у совершенным  знанием  (определенностью)
относительно какой-либо  категории,  и  "совершенством"  самой  категории --
очень скоро.
     „опустим, что мы намеренно модифицируем программу, передающую геометрию
…вклида,  так,  что  генератор  виртуальной  реальности   по-прежнему  будет
передавать круги достаточно хорошо, но менее,  чем  совершенно. ђазве  мы не
смогли  бы  сделать  <i>какой-либо</i>  вывод  о  совершенных  кругах,  ощущаЯ  эту
несовершенную  передачу?  ќто полностью зависело бы от того, знали бы мы,  в
каких отношениЯх была изменена  программа или нет. …сли бы  мы это знали, мы
могли бы  с определенностью решить  (за  исключением грубых ошибок и  т.д.),
какие   аспекты   ощущений,  полученных  нами  внутри  машины,  представлЯли
совершенные круги точно, а какие неточно. € в этом случае знание, которое мы
приобрели  там,  было бы  так же надежно,  как  и любое  знание,  которое мы
приобрели бы, используЯ правильную программу.
     <i>ЏредставлЯЯ</i>  круги, мы  осуществлЯем передачу  в виртуальной реальности
почти  такого  же рода  в своем мозге.  Џричина  того,  почему  этот  способ
мышлениЯ о кругах не бесполезен, состоит  в том, что мы можем создать точные
теории о  том, какими  свойствами совершенных  кругов обладают  воображаемые
нами круги, а какими нет.
     €спользуЯ совершенную передачу в  виртуальной реальности,  мы могли  бы
получить впечатление  о  шести идентичных  кругах,  которые  касаютсЯ кромки
седьмого  идентичного  им круга в  плоскости, не перекрываЯ друг  друга. ќто
впечатление  при  подобных  обстоЯтельствах  было  бы  эквивалентно  точному
доказательству  возможности   такой   ситуации,  потому  что  геометрические
свойства  переданных  форм   были  бы  абсолютно   идентичны  геометрическим
свойствам  абстрактных форм. Ќо  такой вид "практического"  взаимодействиЯ с
совершенными формами не способен дать <i>всестороннее</i> знание геометрии …вклида.
ЃольшаЯ часть интересных теорем относитсЯ не к одной геометрической форме, а
к  бесконечным классам  геометрических  форм. Ќапример,  сумма  углов любого
треугольника …вклида равна  180°. Њы можем измерить отдельные треугольники с
совершенной  точностью  в виртуальной  реальности,  но  даже  в  виртуальной
реальности  мы  не можем  измерить все  треугольники, и поэтому  мы не можем
проверить теорему.
     Љак  же   мы  можем  ее  проверить?   Њы  доказываем   ее.  ’радиционно
доказательство     определЯют     как     последовательность    утверждений,
удовлетворЯющих   самоочевидным   правилам   вывода,   но   чему   физически
эквивалентен <i>процесс</i> доказательства? —тобы доказать утверждение о бесконечно
большом количестве треугольников сразу, мы исследуем определенные физические
объекты (в данном  случае  символы), которые  обладают  общими свойствами  с
целым классом треугольников. Ќапример,  когда при надлежащих обстоЯтельствах
мы  наблюдаем  символы  "r<i>Ђ‚‘=</i>r<i>DEF</i>"  (т.  е.  "треугольник  Ђ‚‘  конгруэнтен
треугольнику  DEF"),  мы  делаем вывод,  что  все треугольники  из какого-то
определенного  конкретным образом класса всегда имеют ту же самую форму, что
и соответствующие  им  треугольники из  другого класса, определенного иначе.
"Ќадлежащие   обстоЯтельства",   которые   придают   этому   выводу   статус
доказательства,  заключаютсЯ,  говорЯ  Языком  физики,  в том,  что  символы
поЯвлЯютсЯ  на   странице  под   другими  символами  (некоторые  из  которых
представлЯют  аксиомы  геометрии  …вклида),  и  порЯдок  поЯвлениЯ  символов
соответствует определенным правилам, а именно, правилам вывода.
     Ќо какими правилами вывода нам следует пользоватьсЯ? ќто все равно, что
спросить, как следует запрограммировать генератор виртуальной реальности длЯ
передачи мира геометрии …вклида.  Ћтвет  в том,  что  нужно использовать  те
правила вывода, которые, длЯ нашего лучшего пониманиЯ, заставЯт наши символы
вести  себЯ  в  уместной  степени как  абстрактные  категории,  которые  они
обозначают.  Љак мы можем быть уверены, что они будут вести себЯ именно так?
Ђ мы  и не  можем  быть уверены  в  этом. Џредположим, что некоторые критики
возражают  против наших правил  вывода,  потому  что  они считают,  что наши
символы будут вести себЯ отлично  от  абстрактных категорий. Њы не  можем ни
взывать  к авторитету ЂристотелЯ или Џлатона,  ни доказать, что наши правила
вывода  безошибочны  (за  исключением  теоремы  ѓеделЯ,  это  привело  бы  к
бесконечному регрессу,  ибо сначала нам  пришлось бы доказать обоснованность
самого  метода  доказательства, используемого нами). Ќе можем мы и  надменно
сказать критикам, что у них что-то не в порЯдке с интуицией, потому что <i>наша</i>
интуициЯ  говорит,  что символы  будут копировать  абстрактные  категории  в
совершенстве. ‚се,  что  мы можем  сделать,  --  это  объЯснить.  Њы  должны
объЯснить,  почему мы думаем,  что при определенных обстоЯтельствах  символы
будут  вести себЯ  желаемым  образом  в  соответствии  с  высказанными  нами
правилами.  Ђ  критики  могут  объЯснить,  почему  они  предпочитают теорию,
конкурирующую с нашей. ђасхождение во мнениЯх относительно двух таких теорий
--  это частично расхождение во  мнениЯх относительно наблюдаемого поведениЯ
физических   объектов.  ’акого  рода   расхождениЯ  могут  быть   адресованы
нормальными методами  науки. €ногда  они  легко  разрешимы, а иногда -- нет.
„ругой причиной подобного расхождениЯ  может стать  концептуальный конфликт,
свЯзанный  с  природой  самих  абстрактных  категорий.   €  вновь   дело  за
конкурирующими   объЯснениЯми,   на  этот  раз  объЯснениЯми  не  физических
объектов,  а абстрактных категорий.  ‹ибо мы  придем  к общему  пониманию со
своими критиками, либо согласимсЯ, что говорим о двух различных  абстрактных
объектах, либо  вообще  не придем к  согласию. Ќет  никаких  гарантий. ’аким
образом, в противоположность традиционному  убеждению, споры в математике не
всегда можно разрешить с помощью исключительно методологических средств.
     Ќа первый взглЯд, характер традиционного  символического доказательства
кажетсЯ   весьма   отличным   от   характера  "практического"   виртуального
доказательства.  Ќо теперь мы видим,  что они относЯтсЯ друг к другу так же,
как  вычислениЯ  относЯтсЯ  к  физическим  экспериментам.  ‹юбой  физический
эксперимент  можно  рассматривать как вычисление, и любое вычисление --  как
физический эксперимент. ‚ обоих видах доказательства физическими категориЯми
(независимо  от  того,  находЯтсЯ  они  в  виртуальной  реальности или  нет)
манипулируют  в  соответствии  с  правилами.  ‚ обоих  видах  доказательства
физические  категории представлЯют интересующие нас абстрактные категории. €
в  обоих случаЯх надежность  доказательства  зависит от истинности  теории о
том,   что   физические  и   абстрактные   категории   действительно   имеют
соответствующие свойства.
     €з вышеизложенного  рассуждениЯ также можно увидеть, что доказательство
--  это  физический  <i>процесс.</i>  ‚  действительности,  доказательство  --  это
разновидность   вычислениЯ.   "„оказать"   высказывание  значит  осуществить
вычисление, которое, будучи выполненным правильно,  устанавливает истинность
высказываниЯ.  €спользуЯ  слово  "доказательство"  длЯ обозначениЯ  <i>объекта,</i>
например, текста, написанного чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот
объект можно использовать  в  качестве программы  длЯ воссозданиЯ вычислениЯ
соответствующего вида.
     ‘ледовательно, ни  математические  теоремы, ни процесс  математического
доказательства,  ни  впечатление о математической  интуиции  не подтверждает
никакую  определенность.  Ќичто  не  подтверждает  ее.  Ќаше  математическое
знание,  так  же как и наше научное знание,  может  быть глубоким и широким,
может  быть неуловимым и удивительно объЯснительным, может быть принЯтым без
разногласий;   но  оно   не  может  быть  определенным.   Ќикто   не   может
гарантировать, что в  доказательстве, которое ранее считалось  обоснованным,
однажды  не  обнаружат глубокое недоразумение, казавшеесЯ естественным из-за
ранее  несомненного  "самоочевидного" допущениЯ  о  физическом мире, или  об
абстрактном  мире,  или  об  отношении  некоторых физических  и  абстрактных
категорий.
     €менно  такое ошибочное,  самоочевидное  допущение  привело к тому, что
саму  геометрию  ошибочно  классифицировали как  раздел математики в течение
двух  тысЯчелетий, приблизительно с  300 года  до н.э., когда …вклид написал
свой  труд  <i>"ќлементы",</i>  до девЯтнадцатого века (а  в  некоторых словарЯх  и
школьных  учебниках  до  сегоднЯшнего днЯ).  ѓеометриЯ …вклида  сформировала
часть интуиции  любого математика. ‚ конечном  счете,  некоторые  математики
начали сомневатьсЯ в самоочевидности, в частности, одной  из аксиом  …вклида
(так  называемой  "аксиомы о  параллельных"). ‘начала они не  сомневались  в
истинности  этой  аксиомы.  ѓоворЯт,  что  великий  немецкий  математик Љарл
”ридрих  ѓаусс  был первым, кто подверг  ее проверке. Ђксиома о параллельных
необходима при доказательстве того, что сумма углов  треугольника составлЯет
180°.  ‹егенда  гласит,  что  в совершенной секретности  (из-за  боЯзни быть
осмеЯнным) ѓаусс разместил  своих  ассистентов  с фонарЯми и  теодолитами на
вершинах  трех  холмов,  чтобы  вблизи   измерить  вершины  самого  большого
треугольника. Ћн  не  обнаружил  никаких отклонений от предсказаний …вклида,
однако  теперь мы знаем,  что  это произошло потому, что его инструменты  не
обладали  достаточной  чувствительностью.  (‘  геометрической  точки  зрениЯ
окрестность  ‡емли  оказываетсЯ  довольно  пассивным  местом). ЋбщаЯ  теориЯ
относительности   ќйнштейна   включала  новую  теорию   геометрии,   котораЯ
противоречила  геометрии  …вклида  и была  доказана экспериментально.  ‘умма
углов реального треугольника  в действительности  <i>не</i> обЯзательно  составлЯет
180°:   истиннаЯ  сумма   зависит   от  гравитационного  полЯ  внутри  этого
треугольника.
     ‚есьма похожаЯ  ошибочнаЯ  классификациЯ  была  вызвана фундаментальной
ошибкой относительно  самой природы математики, которую математики допускали
с античных  времен, а именно, что математическое  знание  более определенно,
чем  какаЯ-либо  другаЯ  форма  знаниЯ. ’акаЯ  ошибка  не  оставлЯет  выбора
классификации теории доказательства, кроме как части  математики,  поскольку
математическаЯ   теорема   не   может   быть  определенной,   если   теориЯ,
подтверждающаЯ  метод ее  доказательства, сама по себе неопределенна. Ќо как
мы только что видели, теориЯ доказательства не ЯвлЯетсЯ разделом  математики
--   она  ЯвлЯетсЯ  наукой.  „оказательства  не  абстрактны.  Ќе  существует
абстрактного   доказательство   чего-либо,  так   же,  как   не   существует
абстрактного   вычислениЯ  чего-либо.   Љонечно,  можно   определить   класс
абстрактных   категорий    и   назвать   их   "доказательствами",   но   эти
"доказательства" не могут подтвердить математические утверждениЯ, потому что
их невозможно увидеть. Ћни могут убедить кого-либо в истинности высказываниЯ
не   более,  чем   абстрактный  генератор  виртуальной  реальности,  который
физически не  существует, может убедить людей, что они  находЯтсЯ  в  другой
среде,  или  абстрактный  компьютер  может  разложить  на  множители  число.
ЊатематическаЯ "теориЯ доказательств" не имела бы никакого отношениЯ к тому,
какие математические истины  можно или  нельзЯ  доказать в действительности,
точно  так  же,  как теориЯ  абстрактного  "вычислениЯ"  не  имеет  никакого
отношениЯ к  тому, что математики  -- или кто-то еще  --  могут или не могут
вычислить в  реальности,  по  крайней мере,  если  не  существует  отдельной
эмпирической причины  считать,  что абстрактные  "вычислениЯ" в  этой теории
похожи  на  реальные  вычислениЯ.  ‚ычислениЯ, включаЯ и  особые вычислениЯ,
квалифицируемые  как  доказательства,  --  это  физические  процессы. ’еориЯ
доказательств  говорит о том,  как обеспечить, чтобы эти процессы  правильно
имитировали абстрактные категории, которые они должны имитировать.
     ’еоремы ѓеделЯ называли "первыми новыми теоремами  чистой логики за две
тысЯчи лет". Ќо  это не так: теоремы ѓеделЯ говорЯт о том, что можно,  а что
нельзЯ  доказать,  а доказательство  --  это  физический Џроцесс.  ‚  теории
доказательства  нет ничего,  что  касалось  бы  только чистой  логики. Ќовый
способ доказательства ѓеделем общих утверждений о доказательствах зависит от
определенных допущений о  том,  какие физические процессы могут или не могут
представить  абстрактный факт так.  что наблюдатель сможет обнаружить его  и
убедитьсЯ,  благодарЯ  ему.  ѓедель  перевел  такие  допущениЯ  в   Явное  и
выраженное невербально доказательство своих результатов. …го результаты были
самоочевидно доказанными не потому, что  были "чисто логическими", а потому,
что математики нашли эти допущениЯ самоочевидными.
     Ћдно из  сделанных ѓеделем допущений  было традиционным: доказательство
может иметь только  конечное число  этапов. €нтуитивное доказательство этого
допущениЯ состоит в  том,  что мы  конечные существа и никогда не смогли  бы
постичь буквально бесконечное число утверждений. Љстати, именно эта интуициЯ
стала причиной  беспокойства  многих математиков, когда  в 1976 году  Љеннет
ќппел и ‚ольфганг •акен использовали компьютер длЯ доказательства знаменитой
"гипотезы четырех цветов" (о том, что,  используЯ всего четыре разных цвета,
любую карту, нарисованную на  плоскости, можно раскрасить так,  что  никакие
два примыкающих  района не будут иметь одинаковый цвет). Џрограмма требовала
сотни  часов машинного времени, что означало, что этапы доказательства, если
оно было бы записано, не смог бы прочитать ни один человек  за много жизней,
не  говорЯ  уже  о  том,  чтобы  признать  его  самоочевидным.  "‘ледует  ли
воспринимать слово компьютера как то, что гипотеза четырех цветов доказана?"
-- задавались  вопросом скептики -- хотЯ им и  в голову никогда не приходило
составить каталог всех импульсов всех нейронов своего собственного мозга при
принЯтии относительно "простого" доказательства.
     ’акое  же  беспокойство  может  показатьсЯ  более  оправданным,  будучи
примененным к предполагаемому решению с  бесконечным  числом  этапов. Ќо что
такое "этап" и  что такое "бесконечный"? ‚ пЯтом веке  до н.э. ‡енон из ќлеи
на  основе похожей интуиции пришел  к выводу, —то Ђхиллес никогда не обгонит
черепаху,  если  у черепахи  будет преимущество на старте. Љак-никак, к тому
времени, когда Ђхиллес поравнЯетсЯ с черепахой, она еще немножко продвинетсЯ
вперед. Љ тому времени,  когда он  достигнет <i>этой</i> точки, она продвинетсЯ еще
чуть-чуть  и так  <i>до  бесконечности.</i>  ’аким  образом, эта процедура "обгона"
потребует  от Ђхиллеса  выполнениЯ бесконечного  количества  этапов  обгона,
которое он, будучи конечным существом, предположительно выполнить не сможет.
Ќо  то, что Ђхиллес сможет  сделать, невозможно  обнаружить с помощью чистой
логики. ќто полностью зависит  от того, что он сможет сделать в соответствии
с управлЯющими  законами физики.  € если эти законы  скажут, что он  обгонит
черепаху, то он  ее обгонит. ‚  соответствии  с  классической  физикой обгон
требует бесконечного  количества этапов  вида  "переход  на  настоЯщее место
нахождениЯ черепахи".  ‚ этом смысле данное действие  ЯвлЯетсЯ вычислительно
бесконечным. ’очно так  же, если  рассматривать как  доказательство  то, что
одна  абстрактнаЯ  величина становитсЯ  больше другой при применении данного
набора  действий, то это  доказательство с  бесконечным  количеством этапов.
Ћднако соответствующие  законы обозначают  это  доказательство как физически
конечный процесс -- и только это имеет значение.
     €нтуициЯ  ѓеделЯ  относительно   этапов  и  конечности,  насколько  нам
известно,  действительно накладывает  некоторые  физические  ограничениЯ  на
процесс  доказательства.  ЉвантоваЯ  теориЯ требует дискретных этапов, и  ни
один из известных способов взаимодействиЯ физических объектов не позволил бы
бесконечному количеству этапов превзойти измеримый вывод. (Ћднако, могло  бы
оказатьсЯ  возможным,  что  за  всю  историю  вселенной  было  бы  выполнено
бесконечное  количество  этапов --  Я объЯсню это в главе  14). ЉлассическаЯ
физика, даже будь она истинной (что исключено),  не согласилась  бы с такого
рода   интуицией.  Ќапример,  непрерывное   движение   классических   систем
предусмотрело  бы  "аналогичное" вычисление,  в  котором было  бы не слишком
много этапов и которое обладало  бы репертуаром, существенно отличающимсЯ от
машины  ’ьюринга. €звестны  некоторые примеры  хитросплетенных  классических
законов, в соответствии с которыми бесконечный объем вычислений (бесконечный
в соответствии с нормами машины ’ьюринга  или  квантового  компьютера) можно
было  бы  выполнить  с  помощью  физически  конечных   методов.  Ѓезусловно,
классическаЯ физика несовместима с результатами  бесчисленных экспериментов,
поэтому размышление  о  том, какими  "были бы" "действительные" классические
законы  физики,  носит  весьма искусственный  характер:  однако эти  примеры
показывают, что никто не может  <i>доказать,</i> независимо от знаниЯ  физики,  что
доказательство должно состоЯть из конечного числа этапов. ќти же соображениЯ
применимы  к интуиции  о  том, что  должно быть конечное  количество  правил
вывода  и  что  они  должны  быть  "применимы  напрЯмую".  Ќи  одно  из этих
требований не  имеет  смысла длЯ  абстрактного:  это физические  требованиЯ.
ѓильберт в своем влиЯтельном эссе "On the  Infinite" со знанием дела высмеЯл
идею   реальности   требованиЯ   "конечного   количества  ступеней".  Ћднако
вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибалсЯ: это  требование реально,
и  оно  следует  только  из <i>физической</i> интуиции  самого  ѓильберта  и других
математиков.
     Џо  крайней мере,  одно  из  направлений  интуиции  ѓеделЯ относительно
доказательства, оказываетсЯ, было ошибочным;  к счастью, это никак не влиЯет
на доказательства его теорем. Ћн унаследовал это  направление из предыстории
греческой  математики,  и  оно не  вызывало сомнений  ни у одного  поколениЯ
математиков до тех пор, пока в 1908 году открытиЯ в области квантовой теории
вычислений не доказали его ложность. ќто направление интуиции заключаетсЯ  в
том, что  доказательство -- это конкретнаЯ  разновидность <i>объекта,</i> а именно,
последовательность  утверждений, котораЯ подчинЯетсЯ правилам вывода.  џ уже
говорил о том, что  доказательство  лучше рассматривать не как объект, а как
процесс,   разновидность   вычислений.   Ћднако   в   классической    теории
доказательства  или  вычислениЯ  это  не  делает фундаментальной разницы  по
следующей причине.  …сли мы можем пройти  через процесс  доказательства,  мы
можем только с небольшим дополнительным усилием  вести запись всего важного,
что  происходит во времЯ  этого  процесса.  ќта запись,  физический  объект,
составит   доказательство  в   смысле   последовательности  утверждений.  II
наоборот, если  бы  у нас  была  такаЯ  запись,  мы  могли  бы прочитать ее,
проверить,  удовлетворЯет  ли она правилам вывода,  и  в процессе  этого  мы
докажем  вывод.  „ругими  словами,  в  классическом   случае  преобразование
процессов   доказательства  и   объектов   доказательства  --   это   всегда
легковычислЯемаЯ задача.
     ’еперь давайте рассмотрим  некоторое математическое вычисление, которое
ЯвлЯетсЯ  трудновыполнимым на всех классических компьютерах, но предположим,
что квантовый компьютер легко может выполнить  это  вычисление, задействовав
интерференцию между, скажем.  10500 вселенными. —тобы  проЯснить это,  пусть
вычисление  будет  таково,  что  ответ после  его  получениЯ  (в  отличие от
результата  разложениЯ  на множители) невозможно  будет  проверить с помощью
легкообрабатываемых   вычислений.   Џроцесс    программированиЯ   квантового
компьютера  длЯ  получениЯ  вычислений  такого рода,  обработки программы  и
получениЯ  результата  составлЯет  доказательство  того,  что математическое
вычисление  имеет  именно  этот  частный  результат.  Ќо в  этом  случае  не
существует  способа  записать   все,  что  произошло   во   времЯ   процесса
доказательства, потому что большаЯ часть этого произошла в других вселенных,
и  измерение состоЯниЯ  вычислениЯ изменило бы интерференционные свойства  и
тем  самым лишило бы доказательство  обоснованности. ’аким образом, создание
старомодного <i>объекта</i>  доказательства  было  бы  невозможно; более  того,  во
вселенной, как мы ее знаем, далеко не достаточно  материала, чтобы составить
такой  объект, поскольку  в этом  доказательстве этапов было  бы больше, чем
существует атомов в  известной вселенной. ќтот  пример показывает, что из-за
возможности   квантового   вычислениЯ    два   понЯтиЯ   доказательства   не
эквивалентны. €нтуициЯ доказательства как объекта не охватывает все способы,
с помощью которых можно доказать математическое утверждение в реальности.
     € опЯть мы  видим неадекватность  традиционного  математического метода
получениЯ определенности через попытки  исключить каждый  возможный источник
неопределенности или  ошибки из нашей интуиции до тех пор, пока не останетсЯ
только самоочевиднаЯ истина.  €менно это и сделал ѓедель. €менно это  делали
—ерч,  Џост и особенно ’ьюринг,  когда они  пытались интуитивно постичь свои
универсальные  модели  вычислениЯ.  ’ьюринг  надеЯлсЯ, что  его  абстрактнаЯ
бумажнаЯ модель настолько проста,  настолько открыта и четко определена, что
не зависит ни от каких допущений относительно физики, которые можно было  бы
исказить постижимым  образом,  и,  следовательно,  она  может стать  основой
абстрактной  теории вычислениЯ, независимой от  лежащей  в ее основе физики.
"Ћн считал, -- как однажды выразилсЯ ”ейнман, -- что он понЯл бумагу". Ќо он
ошибалсЯ.  ђеальнаЯ,   квантово-механическаЯ   бумага  очень  отличаетсЯ  от
абстрактного  материала,  используемого машиной  ’ьюринга.  Њашина  ’ьюринга
ЯвлЯетсЯ всецело классической,  она не  принимает  во  внимание  возможность
того,  что на  бумаге  могут  быть  написаны  различные символы  в различных
вселенных и что они могут интерферировать друг с  другом. Ѓезусловно, искать
интерференцию между  различными  состоЯниЯми  бумажной центы непрактично. Ќо
дело в  том, что интуициЯ ’ьюринга,  из-за содержаниЯ в ней ложных допущений
из классической физики, заставила его удалить те <i>вычислительные</i> свойства его
гипотетической  машины,  которые  он  намеревалсЯ сохранить. €менно  поэтому
результирующаЯ модель вычислениЯ была неполной.
     ђазличные ошибки, которые математики  во все  времена допускали в  том,
что касаетсЯ доказательства и  определенности, вполне естественны. ЌастоЯщее
обсуждение  имеет своей целью привести  нас к ожиданию того, что современнаЯ
точка  зрениЯ  тоже не будет  вечной. Ќо уверенность,  с которой  математики
натыкались на эти ошибки, а также их неспособность признать даже возможность
ошибки  во  всем  этом,  на  Њой   взглЯд,  свЯзана  с   древней  и   широко
распространенной путаницей между  <i>методами</i> математики и ее <i>предметом.</i> ‘ейчас
Я  поЯсню  это.  ‚  отличие  от  отношений  между  физическими  категориЯми,
отношениЯ между абстрактными  категориЯми независимы от каких  бы то ни было
непредвиденных  фактов  и  законов  физики.   Ћни   абсолютно  и  объективно
определЯютсЯ автономными свойствами самих абстрактных категорий. Њатематика,
изучающаЯ  эти  отношениЯ  и  свойства,  таким  Ћбразом,  изучает  <i>абсолютно
необходимые  истины.</i>   „ругими   словами,  €стины,  <i>изучаемые</i>   математикой,
абсолютно определенны. Ќо это не говорит ни об определенности  самого нашего
знаниЯ этих необходимых  истин, ни о том, что  методы математики  дают своим
выводам  необходимую  им  истинность.  Љак-никак,  математика изучает еще  и
ложные  утверждениЯ  и  парадоксы. € это не означает, что  выводы  подобного
изучениЯ непременно ЯвлЯютсЯ ложными или парадоксальными. ЌеобходимаЯ истина
-- это всего лишь <i>предмет</i> математики, а не награда за то, что  мы занимаемсЯ
математикой. ЊатематическаЯ определенность  не ЯвлЯетсЯ  и не может ЯвлЯтьсЯ
целью  математики.  …е   целью  ЯвлЯетсЯ  даже  не  математическаЯ   истина,
определеннаЯ  или какаЯ-нибудь  еще. …е целью  ЯвлЯетсЯ  и  должно  ЯвлЯтьсЯ
математическое объЯснение.
     Џочему же тогда  математика работает так, как она работает?  Џочему она
ведет к выводам, которые, несмотрЯ на их неопределенность. Њожно принимать и
без  проблем применЯть, по  крайней мере, в  течение тысЯчи лет?  ‚ конечном
счете, причина  в  том, что <i>некотораЯ  часть</i> нашего знаниЯ  физического мира
столь  же  надежна  и непротиворечива. Ђ когда  мы  понимаем  физический мир
достаточно  хорошо, мы также понимаем, какие физические объекты  имеют общие
свойства с абстрактными. Ќо, в принципе, надежность нашего знаниЯ математики
остаетсЯ второстепенной по отношению к  нашему знанию физической реальности.
Ћбоснованность  каждого математического  доказательства полностью зависит от
того,  правы  ли  мы относительно правил, управлЯющих  поведением каких-либо
физических объектов,  будь  то генераторы виртуальной реальности,  чернила и
бумага или наш собственный мозг.
     ’аким образом, математическаЯ интуициЯ --  это вид физической интуиции.
”изическаЯ  интуициЯ  --  набор  эмпирических правил  (некоторые  из которых
возможно  врожденные, а  большаЯ часть -- развившиесЯ в детстве), о том, как
ведет  себЯ физический  мир.  Ќапример,  у  нас есть интуициЯ  существованиЯ
физических  объектов  и   того,  что   эти  объекты  обладают  определенными
свойствами: формой, цветом, весом и положением в пространстве, некоторые  из
этих свойств существуют, даже когда за  этими объектами не наблюдают. „ругаЯ
интуициЯ заключаетсЯ в том, что существует физическаЯ переменнаЯ -- времЯ --
по отношению  к  которой изменЯютсЯ  свойства,  но,  тем  не  менее, объекты
способны сохранЯть  свою идентичность с течением времени. …ще  одна интуициЯ
заключаетсЯ  в  том, что объекты взаимодействуют  и что  это  взаимодействие
может изменить  некоторые  их  свойства.  ЊатематическаЯ интуициЯ  описывает
способ демонстрации свойств абстрактных категорий физическим миром. Ћдним из
таких  направлений интуиции ЯвлЯетсЯ абстрактный закон или, по крайней мере,
объЯснение,  лежащее в основе поведениЯ объектов. €нтуицию,  предполагающую,
что  пространство допускает  замкнутые поверхности,  отделЯющие  "внутреннюю
часть" от "наружной части", можно уточнить, преобразовав ее в математическую
интуицию  <i>множества,</i> разделЯющего все  на члены и  нечлены этого  множества.
Ћднако дальнейшее  уточнение математиками (начинаЯ с  опровержениЯ  ђасселом
теории  множеств  ”реге) показало,  что эта интуициЯ перестает  быть точной,
когда рассматриваемое множество  содержит "слишком  много"  членов  (слишком
большую степень бесконечности членов).
     „аже если бы хоть какаЯ-то физическаЯ или  математическаЯ интуициЯ была
врожденной,  это  не  предоставило  бы  ей   какого-то  особого  авторитета.
‚рожденную  интуицию  невозможно  воспринимать  как  суррогат "воспоминаний"
Џлатона  о  мире ”орм. €бо  ложность  многих направлений  интуиции,  которые
случайно  развились  у людей в процессе  эволюции, -- банальное  наблюдение.
Ќапример,  человеческий  глаз  и   математическое  обеспечение,  которое  им
управлЯет, воплощают ложную теорию  о том, что  желтый свет состоит из смеси
красного и зеленого света (в смысле, что желтый свет дает нам точно такое же
ощущение  как смесь  красного и зеленого света). ‚ реальности  все три  типа
света имеют  разные частоты  и не могут  быть созданы посредством смешиваниЯ
света других частот. ’от факт,  что смесь красного и  зеленого света кажетсЯ
нам желтым светом, не имеет ничего  общего со свойствами света, но свЯзан со
свойствами наших глаз. ќто результат компромисса, имевшего место на каком-то
этапе   отдаленной  эволюции   наших  далеких  предков.  ‘уществует   только
возможность  (хотЯ  Я  в  нее  не  верю), что геометриЯ …вклида  или  логика
ЂристотелЯ каким-то образом  встроены в структуру  нашего  мозга, как считал
философ €ммануил Љант. Ќо  это логически не означало  бы их истинности. „аже
если  представить  еще более невероЯтный случай,  что  у нас есть врожденнаЯ
интуициЯ,  от которой мы не в состоЯнии избавитьсЯ, такаЯ  интуициЯ, тем  не
менее, не стала бы необходимой истиной.
     ‡начит,  реальность действительно  имеет  более объединенную структуру,
чем это было бы возможно, если бы математическое знание можно было проверить
с определенностью. Ђ  следовательно, ее структура  --  это иерархиЯ,  как  и
считалось  традиционно.  Њатематические категории ЯвлЯютсЯ  частью структуры
реальности,  поскольку  они  сложны и автономны. ‘оздаваемаЯ ими  реальность
некоторым образом похожа  на область абстракций, о которой размышлЯли Џлатон
и Џенроуз: несмотрЯ на то, что по определению они неосЯзаемы, они объективно
существуют  и имеют свойства,  независимые от  законов физики. Ћднако именно
физика  позволЯет  нам приобрести знание об этой области. €  она накладывает
строгие  ограничениЯ.  ’огда как  в  физической  реальности  постижимо  все,
постижимые  математические  истины в точности  составлЯют  бесконечно  малое
меньшинство,   которое  оказываетсЯ  в   точности  соответствующим  какой-то
физической истине  --  как  тот  факт,  что  если  определенными  символами,
написанными   чернилами  на  бумаге,  манипулировать  определенным  образом,
поЯвЯтсЯ другие определенные символы. ’о есть, это и есть те истины, которые
можно передать в виртуальной реальности. “ нас нет другого выбора, кроме как
принЯть, что непостижимые  математические категории  тоже  реальны, т.к. они
сложным образом возникают в наших объЯснениЯх постижимых категорий.
     ‘уществуют физические  объекты,  например,  пальцы, компьютеры и  мозг,
поведение  которых  может  моделировать поведение  определенных  абстрактных
объектов. ’аким образом, структура физической реальности дает нам окно в мир
абстракций.  ќто  очень узкое  окно,  оно предоставлЯет  только ограниченный
диапазон  перспектив.  Ќекоторые из  структур, которые  мы  видим  из  него,
например, натуральные числа  или правила вывода классической логики, кажутсЯ
такими  же  важными  или  "фундаментальными"  длЯ абстрактного мира,  какими
глубокие  законы  природы ЯвлЯютсЯ  длЯ  физического мира.  Ќо эта видимость
может ввести в заблуждение.  Џоскольку действительно мы видим только то, что
некоторые  абстрактные  структуры  фундаментальны   <i>по  отношению  к  нашему
пониманию</i> абстракций, у  нас  нет никакой причины считать, что эти структуры
объективно важны в  абстрактном мире. Џросто некоторые абстрактные категории
ближе, чем другие, и их проще увидеть из нашего окна.
     ’…ђЊ€ЌЋ‹Ћѓ€џ
     Њатематика -- изучение абсолютно необходимых истин.
     „оказательство   --   способ   установлениЯ  истинности  математических
высказываний.
     (’радиционное  определение):  последовательность  утверждений,  котораЯ
начинаетсЯ   с  некоторых   посылок,   заканчиваетсЯ   желаемым   выводом  и
удовлетворЯет определенным "правилам вывода".
     (‹учшее  определение):   вычисление,  моделирующее   свойства  какой-то
абстрактной категории,  результат  которого  устанавливает,  что абстрактнаЯ
категориЯ обладает данным свойством.
     ЊатематическаЯ интуициЯ (традиционное) -- высший самоочевидный источник
доказательства в математическом рассуждении.
     („ействительное):  Њножество  теорий  (осознанных   и  неосознанных)  о
поведении  определенных  физических  объектов, поведение которых  моделирует
поведение интересных абстрактных категорий.
     €нтуиционизм --  доктрина,  свЯзаннаЯ с  тем,  что  все рассуждение  об
абстрактных категориЯх ненадежно, кроме того  случаЯ, когда оно  основано на
прЯмой самоочевидной интуиции. ќто математическаЯ версиЯ солипсизма.
     „есЯтаЯ  задача ѓильберта -- "раз и навсегда  установить определенность
математических  методов", найдЯ набор правил  вывода,  достаточный  длЯ всех
обоснованных доказательств, и  затем доказать состоЯтельность  этих правил в
соответствии с их собственными нормами.
     ’еорема ѓеделЯ о неполноте  -- доказательство того, что  десЯтаЯ задача
ѓильберта  не  имеет  решениЯ. „лЯ любого  набора  правил вывода  существуют
обоснованные доказательства, которые эти правила не определЯют как таковые.
     ђ…‡ћЊ…
     ‘ложные  и  автономные  абстрактные  категории объективно существуют  и
ЯвлЯютсЯ  частью  структуры  реальности.  ‘уществуют  логически  необходимые
истины  об этих категориЯх, которые и составлЯют предмет математики. Ћднако,
эти истины невозможно знать определенно. „оказательства не  дают  их выводам
определенность. Ћбоснованность  конкретной формы  доказательства  зависит от
истинности   наших  теорий  о  поведении  объектов,  с  помощью  которых  мы
осуществлЯем   доказательство.    ‘ледовательно,    математическое    знание
наследственно  производно  и  полностью  зависит от  нашего  знаниЯ  физики.
Џостижимые  математические  истины  --  это в точности  то  бесконечно малое
меньшинство,  которое  можно   передать  в  виртуальной  реальности.  Ћднако
непостижимые  математические  категории  (например,  среды  Љантгоуту)  тоже
существуют,  т.  к.  они  сложным  образом поЯвлЯютсЯ  в  наших  объЯснениЯх
постижимых категорий.
     џ  сказал, что вычисление всегда  было квантовой концепцией, потому что
классическаЯ  физика несовместима с интуицией, создавшей основу классической
теории вычислениЯ.  ’о  же  самое  относитсЯ ко  времени. ‡а тысЯчу  лет  до
квантовой теории времЯ было первой квантовой концепцией.

        ѓлава 11. ‚ремЯ: перваЯ квантоваЯ концепциЯ

     <i>Љак движетсЯ к земле морской прибой,</i>
     <i>’ак и рЯды бессчетные минут,</i>
     <i>‘менЯЯ предыдущие собой,</i>
     <i>Џоочередно к вечности бегут.</i>
     “ильЯм експир (‘онет 60)
     „аже будучи одним из  наиболее знакомых свойств физического мира, времЯ
имеет  репутацию  глубоко  загадочного.  ‡агадка  --  часть  самого  понЯтиЯ
времени, с которым мы растем. ‘вЯтой Ђвгустин, например, сказал:
     "—то же  тогда есть  времЯ? …сли никто не  спросит менЯ, Я знаю; если Я
захочу объЯснить это тому, кто спросит, Я не знаю". (<i>Confessions)</i>
     Њало кто считает, что расстоЯние загадочно, но то, что времЯ загадочно,
знают  все.  €   всЯ  загадочность  времени  проистекает  из  его  основного
логического свойства,  а именно,  что  настоЯщий момент, который мы называем
"сейчас", не стационарен, а постоЯнно движетсЯ в  направлении  будущего. ќто
движение называетсЯ <i>потоком</i> времени.
     Њы  увидим, что  потока  времени  не  существует. ’ем не  менее,  такое
представление  совершенно обыденно. Њы принимаем это  как должное настолько,
что  это принимаетсЯ в самой структуре нашего Языка. ‚ книге <i>A Comprehensive
Grammar  of the English Language</i> ђэндольф  Љвирк  и его  соавторы  объЯснЯют
концепцию  времени с помощью  диаграммы, показанной на рисунке 11.1.  ЉаждаЯ
точка на линии представлЯет конкретный  стационарный момент. ’реугольник "s"
показывает, где на линии расположена "непрерывно движущаЯсЯ точка, настоЯщий
момент". ‘читаетсЯ,  что  она движетсЯ  слева  направо.  Ќекоторые люди, как
експир  в  процитированном   выше  сонете,   считают  определенные  событиЯ
"стационарными", а саму линию движущейсЯ мимо них (справа  налево на рисунке
11.1), так что моменты из будущего проносЯтсЯ мимо настоЯщего момента, чтобы
стать прошлыми моментами.
     "времЯ можно считать  линией (теоретически, линией бесконечной длинны),
на которой расположен, как постоЯнно движущаЯсЯ точка, настоЯщий момент.
     ‚се  что  находитсЯ  перед  настоЯщим моментом,  -  в будущем,  все что
находитсЯ за настоЯщим моментом, - в прошлом".


     ђис. 11.1. ЋбщеизвестнаЯ концепциЯ времени, принЯтаЯ в английском Языке
(основаннаЯ на Љвирк и др. A Comprehensive Grammar of the English  Language,
. 175)


     ђис. 11.2. „вижущийсЯ объект как последовательность  "снимков", которые
один за другим становЯтсЯ настоЯщим моментом
     —то мы подразумеваем под высказыванием "времЯ можно считать линией"? Њы
подразумеваем, что точно так же, как линию можно считать последовательностью
точек в различных положениЯх, так и любой движущийсЯ или изменЯющийсЯ объект
можно  считать последовательностью  неподвижных  вариантов  "снимков" самого
себЯ, по  одному варианту в  каждый момент. ‘казать,  что каждаЯ точка линии
представлЯет   конкретный   момент,  все  равно,   что  сказать,  что  можно
представить  все  снимки  собранными  вдоль  линии,  как  на  рисунке  11.2.
Ќекоторые из них показывают вращающуюсЯ стрелку,  какой она была  в прошлом,
„ругие  показывают, какой она  будет в  будущем,  а один из  них -- тот,  на
который сейчас показывает движущийсЯ s  --  показывает стрелку такой,  какаЯ
она сейчас, хотЯ  через мгновение этот  конкретный  вариант стрелки будет  в
прошлом,  потому  что  s  передвинетсЯ.  ‘овокупность  мгновенных  вариантов
объекта   <i>ЯвлЯетсЯ</i>   движущимсЯ   объектом  в  том   же   смысле,  в   каком
последовательность  неподвижных  картинок,   спроецированных  на   экран,  в
совокупности  <i>ЯвлЯетсЯ</i> фильмом  (движущейсЯ картинкой).  Ќи одна  из  них  в
отдельности не изменЯетсЯ. €зменение состоит в том, что в последовательности
на них указывает ("освещает") движущийсЯ s ("кинопроектор"), так что друг за
другом, по очереди они оказываютсЯ в настоЯщем моменте.
     ‘овременные  грамматисты  стараютсЯ   не  давать   субъективных  оценок
использованиЯ  Языка;  они  стараютсЯ  только  записывать,  анализировать  и
понимать. ‘ледовательно, Љвирка  <i>и  др.</i>  никак  нельзЯ обвинить  в  качестве
теории времени, описываемой ими.  Ћни не претендуют на  то, что это  хорошаЯ
теориЯ. Ћни  претендуют только  на то,  и, по-моему, довольно правильно, что
это <i>наша</i> теориЯ. Љ  сожалению, эта теориЯ  не  хороша. ‘кажем прЯмо, причина
того, что  теориЯ  времени  изначально загадочна, в том, что она  изначально
бессмысленна. „ело не совсем в том,  что она фактически неточна.  Њы увидим,
что она не имеет смысла даже сама по себе.
     ‚озможно, вас это удивит.  Њы привыкли видоизменЯть свой здравый смысл,
чтобы приспособитьсЯ к  научным  открытиЯм. ‡дравый  смысл часто оказываетсЯ
ложным,   даже  крайне  ложным.  Ќо   длЯ  здравого  смысла   необычно  быть
<i>бессмысленным</i> в том, что касаетсЯ повседневного опыта.  ’ем не менее, именно
это и произошло в данном случае.
     ђассмотрим снова рисунок 11.2. Ћн иллюстрирует  движение двух объектов.
Ћдин из них -- это вращающаЯсЯ стрелка, показаннаЯ в виде последовательности
снимков.  „ругой --  движущийсЯ "настоЯщий момент", который перемещаетсЯ  по
картинке слева направо. Ћднако движение  настоЯщего  момента  не показано на
картинке в виде  последовательности  снимков.  ‚место этого  один конкретный
момент  выделен  с  помощью  s, более темных  линий  и  единственной надписи
"(сейчас)".  ’аким  образом, даже несмотрЯ на  то,  что надпись гласит,  что
"сейчас"  движетсЯ  по  картинке,  показан  только один его  снимок, в  один
конкретный момент.
     Џочему?  Љак-никак,  основнаЯ  цель  этого  рисунка  --  показать,  что
происходит  не в  один момент,  а за более  длительный период.  …сли  бы  мы
хотели,  чтобы  на рисунке  был показан  только  один  момент,  нам  было бы
достаточно показать только один  снимок вращающейсЯ  стрелки. ђисунок должен
иллюстрировать разумную теорию о том,  что любой движущийсЯ или изменЯющийсЯ
объект ЯвлЯетсЯ последовательностью  снимков,  по одному  снимку  на  каждый
момент.   ’аким  образом,   если  движетсЯ  s,   почему   мы  не  показываем
последовательность  и  его снимков?  Ћдин  показанный  снимок,  должно быть,
только один  из множества снимков, которые  существовали  бы, если  бы  этот
рисунок точно описывал принцип действиЯ времени. ‚ действительности, в таком
виде этот рисунок определенно вводит в  заблуждение: он показывает, что s <i>не</i>
движетсЯ,  а  скорее  начинает  существовать  в  конкретный момент, а  потом
немедленно  прекращает свое существование. …сли бы это было так, это сделало
бы "сейчас" <i>стационарным</i> моментом. Ќичего не значит добавленнаЯ мной надпись
"„вижение настоЯщего момента" и  штрихпунктирнаЯ линиЯ, котораЯ  показывает,
что s движетсЯ  вправо. ‘ам рисунок,  так  же, как  и диаграмма Љвирк  <i>и др.</i>
(рисунок 11.1), показывает, что s никогда не достигнет момента, отличного от
выделенного.
     ‚  лучшем  случае,  можно  было  сказать,  что  рисунок  11.2   --  это
рисунок-гибрид,  который искаженно  иллюстрирует движение  двумЯ  различными
способами.  ‚ отношении движущейсЯ стрелки  он иллюстрирует  теорию времени.
Ћднако рисунок  просто <i>утверждает,</i>  что настоЯщий  момент движетсЯ, при этом
показываЯ, что  он не  движетсЯ.  Љак нам следует изменить рисунок, чтобы он
проиллюстрировал теорию времени относительно движениЯ настоЯщего момента так
же,  как и движениЯ стрелки? ‚ключив  другие снимки "s", по одному на каждый
момент:  каждый  снимок  будет  обозначать,  где  в  этот  момент  находитсЯ
"сейчас".  Ђ  где  оно находитсЯ? Ћчевидно,  что  в  каждый  момент "сейчас"
ЯвлЯетсЯ этим самым моме