точка ‚.

     <b>§ 12.</b> ’Ћ—ЉЂ <b>ЌЂ ЏђџЊЋ‰. ‘‹…„›</b> ЏђџЊЋ‰

     Ќа рис.  60  дан чертеж некоторой прЯмой общего  положениЯ,  проходЯщей
через  точку Ђ.  …сли известно, что  точка  ‚ принадлежит этой  прЯмой и что
горизонтальнаЯ  проекциЯ  точки  ‚  находитсЯ  в  точке  ‚', то  фронтальнаЯ
проекциЯ ‚" определЯетсЯ так, как показано на рис. 60.
     Ќа рис. 61 показано построение точки на профильной прЯмой. Џоложим, что
задана  проекциЯ  ‘" этой  точки;  надо  найти  ее  горизонтальную проекцию.
Џостроение  выполнено  при  помощи  профильной  проекции Ђ'"‚"'  отрезка Ђ‚,
взЯтого  на  профильной  прЯмой.  •од построениЯ показан  стрелками. ‘начала
определена проекциЯ ‘", а по ней -- искомаЯ проекциЯ ‘".
     Ћдним из свойств параллельного проецированиЯ ЯвлЯетсЯ то, что отношение
     Ђ‘ Ђ°‘°
     отрезков прЯмой линии равно отношению их проекций (рис. 62):
     <img width="51" height="110" alt="0x01 graphic" src="gordon-66.png">
     <img width="100" height="120" alt="0x01 graphic" src="gordon-67.png">
     <img width="96" height="75" alt="0x01 graphic" src="gordon-68.png">


     ђис. 61 ђис. 62
     29
     как  прЯмые  ЂЂ°,  ‘‘°  и  ‚‚°  параллельны  между  собой.  Ђналогично,
отношение отрезков на проекции прЯмой линии равно отношению отрезков на этой
прЯмой. …сли бы точка делила  пополам отрезок прЯмой, то проекциЯ этой точки
также делила бы проекцию отрезка пополам, и наоборот.
     €з  сказанного  следует, что  на рис. 61 деление  проекций Ђ"‚"  и Ђ'‚'
точками ‘" и ‘' соответствует делению в пространстве  отрезка Ђ‚ точкой ‘  в
том же отношении. ќтим можно воспользоватьсЯ  длЯ более  простого построениЯ
точки на профильной прЯмой. …сли (как и на рис. 61)  на проекции Ђ"‚"  (рис.
63)  задана  проекциЯ  ‘",  то,  очевидно,  надо  разделить  Ђ'‚' в  том  же
отношении,  в  каком  точка  ‘"  делит  проекцию  Ђ"‚". ЏроведЯ из точки  Ђ'
некоторую  вспомогательную прЯмую, откладываем  на  ней   = Ђ"‘" и 1 -2  =
‘"‚".  Џроводим  прЯмую  ‚'2 и  параллельно  ей  через  точку  1  прЯмую  до
пересечениЯ  с  Ђ'‚'  в  точке  ‘'.  ќта точка  представлЯет  собой  искомую
горизонтальную проекцию точки ‘, принадлежащей отрезку Ђ‚.
     <img width="65" height="153" alt="0x01 graphic" src="gordon-69.png">
     <img width="75" height="139" alt="0x01 graphic" src="gordon-70.png">
     <img width="163" height="126" alt="0x01 graphic" src="gordon-71.png">
     <img width="96" height="111" alt="0x01 graphic" src="gordon-72.png">

     ђис. 63 ђис. 64 ђис. 65 ђис. 66

     Ќа рис. 64 дан пример делениЯ отрезка прЯмой линии в некотором заданном
отношении.
     Ћтрезок  CD  разделен  в  отношении   2:5.   €з   точки   ‘'  проведена
вспомогательнаЯ  прЯмаЯ,   на  которой   отложено  семь  (2  +  5)  отрезков
произвольной длины, но равных между собой. ЏроведЯ отрезок D'7 и параллельно
ему через точку  2 прЯмую, получаем точку Љ', причем ‘'Љ': K'D' = 2:5; затем
находим Љ". ’очка Љ делит отрезок CD в отношении 2 :5.
     Ќа  рис.  65 показаны  точки  и , в которых прЯмаЯ, заданнаЯ отрезком
Ђ‚, пересекает плоскости проекций. ќти точки называютсЯ следами: точка   --
горизонтальный след прЯмой, точка N -- ее фронтальный след.
     ѓоризонтальнаЯ проекциЯ  горизонтального следа  (точка Њ') совпадает  с
самим следом,  а фронтальнаЯ проекциЯ этого следа Њ" лежит на оси  проекций.
”ронтальнаЯ  проекциЯ  фронтального  следа  "  совпадает   с  точкой  ,  а
горизонтальнаЯ проекциЯ ' ' лежит на той же оси проекций.
     ‘ледовательно,  чтобы   найти  горизонтальный   след,  надо  (рис.  66)
продолжить  фронтальную  проекцию Ђ"‚" до  пересечениЯ с  осью 2/ и через
точку Њ" (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикулЯр
к оси 2/1  до  пересечениЯ  с продолжением  горизонтальной  проекции Ђ'‚'.
’очка Њ'  -- горизонтальнаЯ  проекциЯ горизонтального следа; она совпадает с
самим следом (= знак совпадениЯ).
     „лЯ  нахождениЯ  фронтального следа  продолжаем горизонтальную проекцию
Ђ'‚'  до  пересечениЯ  с  2/1;  через  точку '  (горизонтальную  проекцию
фронтального


     30


     следа) проводим перпендикулЯр до пересечениЯ с продолжением фронтальной
проекции  Ђ"‚". ’очка N"  -- фронтальнаЯ  проекциЯ  фронтального следа;  она
совпадает с самим следом.
     Џо положению точек  и N можно судить,  к каким  четвертЯм пространства
отнесена  даннаЯ прЯмаЯ.  Ќа рис. 65 прЯмаЯ Ђ‚  проходит через  IV,  I и  II
четверти.
     ЏрЯмаЯ не имеет  следа на плоскости проекций   том  случае, когда  она
параллельна этой плоскости.
     Ќа рис. 67 прЯмаЯ пересекает не только  пл. 1 и 2, но и пл. 3. ’очка
 --  профильный след прЯмой, т. е. след на  профильной плоскости  проекций.
ќтот след совпадает  с его собственной проекцией на  пл. 3, а фронтальнаЯ и
горизонтальнаЯ проекции его лежат соответственно на осЯх z и у.
     <img width="180" height="135" alt="0x01 graphic" src="gordon-73.png">
     <img width="145" height="148" alt="0x01 graphic" src="gordon-74.png">

     ђис. 67
     ‚ данном случае  прЯмаЯ  проходит за  точкой    через  пЯтый октант и,
встречаЯ далее пл.  2,  уходит в  шестой  октант; прЯмаЯ из первого октанта
выходит в четвертый октант ').
     ‘оответствующий чертеж дан на рис. 67 справа. ЏрЯмаЯ показана в  первом
октанте -- проекции Њ'ђ', Њ"ђ" и  Њ'"ђ'" и в пЯтом октанте -- проекции '',
"" и "'"'.
     <img width="145" height="130" alt="0x01 graphic" src="gordon-75.png">
     <img width="133" height="141" alt="0x01 graphic" src="gordon-76.png">

     ђис. 68

     …сли  плоскости  проекций   принЯть  за   плоскости  координат,   то  у
горизонтального следа прЯмой координата z = 0, у фронтального следа у = 0, у
профильного следа  -- 0.
     Џостроение следов  профильной прЯмой (рис.  68)  может  быть  выполнено
следующим способом (рис. 68, справа).

     ')  “словимсЯ показывать  на  чертежах сплошными линиЯми  те  проекции,
которые соответствуют  положению  отрезка  в  первой четверти или  в  первом
октанте.


     31


     ‘троим профильную  проекцию (A'"B'"),  определЯем положение  профильных
проекций  горизонтального  следа  (Њ'") <b>и</b>  фронтального  следа <b>(N'") и</b> затем
находим   положение  остальных  проекций  этих  следов   (последовательность
построениЯ на чертеже показана стрелками).

        ‚ЋЏђЋ‘› Љ §§ 10-12

     1.   Џри  каком  положении  относительно   плоскостей  проекций  прЯмаЯ
называетсЯ прЯмой общего положениЯ?
     2.  Љак доказываетсЯ, что чертеж, содержащий  две свЯзанные между собой
проекции в виде отрезков прЯмой линии, выражает именно отрезок прЯмой линии?
     3.  Љак  выражаетсЯ соотношение между проекцией  отрезка прЯмой и самим
отрезком?
     4.  Љак расположена прЯмаЯ в  системе 1, 2, 3, если все три проекции
отрезка этой прЯмой равны между собой?
     5. Љак построить профильную проекцию отрезка прЯмой общего положениЯ по
данным фронтальной и горизонтальной проекциЯм?
     6. Љак выполнить построение по вопросу 5 на чертеже без осей проекций?
     7.  Љакие  положениЯ  прЯмой  линии  в системе  .-..,.,  3  считаютсЯ
"особыми" (иначе -- "частными")?
     8. Љак располагаетсЯ фронтальнаЯ  проекциЯ  отрезка прЯмой линии,  если
его горизонтальнаЯ проекциЯ равна самому отрезку?
     9. Љак располагаетсЯ горизонтальнаЯ проекциЯ отрезка прЯмой линии, если
его фронтальнаЯ проекциЯ равна самому отрезку?
     10.  Љакое  свойство  параллельного  проецированиЯ  касаетсЯ  отношениЯ
отрезков прЯмой линии?
     11. Љак разделить на чертеже отрезок прЯмой линии в заданном отношении?
     12. —то называетсЯ следом прЯмой линии на плоскости проекций?
     13. ЉакаЯ координата  равна нулю: а)  длЯ фронтального следа прЯмой, б)
длЯ горизонтального следа прЯмой?
     14. ѓде располагаетсЯ горизонтальнаЯ проекциЯ фронтального следа прЯмой
линии?
     15. ѓде располагаетсЯ фронтальнаЯ проекциЯ горизонтального следа прЯмой
линии?
     16. Њожет ли быть случай, когда прЯмаЯ линиЯ в системе ,,·2, 3 имеет
следы на каждой из этих плоскостей, сливающиесЯ в одну точку?

        § 13. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€… ЌЂ</b> —…ђ’…†… ЌЂ’“ђЂ‹њЌЋ‰ <b>‚…‹€—€Ќ›
     Ћ’ђ…‡ЉЂ <b>ЏђџЊЋ‰ ЋЃ™…ѓЋ ЏЋ‹Ћ†…Ќ€џ</b>
     <b>€</b> “ѓ‹Ћ‚ <b>ЌЂЉ‹ЋЌЂ ЏђџЊЋ‰ Љ</b> Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’џЊ <b>ЏђЋ…Љ–€‰  1 и</b> 2

     €з рассмотрениЯ  левой  части рис. 69 можно  заключить, что отрезок  Ђ‚
ЯвлЯетсЯ гипотенузой прЯмоугольного треугольника Ђ‚1, в котором  один  катет
равен проекции отрезка (Ђ1 = Ђ°‚°), а другой катет равен разности расстоЯний
концов отрезка от плоскости проекций 0.
     <img width="315" height="117" alt="0x01 graphic" src="gordon-77.png">

     ђис. 69
     32

     …сли координаты,  определЯющие  расстоЯниЯ концов отрезка от  плоскости
проекций,  имеют  разные  знаки  (рис.  69,  справа), то надо иметь  в  виду
разность алгебраическую:
     ‚1 = ‚‚° - (-ЂЂ<sup>0</sup>) = ‚‚° + ЂЂ°.
     “гол   прЯмой  линии  с  плоскостью  проекций  определЯетсЯ  как  угол,
составленный прЯмой с ее  проекцией на этой плоскости.  ќтот _ угол входит в
тот же прЯмоугольный треугольник, который строЯт длЯ определениЯ натуральной
величины отрезка.
     Ћчевидно, знаЯ  по чертежу катеты  треугольника,  можно его построить в
любом месте полЯ чертежа. Ќа  рис.  70 показано  построение,  примененное ѓ.
Њонжем:
     <img width="98" height="114" alt="0x01 graphic" src="gordon-78.png">
     <img width="281" height="117" alt="0x01 graphic" src="gordon-79.png">

     ђис. 70 ђис. 71 ђис. 72
     от  точки  1 отложен отрезок  ,  равный проекции  A'ff,  и  проведена
гипотенуза Ђ"“, выражающаЯ натуральную величину  отрезка Ђ‚. “гол с вершиной
в точке Ђ" равен углу между Ђ‚ и пл.  1
     Ќа рис. 71 слева длина отрезка Ђ‚ и угол, составленный прЯмой Ђ‚ с  пл.
1определены из прЯмоугольного  треугольника,  построенного на проекции Ђ'‚'
при втором катете ‚'‚*, равном ‚"1. Ђ‚ = Ђ'‚*.
     Ќа  рис.  71  справа  длина  отрезка  и  угол, составленный  с пл.  п2,
определены из  прЯмоугольного  треугольника, построенного  на проекции  Ђ"‚"
(Ђ"Ђ* = Ђ'2). Ђ‚ = ‚"Ђ*.
     Ћграничены ли  чем-либо углы .  и - длЯ прЯмой  общего положениЯ? „а,
каждый из них может быть  только  острым.  Ќо, кроме того, длЯ прЯмой общего
положениЯ  -  + -  &lt;  90°.  „ействительно  (рис.  72),  в прЯмоугольном
треугольнике ""' сумма углов  +  - = 90°. Ќо  в треугольниках ""'  
'''  при  общей  гипотенузе  "'  катет  ""   больше  катета  "'  и,
следовательно,  &gt;1. ЏодставлЯЯ в   +  2=90° угол  вместо , получим
1+ 2&lt;90°.
     ђассмотрим  (рис. 71)  прЯмоугольные треугольники  Ђ'‚'‚* и  A"B"A*.  ‚
каждом из них  гипотенуза выражает  натуральную величину отрезка,  а один из
катетов ЯвлЯетсЯ  проекцией этого отрезка. „ругой  же  катет равен  разности
расстоЯний концов отрезка  от соответствующей плоскости проекций (‚'‚* - ‚"1
=  разности расстоЯний  от nlt a A"A* =  Ђ'2 =  разности расстоЯний  от Я2).
Љроме того, в одном из  этих треугольников  содержитсЯ угол между отрезком и
пл. 1 (угол ), в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2).
     ‚ данном случае нам были известны  катеты и мы определЯли  гипотенузу и
угол.  Ќо  может  быть  и  такое  положение:  известны  гипотенуза  и  угол,
определить  катеты  (т.  е.   даны  натуральнаЯ  величина  отрезка  и  углы,
составлЯемые им с плоскостЯми проекций; построить проекции этого отрезка).
     Џоложим (рис.  73),  что  AB  есть  заданный отрезок  (на  рис.  71  он
соответствует  гипотенузам A'B* и  B"A*). Џостроим на нем, как на  диаметре,
окружность. ЏринЯв точку Ђ за вершину, построим угол  (т. е. заданный угол
с пл. 1) и прЯмоугольный треугольник Ђ1‚. €з сравнениЯ этого треугольника с
треугольником Ђ'‚'‚* (рис. 71) следует, что катет Ђ1 выражает горизонтальную
проекцию отрезка  AB,a катет ‚1 -- разность расстоЯний концов отрезка  Ђ‚ от
пл. 1.

        ‚. Ћ. ѓордон, Њ. Ђ. ‘еменцов-Ћгиевсшй


     33


     Џостроим  (рис.  73)  также  прЯмоугольный  треугольник  Ђ2‚ по той  же
	‡наки координат		‡наки координат
		“				“	z
I	+	+	+	V		+	+
	+	_	+	VI	--	--	+
III	+	_	_	VII	_	_	_
IV	+	+	-	VIII	-	+	-