Kurs nachertatel'noj geometrii pod redakciej V.Gordon
---------------------------------------------------------------
OCR: Sergej Boldyrev
---------------------------------------------------------------
Predislovie redaktora k dvadcat' chetvertomu izdaniyu 6
Predislovie k vosemnadcatomu izdaniyu 7
Prinyatye oboznacheniya 8
Vvedenie 9
Glava I. Obrazovanie proekcij 10
§ 1. Proekcii central'nye 10
§ 2. Proekcii parallel'nye 11
§ 3. Metod Monzha 13
Voprosy k glave I 14
Glava P. Tochka i pryamaya 15
§ 4. Tochka v sisteme dvuh ploskostej proekcij ,, 2 15
§ 5. Tochka v sisteme treh ploskostej proekcij 1, 2, 3 17
Voprosy k §§ 4-5 18
§ 6. Ortogonal'nye proekcii i sistema pryamougol'nyh koordinat .... 18
§ 7. Tochka v chetvertyah i oktantah prostranstva 20
Voprosy k §§6-7 22
§ 8. Obrazovanie dopolnitel'nyh sistem ploskostej proekcij 22
§ 9. CHertezhi bez ukazaniya osej proekcij 24
Voprosy k §§ 8-9 25
§ 10. Proekcii otrezka pryamoj linii 25
§ 11. Osobye (chastnye) polozheniya pryamoj linii otnositel'no ploskostej
pro
ekcij 27
§ 12. Tochka na pryamoj. Sledy pryamoj 29
Voprosy k §§ 10-12 32
§ 13. Postroenie na chertezhe natural'noj velichiny otrezka pryamoj obshchego
polozheniya i uglov naklona pryamoj k ploskostyam proekcij 1 i 2 · · · 32
§ 14. Vzaimnoe polozhenie dvuh pryamyh 35
§ 15. O proekciyah ploskih uglov 37
Voprosy k §§ 13-15 40
Glava III. Ploskost' 42
§ 16. Razlichnye sposoby zadaniya ploskosti na chertezhe 42
§ 17. Sledy ploskosti 43
§ 18. Pryamaya i tochka v ploskosti. Pryamye osobogo polozheniya 44
Voprosy k §§ 16-18 49
§ 19. Polozheniya ploskosti otnositel'no ploskostej proekcij 49
Voprosy k § 19 54
§ 20. Provedenie proeciruyushchej ploskosti cherez pryamuyu liniyu 54
§ 21. Postroenie proekcij ploskih figur 55
Voprosy k §§ 20-21 61
Glava GU. Vzaimnoe polozhenie dvuh ploskostej, pryamoj linii i ploskosti
.... 62
§ 22. Obzor vzaimnyh polozhenij dvuh ploskostej, pryamoj linii i
ploskosti 62
§ 23. Peresechenie pryamoj linii s ploskost'yu, perpendikulyarnoj k odnoj
ili
k dvum ploskostyam proekcij 64
§ 24. Postroenie linii peresecheniya dvuh ploskostej 65
Voprosy §§ 22-24 68
§ 25. Peresechenie pryamoj linii s ploskost'yu obshchego polozheniya 69
§ 26. Postroenie linii peresecheniya dvuh ploskostej po tochkam
peresecheniya
pryamyh linij s ploskost'yu 70
Voprosy k §§ 25-26 72
§ 27. Postroenie pryamoj linii i ploskosti, parallel'nyh mezhdu soboj ...
72
§ 28. Postroenie vzaimno parallel'nyh ploskostej 73
Voprosy k §§ 27-28 74
§ 29. Postroenie vzaimno perpendikulyarnyh pryamoj i ploskosti 74
§ 30. Postroenie vzaimno perpendikulyarnyh ploskostej 77
§ 31. Postroenie proekcij ugla mezhdu pryamoj i ploskost'yu i mezhdu dvumya
ploskostyami 78
Voprosy k §§ 29-31 80
Glava V. Sposoby peremeny ploskostej proekcij i vrashcheniya 81
§ 32. Privedenie pryamyh linij i ploskih figur v chastnye polozheniya otno
sitel'no ploskostej proekcij 81
§ 33. Sposob peremeny ploskostej proekcij 81
Voprosy k §§ 32-33 85
§ 34. Osnovy sposoba vrashcheniya 85
§ 35. Vrashchenie tochki, otrezka pryamoj, ploskosti vokrug osi, perpendiku
lyarnoj k ploskosti proekcij 86
Voprosy k §§ 34-35 90
§ 36. Primenenie sposoba vrashcheniya bez ukazaniya na chertezhe osej
vrashcheniya,
perpendikulyarnyh k ploskosti 1 ili 2 90
§ 37. Vrashchenie tochki, otrezka pryamoj, ploskosti vokrug osi,
parallel'noj
ploskosti proekcij, i vokrug sleda ploskosti .... 92
Voprosy k §§ 36-37 96
§ 38. Primery resheniya zadach s primeneniem sposobov peremeny ploskostej
proekcij i vrashcheniya 96
Voprosy k § 38 106
Glava VI. Izobrazhenie mnogogrannikov 107
§ 39. Postroenie proekcij mnogogrannikov 107
§ 40. CHertezhi prizm i piramid 108
§ 41. Sistema raspolozheniya izobrazhenij na tehnicheskih chertezhah 112
§ 42. Peresechenie prizm i piramid ploskost'yu i pryamoj liniej .... 114
Voprosy k §§ 39 --42 118
§ 43. Peresechenie odnoj mnogogrannoj poverhnosti drugoyu 118
§ 44. Obshchie priemy razvertyvaniya grannyh poverhnostej (prizmy i
piramidy) 121
Voprosy k §§ 43-44 124
Glava VII. Krivye linii 125
§ 45. Obshchie svedeniya o krivyh liniyah i ih proecirovanii 125
§ 46. Ploskie krivye linii 127
§ 47. Prostranstvennye krivye linii 130
Voprosy §§ 45-47 131
§ 48. Vintovye linii -- cilindricheskie i konicheskie 131
Voprosy k § 48 136
Glava VIII. Krivye poverhnosti 137
§ 49. Obshchie svedeniya o krivyh poverhnostyah 137
§ 50. Obzor nekotoryh krivyh poverhnostej, ih zadanie i izobrazhenie na
chertezhah , 139
A. Poverhnosti linejchatye razvertyvaemye 139
B. Poverhnosti linejchatye nerazvertyvaemye 143
B. Poverhnosti nelinejchatye 148
G. Poverhnosti, zadavaemye karkasom 149
D. Poverhnosti graficheskie 149
Voprosy k §§ 49-50 150
§ 51. Poverhnosti vrashcheniya 150
Voprosy § 51 156
§ 52. Vintovye poverhnosti i vinty 157
Voprosy § 52 163
§ 53. Provedenie ploskostej, kasatel'nyh krivym poverhnostyam 164
§ 54. Primery postroeniya ocherkov proekcij tela vrashcheniya s naklonnoj
os'yu 166
Voprosy k §§ 53-54 169
Glava IX. Peresechenie krivyh poverhnostej ploskost'yu i pryamoj liniej
.... 170
§ 55. Obshchie priemy postroeniya linii peresecheniya krivoj poverhnosti plos
kost'yu 170
§ .56. Peresechenie cilindricheskoj poverhnosti ploskost'yu. Postroenie
raz
vertki.. 171
Voprosy k §§ 55-56 176
§ 57. Peresechenie konicheskoj poverhnosti ploskost'yu. Postroenie
razvertki 176
Voprosy k § 57 185
§ 58. Peresechenie sfery i tora ploskost'yu. Primer postroeniya "linii
sreza"
na poverhnosti kombinirovannogo tela vrashcheniya 185
§ 59. Peresechenie krivyh poverhnostej pryamoj liniej 189
Voprosy k §§ 58-59 192
Glava X. Peresechenie odnoj poverhnosti drugoyu, yu kotoryh hotya by odna
krivaya 194
§ 60. Obshchij sposob postroeniya linii peresecheniya odnoj poverhnosti
drugoyu 194
§ 61. Podbor vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej v sluchayah, kogda oni
mogut
peresekat' obe poverhnosti po pryamym liniyam 195
§ 62. Primenenie vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej, parallel'nyh plo
skostyam proekcij 200
Voprosy k §§ 60-62 201
§ 63. Nekotorye osobye sluchai peresecheniya odnoj poverhnosti drugoyu . .
. 202
§ 64. Primenenie vspomogatel'nyh sekushchih sfer 206
§ 65. Proecirovanie linii peresecheniya dvuh poverhnostej vrashcheniya
vtorogo
poryadka na ploskost', parallel'nuyu ih obshchej ploskosti simmetrii . . 211
Voprosy §§ 63 -- 65 216
§ 66. Primery postroeniya linij peresecheniya odnoj poverhnosti drugoyu . .
. 217
§ 67. Peresechenie krivoj linii s krivoj poverhnost'yu 225
Voprosy k §§ 66-61 . 226
Glava XI. Razvertyvanie krivyh poverhnostej 227
§ 68. Razvertyvanie cilindricheskih i konicheskih poverhnostej 227
§ 69. Uslovnoe razvertyvanie sfericheskoj poverhnosti 229
§ 70. Primery postroeniya razvertok nekotoryh form 231
Voprosy k glave XI 233
Glava XII. Aksonometricheskie proekcii 234
§ 71. Obshchie svedeniya 234
§ 72. Pryamougol'nye aksonometricheskie proekcii. Koefficienty iskazheniya
i ugly mezhdu osyami 238
§ 73. Postroenie pryamougol'noj aksonometricheskoj proekcii okruzhnosti .
. . 243
§ 74. Primery postroenij v izometricheskoj i dimetricheskoj proekciyah ...
251
§ 75. Nekotorye kosougol'nye aksonometricheskie proekcii 255
Voprosy k glave XII 258
§ 76. O rodstvennom sootvetstvii i ego primenenii k resheniyu nekotoryh
zadach 259
Voprosy k § 76 265
Dobavlenie. Nachertatel'naya geometriya i mashinnaya grafika. (A. A.
CHekmarev) 266
Spisok dopolnitel'noj literatury 272
PREDISLOVIE REDAKTORA
K DVADCATX CHETVERTOMU IZDANIYU
Uchebnoe posobie sootvetstvuet programme, utverzhdennoj Ministerstvom
obshchego i professional'nogo obrazovaniya RF, dlya mashinostroitel'nyh,
priborostroitel'nyh i mehaniko-tehnologicheskih special'nostej vtuzov.
Odnim iz napravlenij perestrojki vysshej shkoly yavlyaetsya usilenie
samostoyatel'nosti, predostavlyaemoj studentam pri izuchenii toj ili inoj
discipliny. Pri izuchenii nachertatel'noj geometrii etomu budet sposobstvovat'
nastoyashchee izdanie "Kurs nachertatel'noj geometrii", a takzhe novoe izdanie
"Sbornik zadach po kursu nachertatel'noj geometrii" V.O. Gordona, YU.B.
Ivanova, T.E. Solncevoj. Sovmestnoe ih ispol'zovanie dast studentam
vozmozhnost' ne tol'ko ponyat' i osmyslit' ves' kurs, uyasnit' plan i hod
resheniya zadach, privedennyh v zadachnike v kachestve primerov, no i
samostoyatel'no proverit' svoi resheniya, sveriv ih s pomeshchennymi v konce
zadachnika otvetami.
Dlya povtoreniya i zakrepleniya izuchaemogo materiala v celyah samoproverki
k materialu kazhdogo paragrafa imeetsya znachitel'noe chislo voprosov.
V konce knigi pomeshcheno nebol'shoe dopolnenie, napisannoe professorom
A.A. CHekmarevym "Nachertatel'naya geometriya i mashinnaya grafika", o primenenii
personal'nyh komp'yuterov dlya resheniya na ekrane monitora graficheskih zadach
nachertatel'noj geometrii.
V nastoyashchem izdanii ukazana uchebnaya literatura dlya zhelayushchih
oznakomit'sya s razlichnymi variantami izlozheniya razdelov programmy i s
nekotorymi dopolnitel'nymi voprosami nachertatel'noj geometrii. V knige
ukazana takzhe literatura, otnosyashchayasya k mashinnoj grafike.
Professor YU.B. Ivanov
PREDISLOVIE K VOSEMNADCATOMU IZDANIYU
Posle 14-go izdaniya uchebnika (1962 g.), peresmotrennogo i sokrashchennogo,
sledovali stereotipnye vypuski. Nastoyashchee izdanie knigi znachitel'no
pererabotano, prezhde vsego s cel'yu soglasovaniya s posobiem "Sbornik zadach po
kursu nachertatel'noj geometrii" V. O. Gordona, YU. B. Ivanova i T. E.
Solncevoj. V svyazi s etim iz uchebnika isklyuchen sootvetstvuyushchij material --
zadachi dlya samostoyatel'nogo resheniya i nekotorye primery postroenij,
vklyuchennye v upomyanutyj vyshe sbornik. V etom zhe sbornike privedeny otvety na
vse zadachi v graficheskoj forme.
Uchteny takzhe pozhelaniya, vyskazannye po soderzhaniyu i ob®emu uchebnika.
V osnovu uchebnika, kak i prezhde, polozhena programma, utverzhdennaya
Ministerstvom vysshego i srednego special'nogo obrazovaniya SSSR dlya
mashinostroitel'nyh, priborostroitel'nyh i mehaniko-tehnologicheskih
special'nostej vtuzov. Poetomu v knige izlozheny "Sistema ortogonal'nyh
proekcij" i "Aksonometriya".
Pozhelaniya o sokrashchenii ob®ema s tem, chtoby on sootvetstvoval vremeni,
otvodimomu po uchebnomu planu na kurs nachertatel'noj geometrii, konechno, ne
mogli byt' udovletvoreny za schet programmnogo materiala. No takoe sokrashchenie
bylo v pole zreniya avtora. V to zhe vremya pererabotka knigi pozvolila vvesti
mestami novyj material dlya bolee polnogo izlozheniya "nekotoryh razdelov
programmy i obosnovaniya otdel'nyh polozhenij. Znachitel'no uvelicheno chislo
voprosov dlya povtoreniya izuchaemogo materiala i samoproverki.
Oboznacheniya, prinyatye v knige pri pervom izdanii (1936 g.), v osnovnom
vvedeny eshche v XIX stoletii otechestvennymi uchenymi N. I. Makarovym i V. I.
Kur-dyumovym i primenyayutsya, kak pokazyvaet opyt, v uchebnoj rabote i v uchebnoj
literature bez kakih-libo oslozhnenij. |ti oboznacheniya prosty, vyrazitel'ny i
ne zagromozhdayut chertezhi. Ochevidno, na segodnyashnij den' nel'zya ukazat'
sistemu oboznachenij, kotoraya mogla by schitat'sya aprobirovannoj v kachestve
obladayushchej bezuslovnymi dostoinstvami dlya vnedreniya ee v uchebnuyu praktiku.
Esli "starym" oboznacheniyam prisushchi nekotorye nedostatki, to ne men'shie, a
podchas i znachitel'no bol'shie nedostatki prisushchi tak nazyvaemym "novym"
sistemam.
Kak i v predydushchih izdaniyah (nachinaya s 14-go), v knige pomeshchena tablica
dlya sopostavleniya oboznachenij v uchebnoj literature segodnyashnego dnya.
V etom izdanii ukazana literatura, preimushchestvenno uchebnaya, dlya
zhelayushchih oznakomit'sya s variantami izlozheniya razdelov programmy i nekotorymi
dopolnitel'nymi voprosami.
V rabote po podgotovke knigi k pereizdaniyu avtorom uchteny sovety i
zamechaniya A. V. Bubennikova, YU. B. Ivanova, L. A. Ol'hovskogo i dr., kotorym
avtor prinosit serdechnuyu blagodarnost'. Avtor blagodaren V. P. Panchenko za
pomoshch' v podgotovke chertezhej.
Hotya rabota nad knigoj so vremeni konchiny M. A. Semencova-Ogievskogo
(1950 g.) vypala na moyu dolyu i kniga s teh por preterpela ryad sushchestvennyh
izmenenij i dopolnenij, nashi imena stoyat ryadom v zaglavii v pamyat' o nashej
dolgoletnej druzhbe i sovmestnoj rabote.
V. Gordon
PRINYATYE OBOZNACHENIYA
Tochki v prostranstve -- propisnymi bukvami latinskogo alfavita A, B, S,
..., a tak
zhe ciframi.
Posledovatel'nost' tochek (i drugih elementov) -- podstrochnymi
indeksami·. a1, A2,
A3...
Linii v prostranstve - po tochkam, opredelyayushchim liniyu, i strochnymi
bukvami la-
tinskogo alfavita a, b, c, ...
Ugly -- strochnymi bukvami grecheskogo alfavita , , , i .
Ploskosti -- strochnymi bukvami grecheskogo alfavita , , , i .
Poverhnosti -- rimskimi ciframi, a takzhe propisnymi bukvami russkogo
alfavita:
cilindr -- C, konus -- K, sfera -- Sf., ...
Ploskosti proekcij -- strochnoj bukvoj grecheskogo alfavita .
Proizvol'naya
ploskost' -- , gorizontap'naya -- , frontal'naya -- 2, profil'naya
(ili
dopolnitel'naya) -- Pz, lyubaya dopolnitel'naya -- 4, 5,...
Osi proekcij -- strochnymi bukvami h, u, z ili (pri vvedenii
dopolnitel'nyh plo-
skostej) 2/, 2/3, 2/5, ... Nachapo koordinat - propisnoj bukvoj
O.
Proekcii tochek::
na proizvol'nuyu ploskost' -- A0, Bo,
Co,...; na gorizontal'nuyu ploskost' --A', B', S',...; na
frontal'nuyu ploskost' 2 -- A", V", C"...;
na profil'nuyu ploskost' Pz -- A'", V'", C'" .. na dopolnitel'nuyu ploskost'
4 -- AIV , BIV , CIV ...
10. Proekcii linij -- po proekciyam tochek, opredelyayushchih liniyu; krome
togo:
gorizontap'naya liniya -- bukvoj h;
frontal'naya liniya -- bukvoj f; profil'naya liniya -- bukvoj r.
11. Oboznachenie ploskostej, zadannyh sledami:
gorizontal'nyj sled ploskosti -- h0a;
frontal'nyj sled ploskosti -- foa;
profil'nyj sled ploskosti -- oa
V teh sluchayah, kogda ploskost' ne trebuet naimenovaniya, oboznachenie
sledov uproshcheno - ho, fo, po".
Dlya proeciruyushchih ploskostej zadaetsya proekciya ploskosti:
' -- gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost';
" -- frontal'no-proeciruyushchaya ploskost';
'"-- profil'no-proeciruyushchaya ploskost'.
Tochki shoda sledov ploskosti -- propisnymi bukvami , , s indeksom
sootvetstvuyu-shchej ploskosti: , U, .
12. Pri preobazovanii epyura (chertezha) vrashcheniem (ili sovmeshcheniem) v
novom polo-
zhenii tochki -- 
ploskosti -- 
sledov ploskosti -- 
. Posle
vtorogo vrashcheniya sootvetstvenno . 
Novoe polozhenie tochki shoda sledov pri vrashchenii ploskosti a -- 
13. Ploskost' proekcij (kartinnaya ploskost') v aksonometrii -- bukvoj
a, a proekciya
lyubogo elementa na etu ploskost' -- s indeksom a.
VVEDENIE
V chislo disciplin, sostavlyayushchih osnovu inzhenernogo obrazovaniya, vhodit
nachertatel'naya geometriya.
Predmetom nachertatel'noj geometrii yavlyaetsya izlozhenie i obosnovanie
sposobov postroeniya izobrazhenij prostranstvennyh form na ploskosti i
sposobov resheniya zadach geometricheskogo haraktera po zadannym izobrazheniyam
etih form1).
Izobrazheniya, postroennye po pravilam, izuchaemym v nachertatel'noj
geometrii, pozvolyayut predstavit' myslenno formu predmetov i ih vzaimnoe
raspolozhenie v prostranstve, opredelit' ih razmery, issledovat'
geometricheskie svojstva, prisushchie izobrazhaemomu predmetu.
Nachertatel'naya geometriya, vyzyvaya usilennuyu rabotu prostranstvennogo
voobrazheniya, razvivaet ego.
Nakonec, nachertatel'naya· geometriya peredaet ryad svoih vyvodov v
praktiku vypolneniya tehnicheskih chertezhej, obespechivaya ih vyrazitel'nost' i
tochnost', a sledovatel'no; i vozmozhnost' osushchestvleniya izobrazhennyh
predmetov.
Pravila postroeniya izobrazhenij, izlagaemye v nachertatel'noj geometrii,
osnovany na metode proekcij 2).
Rassmotrenie metoda proekcij nachinayut s postroeniya. proekcij tochki, tak
kak pri postroenii izobrazheniya lyuboj prostranstvennoj formy rassmatrivaetsya
ryad tochek, prinadlezhashchih etoj forme.
*) Prostranstvennye formy mozhno izobrazhat' ne tol'ko na ploskoj, no i
na-kakoj-libo drugoj poverhnosti, naprimer cilindricheskoj ili sfericheskoj,
chto izuchaetsya v special'nyh otdelah nachertatel'noj geometrii.
2) V osnove etogo slova latinskoe projectio -- brosanie
vpered, vdal' (ot projicere-- brosit', vystavit' vpered). V dal'nejshem
izlozhenii v smysle "postroit' proekcii" budet primenyat'sya slovo
"proecirovat'", a ne slovo "proektirovat'", kak eto imelo mesto ran'she.
GLAVA I OBRAZOVANIE PROEKCIJ
§ 1. PROEKCII CENTRALXNYE
Dlya polucheniya central'nyh proekcij (central'noe proecirovanie) nado
zadat'sya ploskost'yu proekcij i centrom proekcij -- tochkoj, ne lezhashchej v etoj
ploskosti (ris. 1: ploskost' 0 i tochka S). Vzyav nekotoruyu tochku A i provedya
cherez S i A pryamuyu liniyu do peresecheniya ee s pl. 0, poluchaem tochku A°. Tak
zhe postupaem, naprimer, s tochkami V i S. Tochki A°, V°, S° yavlyayutsya
central'nymi proekciyami tochek A, V, S na pl. 0: oni poluchayutsya v
peresechenii proeciruyushchih pryamyh (ili, inache, proeciruyushchih luchej) SA, SB, SC
s ploskost'yu proekcij').
Esli dlya nekotoroj tochki D (ris. 1) proeciruyushchaya pryamaya okazhetsya
parallel'noj ploskosti proekcij, to prinyato schitat', chto oni peresekayutsya,
no v beskonechno udalennoj tochke: tochka D takzhe imeet svoyu proekciyu, no
beskonechno udalennuyu (D").
Ne izmenyaya polozheniya pl. 0 i vzyav novyj centr S1 (ris. 2), poluchaem
novuyu proekciyu tochki A -- tochku A°1 Esli zhe vzyat' centr S2 na toj zhe
proeciruyushchej pryamoj SA, to proekciya A° ostanetsya neizmennoj (A°" A°).
Itak, pri zadannyh ploskosti proekcij i centre proekcij (ris. 1) mozhno
postroit' proekciyu tochki; no imeya proekciyu (naprimer, A°), nel'zya po nej
opredelit' polozhenie samoj tochki A v prostranstve, tak kak lyubaya tochka
proeciruyushchej pryamoj SA proeciruetsya v odnu i tu zhe tochku; dlya edinstvennogo
resheniya, ochevidno, neobhodimy dopolnitel'nye usloviya.
Proekciyu linii mozhno postroit', proeciruya ryad ee tochek (ris. 3). Pri
etom proeciruyushchie pryamye v svoej sovokupnosti obrazuyut konicheskuyu
poverhnost' 2)
*) Centr proekcij nazyvayut takzhe polyusom proekcij, a central'nuyu
proekciyu -- polyarnoj.
) V svyazi s etim central'nye proekcii takzhe nazyvayut konicheskimi.
Ponyatie o konicheskoj poverhnosti sm. v stereometrii.
10
ili mogut okazat'sya v odnoj ploskosti (naprimer, pri proecirovanii
pryamoj li-nii, ne prohodyashchej cherez centr proekcij, ili lomanoj i krivoj, vse
tochki kotoryh lezhat v ploskosti, sovpadayushchej s proeciruyushchej).
Ris. 3 Ris. 4
Ochevidno, proekciya linii poluchaetsya v peresechenii proeciruyushchej
poverhnosti s ploskost'yu proekcij (ris. 3). No, kak pokazyvaet ris. 4,
proekciya linii ne opredelyaet proeciruemuyu liniyu, tak kak na proeciruyushchej
poverhnosti mozhno razmestit' ryad linij, proeciruyushchihsya v odnu i tu zhe liniyu
na ploskosti proekcij.
Ot proecirovaniya tochki i linii mozhno perejti k proecirovaniyu
poverhnosti i tela.
§ 2. PROEKCII PARALLELXNYE
Rassmotrim teper' sposob proecirovaniya, nazyvaemyj parallel'nym.
Uslovimsya schitat' vse proeciruyushchie pryamye parallel'nymi. Dlya ih
provedeniya dolzhno byt' ukazano nekotoroe napravlenie (sm. strelku na ris.
5). Tak postroennye proekcii nazyvayutsya parallel'nymi.
Parallel'noe proecirovanie mozhno rassmatrivat' kak chastnyj sluchaj
central'nogo, esli prinyat', chto centr proekcij beskonechno udalen.
Sledovatel'no, parallel'noj proekciej tochki budem nazyvat' tochku
peresecheniya proeciruyushchej pryamoj, provedennoj parallel'no zadannomu
napravleniyu, s ploskost'yu proekcij.
Ris. 5 Ris. 6
CHtoby poluchit' parallel'nuyu proekciyu nekotoroj linii, mozhno postroit'
proekcii ryada ee tochek i provesti cherez eti proekcii liniyu (ris. 6).
Pri etom proeciruyushchie pryamye v svoej sovokupnosti obrazuyut
cilindricheskuyu poverhnost'; poetomu parallel'nye proekcii takzhe nazyvayut
cilindricheskimi1).
Ponyatie o cilindricheskoj poverhnosti sm. v stereometrii.
V parallel'nyh proekciyah, tak zhe kak i v central'nyh:
1) dlya pryamoj linii proeciruyushchej poverhnost'yu v obshchem sluchae sluzhit
ploskost', i poetomu pryamaya liniya voobshche proeciruetsya v vide pryamoj;
2) kazhdaya tochka i liniya v prostranstve imeyut edinstvennuyu svoyu
proekciyu;
3) kazhdaya tochka na ploskosti proekcij mozhet byt' proekciej mnozhestva
tochek, esli cherez nih prohodit obshchaya dlya nih proeciruyushchaya pryamaya (ris. 5:
tochka D° sluzhit proekciej tochek D, D1, D2);
4) kazhdaya liniya na ploskosti proekcij mozhet byt' proekciej mnozhestva
linij, esli oni raspolozheny v obshchej dlya nih proeciruyushchej ploskosti (ris. 7:
otrezok A°V° sluzhit proekciej otrezkov AV i A1V1 i otrezka A2V2 ploskoj
krivoj linii); dlya edinstvennogo resheniya neobhodimy dopolnitel'nye usloviya;
5) dlya postroeniya proekcii pryamoj dostatochno sproecirovat' dve ee tochki
i cherez poluchennye proekcii etih tochek provesti pryamuyu liniyu;
Ris. 7
6) esli tochka prinadlezhit pryamoj, to proekciya tochki prinadlezhit
proekcii etoj pryamoj (ris. 8: tochka K prinadlezhit pryamoj, proekcii K°
prinadlezhit proekcii etoj pryamoj).
Krome perechislennyh svojstv dlya parallel'nyh proekcij mozhno ukazat' eshche
sleduyushchie:
7) esli pryamaya parallel'na napravleniyu proecirovaniya (pryamaya AV na ris.
8), to proekciej pryamoj (i lyubogo ee otrezka) yavlyaetsya tochka (A°, ona zhe
V°);
8) otrezok pryamoj linii, parallel'noj ploskosti proekcij, proeciruetsya
na etu ploskost' v natural'nuyu svoyu velichinu (ris. 8: CD = C°D°, kak otrezki
parallel'nyh mezhdu parallel'nymi).
V dal'nejshem budut rassmotreny eshche nekotorye svojstva parallel'nyh
proekcij, pokazyvayushchie, kakie natural'nye sootnosheniya v rassmatrivaemyh
predmetah sohranyayutsya v proekciyah etih predmetov.
Primenyaya priemy parallel'nogo proecirovaniya tochki i linii, mozhno
stroit' parallel'nye proekcii poverhnosti i tela.
Parallel'nye proekcii delyatsya na kosougol'nye i pryamougol'nye. V pervom
sluchae napravlenie proecirovaniya sostavlyaet s ploskost'yu proekcij ugol, ne
ravnyj 90°; vo vtorom sluchae proeciruyushchie pryamye perpendikulyarny k pl. pr.
Pri rassmotrenii parallel'nyh proekcij sledovalo by predstavit' sebya
udalennym na beskonechno bol'shoe rasstoyanie ot izobrazheniya. Na samom zhe dele
predmety i ih izobrazheniya rassmatrivayutsya s konechnogo rasstoyaniya; pri etom
luchi, idushchie v glaz zritelya, obrazuyut poverhnost' konicheskuyu, a ne
cilindricheskuyu. Sledovatel'no, bolee estestvennoe izobrazhenie poluchaetsya
(pri soblyudenii opredelennyh uslovij) central'nym proecirovaniem, a ne
parallel'nym. Poetomu, kogda trebuetsya, chtoby izobrazhenie davalo takoe zhe
zritel'noe vpechatlenie, kak i samyj predmet, primenyayut perspektivnye
proekcii, v osnove kotoryh lezhit central'noe proecirovanie 1).
1) Perspektivnye proekcii v programmu dannogo kursa ne
vhodyat. Interesuyushchihsya otsylaem k knigam: Glagolev N. A. Nachertatel'naya
geometriya.- M: Gostehizdat, 1953; Dobryakov A. I. Kurs nachertatel'noj
geometrii.--M.: GTTI, 1931.
12
No sravnitel'no bol'shaya prostota postroeniya i svojstva parallel'nyh
proekcij, obespechivayushchie sohranenie natural'nyh razmernyh sootnoshenij,
ob®yasnyayut shirokoe primenenie parallel'nogo proecirovaniya, nesmotrya na
uslovnost', ukazannuyu vyshe.
§ 3. METOD MONZHA
Svedeniya i priemy postroenij, obuslovlivaemye potrebnost'yu v ploskih
izobrazheniyah prostranstvennyh form, nakaplivalis' postepenno eshche s drevnih
vremen. V techenie prodolzhitel'nogo perioda ploskie izobrazheniya vypolnyalis'
preimushchestvenno kak izobrazheniya naglyadnye. S razvitiem tehniki
pervostepennoe znachenie priobrel vopros o primenenii metoda, obespechivayushchego
tochnost' i udoboizmerimost' izobrazhenij, t. e. vozmozhnost' tochno ustanovit'
mesto kazhdoj tochki izobrazheniya otnositel'no drugih tochek ili ploskostej i
putem prostyh priemov opredelit' razmery otrezkov linij i figur. Postepenno
nakopivshiesya otdel'nye pravila i priemy postroenij takih izobrazhenij byli
privedeny v sistemu i razvity v trude francuzskogo uchenogo o c zh a,
izdannom v 1799 g. pod nazvaniem "Geometric' descriptive".
Gaspar Monzh (1746--1818) voshel v istoriyu kak krupnyj francuzskij
geometr konca XVIII i nachala XIX vv., inzhener, obshchestvennyj i
gosudarstvennyj deyatel' v period revolyucii 1789--1794 gg. i pravleniya
Napoleona I, odin iz osnovatelej znamenitoj Politehnicheskoj shkoly v Parizhe,
uchastnik raboty po vvedeniyu metricheskoj sistemy mer i vesov. Buduchi odnim iz
ministrov v revolyucionnom pravitel'stve Francii, Monzh mnogo sdelal dlya ee
zashchity ot inostrannoj intervencii i dlya pobedy revolyucionnyh vojsk. Monzh ne
srazu poluchil vozmozhnost' opublikovat' svoj trud s izlozheniem razrabotannogo
im metoda. Uchityvaya bol'shoe prakticheskoe znachenie etogo metoda dlya
vypolneniya chertezhej ob®ektov voennogo znacheniya i ne zhelaya, chtoby metod Monzha
stal izvesten vne granic Francii, ee pravitel'stvo zapretilo pechatanie
knigi. Lish' v konce XVIII stoletiya eto zapreshchenie bylo snyato. Posle
restavracii Burbonov Gaspar Monzh podvergsya goneniyu, vynuzhden byl skryvat'sya
i konchil svoyu zhizn' v nishchete. Izlozhennyj Mon-zhem metod -- metod
parallel'nogo proecirovaniya (prichem berutsya pryamougol'nye proekcii na dve
vzaimno perpendikulyarnye ploskosti proekcij) -- obespechivaya vyrazitel'nost',
tochnost' i udoboizmerimost' izobrazhenij predmetov na ploskosti, byl i
ostaetsya osnovnym metodom sostavleniya tehnicheskih chertezhej.
Slovo pryamougol'nyj chasto zamenyayut slovom ortogonal'nyj, obrazovannym
iz slov drevnegrecheskogo yazyka, oboznachayushchih "pryamoj" i "ugol". V dal'nejshem
izlozhenii termin ortogonal'nye proekcii budet primenyat'sya dlya oboznacheniya
sistemy pryamougol'nyh proekcij na vzaimno perpendikulyarnyh ploskostyah.
V dannom kurse preimushchestvenno rassmatrivayutsya pryamougol'nye proekcii.
V sluchae primeneniya parallel'nyh kosougol'nyh proekcij eto budet kazhdyj raz
ogovarivat'sya.
Nachertatel'naya geometriya (n. g.) stala predmetom prepodavaniya v nashej
strane s 1810 g., kogda v tol'ko chto osnovannom Institute korpusa inzhenerov
putej soobshcheniya nachalis' zanyatiya naryadu s drugimi disciplinami uchebnogo
plana i po nachertatel'noj geometrii. |to bylo vyzvano vse vozrastayushchim ee
prakticheskim znacheniem.
V Institute korpusa inzhenerov putej soobshcheniya1) protekala
prepodavatel'skaya deyatel'nost' okonchivshego etot institut v 1814 g. YAkova
Aleksandrovicha Sevast'yanova (1796--1849), s imenem kotorogo svyazano
poyavlenie v Rossii pervyh sochinenij po n. g., snachala perevodnyh s
francuzskogo yazyka, a zatem pervogo original'nogo truda pod nazvaniem
"Osnovaniya nachertatel'noj geometrii" (1821 g.), v osnovnom posvyashchennogo
izlozheniyu metoda ortogonal'nyh proekcij.
1) Teper' Peterburgskij gosudarstvennyj universitet putej
soobshcheniya.
Lekcii YA. A. Sevast'yanov chital na russkom yazyke, hotya prepodavanie v te
gody voobshche velos' na francuzskom yazyke. Tem samym YA. A. Sevast'yanov polozhil
nachalo prepodavaniyu i ustanovleniyu terminologii v n. g. na rodnom yazyke. Eshche
pri zhizni YA. A. Sevast'yanova n. g. voshla v uchebnye plany ryada grazhdanskih i
voennyh uchebnyh zavedenij.
Krupnyj sled v razvitii n. g. v XIX stoletii v Rossii ostavili Nikolaj
Ivanovich Makarov (1824--1904), prepodavavshij etot predmet v Peterburgskom
tehnologicheskom institute, i Valerian Ivanovich Kurdyumov (1853--1904),
kotoryj, buduchi professorom Peterburgskogo instituta inzhenerov putej
soobshcheniya po kafedre stroitel'nogo iskusstva, chital v etom institute kurs n.
g. V svoej praktike prepodavaniya V. I. Kurdyumov privodit mnogochislennye
primery primeneniya n. g. k resheniyu inzhenernyh zadach.
Deyatel'nost'yu i trudami V. I. Kurdyumova kak by zavershilsya pochti
stoletnij period razvitiya n. g. i ee prepodavaniya v Rossii. V etot period
naibol'shee vnimanie bylo udeleno organizacii prtpodavaniya, sozdaniyu trudov,
prednaznachennyh sluzhit' uchebnikami, razrabotke uluchshennyh priemov i sposobov
resheniya ryada zadach. |to byli sushchestvennye i neobhodimye momenty v razvitii
prepodavaniya n. g.; odnako ee nauchnoe razvitie otstavalo ot dostizhenij v
oblasti metodiki izlozheniya predmeta. Lish' v trudah V. I. Kurdyumova teoriya
poluchila bolee yarkoe otrazhenie. Mezhdu tem v nekotoryh zarubezhnyh stranah v
XIX stoletii n. g. uzhe poluchila znachitel'noe nauchnoe razvitie. Ochevidno, dlya
likvidacii otstavaniya i dlya dal'nejshego razvitiya nauchnogo soderzhaniya n. g.
neobhodimo bylo rasshirit' ee teoreticheskuyu osnovu i obratit'sya
issledovatel'skoj rabote.
|to mozhno videt' v trudah i deyatel'nosti Evgrafa Stepanovicha Fedorova
(1853 -- 1919), znamenitogo russkogo uchenogo, geometra-kristallografa, i
Nikolaya Alekseevicha Rynina (1877--1942), kotorye, uzhe v poslednie gody pered
Velikoj Oktyabr'skoj socialisticheskoj revolyuciej obratilis' k razvitiyu
nachertatel'noj geometrii kak nauki. K nastoyashchemu vremeni nachertatel'naya
geometriya kak nauka poluchila znachitel'noe razvitie v trudah sovetskih uchenyh
N.A.Glagoleva (1888--1945), A. I. D obryak ova (1895-1947), D. D. Mordu
ai-Bo l tovsk ogo (1876-1952), M. YA. Gromova (1884-1963), S. M. Kolotova
(1885-1965), N. F. CHetveruhina (1891-1974), I. I. Kotova (1909-1976) i
mnogih drugih1).
1. Kak stroitsya central'naya proekciya tochki?
2. V kakom sluchae central'naya proekciya pryamoj linii predstavlyaet soboj
tochku?
3. V chem zaklyuchaetsya sposob proecirovaniya, nazyvaemyj parallel'nym?
4. Kak stroitsya parallel'naya proekciya pryamoj linii?
5. Mozhet li parallel'naya proekciya pryamoj linii predstavlyat' soboj
tochku?
6. Esli tochka prinadlezhit dannoj pryamoj, to kak vzaimno raspolagayutsya
ih proekcii?
7. V kakom sluchae v parallel'noj proekcii otrezok pryamoj linii
proeciruetsya v natural'nuyu svoyu velichinu?
8. CHto takoe "metod Monzha"?
9. Kak rasshifrovyvaetsya slovo "ortogonal'nyj"?
1) Interesuyushchihsya bolee podrobnymi svedeniyami otsylaem k
6--13-mu izdaniyam ili, naprimer, k knige: Bubennikov A. V., Gromov M. YA.
Nachertatel'naya geometriya.-- M.: Vysshaya shkola, 1965.
GLAVA II TOCHKA I PRYAMAYA
§ 4. TOCHKA V SISTEME DVUH PLOSKOSTEJ PROEKCIJ 1,2
Vyshe (§ 2) bylo skazano, chto proekciya tochki ne opredelyaet polozheniya
tochki v prostranstve, i chtoby, imeya proekciyu tochki, ustanovit' eto
polozhenie, trebuyutsya dopolnitel'nye usloviya. Naprimer, dana pryamougol'naya
proekciya tochki na gorizontal'noj ploskosti proekcij i ukazano udalenie etoj
tochki ot ploskosti chislovoj otmetkoj; ploskost' proekcij prinimaetsya za
"ploskost' nulevogo urovnya", i chislovaya otmetka schitaetsya polozhitel'noj,
esli tochka v prostranstve vyshe ploskosti nulevogo urovnya, i otricatel'noj,
esli tochka nizhe etoj ploskosti.
Na etom osnovan metod proekcij s chislovymi otmetkami 1).
V dal'nejshem izlozhenii opredelenie polozheniya tochek v prostranstve budet
proizvodit'sya po ih pryamougol'nym proekciyam na dvuh i bolee ploskostyah
proekcij.
Na ris. 9 izobrazheny dve vzaimno perpendikulyarnye ploskosti. Primem ih
za ploskosti proekcij. Odna iz nih, oboznachennaya bukvoj 1, raspolozhena
gorizontal'no; drugaya, oboznachennaya bukvoj 2,-- vertikal'no. |tu ploskost'
nazyvayut frontal'noj ploskost'yu proekcij, pl. 1 nazyvayut gorizontal'noj
ploskost'yu proekcij. Ploskosti proekcij i 2 obrazuyut sistemu 1 ,2.
Liniya peresecheniya ploskostej proekcij nazyvaetsya os'yu proekcij. Os'
proekcij razdelyaet kazhduyu iz ploskostej 1 i 2 na poluploskosti. Dlya etoj
osi budem primenyat' oboznachenie ili oboznachenie
v vide drobi 2/1. Iz chetyreh dvugrannyh uglov, obrazovannyh
ploskostyami proekcij, schitaetsya pervym tot, grani kotorogo na ris. 9 imeyut
oboznacheniya 1 i 2.
Na ris. 10 pokazano postroenie proekcij nekotoroj tochki A v sisteme 1,
2. Provedya iz A perpendikulyary k i 2, poluchaem proekcii tochki A:
gorizontal'nuyu, oboznachennuyu A', i frontal'nuyu, oboznachennuyu A".
Proeciruyushchie pryamye, sootvetstvenno perpendikulyarnye k 1 i 2,
opredelyayut ploskost', perpendikulyarnuyu k ploskostyam i k osi proekcij. |ta
ploskost' v peresechenii s i 2 obrazuet dve vzaimno perpendikulyarnye
pryamye A'AH i A"AH, peresekayushchiesya v tochke Ah na osi proekcij.
Sledovatel'no, proekcii neko-
ris.9 ris.10
1) Metod proekcij s chislovymi otmetkami v programmu
izlagaemogo kursa ne vhodit. Interesuyushchihsya otsylaem k knigam po
nachftatel'noj geometrii dlya stroitel'nyh i arhitekturnyh special'nostej.
15
toroj tochki poluchayutsya raspolozhennymi na pryamyh, perpendikulyarnyh k osi
proekcij i peresekayushchih etu os' v odnoj i toj zhe tochke.
Esli dany proekcii A' i A" nekotoroj tochki A (ris. 11), to, provedya
perpendikulyary -- cherez A' k pl. 1 i cherez A" k pl. 2 -- poluchim v
peresechenii etih perpendikulyarov opredelennuyu tochku. Itak, dve proekcii
tochki vpolne opredelyayut ee polozhenie v prostranstve otnositel'no dannoj
sistemy ploskostej proekcij.
Ris. 11 Ris. 12
Povernuv pl. vokrug osi proekcij na ugol 90° (kak eto pokazano na
ris. 12), poluchim odnu ploskost' -- ploskost' chertezha; proekcii A" i A'
raspolozhatsya na odnom perpendikulyare k osi proekcij (ris. 13) -- na linii
svyazi. V rezul'tate ukazannogo sovmeshcheniya ploskostej , i 2 poluchaetsya
chertezh, izvestnyj pod nazvaniem epyur1) (epyur Monzha). |to chertezh v
sisteme 1,2 (ili v sisteme dvuh pryamougol'nyh proekcij).
Perejdya k epyuru, my utratili prostranstvennuyu kartinu raspolozheniya
ploskostej proekcij i tochki. No, kak uvidim dal'she, epyur obespechivaet
tochnost' i udoboizmerimost' izobrazhenij pri znachitel'noj prostote
postroenij. CHtoby predstavit' po nemu prostranstvennuyu kartinu, trebuetsya
rabota voobrazheniya: naprimer, po ris. 13 nado predstavit' kartinu,
izobrazhennuyu na ris. 10.
Tak kak pri nalichii osi proekcij polozhenie tochki A otnositel'no
ploskostej proekcij 1i 2 ustanovleno, to otrezok A'AH vyrazhaet rasstoyanie
tochki A ot ploskosti proekcij 2, a otrezok A "Ah -- rasstoyanie tochki A ot
ploskosti proekcij 1. Tak zhe mozhno opredelit' rasstoyanie tochki A ot osi
proekcij. Ono vyrazhaetsya gipotenuzoj treugol'nika, postroennogo po katetam
A'AH i A"A* (ris. 14): otkladyvaya na epyure otrezok A"A, ravnyj A'AH,
perpendikulyarno k A"AH, poluchaem gipotenuzu AAH, vyrazhayushchuyu iskomoe
rasstoyanie.
Sleduet obratit' vnimanie na neobhodimost' provedeniya linii svyazi mezhdu
proekciyami tochki: tol'ko pri nalichii etoj linii, vzaimosvyazyvayushchej proekcii,
poluchaetsya vozmozhnost' ustanovit' polozhenie opredelyaemoj imi tochki.
Ris. 14
Uslovimsya v dal'nejshem epyur Monzha, a takzhe proekcionnye chertezhi, v
osnove kotoryh lezhit metod Monzha (sm. § 3), nazyvat' odnim slovom -- chertezh:
i ponimat' eto tol'ko v ukazannom smysle. V drugih sluchayah primeneniya slova
"chertezh" ono budet soprovozhdat'sya sootvetstvuyushchim opredeleniem
(perspektivnyj chertezh, aksonometricheskij chertezh i t. p.).
1) ¨rige (franc.) -- chertezh, proekt. Inogda vmesto "epyur"
pishut i proiznosyat "epyura", chto sootvetstvuet ne proiznosheniyu slova epure, a
zhenskomu rodu etogo slova vo francuzskom yazyke.
16
§ 5. TOCHKA V SISTEME TREH PLOSKOSTEJ PROEKCIJ 1, 2, 3
V ryade postroenij i pri reshenii zadach okazyvaetsya neobhodimym vvodit' v
sistemu 1; 2 i drugie ploskosti proekcij. Izvestno, chto v praktike
sostavleniya chertezhej, naprimer mashin i ih chastej, chertezh preimushchestvenno
soderzhit ne dva, a bol'shee chislo izobrazhenij.
Rassmotrim vvedenie v sistemu ^ 2 eshche odnoj ploskosti proekcij (ris.
15): oboznachennaya bukvoj 3 ploskost' perpendikulyarna i k 1 i k 2. Ee
nazyvayut profil'noj ploskost'yu proekcij. Tak zhe, kak i pl. 2, pl. 3
raspolozhena vertikal'no. Pomimo osi proekcij h, poyavlyayutsya eshche osi z i u,
perpendikulyarnye k osi h. Bukvoj O oboznachena tochka peresecheniya vseh treh
osej proekcij. Tak kak os' h% 3, os' y% 2, os' z% 3 to v tochke O
sovpadayut proekcii osi h na pl. 3, osi u na pl. 2 i osi z na pl. .
Na ris. 15 pokazana shema sovmeshcheniya ploskostej 1, 2 i 3 v odnu
ploskost'. Dlya osi u dano dva polozheniya (ris. 17).
Naglyadnoe izobrazhenie na ris. 16 i chertezh na ris. 18 soderzhat
gorizontal'nuyu, frontal'nuyu i profil'nuyu proekcii nekotoroj tochki A.
Ris. 15 Ris. 16 Ris.17
Ris. 18 Ris. 19 Ris. 20
Gorizontal'naya i frontal'naya proekcii (A1 i A") raspolozheny
na odnom perpendikulyare k osi h- na linii svyazi A"A', frontal'naya i
profil'naya proekcii (A" i A") -- na odnom perpendikulyare k osi z - na linii
svyazi A"A".
Postroenie profil'noj proekcii po frontal'noj i gorizontal'noj pokazano
na ris. 17. Mozhno vospol'zovat'sya ili dutoj okruzhnosti, provodimoj iz tochki
O, ili bissektrisoj ugla uOu.
Rasstoyanie tochki A ot pl. izmeryaetsya na chertezhe otrezkom A"AH ili
otrezkom A'"Au, rasstoyanie ot 2 -- otrezkom A'AH ili otrezkom A'"Ag,
rasstoyanie ot 3 -- otrezkom A'Au ili otrezkom A"Ag. Poetomu proekciyu A'"
mozhno postroit' i tak, kak pokazano na ris. 18, t. e. otkladyvaya na linii
svyazi proekcij A" i A" ot osi z vpravo otrezok, ravnyj A'AH. Takoe
postroenie predpochtitel'no.
Rasstoyanie ot tochki A do osi h (ris. 19) izmeryaetsya v prostranstve
otrezkom AAH. No otrezok AAH raven otrezku A'"O (sm. s. 12, punkt 8).
Poetomu dlya opredeleniya rasstoyaniya ot tochki A do osi h na chertezhe (ris. 20)
nado vzyat' otrezok 1H.
17
Analogichno, rasstoyanie ot tochki A do osi u vyrazhaetsya otrezkom 1u i
rasstoyanie ot tochki A do osi z -- otrezkom /z (ris. 20).
Itak, rasstoyaniya tochki ot ploskostej proekcij i ot osej proekcij mogut
byt' izmereny neposredstvenno, kak opredelennye otrezki na chertezhe. Pri etom
dolzhen byt' uchten ego masshtab.
Rassmotrim primery postroeniya tret'ej proekcii tochki po dvum zadannym.
Pust' (ris. 21) tochka V zadana ee frontal'noj i gorizontal'noj proekciyami.
Vvedya os' z (ris. 22:
Ris. 21 Ris. 22 Ris. 23
rasstoyanie OVH proizvol'no, esli net kakih-libo uslovij) i provedya
cherez V" liniyu svyazi, perpendikulyarnuyu k osi , otkladyvaem na nej vpravo ot
etoj osi otrezok B'"B-, ravnyj V'VH.
Na ris. 23 postroena proekciya S' po zadannym proekciyam S" i S'" (hod
postroeniya ukazan strelkami).
VOPROSY K §§ 4-5
1. CHto takoe "sistema ·, 2" i kak nazyvayutsya ploskosti proekcij i
.,?
2. CHto nazyvaetsya os'yu proekcij?
3. Kak poluchaetsya chertezh tochki v sisteme ,, ..?
4. CHto takoe "sistema ·, .%, YAe" i kak nazyvaetsya ploskost' proekcij
,?
5. CHto takoe "liniya svyazi"?
6. Kak dokazyvaetsya, chto chertezh, soderzhashchij dve svyazannye mezhdu soboj
proekcii v vide tochek, vyrazhaet nekotoruyu tochku?
7. Kak stroitsya profil'naya proekciya tochki po ee frontal'noj i
gorizontal'noj proekciyam?
§ 6. ORTOGONALXNYE PROEKCII I SISTEMA PRYAMOUGOLXNYH KOORDINAT
Model' polozheniya tochki v sisteme l1g 2, 3 (ris. 16) analogichna
modeli, kotoruyu mozhno postroit', znaya pryamougol'nye koordinaty 1)
etoj tochki, t. e. chisla, vyrazhayushchie ee rasstoyaniya ot treh vzaimno
perpendikulyarnyh ploskostej -- ploskostej koordinat. Pryamye, po kotorym
peresekayutsya ploskosti koordinat, nazyvayutsya osyami koordinat. Tochka
peresecheniya osej koordinat nazyvaetsya nachalom koordinat i oboznachaetsya
bukvoj O 2). Dlya osej koordinat budem primenyat' oboznacheniya,
pokazannye na ris. 16.
Ploskosti koordinat v svoem peresechenii obrazuyut vosem' trehgrannyh
uglov, delya prostranstvo na vosem' chastej -- vosem' oktantov 3).
Na ris. 16 izobrazhen odin iz oktantov. Pokazano obrazovanie otrezkov,
opredelyayushchih koordinaty nekotoroj tochki A: iz tochki A provedeny
perpendikulyary k kazhdoj iz ploskostej
1) Inache -- "dekartovy koordinaty". Sistema koordinat
Dekarta mozhet byt' pryamougol'noj i kosougol'noj; zdes' rassmatrivaetsya
pryamougol'naya sistema. Dekart (1596--1650) - francuzskij matematik i
filosof.
2) Nachal'naya bukva latinskogo slova "origo" -- nachalo.
3) Octo (lat.) -- vosem'.
18
koordinat. Pervaya koordinata tochki A, nazyvaemaya ee abscissoj
1), vyrazitsya chislom, poluchennym ot sravneniya otrezka AA"' (ili
ravnogo emu otrezka OAH na osi h) s nekotorym otrezkom, prinyatym za edinicu
masshtaba. Takzhe otrezok AA" (ili ravnyj emu otrezok OAu na osi u) opredelit
.vtoruyu koordinatu tochki A, nazyvaemuyu ordinatoj 2); otrezok AA'
(ili ravnyj emu otrezok OAZ na osi ) - tret'yu koordinatu, nazyvaemuyu
applikatoj 3).
Pri bukvennom oboznachenii koordinat abscissa ukazyvaetsya bukvoj h,
ordinata -- bukvoj u, applikata -- bukvoj z.
Postroennyj na ris. 16 parallelepiped nazyvayut parallelepipedom
koordinat dannoj tochki A. Postroenie tochki po zadannym ee koordinatam
svoditsya k postroeniyu treh reber parallelepipeda koordinat, sostavlyayushchih
trehzvennuyu lomanuyu liniyu (ris. 24). Nado otlozhit' posledovatel'no otrezki
OAH, AHA' i A'A ili OAU, AuA'" i A'"A i t. p., t. e. tochku A mozhno poluchit'
shest'yu kombinaciyami, v kazhdoj iz kotoryh dolzhny byt' vse tri koordinaty.
Na ris. 24 dlya naglyadnogo izobrazheniya vzyata izvestnaya iz kursa chercheniya
srednej shkoly proekciya, nazyvaemaya kabinetnoj 4). V nej osi h i z
vzaimno perpendikulyarny, a os' u yavlyaetsya prodolzheniem bissektrisy ugla z.
V kabinetnoj proekcii otrezki, otkladyvaemye po osi u ili parallel'no ej,
sokrashchayutsya vdvoe.
Ris. 25
Ris. 16 pokazyvaet, chto postroenie proekcij tochki soprovozhdaetsya
postroeniem otrezkov, opredelyayushchih koordinaty etoj tochki, esli prinyat'
ploskosti proekcij za ploskosti koordinat. Kazhdaya iz proekcij tochki A
opredelyaetsya dvumya koordinatami etoj tochki; naprimer, polozhenie proekcii A'
opredelyaetsya koordinatami h i u.
Polozhim, dana tochka A (7; 3; 5); eta zapis' oznachaet, chto tochka A
opredelyaetsya koordinatami h = 7, u= 3, z = 5. Esli masshtab dlya postroeniya
chertezha zadan ili vybran, to (ris. 25) otkladyvayut na osi h ot nekotoroj
tochki O otrezok OAH, ravnyj 7 edinicam, i na perpendikulyare k etoj osi,
provedennom iz tochki Ah, otrezki AHA' = 3 ed. i AHA" = 5 ed. Poluchaem
proekcii A' i A". Dlya postroeniya dostatochno vzyat' tol'ko os' h.
Prinimaya osi proekcij za osi koordinat, mozhno najti koordinaty tochki po
dannym ee proekciyam. Naprimer, na ris. 18 otrezok OAH vyrazhaet abscissu
tochki A, otrezok AHA' -- ee ordinatu, otrezok AHA" - applikatu.
Esli zadaetsya lish' abscissa, to etomu sootvetstvuet ploskost',
parallel'naya ploskosti, opredelyaemoj osyami u i z. Dejstvitel'no, takaya
ploskost' yavlyaetsya geometricheskim mestom tochek, u kotoryh abscissy ravny
zadannoj velichine (ris. 26, ploskost' a).
') Abscissa (lat.) - otsechennaya, otdelennaya.
2) Ordinata (lat.) -- ot ordinatim ducta (lat.) -- podryad
provedennaya.
3) Applicata (lat.) -- prilozhennaya.
*) Kabinetnaya proekciya otnositsya k chislu kosougol'nyh (podrobnee sm. v
§ 75).
19
Esli zadayutsya dve koordinaty, to etim opredelyaetsya pryamaya, parallel'naya
sootvetstvuyushchej koordinatnoj osi. Naprimer, imeya zadannymi abscissu i
ordinatu, poluchaem pryamuyu, parallel'nuyu osi z (na ris. 26 eto pryamaya AV).
Ona yavlyaetsya liniej peresecheniya dvuh ploskostej i , gde --
geometricheskoe mesto tochek s ravnymi ordinatami. Pryamaya AV sluzhit
geometricheskim mestom tochek, u kotoryh ravny mezhdu soboj abscissy i ravny
mezhdu soboj ordinaty.
Ris. 26
Esli zadayutsya vse tri koordinaty, to etim opredelyaetsya tochka. Na ris.
26 pokazana tochka K, poluchennaya v peresechenii treh ploskostej, iz kotoryh
est' geometricheskoe mesto tochek po zadannoj abscisse, -- po zadannoj
ordinate i -- po zadannoj applikate.
Tochka mozhet nahodit'sya v lyubom iz vos'mi oktantov (numeraciyu oktantov
sm. na ris. 27). Sledovatel'no, nuzhno znat' ne tol'ko rasstoyanie dannoj
tochki ot toj ili inoj ploskosti koordinat, no i napravlenie, po kotoromu
nado eto rasstoyanie otlozhit'; dlya etogo koordinaty tochek vyrazhayut
otnositel'nymi chislami. My budem primenyat' dlya otscheta koordinat sistemu
znakov, ukazannuyu na ris. 27, t. e. budem primenyat' sistemu koordinat,
nazyvaemuyu "pravoj". Pravaya sistema harakterizuetsya tem, chto povorot na 90°
"polozhitel'nogo" lucha Oh (ris. 27) v storonu "polozhitel'nogo" lucha Ou
proishodit protiv chasovoj strelki (pri uslovii, chto my smotrim na ploskost'
hOu sverhu).
V sisteme, nazyvaemoj "levoj", "polozhitel'nyj" luch Oh napravlen ot
tochki O vpravo.
Pri izobrazhenii tel obychno prinimayut v kachestve ploskostej koordinat ne
ploskosti proekcij, a sistemu nekotoryh treh vzaimno perpendikulyarnyh
ploskostej, neposredstvenno svyazannyh s dannym telom, naprimer grani
pryamougol'nogo parallelepipeda, dve grani i ploskost' simmetrii i t. p. Dlya
takoj sistemy koordinat vstrechaetsya nazvanie "vnutrennyaya".
§ 7. TOCHKA V CHETVERTYAH I OKTANTAH PROSTRANSTVA
V § 4 bylo skazano, chto ploskosti 1 i 2 pri peresechenii obrazuyut
chetyre dvugrannyh utla; ih nazyvayut kvadrantami ili chetvertyami prostranstva.
Na ris. 28 ukazan prinyatyj poryadok otscheta chetvertej. Os' proekcij delit
kazhduyu iz ploskostej 1 i 2 na "poly" (poluploskosti), uslovno oboznachennye
1 i -- 1, 2 i -- 2. Esli, naprimer, tochka raspolozhena vo vtoroj
chetverti, to gorizontal'naya proekciya poluchaetsya na -- 1, a frontal'naya --
na 2.
V dal'nejshem izlozhenii za osnovu dlya postroeniya chertezha tochki v lyuboj
iz chetyreh chetvertej my budem brat' risunok po tipu 13 (sm. s. 16).
Schitayut, chto zritel' vsegda nahoditsya v pervoj chetverti (uslovno -- na
beskonechno bol'shom rasstoyanii ot 1 i ot 2). Ploskosti proekcij schitayut
neprozrachnymi; poetomu vidimy tol'ko tochki, raspolozhennye v pervoj chetverti,
a takzhe na poluploskostyah i 2.
20
Na ris. 13 dan chertezh dlya sluchaya, kogda tochka raspolozhena v pervoj
chetverti (ris. 29). Esli tochka odinakovo udalena ot i 2, to A'AH = A"AH.
Na ris. 30 pokazana tochka V, raspolozhennaya vo vtoroj chetverti, t. e.
nad -- % i szadi 2 (ris. 29). Tochka V blizhe k 2, chem k -- ,: na chertezhe
V'VH < V"VZH. Tam zhe
III
Ris. 28 Ris. 29
pokazana tochka S, odinakovo udalennaya ot -! i ot 2: proekcii S" i S'
sovpadayut mezhdu soboj.
Na ris. 31 dan chertezh dlya sluchaya, kogda tochka D raspolozhena v tret'ej
chetverti. Gorizontal'naya proekciya poluchaetsya nad os'yu proekcij, frontal'naya
proekciya -- pod os'yu proekcij. Tak kak D'DX > D"DX, to tochka D
raspolozhena ot --2 dal'she, chem ot --.
Na ris. 32 dany tochki i F, raspolozhennye v chetvertoj chetverti. Tochka
E blizhe k ,, chem k -- 2 (ris. 29): E"EH < E'EH. Tochka F odinakovo
udalena ot -- 2 i ot ..: F'FX = F"FX.
Na ris. 33 v sisteme ,, 2 izobrazheny tochki A i V, raspolozhennye
simmetrichno otnositel'no pl. ,. Na chertezhe (ris. 33, sprava) gorizontal'nye
proekcii
Ris. 31 Ris. 33
takih tochek sovpadayut odna s drugoj, frontal'nye zhe proekcii nahodyatsya
na ravnyh rasstoyaniyah ot osi proekcij: A"AH = V"VH.
V praktike chercheniya imeet mesto primenenie pervoj i tret'ej chetvertej
prostranstva. Podrobnee sm. v § 41.
Na ris. 27 bylo pokazano, chto ploskosti koordinat v svoem peresechenii
obrazuyut vosem' trehgrannyh uglov -- vosem' oktantov. Numeraciya oktantov
ukazana na ris.27. Kak vidno iz ris.28, chetverti numeruyutsya kak I--IV
oktanty.
21
Primenyaya dlya otscheta koordinat tochki sistemu znakov, ukazannuyu na ris.
27, poluchim sleduyushchuyu tablicu: |
|
Znaki koordinat |
|
Znaki koordinat |
|
|
|
U |
|
|
|
U |
z |
|
I |
+ |
+ |
+ |
V |
|
+ |
+ |
|
|
+ |
_ |
+ |
VI |
-- |
-- |
+ |
|
III |
+ |
_ |
_ |
VII |
_ |
_ |
_ |
|
IV |
+ |
+ |
- |
VIII |
- |
+ |
- |
Naprimer, tochka (--20; + 15; --18) nahoditsya v vos'mom oktante.
Sovmeshchenie ploskostej proizvoditsya soglasno ris. 34, t. e. pl. 3 otvoditsya
protiv chasovoj strelki, esli smotret' na pl. ! po napravleniyu ot +z k O.
Ris. 34
Na ris. 34 dany takzhe chertezhi tochek: A, raspolozhennoj v pervom oktante,
i S, raspolozhennoj v sed'mom oktante; proekcii odnoj i toj zhe tochki ne mogut
nalozhit'sya odna na druguyu. Dlya ostal'nyh oktantov dve ili vse tri (dlya
vtorogo i vos'mogo oktantov) proekcii odnoj i toj zhe tochki mogut okazat'sya
nalozhennymi drug na druga.
1. CHto takoe pryamougol'nye dekartovy koordinaty tochki?
2. V kakoj posledovatel'nosti zapisyvayutsya koordinaty v oboznachenii
tochki?
3. CHto takoe kvadranty ili chetverti prostranstva?
4. CHto takoe oktanty?
5. Kakie znaki imeyut koordinaty tochki, raspolozhennoj v sed'mom oktante?
6. V chem razlichie mezhdu "pravoj" i "levoj" sistemami koordinat?
CHem razlichayutsya mezhdu soboj chertezhi tochek, iz kotoryh odna raspolozhena
v pervoj chetverti, a drugaya -- v tret'ej?
§ 8. OBRAZOVANIE DOPOLNITELXNYH SISTEM PLOSKOSTEJ PROEKCIJ
Do sih por my vstrechalis' s dvumya sistemami ploskostej proekcij -- p1g
2 i ·, -, 3. V sluchae neobhodimosti mozhno obrazovat' i drugie sistemy.
Naprimer, vvedya v sistemu ^ - nekotoruyu pl. 41 (ris.35), my poluchim,
pomimo sistemy -, 2 s proekciyami A' i A" tochki A, eshche sistemu ,, 4 s
proekciyami A i toj zhe tochki A.
Obrazuetsya li pri etom takzhe sistema 2, 4? Net: ploskosti 2 i 4 ne
perpendikulyarny odna k drugoj.
Pl. 1 vhodit v obe sistemy 1, 2 i 1, 4. Poetomu proekciya A' tochki
A (ris. 35) otnositsya i k sisteme 5 4. Pri proecirovanii zhe tochki A na
pl. 4 poluchaem tochku na rasstoyanii ot pl.
1; ravnom AA' i A"AH.
Ris. 35 Ris. 36 Ris. 37
Na ris. 36 ploskosti 1; 2 i 4 pokazany sovmeshchennymi v odnu ploskost'
--ploskost' chertezha; poluchennyj pri etom chertezh dan na ris. 37. Pomimo osi
2/ 1) vvedena eshche os' 4/1; ona vybiraetsya soglasno usloviyam,
vytekayushchim iz zadaniya, kak eto budet pokazano dal'she. Iz tochki A' provedena
perpendikulyarno k osi 4/1 liniya svyazi, na kotoroj otlozhen otrezok
, ravnyj otrezku A"AH, t. e. rasstoyaniyu v prostranstve ot
tochki A do pl. 1.
Ris. 38 Ris. 40
Na ris. 38 pokazan chertezh, v kotorom pomimo sistemy 5 2 dana eshche
sistema 2, 5, t. e. v sistemu Pc, 2 vvedena dopolnitel'naya pl. 5,
perpendikulyarnaya k 2. Teper' v obeih sistemah (p' 2 i 2, 5) soderzhitsya
pl. 2. Poetomu sohranyaetsya rasstoyanie tochki A imenno ot pl. 2 i na chertezhe
otrezok AvAxl dolzhen byt' vzyat ravnym otrezku A'AH.
Ochevidno, ploskost' 3 (ris. 15) mozhno istolkovat' kak dopolnitel'nuyu,
provedennuyu perpendikulyarno i k 2, i k nt. No pri etom obychno pomimo
sistemy 1; 2 rassmatrivayut eshche sistemu 2, 3. Po analogii s ris. 38 mozhno
bylo by pridat' ris. 22 formu, pokazannuyu na ris. 39 sleva, gde "' = =
V'VH. Esli zhe ispol'zovat' vspomogatel'nuyu pryamuyu po ris. 17 (prodolzhennuyu
bissektrisu ugla ), to postroenie prinimaet vid, ukazannyj na ris. 39
sprava. Mozhno li po-stup"t' analogichno pri postroenii, naprimer, proekcii
(ris. 37) ili (ris. 38)? Da; eto pokazano na
ris. 40 i 41. No zdes', konechno, ugol 45°, postroen-
Ris. 41
1) |to oboznachenie osi sootvetstvuet ranee prinyatomu -- h.
Pri vvedenii novoj osi, naprimer 4/1, ee oboznachenie - xt.
23
nyj na ris. 17, ne poluchaetsya. Kak vidno iz chertezhej na ris. 40 i 41,
nado provesti bissektrisu ugla, obrazuemogo osyami 2/ i K4/nt (ris. 40) i
osyami 2/ i -/5 (ris. 41).
No, kak bylo skazano na s. 23, predpochtitel'nymi yavlyayutsya postroeniya,
pokazannye na ris. 39 sleva i na ris. 37 i 38.
V dal'nejshem (§ 33) my vstretimsya eshche s drugimi primerami vvedeniya
dopolnitel'nyh ploskostej dlya obrazovaniya trebuemoj sistemy ploskostej
proekcij.
§ 9. CHERTEZHI BEZ UKAZANIYA OSEJ PROEKCIJ
V dal'nejshem izlozhenii naryadu s chertezhami, soderzhashchimi osi proekcij,
budut primenyat'sya chertezhi bez ukazaniya osej.
Iz sravneniya chertezhej na ris. 42 sleduet, chto v odnom sluchae polozhenie
ploskostej 1 i 2 ustanovleno provedeniem linii ih peresecheniya i chto
ustanovleny rasstoyaniya tochki A ot etih ploskostej. Na vtorom zhe chertezhe na
ris. 42 vopros o rasstoyaniyah tochki A ot ploskostej , i 2 otpadaet, tak kak
os' proekcij otsutstvuet; rassmatrivaetsya nekotoraya tochka A, zadannaya svoimi
proekciyami, bezotnositel'no k tomu, gde nahodyatsya ploskosti proekcij. Pri
etom, konechno, tem bol'shee znachenie priobretaet liniya svyazi proekcij, ee
napravlenie i pravil'noe provedenie.
Mozhno li, imeya chertezh bez ukazaniya osi proekcij, vvesti etu os' i tem
zadat' rasstoyaniya tochki ot uslovno vybrannyh ploskostej 1 i 2? Da, mozhno.
Vvodya os', nado ee provesti obyazatel'no perpendikulyarno k linii svyazi, no
bezrazlichno,
Ris. 43
v kakoj imenno tochke na etoj linii (esli ne ukazyvaetsya kakoe-libo
uslovie). Pri etom polozhenie proekcij ne izmenitsya. Dejstvitel'no, provedya
os' proekcij, my vybiraem nekotoroe polozhenie dvugrannogo ugla ,2
otnositel'no dannoj tochki A (ris. 43). Perenesenie osi na chertezhe vverh ili
vniz sootvetstvuet parallel'nomu peremeshcheniyu v prostranstve dvugrannogo ugla
2 v novoe polozhenie (na ris. 43 polozhenie 45) v napravlenii
bissektornoj ploskosti dvugrannogo ugla1), smezhnogo s uglom 12.
Vvedenie osi proekcij (a eto delaetsya obychno v sootvetstvii s
kakim-libo usloviem) bylo pokazano na ris. 37 i 38: osi p3/ 1 i 2/5.
Zdes' osi byli nuzhny dlya postroeniya: ot nih otschityvalis' razmery. Voobshche,
osi, esli ih rassmatrivat' v pervonachal'nom znachenii linij peresecheniya
ploskostej proekcij, pomogayut predstavleniyu prostranstvennoj kartiny po
chertezhu.
Bazy otscheta razmerov yavlyayutsya neot®emlemoj sostavlyayushchej tehnicheskih
chertezhej; vybor polozheniya baz ne yavlyaetsya ogranichennym i opredelyaetsya,
ishodya iz neobhodimosti i celesoobraznosti.
1) Bissektornaya ploskost' dvugrannogo ugla -- ploskost',
prohodyashchaya cherez rebro dvugrannogo ugla i delyashchaya ego popolam. Bissektor
(lat.) -- nadvoe rassekayushchij.
24
Na ris. 44 sleva pokazano, kak ustanavlivaetsya raznost' rasstoyanij
tochek A i V ot ploskostej proekcij p' 2 i 3. CHertezh na ris. 44 sprava dan
s osyami proekcij.
Ris. 44
V dannom primere raznost' rasstoyanij tochek ot pl. opredelyaetsya
otrezkom A"1, ravnym A"AH -- V"VH ili A'"3, ot pl. 2 -- otrezkom V'2,
ravnym V'VH -- A'AH ili V'"3, ot pl. 3 -- otrezkom V"1, ravnym A"Ag -- V"V2
ili A'2.
1. Kak obrazuyutsya sistemy ploskostej proekcij?
2. Kakomu usloviyu dolzhna otvechat' ploskost', vvodimaya v sistemu ,, .,
v kachestve dopolnitel'noj ploskosti proekcij?
3. Kak stroitsya proekciya tochki, zadannoj v sisteme ·, 2 na m. it.,,
perpendikulyarnojk pl. ·?
4. Ustanavlivayutsya li rasstoyaniya tochki ot ploskostej proekcij pri
nalichii osi proekcij?
5. Kak sleduet ponimat' chertezh tochki pri otsutstvii osi proekcij?
6. Kakoe naznachenie imeyut osi /, i -/5; na ris. 40 i 41?
7. Kak ustanavlivaetsya na chertezhe v sisteme ,, 2 rasstoyanie tochki ot
pl. , i ot pl. 2?
§ 10. PROEKCII OTREZKA PRYAMOJ LINII
Polozhim, chto dany frontal'nye i gorizontal'nye proekcii tochek A i V
(ris. 45). Provedya cherez odnoimennye proekcii etih tochek pryamye linii, my
poluchaem proekcii otrezka AV -- frontal'nuyu (A"V") i gorizontal'nuyu
(A'V1)').
Mozhno li utverzhdat', chto takoj chertezh (ris. 45) vyrazhaet imenno otrezok
pryamoj linii? Da; esli predstavit' sebe (ris. 46), chto cherez A'V' i cherez
A"V" provedeny proeciruyushchie ploskosti (t. e. perpendikulyarnye sootvetstvenno
k 1 i k 2), to v peresechenii etih ploskostej poluchaetsya pryamaya i ee
otrezok AV. Pri etom tochka, zadannaya svoimi proekciyami na A'V' i na A"V",
prinadlezhit otrezku AV.
Na ris. 47 dan chertezh otrezka AV v sisteme 1, 2, 3· Proekcii A'" i
V'" postroeny tak, kak eto bylo pokazano na ris. 18 dlya odnoj tochki A.
Tochki A i V nahodyatsya na raznyh rasstoyaniyah ot kazhdoj iz ploskostej
·,, 2 i 3, t. e. pryamaya AV ne parallel'na ni odnoj iz nih. Pri etom ni
odna iz proekcij pryamoj ne parallel'na osi proekcij i ne perpendikulyarna k
nej. Takaya pryamaya nazyvaetsya pryamoj obshchego polozheniya.
25
Ris. 45 Ris. 46 Ris. 47
Kazhdaya iz proekcij men'she samogo otrezka: A'V' < AV, A"V" < AV,
A'"V'" < < AV. Oboznachaya ugly mezhdu pryamoj i ploskostyami 1; 2 i 3
sootvetstvenno cherez 1, 2 i 3, poluchim
A'V' = ABcos 1, A" V" = AV cos 2, A'" V'" = ABcos 3.
Esli A'V' = A"V" = A"'V'", to pryamaya obrazuet s ploskostyami proekcij
ravnye mezhdu soboj ugly (~ 35°)1); pri etom kazhdaya iz proekcij
pryamoj raspolozhena
pod uglom 45° k sootvetstvuyushchim osyam proek-cij ili liniyam svyazi mezhdu
proekciyami.
Dejstvitel'no, esli (ris. 48) A'V" = A'V' i A'V' = A'"V'", to figura
A"V"V'A' - ravnobochnaya trapeciya i V"1 = V'2, otkuda V"'3 = A'"3, t. e. ugol
A'"V"'3 = 45°, a tak kak figura A"V"V'"A"' - parallelogramm, to kazhdyj iz
uglov V"A"1 i V'A'2 raven 45°.
Kak postroit' na chertezhe bez osej proekcij, naprimer, profil'nuyu
proekciyu otrezka pryamoj linii? Postroenie pokazano na ris. 49, gde sleva dan
ishodnyj chertezh otrezka AV pryamoj obshchego polozheniya, v seredine pokazano
primenenie vspomogatel'noj pryamoj, provedennoj pod uglom 45°· k napravleniyu
linii svyazi V"V', a sprava -- postroenie v raznosti rasstoyanij tochek A i V
ot pl. 2, t. e. po otrezku : zadavshis' polozheniem hotya by proekcii A'"
(na linii svyazi A"A'"), otkladyvaem A'"2 = i, provedya iz tochki 2
perpendikulyar do peresecheniya s liniej svyazi proekcij V" i V'", nahodim
polozhenie proekcii V'".
Ris. 49
1) Vyvod sm. v § 13.
26
§ 11. OSOBYE (CHASTNYE) POLOZHENIYA PRYAMOJ LINII OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ
PROEKCIJ
Pryamaya liniya mozhet zanimat' otnositel'no ploskostej proekcij osobye
(inache, chastnye) polozheniya. Rassmotrim ih po sleduyushchim dvum priznakam:
A. Pryamaya parallel'na odnoj ploskosti proekcij.
B. Pryamaya parallel'na dvum ploskostyam proekcij.
V pervom sluchae odna proekciya otrezka pryamoj ravna samomu otrezku. Vo
vtorom sluchae dve proekcii otrezka ravny emu1).
A. Pryamaya parallel'na odnoj ploskosti proekcij
1. Pryamaya parallel'na pl. , (ris. 50). V takom sluchae frontal'naya
proekciya pryamoj parallel'na osi proekcij i gorizontal'naya proekciya otrezka
etoj pryamoj ravna samomu otrezku: A'V'=AV. Takaya pryamaya nazyvaetsya
gorizontal'noj.
Esli, naprimer, proekciya A"V" sovpadaet s os'yu proekcij, to otrezok AV
raspolozhen v pl. , 2).
Ris. 50
Ris. 51
2. Pryamaya parallel'na pl. 2 (ris. 51). V takom sluchae ee
gorizontal'naya proekciya parallel'na osi proekcij i frontal'naya proekciya
otrezka etoj pryamoj ravna samomu otrezku: C"D" = CD. Takaya pryamaya nazyvaetsya
frontal'noj.
Esli, naprimer, proekciya C'D' sovpadaet s os'yu proekcij, to eto
sootvetstvuet polozheniyu otrezka CD v samoj pl. 2.
') Vse eto, konechno, s uchetom masshtaba chertezha.
2) Na ris. 50 sprava dan chertezh bez ukazaniya osi proekcij.
To zhe sdelano na ris. 51.
27
3. Pryamaya parallel'na pl. 3 (ris. 52). V takom sluchae gorizontal'naya i
frontal'naya proekcii pryamoj raspolagayutsya na odnom perpendikulyare k osi
proekcij Oh i profil'naya proekciya etoj pryamoj ravna samomu otrezku: E"F" =
EF. Takaya pryamaya nazyvaetsya profil'noj.
Ris. 52 Ris. 53
Mozhno li schitat', chto na chertezhah, podobnyh ukazannym na ris. 50 i 51,
izobrazheny otrezki imenno pryamyh linij? Da; dokazatel'stvo takoe zhe, kak dlya
pryamoj obshchego polozheniya (ris. 46).
Esli zhe na chertezhe v sisteme 5 2 obe proekcii perpendikulyarny k osi
proekcij, to proeciruyushchie ploskosti, provedennye cherez E'F i E"F", slivayutsya
v odnu i originalom mozhet byt' ne tol'ko pryamaya liniya, no i nekotoraya
ploskaya krivaya (ris. 53).
B. Pryamaya parallel'na dvum ploskostyam proekcij
1. Pryamaya parallel'na ploskostyam 1 i 2 (ris. 54), t. e.
perpendikulyarna k pl. 3. Proekciya na pl. 3 predstavit soboj tochku.
2. Pryamaya parallel'na ploskostyam , i 3 (ris. 55), t. e.
perpendikulyarna k pl. 2. Proekciya na pl. 3 predstavlyaet soboj otrezok
pryamoj, ravnyj CD'.
Ris. 54 Ris. 55 Ris. 56 Ris. 57
3. Pryamaya parallel'na ploskostyam 2 i 3 (ris. 56), t. e.
perpendikulyarna k
pl. nt. Proekciya na pl. 3 predstavit soboj otrezok, parallel'nyj i
ravnyj E"F".
Na ris. 57 dano naglyadnoe izobrazhenie polozheniya rassmotrennyh pryamyh').
') Dlya etih pryamyh vstrechaetsya nazvanie "proeciruyushchie pryamye".
28
Ris. 58 Ris. 59
Obychno stroyatsya proekcii otrezkov pryamoj linii s ukazaniem koncevyh
tochek otrezka. Esli zhe po kakim-libo prichinam pokazyvayut nekotoruyu
neopredelennuyu chast' pryamoj linii, to prakticheski tozhe pokazyvayut otrezok
linii, no ne oboznachayut koncevyh tochek etogo otrezka. Pri etom mozhno
pol'zovat'sya oboznacheniem kazhdoj proekcii tol'ko odnoj bukvoj, otnosya ee k
kakoj-libo tochke pryamoj (ris. 58): "pryamaya, prohodyashchaya cherez tochku A".
Obratim vnimanie na chertezh sleva na ris. 59. Otnositel'no pryamoj,
izobrazhennoj na nem, mozhno skazat' lish' to, chto ona prohodit cherez tochku L i
parallel'na pl. jtj, no v ostal'nom polozhenie etoj pryamoj ne opredelyaetsya.
Opredelennost' byla by vnesena gorizontal'noj proekciej, t. e. proekciej na
ploskosti, po otnosheniyu k kotoroj pryamaya parallel'na.
Esli zhe my imeem delo s pryamoj, zadannoj dvumya svoimi tochkami
(naprimer, s otrezkom pryamoj, zadannym svoimi koncami), to mozhno tochno
opredelit' polozhenie etoj pryamoj i v tom sluchae, esli ne zadana ee proekciya
na ploskosti, parallel'noj etoj pryamoj. Tak, naprimer, esli dan otrezok AV
pryamoj (ris. 59, sprava), to my mozhem ustanovit' ne tol'ko parallel'nost'
etoj pryamoj po otnosheniyu k pl. -, no i to, chto tochka A dannoj pryamoj bolee
udalena ot pl. 2, chem tochka V.
§ 12. TOCHKA NA PRYAMOJ. SLEDY PRYAMOJ
Na ris. 60 dan chertezh nekotoroj pryamoj obshchego polozheniya, prohodyashchej
cherez tochku A. Esli izvestno, chto tochka V prinadlezhit etoj pryamoj i chto
gorizontal'naya proekciya tochki V nahoditsya v tochke V', to frontal'naya
proekciya V" opredelyaetsya tak, kak pokazano na ris. 60.
Na ris. 61 pokazano postroenie tochki na profil'noj pryamoj. Polozhim, chto
zadana proekciya S" etoj tochki; nado najti ee gorizontal'nuyu proekciyu.
Postroenie vypolneno pri pomoshchi profil'noj proekcii A'"V"' otrezka AV,
vzyatogo na profil'noj pryamoj. Hod postroeniya pokazan strelkami. Snachala
opredelena proekciya S", a po nej -- iskomaya proekciya S".
Odnim iz svojstv parallel'nogo proecirovaniya yavlyaetsya to, chto otnoshenie
AS A°S°
otrezkov pryamoj linii ravno otnosheniyu ih proekcij (ris. 62):
Ris. 61 Ris. 62
29
kak pryamye AA°, SS° i VV° parallel'ny mezhdu soboj. Analogichno,
otnoshenie otrezkov na proekcii pryamoj linii ravno otnosheniyu otrezkov na etoj
pryamoj. Esli by tochka delila popolam otrezok pryamoj, to proekciya etoj tochki
takzhe delila by proekciyu otrezka popolam, i naoborot.
Iz skazannogo sleduet, chto na ris. 61 delenie proekcij A"V" i A'V'
tochkami S" i S' sootvetstvuet deleniyu v prostranstve otrezka AV tochkoj S v
tom zhe otnoshenii. |tim mozhno vospol'zovat'sya dlya bolee prostogo postroeniya
tochki na profil'noj pryamoj. Esli (kak i na ris. 61) na proekcii A"V" (ris.
63) zadana proekciya S", to, ochevidno, nado razdelit' A'V' v tom zhe
otnoshenii, v kakom tochka S" delit proekciyu A"V". Provedya iz tochki A'
nekotoruyu vspomogatel'nuyu pryamuyu, otkladyvaem na nej = A"S" i 1 -2 =
S"V". Provodim pryamuyu V'2 i parallel'no ej cherez tochku 1 pryamuyu do
peresecheniya s A'V' v tochke S'. |ta tochka predstavlyaet soboj iskomuyu
gorizontal'nuyu proekciyu tochki S, prinadlezhashchej otrezku AV.
Ris. 63 Ris. 64 Ris. 65 Ris. 66
Na ris. 64 dan primer deleniya otrezka pryamoj linii v nekotorom zadannom
otnoshenii.
Otrezok CD razdelen v otnoshenii 2:5. Iz tochki S' provedena
vspomogatel'naya pryamaya, na kotoroj otlozheno sem' (2 + 5) otrezkov
proizvol'noj dliny, no ravnyh mezhdu soboj. Provedya otrezok D'7 i parallel'no
emu cherez tochku 2 pryamuyu, poluchaem tochku K', prichem S'K': K'D' = 2:5; zatem
nahodim K". Tochka K delit otrezok CD v otnoshenii 2 :5.
Na ris. 65 pokazany tochki i , v kotoryh pryamaya, zadannaya otrezkom
AV, peresekaet ploskosti proekcij. |ti tochki nazyvayutsya sledami: tochka --
gorizontal'nyj sled pryamoj, tochka N -- ee frontal'nyj sled.
Gorizontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda (tochka M') sovpadaet s
samim sledom, a frontal'naya proekciya etogo sleda M" lezhit na osi proekcij.
Frontal'naya proekciya frontal'nogo sleda " sovpadaet s tochkoj , a
gorizontal'naya proekciya ' ' lezhit na toj zhe osi proekcij.
Sledovatel'no, chtoby najti gorizontal'nyj sled, nado (ris. 66)
prodolzhit' frontal'nuyu proekciyu A"V" do peresecheniya s os'yu 2/ i cherez
tochku M" (frontal'nuyu proekciyu gorizontal'nogo sleda) provesti perpendikulyar
k osi 2/1 do peresecheniya s prodolzheniem gorizontal'noj proekcii A'V'.
Tochka M' -- gorizontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda; ona sovpadaet s
samim sledom (= znak sovpadeniya).
Dlya nahozhdeniya frontal'nogo sleda prodolzhaem gorizontal'nuyu proekciyu
A'V' do peresecheniya s 2/1; cherez tochku ' (gorizontal'nuyu proekciyu
frontal'nogo
30
sleda) provodim perpendikulyar do peresecheniya s prodolzheniem frontal'noj
proekcii A"V". Tochka N" -- frontal'naya proekciya frontal'nogo sleda; ona
sovpadaet s samim sledom.
Po polozheniyu tochek i N mozhno sudit', k kakim chetvertyam prostranstva
otnesena dannaya pryamaya. Na ris. 65 pryamaya AV prohodit cherez IV, I i II
chetverti.
Pryamaya ne imeet sleda na ploskosti proekcij tom sluchae, kogda ona
parallel'na etoj ploskosti.
Na ris. 67 pryamaya peresekaet ne tol'ko pl. 1 i 2, no i pl. 3. Tochka
-- profil'nyj sled pryamoj, t. e. sled na profil'noj ploskosti proekcij.
|tot sled sovpadaet s ego sobstvennoj proekciej na pl. 3, a frontal'naya i
gorizontal'naya proekcii ego lezhat sootvetstvenno na osyah z i u.
Ris. 67
V dannom sluchae pryamaya prohodit za tochkoj cherez pyatyj oktant i,
vstrechaya dalee pl. 2, uhodit v shestoj oktant; pryamaya iz pervogo oktanta
vyhodit v chetvertyj oktant ').
Sootvetstvuyushchij chertezh dan na ris. 67 sprava. Pryamaya pokazana v pervom
oktante -- proekcii M'R', M"R" i M'"R'" i v pyatom oktante -- proekcii '',
"" i "'"'.
Ris. 68
Esli ploskosti proekcij prinyat' za ploskosti koordinat, to u
gorizontal'nogo sleda pryamoj koordinata z = 0, u frontal'nogo sleda u = 0, u
profil'nogo sleda -- 0.
Postroenie sledov profil'noj pryamoj (ris. 68) mozhet byt' vypolneno
sleduyushchim sposobom (ris. 68, sprava).
') Uslovimsya pokazyvat' na chertezhah sploshnymi liniyami te proekcii,
kotorye sootvetstvuyut polozheniyu otrezka v pervoj chetverti ili v pervom
oktante.
31
Stroim profil'nuyu proekciyu (A'"B'"), opredelyaem polozhenie profil'nyh
proekcij gorizontal'nogo sleda (M'") i frontal'nogo sleda (N'") i zatem
nahodim polozhenie ostal'nyh proekcij etih sledov (posledovatel'nost'
postroeniya na chertezhe pokazana strelkami).
1. Pri kakom polozhenii otnositel'no ploskostej proekcij pryamaya
nazyvaetsya pryamoj obshchego polozheniya?
2. Kak dokazyvaetsya, chto chertezh, soderzhashchij dve svyazannye mezhdu soboj
proekcii v vide otrezkov pryamoj linii, vyrazhaet imenno otrezok pryamoj linii?
3. Kak vyrazhaetsya sootnoshenie mezhdu proekciej otrezka pryamoj i samim
otrezkom?
4. Kak raspolozhena pryamaya v sisteme 1, 2, 3, esli vse tri proekcii
otrezka etoj pryamoj ravny mezhdu soboj?
5. Kak postroit' profil'nuyu proekciyu otrezka pryamoj obshchego polozheniya po
dannym frontal'noj i gorizontal'noj proekciyam?
6. Kak vypolnit' postroenie po voprosu 5 na chertezhe bez osej proekcij?
7. Kakie polozheniya pryamoj linii v sisteme .-..,., 3 schitayutsya
"osobymi" (inache -- "chastnymi")?
8. Kak raspolagaetsya frontal'naya proekciya otrezka pryamoj linii, esli
ego gorizontal'naya proekciya ravna samomu otrezku?
9. Kak raspolagaetsya gorizontal'naya proekciya otrezka pryamoj linii, esli
ego frontal'naya proekciya ravna samomu otrezku?
10. Kakoe svojstvo parallel'nogo proecirovaniya kasaetsya otnosheniya
otrezkov pryamoj linii?
11. Kak razdelit' na chertezhe otrezok pryamoj linii v zadannom otnoshenii?
12. CHto nazyvaetsya sledom pryamoj linii na ploskosti proekcij?
13. Kakaya koordinata ravna nulyu: a) dlya frontal'nogo sleda pryamoj, b)
dlya gorizontal'nogo sleda pryamoj?
14. Gde raspolagaetsya gorizontal'naya proekciya frontal'nogo sleda pryamoj
linii?
15. Gde raspolagaetsya frontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda pryamoj
linii?
16. Mozhet li byt' sluchaj, kogda pryamaya liniya v sisteme ,,·2, 3 imeet
sledy na kazhdoj iz etih ploskostej, slivayushchiesya v odnu tochku?
§ 13. POSTROENIE NA CHERTEZHE NATURALXNOJ VELICHINY
OTREZKA PRYAMOJ OBSHCHEGO POLOZHENIYA
I UGLOV NAKLONA PRYAMOJ K PLOSKOSTYAM PROEKCIJ 1 i 2
Iz rassmotreniya levoj chasti ris. 69 mozhno zaklyuchit', chto otrezok AV
yavlyaetsya gipotenuzoj pryamougol'nogo treugol'nika AV1, v kotorom odin katet
raven proekcii otrezka (A1 = A°V°), a drugoj katet raven raznosti rasstoyanij
koncov otrezka ot ploskosti proekcij 0.
Ris. 69
32
Esli koordinaty, opredelyayushchie rasstoyaniya koncov otrezka ot ploskosti
proekcij, imeyut raznye znaki (ris. 69, sprava), to nado imet' v vidu
raznost' algebraicheskuyu:
V1 = VV° - (-AA0) = VV° + AA°.
Ugol pryamoj linii s ploskost'yu proekcij opredelyaetsya kak ugol,
sostavlennyj pryamoj s ee proekciej na etoj ploskosti. |tot _ ugol vhodit v
tot zhe pryamougol'nyj treugol'nik, kotoryj stroyat dlya opredeleniya natural'noj
velichiny otrezka.
Ochevidno, znaya po chertezhu katety treugol'nika, mozhno ego postroit' v
lyubom meste polya chertezha. Na ris. 70 pokazano postroenie, primenennoe G.
Monzhem:
Ris. 70 Ris. 71 Ris. 72
ot tochki 1 otlozhen otrezok , ravnyj proekcii A'ff, i provedena
gipotenuza A"U, vyrazhayushchaya natural'nuyu velichinu otrezka AV. Ugol s vershinoj
v tochke A" raven uglu mezhdu AV i pl. 1
Na ris. 71 sleva dlina otrezka AV i ugol, sostavlennyj pryamoj AV s pl.
1opredeleny iz pryamougol'nogo treugol'nika, postroennogo na proekcii A'V'
pri vtorom katete V'V*, ravnom V"1. AV = A'V*.
Na ris. 71 sprava dlina otrezka i ugol, sostavlennyj s pl. p2,
opredeleny iz pryamougol'nogo treugol'nika, postroennogo na proekcii A"V"
(A"A* = A'2). AV = V"A*.
Ogranicheny li chem-libo ugly . i - dlya pryamoj obshchego polozheniya? Da,
kazhdyj iz nih mozhet byt' tol'ko ostrym. No, krome togo, dlya pryamoj obshchego
polozheniya - + - < 90°. Dejstvitel'no (ris. 72), v pryamougol'nom
treugol'nike ""' summa uglov + - = 90°. No v treugol'nikah ""'
''' pri obshchej gipotenuze "' katet "" bol'she kateta "' i,
sledovatel'no, >1. Podstavlyaya v + 2=90° ugol vmesto , poluchim
1+ 2<90°.
Rassmotrim (ris. 71) pryamougol'nye treugol'niki A'V'V* i A"B"A*. V
kazhdom iz nih gipotenuza vyrazhaet natural'nuyu velichinu otrezka, a odin iz
katetov yavlyaetsya proekciej etogo otrezka. Drugoj zhe katet raven raznosti
rasstoyanij koncov otrezka ot sootvetstvuyushchej ploskosti proekcij (V'V* - V"1
= raznosti rasstoyanij ot nlt a A"A* = A'2 = raznosti rasstoyanij ot ya2).
Krome togo, v odnom iz etih treugol'nikov soderzhitsya ugol mezhdu otrezkom i
pl. 1 (ugol ), v drugom -- ugol mezhdu otrezkom i pl. 2 (ugol 2).
V dannom sluchae nam byli izvestny katety i my opredelyali gipotenuzu i
ugol. No mozhet byt' i takoe polozhenie: izvestny gipotenuza i ugol,
opredelit' katety (t. e. dany natural'naya velichina otrezka i ugly,
sostavlyaemye im s ploskostyami proekcij; postroit' proekcii etogo otrezka).
Polozhim (ris. 73), chto AB est' zadannyj otrezok (na ris. 71 on
sootvetstvuet gipotenuzam A'B* i B"A*). Postroim na nem, kak na diametre,
okruzhnost'. Prinyav tochku A za vershinu, postroim ugol (t. e. zadannyj ugol
s pl. 1) i pryamougol'nyj treugol'nik A1V. Iz sravneniya etogo treugol'nika s
treugol'nikom A'V'V* (ris. 71) sleduet, chto katet A1 vyrazhaet gorizontal'nuyu
proekciyu otrezka AB,a katet V1 -- raznost' rasstoyanij koncov otrezka AV ot
pl. 1.
V. O. Gordon, M. A. Semencov-Ogievsshj
33
Postroim (ris. 73) takzhe pryamougol'nyj treugol'nik A2V po toj zhe
gipotenuze AB i zadannomu uglu <rg s ploskost'yu proekcij 2 i sravnim ego
s treugol'nikom V"A"A* na ris.71. Ochevidno, katet V2 vyrazhaet· frontal'nuyu
proekciyu zadannogo otrezka, a katet A2 -- raznost' rasstoyanij koncov otrezka
ot pl. 2.
Teper' postroim chertezh (ris. 74). Polozhim, chto otrezok nado provesti
cherez tochku V vlevo vniz na sebya. Otlozhiv na linii svyazi B"B' ot tochki V"
otrezok V"1, ravnyj V! (sm. ris. 73), provedem cherez tochku 1 pryamuyu
perpendikulyarno k V"V". Zasekaya etu pryamuyu iz tochki V" dugoj, radius kotoroj
dolzhen ravnyat'sya frontal'noj proekcii, t. e. otrezku V2, poluchim tochku A".
CHtoby najti gorizontal'nuyu proekciyu A', mozhno zasech' liniyu svyazi.
Ris. 73 Ris. 74 Ris. 75
provedennuyu cherez tochku A", dugoj, radius kotoroj raven A1 (sm. ris.
73). Pri etom dolzhno poluchit'sya A"A' -- = A2.
Na ris. 74 dano lish' odno polozhenie otrezka. No mozhet byt' eshche sem'
drugih polozhenij pri nachal'noj tochke V. Predostavlyaem chitatelyu izobrazit'
otrezok AV i v etih polozheniyah.
Na ris. 75 dan primer opredeleniya rasstoyaniya ot tochki A do tochki O.
Snachala postroeny proekcii iskomogo otrezka -- A"O" i A'O' (tochka O vyrazhena
ee proekciyami O" i O'). Zatem postroen treugol'nik A'O'A*, odin katet
kotorogo -- proekciya A'O', drugoj -- otrezok A'A* = A"AH. Iskomoe rasstoyanie
opredelyaetsya gipotenuzoj O'A*.
Teper' my mozhem opredelit' ugol, sostavlyaemyj pryamoj, ravnonaklonennoj
k ploskostyam 1, 2 i 3, s etimi ploskostyami. Ob etom ugle govorilos' v §
10, i byla ukazana ego velichina ( ~ 35°). Ee mozhno opredelit', esli
rassmotret' hotya
Ris. 76 Ris. 77
by ris. 76: proekcii A"V" i A'V' ravny mezhdu soboj, i ugly A"V"1 i
2A'V' ravny kazhdyj 45° (sm. § 10).
34
Iskomyj ugol opredelen iz pryamougol'nogo treugol'nika A'V'V*, v_kotorom
katet '*=. Esli prinyat' V"1 ravnym edinice, to A'V' = A"V" = u 2 i ugol
-"35°15'. Takovy zhe ugly mezhdu etoj pryamoj i ploskostyami 2 i 3.
Esli primenit' to, chto bylo skazano v § 8, t. e. dopolnit' sistemu 1,
2 sistemoj 4, 1, vybrav pl. 4% 1 i parallel'no zadannomu na chertezhe
otrezku pryamoj linii, to, ochevidno, proekciya etogo otrezka na pl. 4 vyrazit
ego natural'nuyu velichinu i ugol s pl. 1.
Polozhim (ris.77), trebuetsya opredelit' natural'nuyu velichinu otrezka,AV
i ugol ego s pl. 1. V sistemu 1 , 2 vvedena pl. 4 % 1 tak, chto 4
II AV. Voznikla dopolnitel'naya sistema 4, 1. V nej AV \\ 4 (os' 4/
1 || A'V1); proekciya vyrazhaet
natural'nuyu velichinu otrezka AV.
§ 14. VZAIMNOE POLOZHENIE DVUH PRYAMYH
Parallel'nye pryamye. K chislu svojstv parallel'nogo proecirovaniya
otnositsya sleduyushchee: proekcii dvuh parallel'nyh pryamyh parallel'ny mezhdu
soboj. Esli (ris. 78) pryamaya AV parallel'na pryamoj CD, to proeciruyushchie
ploskosti os i parallel'ny mezhdu soboj i pri peresechenii etih ploskostej s
ploskost'yu proekcij 0 poluchayutsya parallel'nye mezhdu soboj proekcii A°V° i
C°D°.
Odnako, hotya A°V° \\ C°D° (ris. 78), pryamye, dlya kotoryh A°V° i
S0D0 yavlyayutsya proekciyami, mogut byt' ne parallel'ny
mezhdu soboj: naprimer, pryamaya AV ne parallel'na pryamoj C1D1.
Iz ukazannogo svojstva parallel'nogo proecirovaniya sleduet, chto
gorizontal'nye proekcii parallel'nyh pryamyh parallel'ny mezhdu soboj,
frontal'nye proekcii parallel'ny mezhdu soboj i profil'nye proekcii
parallel'ny mezhdu soboj.
Spravedlivo li obratnoe zaklyuchenie, t. e. budut li parallel'ny dve
pryamye v prostranstve, esli na chertezhe ih odnoimennye proekcii poparno
parallel'ny?
Ris. 78 Ris. 79 Ris. 80
Da, esli dany parallel'nye mezhdu soboj proekcii na kazhdoj iz treh
ploskostej proekcij 1, 2 i 3. No esli dany parallel'nye mezhdu soboj
proekcii pryamyh lish' na dvuh ploskostyah proekcij, to etim parallel'nost'
pryamyh v prostranstve podtverzhdaetsya vsegda dlya pryamyh obshchego polozheniya i
mozhet ne podtverdit'sya dlya pryamyh, parallel'nyh odnoj iz ploskostej
proekcij.
Primer dan na ris. 79. Hotya profil'nye pryamye AV i CD zadany proekciyami
A'V', A"V" i CD', C"D", mezhdu soboj parallel'nymi, no samye pryamye ne
parallel'ny -- eto vidno iz vzaimnogo raspolozheniya ih profil'nyh proekcij,
postroennyh po zadannym proekciyam.
Itak, vopros byl reshen pri pomoshchi proekcij pryamyh na toj ploskosti
proekcij, po otnosheniyu k kotoroj dannye! pryamye parallel'ny.
Na ris. 80 pokazan sluchaj, kogda mozhno ustanovit', chto profil'nye
pryamye AV i CD ne parallel'ny mezhdu soboj, ne pribegaya k postroeniyu tret'ej
35
proekcii: dostatochno obratit' vnimanie na cheredovanie bukvennyh
oboznachenij.
Esli cherez dannuyu tochku A trebuetsya provesti pryamuyu, parallel'nuyu
dannoj pryamoj LM, to (ris. 81, sleva) postroenie svoditsya k provedeniyu cherez
tochku A" pryamoj, parallel'noj L"M", i cherez tochku A' pryamoj, parallel'noj
L'M'.
Ris. 81
V sluchae, izobrazhennom na ris. 81 sprava, parallel'nye pryamye
raspolozheny v obshchej dlya nih proeciruyushchej ploskosti, perpendikulyarnoj k pl.
,. Poetomu gorizontal'nye proekcii etih pryamyh raspolozheny na odnoj pryamoj.
Peresekayushchiesya pryamye. Esli pryamye linii peresekayutsya, to ih
odnoimennye proekcii peresekayutsya mezhdu soboj v tochke, kotoraya yavlyaetsya
proekciej tochki peresecheniya etih pryamyh.
Dejstvitel'no (ris. 82), esli tochka K prinadlezhit obeim pryamym AV i CD,
to proekciya etoj tochki dolzhna byt' tochkoj peresecheniya proekcij dannyh
pryamyh.
Zaklyuchenie o tom, chto dannye na chertezhe pryamye peresekayutsya mezhdu
soboj, mozhno sdelat' vsegda po otnosheniyu k pryamym obshchego polozheniya,
nezavisimo ot togo, dany li proekcii na treh ili dvuh ploskostyah proekcij.
Neobhodimym i dostatochnym usloviem yavlyaetsya lish' to, chtoby tochki peresecheniya
odnoimennyh
Ris. 82 Ris. 85
proekcij nahodilis' na odnom i tom zhe perpendikulyare k sootvetstvuyushchej
osi proekcij (ris. 83) ili, na chertezhe bez osi proekcij (ris, 84), eti tochki
okazalis' by na linii svyazi ustanovlennogo dlya nee napravleniya. No esli odna
iz dannyh pryamyh parallel'na kakoj-libo iz ploskostej proekcij, a na chertezhe
ne dany proekcii na etoj ploskosti, to nel'zya utverzhdat', chto takie pryamye
peresekayutsya mezhdu soboj, hotya by i bylo soblyudeno ukazannoe vyshe uslovie.
Naprimer, v sluchae, dannom na ris. 85, pryamye AV i CD, iz kotoryh pryamaya CD
parallel'na pl. 3, ne peresekayutsya mezhdu soboj; eto mozhet byt' podtverzhdeno
postroeniem profil'nyh proekcij ili primeneniem pravila o delenii otrezkov v
dannom otnoshenii.
36
Izobrazhennye na ris. 84 peresekayushchiesya pryamye raspolozheny v obshchej dlya
nih proeciruyushchej ploskosti, perpendikulyarnoj k pl. ya-. Poetomu frontal'nye
proekcii etih pryamyh raspolozheny na odnoj pryamoj.
Skreshchivayushchiesya pryamye. Skreshchivayushchiesya pryamye linii ne peresekayutsya i ne
parallel'ny mezhdu soboj. Na ris. 86 izobrazheny dve skreshchivayushchiesya pryamye
obshchego polozheniya: hotya odnoimennye proekcii i peresekayutsya mezhdu soboj, no
tochki ih peresecheniya ne mogut byt' soedineny liniej svyazi, parallel'noj
liniyam svyazi L"L' i M"M', t. e. eti pryamye ne peresekayutsya mezhdu soboj.
Pryamye, izobrazhennye na ris. 79, 80 i 85, takzhe skreshchivayushchiesya.
Kak nado rassmatrivat' tochku peresecheniya odnoimennyh proekcij
skreshchivayushchihsya pryamyh? Ona predstavlyaet soboj proekcii dvuh tochek, iz
kotoryh odna
prinadlezhit pervoj, a drugaya -- vtoroj iz etih skreshchivayushchihsya pryamyh.
Naprimer, na ris. 87 tochka s proekciyami K" i K' prinadlezhit pryamoj AV, a
tochka s proekciyami L" i L' prinadlezhit pryamoj CD. |ti tochki odinakovo
udaleny ot pl. 2, no rasstoyaniya ih ot pl. , razlichny: tochka s proekciyami
L" i L' dal'she ot nt, chem tochka s proekciyami K" i K' (ris. 88).
Tochki s proekciyami ", ' i ", ' odinakovo udaleny ot pl. 1, no
rasstoyaniya etih tochek ot pl. 2 razlichny.
Tochka s proekciyami L" i L', prinadlezhashchaya pryamoj CD, zakryvaet soboj
tochku s proekciyami K" i K' pryamoj AV po otnosheniyu k pl. ^ sootvetstvuyushchee
napravlenie vzglyada pokazano strelkoj u proekcii L". Po otnosheniyu k pl. 2
tochka s proekciyami " i ' pryamoj CD zakryvaet soboj tochku s proekciyami M" i
M' pryamoj AV; napravlenie vzglyada ukazano strelkoj vnizu, u proekcii N'.
Oboznacheniya proekcij "zakrytyh" tochek pomeshcheny v skobkah1).
§ 15. O PROEKCIYAH PLOSKIH UGLOV
1. Esli ploskost', kotoroj raspolozhen nekotoryj ugol, perpendikulyarna
k ploskosti proekcij, to on proeciruetsya na etu ploskost' proekcij vide
pryamoj linii.
2. Esli ploskost' pryamogo ugla ne perpendikulyarna k ploskosti proekcij
i hotya by odna ego storona parallel'na etoj ploskosti, to pryamoj ugol
proeciruetsya na nee v vide pryamogo zhe ugla.
Polozhim, chto storona SV pryamogo ugla ASV (ris. 89) parallel'na
ploskosti proekcij. V takom sluchae pryamaya SV parallel'na S°V°. Pust' vtoraya
storona (AS) pryamogo ugla peresekaet svoyu proekciyu A°S° v tochke K. Provodim
v ploskosti proekcij cherez tochku K pryamuyu parallel'no S°V°. Pryamaya KL takzhe
parallel'-
') Dlya tochek, prinadlezhashchih skreshchivayushchimsya pryamym i raspolozhennyh na
odnoj i toj zhe proeciruyushchej pryamoj, vstrechaetsya nazvanie "konkuriruyushchie".
37
na SV, i ugol CKL poluchaetsya pryamym. Soglasno teoreme o treh
perpendikulyarah ugol C°KL -- takzhe pryamoj1). Sledovatel'no, i
ugol A°S°V° -- pryamoj.
|toj teoreme o proecirovanii pryamogo ugla sootvetstvuyut dve obratnye
(pp. 3 i 4).
3. Esli proekciya ploskogo ugla predstavlyaet soboj pryamoj ugol, to
proeciruemyj ugol budet pryamym lish' pri uslovii, chto po krajnej mere odna iz
storon etogo ugla parallel'na ploskosti proekcij.
4. Esli proekciya nekotorogo ugla, u kotorogo odna storona parallel'na
ploskosti proekcij, predstavlyaet soboj pryamoj ugol, to proeciruemyj ugol
tozhe pryamoj
Ris. 91 Ris. 92
Na osnovanii izlozhennogo mozhno ustanovit', chto ugly, izobrazhennye na
ris. 90, v prostranstve pryamye.
V kakom sluchae proekcii pryamogo ugla na dvuh ploskostyah proekcij
predstavlyayut soboj pryamye utly? |to byvaet, kogda odna storona pryamogo ugla
perpendikulyarna k tret'ej ploskosti proekcij (togda drugaya ego storona
parallel'na etoj ploskosti). Prizer dan na ris. 91: storona AS
perpendikulyarna k 3, storona VS parallel'na 3.
Pol'zuyas' svedeniyami o·proecirovanii pryamogo ugla, o dopolnenii sistemy
ya,, 2 sistemoj 4, , (§ 8) i o raspolozhenii proekcij pryamoj, parallel'noj
odnoj iz ploskostej proekcij (§ 11), my mozhem vypolnit' sleduyushchee
postroenie: provesti cherez nekotoruyu tochku A pryamuyu tak, chtoby ona peresekla
dannuyu pryamuyu pod uglom 90°. Reshenie pokazano na ris. 92, gde sleva dano
ishodnoe polozhenie, v seredine pokazano obrazovanie, krome si-
') Soglasno pryamoj teoreme o treh perpendikulyarah: esli KL±C°K, to KLJL
S K. Soglasno obratnoj teoreme: esli K.LLCK, to KLJ-C°K.
2) Interesuyushchihsya dokazatel'stvom obratnyh teorem otsylaem k
predydushchim izdaniyam knigi.
38
stemy 1, 2, eshche odnoj sistemy 4, 1, prichem pl. 4%VS, a sprava
vypolneno postroenie pryamoj AKLBC.
Tak kak pl. 4% VS, chto obespechivaetsya provedeniem osi 4/1,
parallel'no B'C', to pryamoj ugol AKV (ili AKS) proeciruetsya na pl. 4 v vide
pryamogo zhe ugla AIVKIVBIV. Postroiv
proekcii tochki A i pryamoj BC na pl. 4, provodim
AIVKIV % BIV CIV, a zatem
poluchaem proekcii K' i K" i proekcii A'K' i A"K" (hod postroeniya ukazan
strelkami).
Mozhno li schitat', chto, postroiv perpendikulyar AK k pryamoj BC, my
opredelili rasstoyanie ot A do BC? Net, my tol'ko postroili proekcii otrezka
AK; ni odna iz nih ne opredelyaet velichinc rasstoyaniya. Esli nado opredelit'
velichinu otrezka AK, t. e. rasstoyanie ot A do BC, to nado prodolzhit'
postroenie, primeniv hotya by sposob, izlozhennyj v § 13. . ·
5. Ecli ploskost' tupogo ili ostrogo ugla ne perpendikulyarna k
ploskosti proekcij i hotya by odna storona ugla parallel'na ploskosti
proekcij, to proekciya tupogo ugla na etu ploskost' predstavlyaet soboj tupoj
ugol, a proekciya ostrogo ugla -- ostryj ugol.
Predpolozhim, chto pryamaya SV (ris. 93) parallel'na ploskosti proekcij.
Rassmotrim tupoj ugol KSV ili ostryj ugol MSV i provedem v ploskosti etogo
ugla pryamuyu CL% SV. Tak kak ugol LCB-- pryamoj, to ego proekciya -- ugol LC°B°
Ris. 93 Ris. 94
predstavlyaet soboj takzhe pryamoj ugol. |tot ugol zaklyuchen vnutri ugla
KS°V° i zaklyuchaet vnutri sebya ugol MS°V°, sledovatel'no, ugol KS°V° --
tupoj, a ugol MS°V° -- ostryj. Takim obrazom, proekciya ugla predstavlyaet
soboj ugol s tem zhe nazvaniem (pryamoj, tupoj ili ostryj), chto i sam ugol,
esli hotya by odna storona ugla parallel'na ploskosti proekcij. Voobshche zhe
proekciya lyubogo ugla mozhet predstavlyat' soboj ili ostryj, ili pryamoj, ili
tupoj ugol, v zavisimosti ot polozheniya utla otnositel'no ploskosti proekcij.
6. Esli obe storony lyubogo ugla, parallel'ny ploskosti proekcij, to ego
proekciya ravna po velichine proeciruemomu uglu.
|to sleduet iz ravenstva uglov s parallel'nymi i odinakovo
napravlennymi storonami.
Poetomu, naprimer, ugol mezhdu pryamoj AV (ris. 50, s. 27) i pl. 2 legko
opredelit': eto - ugol mezhdu proekciej A 'V' i os'yu h; takim zhe obrazom ugol
mezhdu CD i pl. 1 (ris. 51) opredelitsya kak ugol mezhdu C"D" i os'yu h, ugol
mezhdu EF (ris. 52) i pl. 2 -- kak ugol mezhdu E"'F'" i os'yu z.
Dlya pryamogo ugla ravenstvo mezhdu ego proekciej i samim uglom imeet
mesto i togda, kogda lish' odna storona pryamogo ugla parallel'na ploskosti
proekcij.
No dlya ostrogo ili tupogo ugla, u kotorogo odna storona parallel'na
ploskosti proekcij, proekciya ugla ne mozhet ravnyat'sya proeciruemomu uglu. Pri
etom proekciya ostrogo ugla men'she proeciruemogo ugla, a proekciya tupogo
bol'she proeciruemogo ugla.
Pust' (ris.94) ugol A 1VS -- ostryj i ego storona SV parallel'na pl.
0; S°V° || SV. Pl. , provedennaya cherez tochku S perpendikulyarno k SV,
perpendikulyar-
39
na k pl. 0, peresekaya poslednyuyu po pryamoj p°, prohodyashchej cherez S° i
perpendikulyarnoj k S°V°, Esli provesti cherez tochku V razlichnye pryamye pod
tem zhe samym ostrym uglom k pryamoj SV, to vse eti pryamye budut peresekat'
pl. v tochkah, proekcii kotoryh raspolozhatsya na pryamoj p°. Polozhim, chto
pryamye AV i A1V sostavlyayut s pryamoj SV ravnye mezhdu soboj utly: " ABC = "A
1VS. Esli pri etom AV parallel'na ploskosti 0, to" A°V°S°=" ABC. Esli zhe
storona A 1V ne parallel'na 0, to proekciya tochki At poluchitsya na pryamoj i°
blizhe k S°, chem proekciya tochki A. Sledovatel'no, proekciya ugla A1BC
predstavlyaet soboj ugol, men'shij ugla A°V°S°, t. e. "A 10V°S°
< "A1BC
7. Esli storony ugla parallel'ny ploskosti proekcij ili odinakovo
nakloneny k nej. to delenie proekcii ugla na etoj ploskosti popolam
sootvetstvuet deleniyu popolam i samogo ugla v prostranstve.
8. Delenie ugla v prostranstve popolam sootvetstvuet deleniyu popolam i
ego proekcii tol'ko pri uslovii, chto storony ugla sostavlyayut s ploskost'yu
proekcij ravnye ugly').
9. Esli storony ugla odinakovo nakloneny k ploskosti proekcij, to
ugol-proekciya ne mozhet ravnyat'sya proeciruemomu uglu.
|to (ris. 95) mozhno ustanoeit' putem sovmeshcheniya ugla MKN s pl. ya„
pri vrashchenii vokrug pryamoj . Pri etom ugol ° okazhetsya vnutri ugla MK^,
a vershiny K„ i K° -- na obshchem perpendikulyare k .
Ris. 95 Ris. 96
10. Proekcii ostrogo i tupogo uglov mogut ravnyat'sya proeciruemomu uglu
ne tol'ko pri uslovii parallel'nosti storon ugla ploskosti proekcij.
Iz ris.96 vidno, chto vse ugly, naprimer ostryj ugol i tupoj ugol
MKNit storony kotoryh sootvetstvenno raspolozheny v proeciruyushchih ploskostyah
i , imeyut svoej proekciej ugol, ravnyj uglu MLN, prichem eti ugly mogut
priblizhat'sya k 0° i k 180°. Ochevidno, sredi etih uglov mozhet okazat'sya ugol,
ravnyj svoej proekcii.
Primer postroeniya takogo ugla dan v § 38.
1. Kak postroit' na chertezhe pryamougol'nye treugol'niki dlya opredeleniya
dliny otrezka pryamoj linii obshchego polozheniya i ee uglov s ploskostyami
proekcij i -?
2. Kakim usloviyam dolzhny otvechat' ugly mezhdu pryamoj obshchego polozheniya i
ploskostyami proekcij , i 2?
Kakoe svojstvo parallel'nogo proecirovaniya otnositsya k parallel'nym
pryamym?
') Interesuyushchihsya dokazatel'stvom polozhenij 7 i 8 otsylaem k predydushchim
izdaniyam knigi.
40
4. Mozhno li po chertezhu dvuh profil'nyh pryamyh v sisteme ,, ,
opredelit', parallel'ny li mezhdu soboj eti pryamye?
5. Kak izobrazhayutsya v sisteme ya,, lg dve peresekayushchiesya pryamye linii?
6. Kak sleduet istolkovyvat' tochku peresecheniya proekcij dvuh
skreshchivayushchihsya pryamyh?
7. V kakom sluchae pryamoj ugol proeciruetsya v vide pryamogo ugla?
8. V kakom sluchae proekciya tupogo ili ostrogo ugla obyazatel'no yavlyaetsya
uglom s tem zhe nazvaniem (tupoj ili ostryj)?
9. Mozhet li proekciya ostrogo ili tupogo ugla, u kotorogo odna storona
parallel'na ploskosti proekcij, ravnyat'sya samomu uglu v prostranstve?
10. V kakom sluchae delenie proekcii ugla popolam sootvetstvuet takomu
deleniyu samogo ugla v prostranstve?
11. Mozhet li ugol-proekciya na nekotoroj ploskosti proekcij ravnyat'sya
proeciruemomu uglu, storony kotorogo sostavlyayut s etoj ploskost'yu ravnye
ugly?
12. Mozhet li ostryj ili tupoj ugol, storony kotorogo ne parallel'ny
ploskosti proekcij, ravnyat'sya svoej proekcii na etoj ploskosti?
GLAVA III. PLOSKOSTX
§ 16. RAZLICHNYE SPOSOBY ZADANIYA PLOSKOSTI NA CHERTEZHE
Polozhenie ploskosti v prostranstve opredelyaetsya:
a) tremya tochkami, ne lezhashchimi na odnoj pryamoj linii, b) pryamoj i
tochkoj, vzyatoj vne pryamoj, v) dvumya peresekayushchimisya pryamymi, g) dvumya
parallel'nymi pryamymi.
V sootvetstvii s etim na chertezhe ploskost' mozhet byt' zadana:
a) proekciyami treh tochek, ne lezhashchih na odnoj pryamoj (ris. 97), b)
proekciyami pryamoj i tochki, vzyatoj vne pryamoj (ris. 98), v) proekciyami dvuh
peresekayushchihsya pryamyh (ris.99), g) proekciyami dvuh parallel'nyh pryamyh (ris.
100).
Kazhdoe iz predstavlennyh na ris. 97--100 zadanij ploskosti mozhet byt'
preobrazovano v drugoe iz nih. Naprimer, provedya cherez tochki A i V (ris. 97)
pryamuyu, my poluchim zadanie ploskosti, predstavlennoe na ris. 98; ot nego my
mozhem perejti k ris. 100, esli cherez tochku S provedem pryamuyu, parallel'nuyu
pryamoj AV.
Ris. 97 Ris. 98 Ris. 99 Ris. 100 Ris. 101
Ploskost' mozhet byt' zadana na chertezhe i proekciyami lyuboj ploskoj
figury (treugol'nika, kvadrata, kruga i t. d.). Pust' nekotoraya pl.
opredelena tochkami A, V k S (ris. 101). Provedya pryamye linii cherez
odnoimennye proekcii etih tochek, poluchim proekcii treugol'nika ABC. Tochka D,
vzyataya na pryamoj AV, tem samym prinadlezhit, pl, ; provodya pryamuyu cherez
tochku D i cherez druguyu tochku, zavedomo prinadlezhashchuyu pl. (naprimer, cherez
tochku S), poluchaem eshche odnu pryamuyu v pl. .
Analogichno mogut byt' postroeny pryamye, a sledovatel'no, i tochki,
prinadlezhashchie ploskosti, zadannoj lyubym iz perechislennyh vyshe sposobov.
V dal'nejshem my uvidim, chto ploskost', perpendikulyarnaya k ploskosti
proekcij, mozhet byt' zadana pryamoj, po kotoroj eti ploskosti peresekayutsya
mezhdu soboj.
42
Bolee naglyadno ploskost' mozhet byt' izobrazhena pri pomoshchi pryamyh, po
kotorym ona peresekaet ploskosti proekcij. Na ris. 102 dan primer postroeniya
takih pryamyh dlya sluchaya, kogda nekotoraya pl. zadana dvumya peresekayushchimisya
pryamymi AV i SV.
Dlya postroeniya pryamoj, po kotoroj pl. peresechet pl. ,, dostatochno
postroit' dve tochki, prinadlezhashchie odnovremenno ploskostyam i 1.
Takimi tochkami sluzhat sledy pryamyh AV i SV na pl. 1 t. e. tochki
peresecheniya etih pryamyh s pl. ,. Postroiv Proekcii etih sledov i provedya
cherez tochki
Ris. 102 Ris. 103 Ris. 104
,' i 2 pryamuyu, poluchim gorizontal'nuyu proekciyu linii peresecheniya
ploskostej i 1|.
Liniya peresecheniya ploskostej i 2 opredelyaetsya frontal'nymi sledami
pryamyh AV " SV.
Pryamye, po kotorym nekotoraya ploskost' peresekaet ploskosti proekcij,
nazyvayutsya sledami etoj ploskosti na ploskostyah proekcij ili, koroche,
sledami ploskosti.
Na ris. 103 izobrazhena pl. o, peresekayushchaya gorizontal'nuyu ploskost'
proekcij po pryamoj, oboznachennoj h'o i frontal'nuyu ploskost' --
po pryamoj f"o. Pryamaya h'o nazyvaetsya gorizontal'nym
sledom ploskosti, pryamaya f"o -- frontal'nym sledom ploskosti.
Esli ploskost' peresekaet os' proekcij, to na etoj osi poluchaetsya tochka
peresecheniya sledov ploskosti'). Tak, na ris. 103 sledy f"o i
h'o peresekayutsya na osi v tochke, oboznachennoj Ha.
Sled ploskosti na ploskosti proekcij slivaetsya so svoej proekciej na
etoj ploskosti. Sled h'o " ho (ris. 103) slivaetsya so svoej
gorizontal'noj proekciej; frontal'naya proekciya etogo sleda raspolagaetsya na
osi proekcij. Sled f"o "fo slivaetsya so svoej frontal'noj
proekciej; gorizontal'naya proekciya etogo sleda raspolagaetsya na osi
proekcij.
Na chertezhe ploskost' mozhet byt' zadana proekciyami ee sledov. Mozhno
ogranichit'sya oboznacheniem tol'ko samih sledov (ris. 104). Takoj chertezh
naglyaden i predstavlyaet udobstva pri nekotoryh postroeniyah.
Pri postroenii sledov ploskosti tochka ih peresecheniya mozhet byt'
ispol'zovana dlya proverki postroeniya: oba sleda dolzhny peresekat'sya mezhdu
soboj v tochke na osi proekcij (sm. ris. 102).
Ugol mezhdu sledami na chertezhe ne raven uglu, obrazovannomu sledami
ploskosti v prostranstve. Dejstvitel'no, v peresechenii sledov nahoditsya
vershina trehgrannogo ugla,
') Dlya nee vstrechaetsya nazvanie "tochka shoda sledov".
43
dve grani kotorogo sovpadayut s ploskostyami proekcij (ris. 103). No
summa dvuh ploskih uglov trehgrannogo ugla bol'she tret'ego ploskogo ugla.
Poetomu ugol, obrazovannyj sledami f"o i h'o na
chertezhe (ris. 104), vsegda bol'she ugla mezhdu etimi sledami v prostranstve.
Esli rassmatrivat' ploskost' v sisteme l' 2, 3, to v obshchem sluchae
ploskost' peresechet kazhduyu iz osej proekcij (ris. 105: pl. a peresekaet osi
h, u i z). Takaya ploskost' nazyvaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya. Sled
"'"r o nazyvaetsya profil'nym sledom ploskosti.
Tak kak tochki H„ , i " lezhat sootvetstvenno na osyah h, u i z,
to dlya postroeniya chertezha ploskosti v
sisteme l' 2, 3 dostatochno imet' zadannymi otrezki OHK OYa i
O2„ t. e. znat' koordinaty tochek H„ U" i Z" v sisteme osej h, u,
z. Delo svoditsya lish' k Odnoj koordinate dlya kazhdoj iz etih tochek, tak kak
dve drugie koordinaty ravny nulyu. Naprimer, dlya postroeniya tochki . nado
znat' lish' ee applikatu: abscissa i ordinata etoj tochki ravny nulyu.
Ris. 105 Ris. 107
§ 18. PRYAMAYA I TOCHKA V PLOSKOSTI. PRYAMYE OSOBOGO POLOZHENIYA
Kak postroit' na chertezhe pryamuyu liniyu, lezhashchuyu v zadannoj ploskosti?
|to postroenie osnovano na dvuh polozheniyah, izvestnyh iz geometrii.
1) Pryamaya prinadlezhit ploskosti, esli ona prohodit cherez dve tochki,
prinadlezhashchie dannoj ploskosti.
2) Pryamaya prinadlezhit ploskosti, esli ona prohodit cherez tochku,
prinadlezhashchuyu dannoj ploskosti, i parallel'na pryamoj, nahodyashchejsya v etoj
ploskosti ili parallel'noj ej.
Polozhim, chto pl. a (ris. 106) opredelena dvumya peresekayushchimisya pryamymi
AV i SV, a pl. -- dvumya parallel'nymi -- DE i FG. Soglasno pervomu polozhe-
Ris. 106
niyu pryamaya, peresekayushchaya pryamye, opredelyayushchie ploskost', nahoditsya v
dannoj ploskosti.
Otsyuda vytekaet, chto esli ploskost' zadana sledami, to pryamaya
prinadlezhit ploskosti, esli sledy pryamoj nahodyatsya na odnoimennyh s nimi
sledah ploskosti (ris. 107).
Polozhim, chto pl. (ris. 106) opredelyaetsya tochkoj A i pryamoj VS.
Soglasno vtoromu polozheniyu pryamaya, provedennaya cherez tochku A parallel'no
pryamoj VS, prinadlezhit
Polozhim, chto pl. (ris. 106) opredelyaetsya tochkoj A i pryamoj VS.
Soglasno vtoromu polozheniyu pryamaya, provedennaya cherez tochku A parallel'no
pryamoj VS, prinadlezhit pl..u. Otsyuda pryamaya prinadlezhit ploskosti, esli ona
parallel'na odnomu iz sledov etoj ploskosti i imeet s drugim sledom obshchuyu
tochku (ris. 108).
Primery postroenij na ris. 107 i 108 ne dolzhny byt' ponyaty tak, chto dlya
postroeniya pryamoj v ploskosti nado predvaritel'no stroit' sledy etoj
ploskosti. |to ne trebuetsya.
Naprimer, na ris. 109 vypolneno postroenie pryamoj AM v ploskosti,
zadannoj tochkoj A i pryamoj, prohodyashchej cherez tochku L. Polozhim, chto pryamaya AM
dolzhna byt' parallel'na pl. 1. Postroenie nachato s provedeniya proekcii
A"M" perpendikulyarno k linii svyazi A"A'. Po tochke M" najdena tochka M', i
zatem provedena proekciya A'M'. Pryamaya AM otvechaet usloviyu: ona parallel'na
pl. , i lezhit v dannoj ploskosti, tak kak prohodit cherez dve tochki (A i M),
zavedomo prinadlezhashchie etoj ploskosti.
Kak postroit' na chertezhe tochku, lezhashchuyu v zadannoj ploskosti? Dlya togo
chtoby sdelat' eto, predvaritel'no stroyat pryamuyu, lezhashchuyu v zadannoj
ploskosti, i na etoj pryamoj berut tochku.
Ris. 109 Ris. 110
Naprimer, trebuetsya najti frontal'nuyu proekciyu tochki D, esli zadana ee
gorizontal'naya proekciya D' i izvestno, chto tochka D dolzhna lezhat' v
ploskosti, opredelyaemoj treugol'nikom ABC (ris. 110).
Snachala stroyat gorizontal'nuyu proekciyu nekotoroj pryamoj tak, chtoby
tochka D mogla okazat'sya na etoj pryamoj, a poslednyaya byla by raspolozhena v
dannoj ploskosti. Dlya etogo provodyat pryamuyu cherez tochki A' i HU i otmechayut
tochku M', v kotoroj pryamaya A'D' peresekaet otrezok V'S. Postroiv frontal'nuyu
.proekciyu M" na V"S", poluchayut pryamuyu AM, raspolozhennuyu v dannoj ploskosti:
eta pryamaya prohodit cherez tochki A i M, iz kotoryh pervaya zavedomo
prinadlezhit dannoj ploskosti, a vtoraya v nej postroena.
Iskomaya frontal'naya proekciya D" tochki D dolzhna byt' na frontal'noj
proekcii pryamoj AM.
Drugoj primer dan na ris. 111, V pl, , zadannoj parallel'nymi pryamymi
AV i CD, dolzhna nahodit'sya tochka K, dlya kotoroj dana lish' gorizontal'naya
proekciya -- tochka K'.
45
CHerez tochku K' provedena nekotoraya pryamaya, prinimaemaya v kachestve
gorizontal'noj proekcii pryamoj v dannoj ploskosti. Po tochkam i F stroim E"
na L*U i F" na C"D". Postroennaya pryamaya EF prinadlezhit pl. , tak kak
prohodit cherez tochki i F, zavedomo prinadlezhashchie ploskosti. Esli vzyat'
tochku K" na E"F", to tochka K okazhetsya v pl. .
K chislu pryamyh, zanimayushchih osoboe polozhenie v ploskosti, otnesem
gorizontali, frontali1) i linii naibol'shego naklona k ploskostyam
proekcij. Liniyu naibol'shego naklona k pl. , budem nazyvat' liniej skata
ploskosti2).
Gorizontalyami ploskosti nazyvayutsya pryamye, lezhashchie v nej i parallel'nye
gorizontal'noj ploskosti proekcij.
Postroim gorizontal' ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC. Trebuetsya
provesti gorizontal' cherez vershinu A (ris. 112).
Tak kak gorizontal' ploskosti est' pryamaya, parallel'naya pl. 1, to
frontal'nuyu proekciyu etoj pryamoj poluchim, provedya A"K" % A"A'. Dlya
postroeniya gorizontal'noj proekcii etoj gorizontali stroim .tochku K' i
provodim pryamuyu cherez tochki A' i K'.
Postroennaya pryamaya AK dejstvitel'no yavlyaetsya gorizontal'yu dannoj
ploskosti: eta pryamaya, lezhit v ploskosti, tak kak prohodit cherez dve tochki,
zavedomo ej prinadlezhashchie, i parallel'na ploskosti proekcij ,.
Teper' rassmotrim postroenie gorizontali ploskosti, zadannoj sledami.
Gorizontal'nyj sled ploskosti est' odna iz ee gorizontalej ("nulevaya"
gorizontal'). Poetomu postroenie kakoj-libo iz gorizontalej ploskosti
svoditsya
Ris. 112 Ris. 113
k provedeniyu v etoj ploskosti pryamoj, parallel'noj gorizontal'nomu
sledu ploskosti (ris. 108, sleva). Gorizontal'naya proekciya gorizontali
parallel'na gorizontal'nomu sledu ploskosti; frontal'naya proekciya
gorizontali parallel'na osi proekcij.
Frontalyami ploskosti nazyvayutsya pryamye, lezhashchie v nej i parallel'nye
ploskosti proekcij p2.
Primer postroeniya frontali v ploskosti dan na ris. 113. Postroenie
vypolneno analogichno postroenshr gorizontali (sm. ris. 112).
Pust' frontal' prohodit cherez tochku A (ris. 113). Nachinaem postroenie s
provedeniya gorizontal'noj proekcii frontali -- pryamoj A'K', tak kak
napravlenie
') Naryadu s gorizontalyami i frontalyami ploskosti mozhno rassmatrivat'
takzhe ee profil'nye pryamye-- pryamye, lezhashchie v dannoj ploskosti i
parallel'nye pl. pe. Dlya gorizontalej, frontalej i profil'nyh pryamyh
vstrechaetsya obshchee nazvanie -- liniya urovnya. Odnako takoe nazvanie otvechaet
obychnomu predstavleniyu tol'ko o gorizontal'nosti.
2) Dlya linii skata ploskosti rasprostraneno nazvanie "liniya
naibol'shego skata", no ponyatie "skat" po otnosheniyu k ploskosti ne trebuet
dobavleniya "naibol'shij)".
etoj proekcii izvestno: A'K'±A"A'. Zatem stroim frontal'nuyu proekciyu
fron-tali -- pryamuyu A"K".
Postroennaya pryamaya dejstvitel'no yavlyaetsya frontal'yu dannoj ploskosti:
eta pryamaya lezhit v ploskosti, tak kak prohodit cherez dve tochki, zavedomo ej
prinadlezhashchie, i parallel'na pl. 2.
Postroim teper' frontal' ploskosti, zadannoj sledami. Rassmatrivaya ris.
108, sprava, na kotorom izobrazhena pl. i pryamaya MB, ustanavlivaem, chto eta
pryamaya - frontal' ploskosti. Dejstvitel'no, ona parallel'na frontal'nomu
sledu ("nulevoj" frontali) ploskosti. Gorizontal'naya proekciya frontali
parallel'na osi h, frontal'naya proekciya frontali parallel'na frontal'nomu
sledu ploskosti.
Liniyami naibol'shego naklona ploskosti k ploskostyam 1, 2 i 3
nazyvayutsya pryamye, lezhashchie v nej i perpendikulyarnye ili k gorizontalyam
ploskosti, ili k ee frontalyam, ili k ee profil'nym pryamym. V pervom sluchae
opredelyaetsya naklon k pl. 1 , vo vtorom - k pl. 2, v tret'em - k pl. 3.
Dlya provedeniya linij naibol'shego naklona ploskosti mozhno, konechno,
sootvetstvenno brat' ee sledy.
Kak bylo skazano vyshe, liniya naibol'shego naklona ploskosti k pl. 1
nazyvaetsya liniej skata ploskosti. :
Soglasno pravilam proecirovaniya pryamogo ugla (sm. § 15) gorizontal'naya
proekciya linii skata ploskosti perpendikulyarna k gorizontal'noj proekcii
gorizontali etoj ploskosti ili k ee gorizontal'nomu sledu. Frontal'naya
proekciya linii skata stroitsya posle gorizontal'noj i mozhet zanimat'
razlichnye polozheniya v zavisimosti ot zadaniya ploskosti. Na ris. 114
izobrazhena liniya skata pl. a: VK%h'o,. Tax kak V'K takzhe
perpendikulyarna k h'o, to "BKB' est' linejnyj ugol
Ris. 114
dvugrannogo, obrazovannogo ploskostyami i .. Sledovatel'no, liniya
skata ploskosti mozhet sluzhit' dlya opredeleniya ugla naklona etoj ploskosti k
ploskosti proekcij nt.
Analogichno, liniya naibol'shego naklona ploskosti k pl. 2 sluzhit dlya
opredeleniya ugla mezhdu etoj ploskost'yu i pl. 2, a liniya naibol'shego naklona
k· pl. 3 - dlya opredeleniya ugla s pl. 3.
Na ris. 115 postroeny linii skata v zadannyh ploskostyah. Ugol pl. s
pl. , vyrazhen proekciyami - frontal'noj v vide ugla V"K"V' i, gorizontal'noj
v vide otrezka K'V'. Opredelit' velichinu etogo ugla mozhno, postroiv
pryamougol'nyj treugol'nik po katetam, ravnym K'V' i V"V'.
Ochevidno, liniya naibol'shego naklona ploskosti opredelyaet polozhenie etoj
ploskosti. Naprimer, esli (ris, 115) zadanna liniya skata KB, to, provedya
perpendikulyarnuyu k nej gorizontal'nuyu pryamuyu AN ili zadavshis' os'yu proekcij
i provedya h'o% K'V', my vpolne opredelyaem ploskost', dlya
kotoroj KB yavlyaetsya liniej skata.
47
Rassmotrennye nami pryamye osobogo polozheniya v ploskosti, glavnym
obrazom gorizontali i frontali, ves'ma chasto primenyayutsya v razlichnyh
postroeniyah i pri reshenii zadach. |to ob®yasnyaetsya znachitel'noj prostotoj
postroeniya ukazannyh pryamyh; ih poetomu udobno primenyat' v kachestve
vspomogatel'nyh.
Na ris. 116 byla zadana gorizontal'naya proekciya K' tochki K. Trebovalos'
najti frontal'nuyu proekciyu K", esli tochka K dolzhna byt' v ploskosti,
zadannoj dvumya parallel'nymi pryamymi, provedennymi iz tochek A i V.
Snachala byla provedena nekotoraya pryamaya liniya, prohodyashchaya cherez tochku K
i lezhashchaya l zadannoj ploskosti. V kachestve takoj pryamoj vybrana frontal' MN:
ee gorizontal'naya proekciya provedena cherez dannuyu proekciyu K'. Zatem
postroeny tochki M" i N", opredelyayushchie frontal'nuyu proekciyu frontali.
Iskomaya proekciya K" dolzhna nahodit'sya na pryamoj M"N".
Na ris. 117 sleva po dannoj frontal'noj proekcii A" tochki A,
prinadlezhashchej pl. a, najdena ee gorizontal'naya proekciya (A1);
postroenie proizvedeno pri pomoshchi gorizontali EK. Na ris. 117 sprava
analogichnaya zadacha reshena pri pomoshchi' frontali MN.
Eshche odin primer postroeniya nedostayushchej proekcii tochki, prinadlezhashchej
nekotoroj ploskosti, dan na ris. 118. Sleva pokazano zadanie: liniya skata
ploskosti (AB) i gorizontal'naya proekciya tochki (K'). {Sprava na ris. 118
pokazano postroenie: cherez tochku K' provedena (perpendikulyarnaya A'V')
gorizontal'naya proekciya gorizontali, na kotoroj dolzhna lezhat' tochka K, po
tochke L" najdena frontal'naya proekciya etoj gorizontali i na nej iskomaya
proekciya K".
Na ris. 119 dan primer postroeniya vtoroj proekcii nekotoroj ploskoj
krivoj, esli izvestna odna proekciya (gorizontal'naya) i pl. a, v kotoroj eta
krivaya raspolozhena. Vzyav na gorizontal'noj proekcii krivoj ryad tochek,
nahodim pri pomoshchi gorizontalej tochki dlya postroeniya frontal'noj proekcii
krivoj.
Strelkami pokazan hod postroeniya frontal'noj proekcii A" po
gorizontal'noj proekcii A'.
48
1. Kak zadaetsya ploskost' na chertezhe?
2. CHto takoe sled ploskosti na ploskosti proekcij?
3. Gde raspolagayutsya frontal'naya proekciya gorizontal'nogo sleda i
gorizontal'naya proekciya frontal'nogo sleda ploskosti?
4. Kak opredelyaetsya na chertezhe, prinadlezhit li pryamaya dannoj ploskosti?
5. Kak postroit' na chertezhe tochku, prinadlezhashchuyu dannoj ploskosti?
6. CHto takoe frontal', gorizontal' i'liniya skata ploskosti?
7. Mozhet li sluzhit' liniya skata ploskosti dlya opredeleniya ugaa naklona
etoj ploskosti k ploskosti proekcij ·?
Opredelyaet li pryamaya liniya ploskost', dlya kotoroj eta pryamaya yavlyaetsya
liniej skata?
§ 19. POLOZHENIYA PLOSKOSTI OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ PROEKCIJ
Vozmozhny sleduyushchie polozheniya ploskosti otnositel'no ploskostej proekcij
, 2, 3: 1) ploskost' ne perpendikulyarna ni k odnoj iz ploskostej
proekcij, 2) ploskost' perpendikulyarna lish' k odnoj iz nih, 3) ploskost'
perpendikulyarna k dvum ploskostyam proekcij.
Ploskosti vtorogo i tret'ego polozhenij nosyat obshchee nazvanie
"proeciruyushchie ploskosti".
1. Ploskost', ne perpendikulyarnaya ni k odnoj iz ploskostej proekcij,
yavlyaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya (sm. ris. 105).
Rassmotrim, naprimer, ploskost', izobrazhennuyu na ris. 112.
|ta ploskost' ne perpendikulyarna ni k 1 ni k 2, ni k 3. To, chto ona
ne perpendikulyarna ni k 1, ni k 2, podtverzhdaetsya vidom proekcij A'V'S i
A"V"S": esli by ploskost', opredelyaemaya treugol'nikom ABC, byla
perpendikulyarna hotya by k p' to (ris. 120) proekciya A'V'S predstavlyala by
soboj otrezok pryamoj.
Itak, rassmatrivaemaya nami ploskost' ne perpendikulyarna ni k 1 ni k
2. No, mozhet byt', eta ploskost' perpendikulyarna k 3? Net, gorizontal'
etoj ploskosti AK ne perpendikulyarna k 3 (sravnite o ris. 54, gde
pokazana"pryamaya, perpendikulyarnaya k 3), i, sledovatel'no, pl. ABC ne
perpendikulyarna k 3.
Itak, na ris. 112 dan primer zadaniya ploskosti obshchego polozheniya v
sisteme 1,2.
Drugimi primerami zadaniya ploskosti obshchego polozheniya sluzhat ris. 109,
110, 111, 113, 116, a takzhe ris. 102, 104, 107, sleva, 108, 115, sprava,
117, 119, na kotoryh ploskosti vyrazheny sledami. Ploskost' obshchego polozheniya
(sm. ris. 105) peresekaet kazhduyu iz osej h, u, z. Sledy ploskosti obshchego
polozheniya nikogda ne perpendikulyarny k etim osyam proekcij.
Esli sledy ploskosti obshchego polozheniya h'o i f"o
obrazuyut s os'yu odinakovye ugly, to eto oznachaet, chto ugly mezhdu pl. i
ploskostyami i 2 ravny mezhdu soboj. Dejstvitel'no, esli ploskie ugly
trehgrannogo ugla ravny mezhdu soboj, to ravny i lezhashchie protiv nih
dvugrannye ugly; ugly, obrazuemye sledami h'o i f"o
s os'yu (sm. ris. 105), predstavlyayut soboj ploskie ugly, protiv kotoryh
sootvetstvenno raspolozheny dvugrannye ugly, obrazuemye pl. s ploskostyami
2 i .
Ris. 120
Esli ploskost' obshchego polozheniya dolzhna byt' odinakovo naklonena k
ploskostyam 1 , 2 i 3, to (sm. ris. 105), ochevidno, , -- = ,, t.e.
sledy sostavlyayut s osyami proekcij ugly 45°.
Rassmatrivaya ploskost' obshchego polozheniya v prostranstve v predelah
pervoj chetverti ili pervogo oktanta, zamechaem, chto ugol mezhdu gorizontal'nym
i frontal'nym sledami mozhet byt' ostrym (sm. ris. 105) ili tupym (ris. 121).
Pl. , izobrazhennaya na ris.121, prohodit cherez vse oktanty, krome
shestogo.
Esli chertezh ploskosti obshchego polozheniya stroit' po koordinatam tochek
peresecheniya sledov, to, ochevidno, na ris. 121 dolzhny byt' zadany
polozhitel'nye abscissy i ordinata tochek H i U i otricatel'naya applikata
tochki .
Na ris. 122 izobrazhen chastnyj sluchaj ploskosti obshchego polozheniya -- ee
sledy h'o i f"o , na chertezhe lezhat na odnoj pryamoj.
Vspominaya shemu sovmeshcheniya ploskostej proekcij (ris. 15 na s. 17), zametim,
chto sledy h'o i f"o, obrazuyut ravnye ugly s os'yu
ne tol'ko na chertezhe, no i v prostranstve. Kak pokazano na ris. 122 sprava,
iz ravenstva pryamougol'nyh treugol'nikov KK'H i K"K'H sleduet, chto ugol KX
K' raven uglu ' ", . e. sled f"o - obrazuet . s os'yu
takoj zhe ugol, kak i sled h'o .
Otsyuda pl. obrazuet ravnye ugly s ploskostyami 1 i 2. CHast' pl. ,
nahodyashchayasya v pervoj chetverti, soderzhit v sebe natural'nyj ugol mezhdu
h'o i f"o (v nashem primere -- tupoj).
Na ris. 122 pokazano takzhe postroenie tret'ego sleda ploskosti (r0) po
zadannym dvum ee sledam h'0, i f",.Vsledstvie togo, chto sledy h'0a i
f"o lezhat na odnoj pryamoj, tochka Z, slivaetsya s tochkoj U i,
sledovatel'no, tochka U1 okazyvaetsya na takom zhe rasstoyanii ot tochki O, na
kakom nahoditsya tochka Z,; poetomu sled r"'o, naklonen pod uglom 45° k osi
.u (i k osi z); imenno takoj naklon profil'nogo sleda budet poluchat'sya vo
vseh sluchayah postroeniya
Ris.121 
Ris 122
ploskosti, u kotoroj na chertezhe gorizontal'nyj i frontal'nyj sledy
lezhat na odnoj pryamoj, peresekayushchej os' pod ostrym uglom.
Takaya ploskost' prohodit cherez perpendikulyar k osi h, sostavlyayushchij s
pl. 2 (ili s 1 ) ugol 45°. A tak kak etot perpendikulyar yavlyaetsya
perpendikulyarom k bissektornoj ploskosti dvugrannyh uglov, smezhnyh s uglom
1 2 , to rassmatrivaemaya ploskost' mozhet byt' opredelena kak ploskost',
perpendikulyarnaya k bissektornoj ploskosti vtoroj i chetvertoj chetvertej
prostranstva ')
') Interesuyushchihsya bolee podrobnym izlozheniem otsylaem k predydushchim
izdaniyam etoj knigi.
50
2. Esli ploskosti perpendikulyarny lish' k odnoj iz ploskostej proekcij,
to vozmozhny tri sluchaya chastnyh polozhenij.
a) Ploskost' perpendikulyarna k gorizontal'noj ploskosti proekcij. Takie
ploskosti nazyvayutsya gorizontal'no-proeciruyushchimi.
Primer dan na ris. 123: ploskost' zadana proekciyami treugol'nika ABC.
Gorizontal'naya proekciya predstavlyaet soboj otrezok pryamoj linii. Ugol 2
raven uglu mezhdu zadannoj ploskost'yu i pl. 2.
Na ris. 124 dan primer izobrazheniya gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti
ee sledami: sleva dano naglyadnoe izobrazhenie, v seredine -- chertezh v sisteme
Ris. 123
1, 2 s ukazaniem osi i sledov f"o i h'o
sprava -- bez ukazaniya osi i, sledovatel'no, sleda f"o .
Frontal'nyj sled perpendikulyaren k pl. 1 i k osi proekcij h.
Gorizontal'nyj zhe sled mozhet sostavlyat' s os'yu proekcij lyuboj ugol; etot
ugol sluzhit linejnym uglom dvugrannogo mezhdu gorizontal'no-proeciruyushchej
ploskost'yu i pl. 2.
Ugol mezhdu ho i fo , a takzhe ugol mezhdu h0 i ro v prostranstve
raven 90°.
Esli v gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti raspolozhena tochka, to ee
gorizontal'naya proekciya dolzhna byt' na gorizontal'nom slede ploskosti. |to
otnositsya i k lyuboj sisteme tochek, raspolozhennyh v
gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti, bud' to pryamye linii, ploskie krivye
ili figury.
Sled ho" ' mozhno rassmatrivat' kak gorizontal'nuyu proekciyu ploskosti.
b) Ploskost' perpendikulyarna k frontal'noj ploskosti proekcij. Takie
ploskosti nazyvayutsya frontal'no-proeciruyushchimi.
Primer dan na ris. 125: ploskost' zadana proekciyami treugol'nika DEF.
Frontal'naya proekciya predstavlyaet soboj otrezok pryamoj linii. Ugol 1 raven
uglu mezhdu DEF i pl. 1.
Ris. 125 Ris. 126
Na ris. 126 sleva dano naglyadnoe izobrazhenie, v seredine -- .chertezh v
sisteme 1, 2 ukazaniem osi proekcij, sprava -- bez ukazaniya osi proekcij.
Gorizontal'nyj sled perpendikulyaren k pl. 2 i k osi proekcij. Frontal'nyj
zhe sled mo-
51
zhet sostavlyat' s os'yu proekcij lyuboj ugol; etot ugol sluzhit linejnym
uglom dvugrannogo mezhdu frontal'no-proeciruyushchej ploskost'yu i pl. 2.
Ugol mezhdu fo i hoy v prostranstve raven 90°,
Esli v frontal'no-proeciruyushchej ploskosti raspolozhena tochka, to ee
frontal'naya proekciya dolzhna byt' na frontal'nom slede ploskosti. |to
otnositsya i k lyuboj sisteme tochek. Sled fo " " (ris. 126) mozhno
rassmatrivat' kak frontal'nuyu proekciyu pl. .
v) Ploskost' perpendikulyarna k profil'noj ploskosti proekcij. Takie
ploskosti nazyvayutsya profil'no-proeciruyushchimi.
Na ris. 127 dan primer profil'no-proeciruyushchej ploskosti: ploskost'
zadana proekciyami treugol'nika ABC. Gorizontal' etoj ploskosti raspolozhena
perpendikulyarno k pl. 3: proekcii "D" i A'D ' vzaimno
parallel'ny. |to sluzhit priznakom togo, chto pered nami
profil'no-proeciruyushchaya ploskost', a ne ploskost' obshchego polozheniya (sravnite
s ris. 112).°
Profil'naya proekciya treugol'nika ABC predstavlyaet soboj otrezok pryamoj
linii. Ugol 1 mezhdu etim otrezkom i liniej svyazi S"S" raven uglu naklona
Ris. 128
ploskosti treugol'nika k pl. 1 , a ugol naklona ploskosti treugol'nika
k pl.·2 raven 90° - 1.
Na ris. 128 dan primer izobrazheniya profil'no-proeciruyushchej ploskosti ee
sledami.
Gorizontal'nyj i frontal'nyj sledy etoj ploskosti parallel'ny osi i,
sledovatel'no, parallel'ny mezhdu soboj.
Izobrazhennaya na ris. 107 sprava ploskost' takzhe yavlyaetsya
profil'no-proeciruyushchej.
Ploskost', perpendikulyarnaya k odnoj iz ploskostej proekcij
(gorizontal'no-, frontal'no- ili profil'no-proeciruyushchaya), mozhet, v
chastnosti, prohodit' cherez os' proekcij. Takuyu ploskost' dopolnitel'no
nazyvayut osevoj ploskost'yu.
Rassmotrim, naprimer, osevuyu profil'no-proeciruyushchuyu ploskost' (ris.
129). Sledy ee f 0 i h0 slivayutsya s os'yu h; v etom sluchae neobhodimo imet'
eshche tretij ee sled r0d " '" ili hotya by polozhenie odnoj tochki,
prinadlezhashchej etoj ploskosti i ne lezhashchej na osi .h.
Ris. 129
Osevaya ploskost' mozhet byt' bissektornoj; chto znachit, chto osevaya
ploskost' delit dvugrannyj ugol, obrazovannyj ploskostyami proekcij, popolam.
52
Kak mozhno izobrazit' profil'no-proeciruyushchuyu ploskost' na chertezhe bez
osej proekcij? Tak, kak dano na ris. 127. Drugoj primer predstavlen na ris.
130: ploskost' zadana dvumya peresekayushchimisya pryamymi, iz kotoryh odna (AB)
perpendikulyarna k pl. 3, a drugaya zanimaet proizvol'noe polozhenie.
3. Esli ploskosti perpendikulyarny k dvum ploskostyam proekcij, to takzhe
vozmozhny tri sluchaya chastnyh polozhenij1).
Ris. 132
Ris. 133
Ris. 135 Ris. 136
a) Ploskost' perpendikulyarna k ploskostyam 2 i 3, t.. e. parallel'na
ploskosti 1 . Takie ploskosti nazyvayutsya gorizontal'nymi.
Na ris. 131 dan primer gorizontal'noj ploskosti, zadannoj proekciyami
treugol'nika ABC. Na ris. 132 sprava izobrazhena gorizontal'naya ploskost' v
sisteme 1 , 2 pri pomoshchi frontal'nogo sleda. Sled (f0t = ") mozhno
rassmatrivat' kak frontal'nuyu proekciyu ploskosti.
b) Ploskost' perpendikulyarna k ploskostyam 1 i 3, t. e. parallel'na
ploskosti 2. Takie ploskosti nazyvayutsya frontal'nymi.
Na ris. 133 dan primer frontal'noj ploskosti, zadannoj proekciyami
treugol'nika CDE.
') Dlya takih ploskostej vstrechaetsya obshchee nazvanie "ploskosti urovnya".
Odnako eto nazvanie otvechaet obychnomu predstavleniyu tol'ko o
gorizontal'nosti.
53
pomoshchi sleda (ho" '), kotoryj mozhno rassmatrivat' kak proekciyu etoj
ploskosti na pl. 1 .
v) Ploskost' perpendikulyarna k ploskostyam 1 i 2, t. e. parallel'na
ploskosti 3. Takie ploskosti nazyvayutsya profil'nymi.
Primer izobrazheniya v sisteme 2, 3 dan na ris. 135: ploskost' zadana
proekciyami treugol'nika EFG.
Na ris. 136 dan primer izobrazheniya v sisteme 1, 2 pri pomoshchi sledov.
Kazhdyj iz nih mozhno rassmatrivat' kak proekciyu ploskosti na
sootvetstvuyushchej ploskosti proekcij. Profil'naya ploskost' sochetaet v sebe
svojstva frontal'no- i gorizontal'no-proeciruyushchej ploskostej.
1. Kak raspolagayutsya v sisteme 1, 2 , 3 ploskost' obshchego polozheniya i
ploskosti, nazyvaemye proeciruyushchimi?
2. CHto takoe frontal'no-proeciruyushchaya ploskost',
gorizontal'no-proeciruyushchaya, profil'no-proeciruyushchaya?
3. Kak opredelit', yavlyaetsya li ploskost', zadannaya v sisteme ,, ya-
peresekayushchimisya ili parallel'nymi pryamymi, ploskost'yu obshchego polozheniya ili
profil'no-proeciruyushchej?
4. CHto predstavlyaet soboj gorizontal'naya proekciya
gorizontal'no-proeciruyushchej ploskosti i frontal'noj ploskosti?
5. Tot zhe vopros v otnoshenii frontal'noj proekcii
frontal'no-proeciruyushchej ploskosti i gorizontal'noj ploskosti.
6. Gde raspolagaetsya gorizontal'naya proekciya lyuboj sistemy tochek,
raspolozhennoj v gorizontal'no-proeciruyushchej ili frontal'noj ploskosti?
7. Gde raspolagaetsya frontal'naya proekciya lyuboj sistemy tochek,
raspolozhennoj v gorizontal'noj ili frontal'no-proeciruyushchej ploskosti?
CHemu raven v prostranstve ugol mezhdu frontal'nym i gorizontal'nym
sledami gorizontal'no- i frontal'no-proeciruyushchej ploskostej?
§ 20. PROVEDENIE PROECIRUYUSHCHEJ PLOSKOSTI CHEREZ PRYAMUYU LINIYU
V dal'nejshem izlozhenii budut imet' mesto sluchai, kogda pridetsya
provodit'
proeciruyushchuyu ploskost' cherez pryamuyu liniyu soglasno kakomu-libo usloviyu.
CHerez pryamuyu obshchego polozheniya mozhno provesti lyubuyu iz takih ploskostej.
Primery dany na ris. 137. CHerez zadannuyu v sisteme 1, 2 pryamuyu, prohodyashchuyu
cherez tochku K, provedeny frontal'no-proeciruyushchaya ploskost', vyrazhennaya ee
frontal'noj proekciej ", gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost', vyrazhennaya
ee gorizontal'noj proekciej ', i profil'no-proeciruyushchaya ploskost',
opredelyaemaya, pomimo zadannoj pryamoj AK, eshche pryamoj AV, perpendikulyarnoj k
pl. 3.
Na ris. 138 ploskosti, provedennye cherez zadannuyu pryamuyu, vyrazheny
sledami. Polozhenie osi h ili zadaetsya, ili mozhet byt' vybrano.
54
No cherez pryamuyu obshchego polozheniya nel'zya provesti ni frontal'nuyu, ni
gorizontal'nuyu, ni profil'nuyu ploskost'. Takie ploskosti mozhno provodit'
lish' cherez sootvetstvenno raspolozhennye pryamye: cherez gorizontal'nuyu pryamuyu
pro-
Ris. 139
vesti gorizontal'nuyu ploskost',, cherez frontal'nuyu pryamuyu --
frontal'nuyu ploskost', cherez profil'nuyu pryamuyu -- profil'nuyu ploskost'. Na
ris. 139 izobrazheny gorizontal'naya ploskost' , prohodyashchaya cherez
gorizontal'nuyu pryamuyu AV, i frontal'naya pl. , prohodyashchaya cherez frontal'nuyu
pryamuyu CD.
§ 21. POSTROENIE PROEKCIJ PLOSKIH FIGUR
Postroenie proekcij ploskih figur (t. e. figur, vse tochki kotoryh lezhat
v odnoj ploskosti, naprimer, kvadrata, kruga, ellipsa i t. d.) svoditsya k
postroeniyu proekcij ryada tochek, otrezkov pryamyh i krivyh linij, obrazuyushchih
kontury proekcij figur. Znaya koordinaty vershin, naprimer, treugol'nika,
mozhno postroit' proekcii etih tochek, zatem proekcii storon i poluchit' takim
obrazom proekcii figury.
CHertezhi, soderzhashchie proekcii treugol'nika,, uzhe vstrechalis' (naprimer,
ris. 110, 112 i dr.). Esli sravnit' mezhdu soboj ris. 110 i 112, to mozhno
zametit', chto na ris. PO odna iz proekcij, polozhim frontal'naya, izobrazhaet
"licevuyu" storonu treugol'nika, a gorizontal'naya - "tyl'nuyu". A na ris. 112
kazhdaya iz proekcij izobrazhaet treugol'nik s odnoj i toj zhe ego storony.
Priznakom mozhet sluzhit' poryadok obhoda vershin: na ris. 110 dlya frontal'noj
proekcii po chasovoj strelke (schitaya ot A" k S"), a dlya gorizontal'noj --
protiv chasovoj strelki; na ris. 112 dlya obeih proekcij obhod v odnom
napravlenii - v dannom sluchae po chasovoj strelke.
V obshchem sluchae v sisteme 1, 2 , 3 proekcii kakogo-libo
mnogougol'nika predstavlyayut soboj takzhe mnogougol'niki s tem zhe chislom
storon; pri etom ploskost' etogo mnogougol'nika yavlyaetsya ploskost'yu obshchego
polozheniya. No ,esli v sisteme 1, 2 obe proekcii, naprimer, treugol'nika
predstavlyayut soboj treugol'nik, to ego ploskost' mozhet okazat'sya ploskost'yu
obshchego polozheniya ili profil'no-proeciruyushchej: na ris. 112 - ploskost' obshchego
polozheniya, a na ris. 127 - profil'no-proeciruyushchaya. Opredelitelem sluzhit, kak
bylo skazano na s. 52 v poyasnenii k ris. 127, gorizontal' (ili frontal'):
esli ee proekcii na , i 2 vzaimno parallel'ny, to ploskost'
profil'no-proeciruyushchaya (ris. 127); esli zhe ne parallel'ny, to ploskost'
obshchego polozheniya (naprimer, ris. 112, 115, sleva).
Esli proekciya mnogougol'nika na 1 ili na 2 predstavlyaet soboj otrezok
pryamoj, to ploskost' etogo mnogougol'nika sootvetstvenno perpendikulyarna k
1 ili k 2. Naprimer, na ris. 123 ploskost' treugol'nika
gorizontal'no-proeciruyushchaya, na ris. 125 -- frontal'no-proeciruyushchaya.
Figura, raspolozhennaya parallel'no ploskosti proekcij, proeciruetsya na
nee bez iskazheniya. Naprimer, vse elementy treugol'nika CDE, izobrazhennogo na
ris. 133, proeciruyutsya na pl. 2 bez iskazheniya; krug, izobrazhennyj na ris.
140, proeciruetsya na pl. 1 bez iskazheniya.
55
Esli zhe ploskost' figury ne parallel'na ploskosti proekcij, to dlya
opredeleniya natural'nogo vida (t. e. bez iskazheniya) etoj figury primenyayut
sposoby, ukazannye dalee, v glave V. Konechno, mozhno bylo by i teper', ne
znaya eshche etih sposobov, postroit', naprimer, natural'nyj vid treugol'nika,
izobrazhennogo na ris. 112, opredeliv dlinu kazhdoj ego storony kak dlinu
otrezka (sm. § 13) i zatem postroiv treugol'nik po najdennye otrezkam.
Vmeste s tem opredelilis' by i ugly dannogo treugol'nika. Tak postupayut,
naprimer, pri postroenii razvertki
Ris. 140 Ris. 141
bokovoj poverhnosti piramidy, prizmy i dr. (sm. dalee § 44). Esli zhe
mnogougol'nik raspolozhen v proeciruyushchej ploskosti, to mozhno postroit' ego
natural'nyj vid tak, kak pokazano na ris, 141.
Polozhim, trebuetsya opredelit' natural'nyj vid chetyrehugol'nika KPNM,
raspolozhennogo v frontal'no-proeciruyushchej pl. os. Togda, kak eto pokazano na
ris. 141 sprava, mozhno vzyat' v ploskosti figury dve osi pryamougol'nyh
koordinat s nachalom hotya by v tochke K: os' absciss (K"H", K'H1)
parallel'no pl. 2, os' ordinat perpendikulyarno k 2 (proekcii etoj osi
K"", K'T), provesti pryamuyu KL (eto mozhno sdelat', naprimer, parallel'no
K"H") i otlozhit' na nej K1 = = K"R", K2 -- K"M", KZ = "". Zatem na
perpendikulyarah k pryamoj KL v tochkah 1,2 i. 3 otlozhim otrezki R1 = F4, M2 --
M'5 i N3 = N'6. Postroennyj takim obrazom chetyrehugol'nik predstavlyaet
soboj natural'nyj vid zadannogo.
Pri reshenii mnogih zadach vopros o tom, kakoe polozhenie zanimaet ploskaya
figura otnositel'no Ploskostej proekcij, priobretaet sushchestvennoe znachenie.
V kachestve primera rassmotrim vopros o postroenii chetyreh zamechatel'nyh
tochek treugol'nika.
Tak kak deleniyu otrezka pryamoj v prostranstve popolam otvechaet takoe zhe
delenie proekcij etogo otrezka (sm. § 12), to postroenie tochki peresecheniya
median treugol'nika') mozhet byt' proizvedeno na chertezhe vo vseh sluchayah
neposredstvenno. .Dostatochno (ris. 142) provesti mediany na kazhdoj iz
proekcij treugol'nika, i tochka peresecheniya ego median budet opredelena. Pri
etom mozhno ogranichit'sya postroeniem obeih proekcij lish' odnoj iz median
(naprimer, A'D' i A"D") i odnoj proekcii vtoroj mediany (naprimer, V"E"); v
peresechenii4 A"D" i V"E" poluchaem tochku M", a po nej nahodim na
A'D' tochku M'.
Mozhno bylo by takzhe, postroiv lish' odnu iz median treugol'nika, najti
na nej tochku M na osnovanii izvestnogo iz geometrii svojstva etoj tochki (ona
delit kazhduyu medianu v otnoshenii 2:1).
Postroenie tochki peresecheniya treh vysot treugol'nika 2) i
tochki perpendikulyarov k storonam treugol'nika, provedennyh cherez ih
serediny3), svyazano s provedeniem vzaimno perpendikulyarnyh
pryamyh.
*·) Tochka peresecheniya median est' centr tyazhesti treugol'nika.
2) Ortocentr treugol'nika.
Centr opisannoj okruzhnosti.
56
V § 15 byli ukazany usloviya, pri kotoryh perpendikulyarnye otrezki v
prostranstve imeyut svoimi proekciyami takzhe perpendikulyarnye otrezki. Esli
ploskost' treugol'nika parallel'na ploskosti proekcij (naprimer, treugol'nik
SOE na ris. 133), to, opustiv per-. pendikulyary iz tochek S", D" i E" na
protivopolozhnye im storony, poluchaem proekcii vysot treugol'nika. No v
treugol'nike obshchego polozheniya tak postupit' nel'zya.
V chastnom sluchae, kogda odna storona treugol'nika parallel'na pl. 1,
a drugaya parallel'na pl. 2 (ris. 143), provedya S"E" perpendikulyarno k A"B"
i V'E' perpendikulyarno k A'C', poluchaem v prostranstve CF" AB i VE" AS;
tochka peresecheniya vysot okazalas' postroennoj bez kakih-libo osobyh priemov.
V sjmom zhe obshchem sluchae dlya provedeniya na proekcionnoj! chertezhe
perpendikulyarnyh linij prihoditsya pribegat' k osobym priemam, kotorye budut
izlozheny dal'she.
Postroenie tochki peresecheniya bissektris treugol'nika ') takzhe mozhet
byt' proizvedeno neposredstvenno lish' v chastnyh sluchayah raspolozheniya
treugol'nika otnositel'no ploskostej proekcij. |to ob®yasnyaetsya Tem, chto
delenie popolam proekcii kakogo-libo utla otvechaet ego deleniyu popolam v
prostranstve tol'ko v tom sluchae, esli storony dannogo ugla odinakovo
nakloneny k toj ploskosti proekcij, na kotoroj proizvoditsya delenie popolam
proekcii ugla (sm. § 15).
Ris. 143
Pri postroenii proekcij kakogo-libo mnogougol'nika neobhodimo obratit'
vnimanie na to, chtoby ne narushalos' uslovie nahozhdeniya vseh tochek dannoj
figury v odnoj ploskosti.
Na ris. 144 dany polnost'yu gorizontal'naya proekciya nekotorogo
pyatiugol'nika ABCDE i frontal'nye proekcii tol'ko treh ego vershin: A", V" i
E". Sprava
Ris. 144
na ris. 144 pokazano postroenie proekcij ostal'nyh dvuh vershin, S" i
D", pyatiugol'nika. CHtoby tochki S i D lezhali v ploskosti, opredelennoj tremya
tochkami A,
') Centr vpisannoj okruzhnosti.
57
V i E, neobhodimo, chtoby oni nahodilis' na pryamyh, lezhashchih v etoj
ploskosti. |timi pryamymi yavlyayutsya diagonali AC, AD i BE, gorizontal'nye
proekcii kotoryh my mozhem postroit'. Na frontal'noj proekcii pyatiugol'nika
my mozhem provesti lish' V"E". No v ploskosti pyatiugol'nika lezhat tochki
peresecheniya diagonalej K i M, gorizontal'nye proekcii kotoryh (K' i
M1) imeyutsya, a frontal'nye proekcii poluchayutsya srazu, tak kak oni
dolzhny lezhat' na V"E". Po dvum tochkam stroyatsya frontal'nye proekcii i
ostal'nyh dvuh diagonalej A"K" i A"M"; na nih dolzhny lezhat' tochki S" i D",
kotorye opredelyayutsya po ih gorizontal'nym proekciyam. ·
Krug, ploskost' kotorogo parallel'na kakoj-libo ploskosti proekcij,
proeciruetsya na etu ploskost' bez iskazheniya (sm. ris. 140, gde krug vzyat v
gorizontal'noj ploskosti). Esli ploskost' kruga raspolozhena perpendikulyarno
k ploskosti proekcij, to na etu ploskost' krug proeciruetsya v vide otrezka
pryamoj, ravnogo diametru kruga.
No esli krug raspolozhen ploskosti, sostavlyayushchej s ploskost'yu proekcij
kakoj-libo ostryj ugol , to proekciej kruga yavlyaetsya figura, nazyvaemaya
ellipsom.
|llipsom nazyvaetsya takzhe krivaya, ogranichivayushchaya ellips-figuru: esli
ellips-figura yavlyaetsya proekciej kruga, to ellips-liniya yavlyaetsya proekciej
okruzhnosti. V dal'nejshem izlozhenii, govorya ob ellipse, budem podrazumevat'
proekciyu okruzhnosti.
|llips otnositsya k chislu krivyh, nazyvaemyh krivymi vtorogo poryadka.
Uravneniya takih krivyh v dekartovyh koordinatah predstavlyayut soboj uravneniya
vtorogo poryadka. Krivaya vtorogo poryadka peresekaetsya s pryamoj liniej v dvuh
tochkah. Dalee my vstretimsya eshche s paraboloj i giperboloj, tozhe krivymi
vtorogo poryadka.
|llips mozhno rassmatrivat' kak "szhatuyu" okruzhnost'. |to pokazano na
ris. 145, sleva. Polozhim, chto na radiuse OV otlozhen otrezok OV1 dlinoj b,
prichem b < a (t. e. men'she radiusa okruzhnosti). Esli teper' vzyat' na
okruzhnosti kakuyu-libo tochku K i, provedya iz K perpendikulyar na A 1 A2,
otmetit' na KM tochku
Ris. 145 Ris. 146
ku k1 tak, chtoby MK1 :MK = b:a, to eta tochka K, budet prinadlezhat'
ellipsu. Tak mozhno preobrazovat' kazhduyu tochku okruzhnosti v tochku ellipsa,
soblyudaya odno i to zhe otnoshenie b:a. Okruzhnost' kak by ravnomerno szhimaetsya;
liniya, v kotoruyu pri etom preobrazuetsya okruzhnost', yavlyaetsya ellipsom.
Otnoshenie b: a nazyvaetsya koefficientom szhatiya ellipsa. Esli b priblizhaetsya
k a; to ellips rasshiryaetsya i pri b = a prevrashchaetsya v okruzhnost'.
Napomnim (iz kursa chercheniya srednej shkoly), chto
1) otrezok A1A2=2a nazyvaetsya bol'shoj os'yu ellipsa;
2) otrezok bib- = 2b nazyvaetsya maloj os'yu ellipsa;
3) bol'shaya i malaya osi vzaimno perpendikulyarny;
tochka peresecheniya osej nazyvaetsya centrom ellipsa;
58
5) otrezok pryamoj mezhdu dvumya tochkami -ellipsa, prohodyashchij cherez -centr
ellipsa, nazyvaetsya ego diametrom;
6) tochki A,, A2> V,, B2 nazyvayutsya vershinami ellipsa;
7) ellips simmetrichen otnositel'no ego osej i otnositel'no ego centra;
ellips est' geometricheskoe mesto tochek, summa rasstoyanij kotoryh do
dvuh zadannyh tochek Ft i F2 (ris. 145, sprava) imeet odno i to zhe znachenie
2a (razmer bol'shoj osi).
C'D' delit hordu M\N{, parallel'nuyu diametru E'F', sopryazhennomu s CD',
popolam. No imenno takie dva diametra ellipsa, iz kotoryh kazhdyj delit
popolam hordy, parallel'nye drugomu, yavlyayutsya sopryazhennymi.
Sopryazhennye diametry ellipsa ne perpendikulyarny odin k drugomu;
isklyuchenie sostavlyayut osi ellipsa, Iz rassmotreniya ris. 146 sleduet, chto pri
povorote okruzhnosti vokrug diametra AtA2 na ugol etot diametr,
parallel'nyj pl. itlt sohranyaet v gorizontal'noj proekcii svoyu velichinu i
stanovitsya bol'shoj os'yu ellipsa (sm. ris. 146, sprava). Diametr zhe V1V2,
povernutyj na ugol 1 k pl. -, proeciruetsya na nee s sokrashcheniem:
|to sootvetstvuet otnosheniyu osej ellipsa, t. e. ego koefficientu
szhatiya.
Esli v okruzhnosti provesti kakie-libo dva vzaimno perpendikulyarnyh
diametra, to v proekcii, predstavlyayushchej soboj ellips (ris. 146, sprava),
proekcii takih diametrov okruzhnosti okazyvayutsya diametrami ellipsa,
nazyvaemymi sopryazhennymi. Esli v okruzhnosti (ris. 146, sleva) provesti,
naprimer, hordu [(, parallel'nuyu diametru E'F', to diametr C'D' razdelit
etu hordu (i vse hordy, ej parallel'nye) popolam. Ochevidno, chto i v ellipse
sohranitsya eto svojstvo (sm. ris. 146, sprava): diametr takzhe yavlyayushchiesya
paroj sopryazhennyh diametrov.
Ris. 147
Napomnim, kak proizvoditsya postroenie ellipsa po ego osyam (ris. 147,
sleva). Postroenie vypolnyaetsya pri pomoshchi dvuh koncentricheskih okruzhnostej,
provedennyh radiusami a (bol'shaya poluos') i b (malaya poluos'). Esli provesti
kakoj-libo radius OM, i pryamye 1L/„ i EM, parallel'nye maloj i
bol'shoj osyam ellipsa, to pri peresechenii etih pryamyh poluchitsya tochka M,
prinadlezhashchaya ellipsu. Dejstvitel'no,
Provodya ryad radiusov i povtoryaya ukazannoe postroenie, poluchaem ryad
tochek ellipsa.
Postroiv kakuyu-nibud' tochku ellipsa, mozhno postroit' eshche tri tochki,
raspolozhennye simmetrichno najdennoj otnositel'no osej ellipsa ili ego
centra.
Na ris. 147 sprava pokazano postroenie fokusov ellipsa: zasekaya iz
tochki B, bol'shuyu os' dugoj, radiusa, ravnogo bol'shoj poluosi oa 1, poluchaem
tochki f 1 i F2 -- fokusy ellipsa. Postroiv ugol F 1KF2, gde K -- lyubaya tochka
ellipsa, provodim v nem bissektrisu i perpendikulyarno k nej v tochke K
kasatel'nuyu k ellipsu. Pryamaya KN, perpendikulyarnaya kasa-tel'noj, yavlyaetsya
normal'yu1) k ellipsu v tochke K.
') Ot normal is (lat.) -- pryamolinejnyj.
59
Kak postroit' osi ellipsa, esli izvestny ego sopryazhennye diametry?
Pust' polucheny sopryazhennye poludiametry CA i SV (ris. 148). Dlya
postroeniya osej ellipsa:
1) odin iz sopryazhennyh poludiametrov, naprimer CB, povorachivaem na ugol
90° po napravleniyu k drugomu (do polozheniya CB2);
2) provodim otrezok AB2 i delim ego popolam;
3) iz tochki K provodim okruzhnost' radiusom KS; ·
4) pryamuyu, opredelyaemuyu otrezkom AV2, prodolzhaem do peresecheniya s etoj
okruzhnost'yu v tochkah D i E;
5) provodim pryamuyu DC, poluchaem napravlenie bol'shoj osi ellipsa;
6) provodim ES -- napravlenie maloj osi ellipsa;
7) otkladyvaem S1 .= AE -- bol'shaya poluos';
8) otkladyvaem SZ = AD -- malaya poluos';
9) otkladyvaem S2 = S;, S4 = SZ, S5,= SA, So = SV.
|llips mozhet byt' proveden cherez vosem' tochek /, A, 3, V, 2,5,4 i 6 ili
postroen po bol'shoj i maloj osyam, kak pokazano na ris. 147.
Itak, provedya pryamye CD i SE, my poluchili napravleniya bol'shoj i maloj
osej ellipsa; tochka A, prinadlezhashchaya ellipsu, delit diametr ED na dva
otrezka, iz kotoryh odin (AE) raven bol'shoj poluosi etogo ellipsa, a drugoj
(AD) -- maloj poluosi. Esli (ris. 149)
Ris. 150 Ris. 151
vzyat' osi koordinat i u sootvetstvenno po pryamym CD i SE i iz tochki A
provesti perpendikulyar AD k pryamoj CD, to koordinaty,,tochki A mogut byt'
vyrazheny sleduyushchim obrazom:
Otsyuda 
|to uravnenie ellipsa, u kotorogo AE -- bol'shaya poluos', a AO -- malaya
poluos'.
Na ris. 146 bylo pokazano postroenie gorizontal'noj proekcii
okruzhnosti, raspolozhennoj v frontal'no-proeciruyushchej ploskosti, naklonennoj k
pl. 1. Pust' teper' v takoj
60
ploskosti lezhit ellips s poluosyami a i b. Ego proekciej inogda mozhet
okazat'sya okruzhnost' s diametrom, ravnym maloj osi ellipsa: eto budet togda,
kogda dlya ugla mezhdu ploskost'yu, v kotoroj lezhit ellips, i pl. 1 imeet
mesto sootnoshenie
(ris. 150). Poluchennaya okruzhnost' budet sluzhit' proekciej ryada
ellipsov, esli izmenyat' ugol i razmer a, ostavlyaya b neizmennym. Predstavim
sebe pryamoj krugovoj cilindr s vertikal'noj os'yu (ris. 151); naklonnye
secheniya etogo cilindra budut ellipsami, malaya os' kotoryh ravna diametru
cilindra.
1. Kak izobrazhaetsya na chertezhe frontal'no-proeciruyushchaya ploskost',
provedennaya cherez pryamuyu obshchego polozheniya?
2. Kak postroit' proekcii centra tyazhesti v zadannom chertezhe
treugol'nika?
3. CHto mogut predstavlyat' soboj proekcii kruga v zavisimosti ot
polozheniya ego ploskosti otnositel'no ploskosti proekcij?
4. Mozhno li rassmatrivat' ellips kak "szhatuyu" okruzhnost'?
5. CHto takoe koefficient szhatiya ellipsa?
6. Imeet li ellips: a) osi simmetrii, b) centr simmetrii?
7. Kakie diametry ellipsa nazyvayutsya: a) osyami, b) sopryazhennymi
diametrami?
8. Kak po zadannym sopryazhennym diametram ellipsa postroit' ego osi?
GLAVA IV. VZAIMNOE POLOZHENIE DVUH PLOSKOSTEJ, PRYAMOJ LINII I PLOSKOSTI
§ 22. OBZOR VZAIMNYH POLOZHENIJ DVUH PLOSKOSTEJ, PRYAMOJ LINII I
PLOSKOSTI
Dve ploskosti mogut byt' parallel'nymi ili peresekat'sya mezhdu soboj.
Rassmotrim sluchaj vzaimnoj parallel'nosti ploskostej. Esli ploskosti
i parallel'ny (ris. 152), to vsegda v kazhdoj iz nih mozhno postroit' po dve
peresekayushchiesya mezhdu soboj pryamye linii tak, chtoby pryamye odnoj ploskosti
byli sootvetstvenno parallel'ny dvum pryamym drugoj ploskosti.
|to sluzhit osnovnym priznakom dlya opredeleniya, parallel'ny ploskosti
mezhdu soboj ili ne parallel'ny. Takimi pryamymi mogut sluzhit', naprimer,
Ris. 152 Ris. 153
Ris. 154 Ris. 155
sledy obeih ploskostej: esli dva peresekayushchihsya mezhdu soboj sleda odnoj
ploskosti parallel'ny odnoimennym s nimi sledam drugoj ploskosti, to obe
ploskosti parallel'ny mezhdu soboj (ris. 153, gde h'0% h'0, f"o || f"o).
Na ris. 154 pokazany parallel'nye mezhdu soboj frontal'no-proeciruyushchie
ploskosti, zadannye treugol'nikami ABC i DEF. Ih parallel'nost' opredelyaetsya
parallel'nost'yu frontal'nyh proekcij A"V"S" i D"F"E". Esli zhe eti ploskosti
vyrazit' ih sledami na 2 i ,, to tak zhe, kak na ris. 153, frontal'nye
sledy oka-
62
zhutsya vzaimno parallel'nymi i gorizontal'nye sledy budut takzhe vzaimno
parallel'ny. Ochevidno, esli izvestno, chto parallel'nye mezhdu soboj ploskosti
frontal'no-proeciruyushchie, to na chertezhe mozhno v nekotoryh sluchayah
ogranichit'sya tol'ko privedeniem ih frontal'nyh sledov tak, kak eto pokazano
dalee na ris. 166 ("1||"2). Dlya gorizontal'no-proeciruyushchih ploekostej
(esli izvestno, chto oni. vzaimno parallel'ny) v analogichnyh sluchayah
dostatochno provesti ih gorizontal'nye sledy -- odin parallel'no drugomu.
Rassmotrim sluchaj vzaimnogo peresecheniya ploskostej. V sluchae zadaniya
ploskostej ih sledami legko ustanovit', chto eti ploskosti peresekayutsya: esli
hotya by odna para odnoimennyh sledov peresekaetsya, to ploskosti
peresekayutsya. Tak, naprimer, na ris. 155 f"o || f"o, no ' i a'
peresekayutsya: ploskosti i peresekayutsya mezhdu soboj.
Izlozhennoe otnositsya k ploskostyam, zadannym peresekayushchimisya sledami.
Esli zhe obe ploskosti imeyut na i na 2 sledy, parallel'nye osi h, to eti
ploskosti mogut ili peresekat'sya, ili byt' parallel'nymi. Dlya resheniya
voprosa
Ris. 156 Ris. 157
o vzaimnom polozhenii takih ploskostej mozhno postroit' tretij sled: esli
sledy obeih ploskostej na tret'ej ploskosti proekcij takzhe parallel'ny drug
drugu, to ploskosti parallel'ny (ris. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o i "' ||
'"); esli zhe tret'i sledy peresekayutsya, to ploskosti peresekayutsya (ris.
157)1).
Tak reshaetsya vopros o vzaimnom polozhenii dvuh ploskostej, zadannyh
sledami. Esli zhe ploskosti zadany ne sledami, a kakim-libo drugim sposobom,
i nado uznat', peresekayutsya li eti ploskosti, to voobshche sleduet pribegat' k
nekotorym vspomogatel'nym postroeniyam. Primery etih postroenij budut dany
pri dal'nejshem izlozhenii.
Rassmotrim sluchai vzaimnogo polozheniya pryamoj linii i ploskosti.
Vzaimnoe polozhenie pryamoj linii i ploskosti v prostranstve mozhet byt'
sleduyushchim: a) pryamaya lezhit v ploskosti, b) pryamaya peresekaet ploskost', v)
pryamaya parallel'na ploskosti.
Esli na chertezhe neposredstvenno nel'zya ustanovit' vzaimnogo polozheniya
pryamoj i ploskosti, i to pribegayut k nekotorym vspomogatel'nym postroeniyam,
v rezul'tate kotoryh ot voprosa o vzaimnom polozhenii pryamoj i ploskosti
perehodyat k voprosu o vzaimnom polozhenii dannoj pryamoj i nekotoroj
vspomogatel'noj pryamoj. Dlya etogo (ris. 158) provodyat cherez dannuyu pryamuyu AV
nekotoruyu vspomogatel'nuyu ploskost' i rassmatrivayut vzaimnoe polozhenie
pryamoj peresecheniya ploskostej i i pryamoj AV.
') Ochevidno, chto pri takoj, naprimer, posledovatel'nosti v raspolozhenii
parallel'nyh osi sledov: f"o, f"o, h'0, h'0 ploskosti ne mogut byt'
parallel'ny mezhdu soboj i postroenie sledov '" i '" izlishne.
63
Pri etom vozmozhny tri sluchaya:
1) Pryamaya MN slivaetsya s pryamoj AV; eto sootvetstvuet tomu, chto pryamaya
AV prinadlezhit pl. .
2) Pryamaya peresekaet pryamuyu AV; eto sootvetstvuet tomu, chto pryamaya
AV peresekaet pl. .
3) Pryamaya parallel'na pryamoj AV; eto sootvetstvuet tomu, chto pryamaya
AV parallel'na pl. .
Itak, ukazannyj priem opredeleniya vzaimnogo polozheniya pryamoj i
ploskosti zaklyuchaetsya v sleduyushchem:
1) cherez dannuyu pryamuyu provodyat vspomogatel'nuyu ploskost' i stroyat
liniyu peresecheniya etoj ploskosti i dannoj ploskosti;
2) ustanavlivayut vzaimnoe polozhenie dannoj pryamoj i pryamoj peresecheniya
ploskostej; najdennoe polozhenie opredelyaet vzaimnoe polozhenie dannyh pryamoj
i ploskosti.
Dlya resheniya voprosa o vzaimnom polozhenii ploskosti i pryamoj my
primenili sposob vspomogatel'nyh ploskostej, kotorym chasto pol'zuyutsya pri
postroeniyah, svyazannyh so vzaimnym raspolozheniem razlichnyh poverhnostej i
linij s poverhnostyami.
Podbor vspomogatel'nyh ploskostej obychno proizvodyat s takim raschetom,
chtoby postroeniya byli kak mozhno bolee prostymi. Mozhet okazat'sya, naprimer,
chto ploskosti gorizontal'nye ili frontal'nye, gorizontal'no- i
frontal'no-proeciruyushchie, voobshche ves'ma udobnye v kachestve vspomogatel'nyh,
nel'zya budet primenit' sovsem ili ih primenenie vyzovet uslozhnenie
postroeniya dazhe po sravneniyu s ploskostyami obshchego polozheniya, vzyatymi v
kachestve vspomogatel'nyh. Reshaya tu ili inuyu zadachu s primeneniem
vspomogatel'nyh ploskostej, neobhodimo vybirat' eti ploskosti tak, chtoby vse
voznikayushchie pri etom postroeniya byli vozmozhno proshche i chtoby etih postroenij
bylo kak mozhno men'she.
§ 23. PERESECHENIE PRYAMOJ LINII S PLOSKOSTXYU, PERPENDIKULYARNOJ K ODNOJ
ILI K DVUM PLOSKOSTYAM PROEKCIJ
Ploskost', perpendikulyarnaya k ploskosti proekcij, proeciruetsya na
poslednyuyu v vide pryamoj linii. Na etoj pryamoj (proekcii ploskosti) dolzhna
nahodit'sya sootvetstvuyushchaya proekciya tochki, v kotoroj nekotoraya pryamaya
peresekaet takuyu ploskost'1).
Na ris. 159 frontal'naya proekciya K" tochki peresecheniya pryamoj AV s
treugol'nikom SOE opredelyaetsya v peresechenii proekcij A"V" i S"E", tak kak
treugol'nik proeciruetsya na pl. 2 v vide pryamoj linij. Najdya tochku K",
opredelyaem polozhenie proekcii K'. Tak kak pryamaya AV v napravlenii ot K k V
nahoditsya pod
Ris. 159 Ris. 160 Ris. 162
') Tochku peresecheniya pryamoj s ploskost'yu nazyvayut takzhe tochkoj vstrechi
pryamoj s ploskost'yu.
64
treugol'nikom, to na chertezhe chast' gorizontal'noj proekcii pryamoj
provedena shtrihovoj liniej.
Na ris. 160 frontal'nyj sled pl. yavlyaetsya ee frontal'noj proekciej.
Proekciya K" opredelyaetsya v peresechenii proekcii A"V" i sleda ".
Na ris. 161 dan primer postroeniya proekcij tochki peresecheniya pryamoj s
gorizontal'no-proeciruyushchej ploskost'yu.
Dlya bol'shej naglyadnosti izobrazhayut proekcii otrezkov pryamoj linii,
peresekayushchej ploskost', odni -- sploshnymi liniyami, drugie -- shtrihovymi,
rukovodstvuyas' pri etom sleduyushchimi soobrazheniyami:
1. Uslovno schitayut, chto dannaya ploskost' neprozrachna i tochki i linii,
lezhashchie hotya by i v pervoj chetverti, raspolozhennye dlya zritelya za
ploskost'yu, budut nevidimymi; vidimymi zhe budut tochki i linii, raspolozhennye
po odnu storonu ploskosti so zritelem, kotoryj, kak my budem schitat',
nahoditsya v pervom oktante i beskonechno daleko ot sootvetstvuyushchej ploskosti
proekcij.
2. Vidimye otrezki linij vycherchivayutsya sploshnymi liniyami, a nevidimye
-- shtrihovymi.
3. Pri peresechenii pryamoj s ploskost'yu chast' etoj pryamoj delaetsya dlya
zritelya nevidimoj; tochka peresecheniya pryamoj s ploskost'yu sluzhit granicej
vidimosti linii.
4. Vopros o vidimosti linii vsegda mozhno svesti k voprosu o vidimosti
tochek. Pri etom ne tol'ko ploskost' mozhet zakryvat' tochku, no i tochka mozhet
zakryvat' druguyu tochku (sm. ris. 87).
5. Esli neskol'ko tochek raspolozheny na obshchej dlya nih proeciruyushchej
pryamoj, to vidimoj budet tol'ko odna iz nih:
a) po otnosheniyu k pl. -- tochka, naibolee udalennaya ot ,;
b) po otnosheniyu k pl. 2 -- tochka, naibolee udalennaya ot 2;
v) po otnosheniyu k pl. 3 -- tochka, naibolee udalennaya 3.
6. Esli chertezh soderzhit osi proekcij, to dlya opredeleniya vidimosti
tochek, raspolozhennyh na obshchej dlya nih proeciruyushchej pryamoj, sluzhat rasstoyaniya
ih sootvetstvuyushchih proekcij ot osi proekcij:
a) otnositel'no pl. vidima tochka, frontal'naya proekciya kotoroj
nahoditsya dal'she ot osi h;
b) otnositel'no pl. 2 vidima tochka, gorizontal'naya proekciya kotoroj
nahoditsya dal'she ot osi h;
v) otnositel'no pl. 3 vidima tochka, gorizontal'naya proekciya kotoroj
nahoditsya dal'she ot osi u.
Kak nado postupat' v sluchae, esli chertezh ne soderzhit osej proekcij?
Rassmotrim ris. 162. Tochki 1 k 2 dvuh skreshchivayushchihsya pryamyh raspolozheny na
obshchej dlya nih proeciruyushchej pryamoj, perpendikulyarnoj k pl. 2, a tochki 3 i 4
-- na proeciruyushchej pryamoj, perpendikulyarnoj k pl. p1.
Tochka peresecheniya gorizontal'nyh proekcij dannyh pryamyh predstavlyaet
soboj slivshiesya proekcii dvuh tochek, iz kotoryh tochka 4 prinadlezhit pryamoj
AB, a tochka 3 -- pryamoj CD. Tak kak 3"3' > 4"4', to vidima otnositel'no
pl. 1 tochka 3, prinadlezhashchaya pryamoj CD, a tochka 4 tochkoj 3 zakryta.
Tak zhe i tochka peresecheniya frontal'nyh proekcij pryamyh AB i CD
predstavlyaet soboj slivshiesya proekcii dvuh tochek / i 2, iz kotoryh tochka 1
prinadlezhit pryamoj AB, a tochka 2 - pryamoj CD. Tak kak 1'1" > 2'2", to
vidima otnositel'no pl. 2 tochka 1, zakryvayushchaya soboj tochku 2.
|to -- obshchij sposob: tak mozhno postupat' i na chertezhah s osyami
proekcij.
§ 24. POSTROENIE LINII PERESECHENIYA DVUH PLOSKOSTEJ
Pryamaya liniya, poluchaemaya pri vzaimnom peresechenii dvuh ploskostej,
vpolne opredelyaetsya dvumya tochkami, iz kotoryh kazhdaya prinadlezhit obeim
ploskostyam. Tak, pryamaya K1K2 (ris. 163), po kotoroj peresekayutsya mezhdu soboj
ploskost', zadannaya treugol'nikom ABC, i pl. , zadannaya pryamymi DE i DF,
prohodit cherez tochki i K2, no v etih tochkah
65
pryamye AV i AS pervoj ploskosti peresekayut pl. , t.e. tochki K i Kg
prinadlezhat, obeim ploskostyam.
Sledovatel'no, v obshchem sluchae dlya postroeniya linii peresecheniya dvuh
ploskostej nado najti kakie-libo dve tochki, komediya iz kotoryh prinadlezhit
obeim ploskostyam; eti tochki opredelyayut liniyu peresecheniya ploskostej.
Dlya nahozhdeniya kazhdoj iz takih dvuh tochek obychno prihoditsya vypolnyat'
special'nye postroeniya. No esli hotya by odna iz peresekayushchihsya ploskostej
perpendikulyarna k ploskosti proekcij, to postroenie proekcij linii
peresecheniya uproshchaetsya. Nachnem s takogo sluchaya.
Na ris. 164 pokazano peresechenie dvuh ploskostej, iz kotoryh odna
(zadannaya treugol'nikom DEF) raspolozhena perpendikulyarno k pl. p2. Tak kak
treugol'-shk,OER proeciruetsya na pl. 2 v vide pryamoj linii (D"F"), to
frontal'naya proekciya otrezka pryamoj, po kotoromu peresekayutsya oba
treugol'nika, predstavlyaet soboj otrezok K'[K'2 na proekcii D"F". Dal'nejshee
postroenie yasno iz chertezha.
Ris. 165
Drugoj primer dan na ris. 165. Gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost'
peresekaet ploskost' treugol'nika ABC. Gorizontal'naya proekciya linii
peresecheniya etih ploskostej -- otrezok M'N' -- opredelyaetsya na slede '.
Teper' rassmotrim obshchij sluchaj postroeniya linii peresecheniya dvuh
ploskostej. Pust' odna iz ploskostej, , zadana dvumya peresekayushchimisya
pryamymi, a drugaya, ,-- dvumya parallel'nymi pryamymi. Postroenie pokazano na
ris. 166. V rezul'tate vzaimnogo peresecheniya ploskostej i poluchena
pryamaya K1K2. Vyrazim eto zapis'yu: · = 12·
Dlya opredeleniya polozheniya tochek K1 i K2 voz'mem dve vspomogatel'nye
frontal'no-proeciruyushchie ploskosti ( 1, i 2), peresekayushchie kazhduyu iz
ploskostej i . Pri peresechenii ploskostej i ploskost'yu 1 poluchaem
pryamye s proekciyami 1"2", 1'2' i 3"4", 3'4'. |ti pryamye, raspolozhennye v pl.
1, v svoem peresechenii opredelyayut pervuyu tochku, K1, linii peresecheniya
ploskostej i .
Vvedya, dalee, pl. 2, poluchaem v ee peresechenii s i pryamye s
proekciyami 5"b", 5'6' i 7"8", 7'8'. |ti pryamye, raspolozhennye v pl. a2, v
svoem peresechenii opredelyayut vtoruyu tochku, K2, obshchuyu dlya i .
Poluchiv proekcii K1' i K'2, nahodim na sledah
"1 i "2 proekcii K"1 i K "2.
|tim opredelyayutsya proekcii K'1K '2 i K"1K"2
iskomoj pryamoj peresecheniya ploskostej i (proekcii provedeny
shtrihpunktirnoj liniej).
66
Pri postroenii mozhno imet' v vidu sleduyushchee: tak kak vspomogatel'nye
sekushchie ploskosti 1 i 2 vzaimno parallel'ny, to, postroiv proekcii
1'2', i 3'4', sleduet dlya proekcij 5'6' i 7'8' vzyat' po odnoj
tochke, hotya by 5 i 8, tak kak 5'6' || G2' i 7'8' % 3'4'.
V rassmotrennom postroenii byli vzyaty v kachestve vspomogatel'nyh dve
frontal'no-proeciruyushchie ploskosti. Konechno, mozhno bylo vzyat' i inye
ploskosti, naprimer dve gorizontal'nye ili odnu gorizontal'nuyu, druguyu
frontal'nuyu i t. d. Sushchnost' postroenij ot etogo ne menyaetsya. Odnako mozhet
vstretit'sya takoj sluchaj. Polozhim, chto byli vzyaty v kachestve vspomogatel'nyh
dve gorizontal'nye ploskosti i poluchennye pri peresechenii imi
ploskostej i gorizontali okazalis' vzaimno parallel'nymi. No ris.
167 pokazyvaet, chto i peresekayutsya mezhdu soboj, hotya ih gorizontali
parallel'ny. Sledovatel'no, poluchiv vzaimno parallel'nye gorizontal'nye
proekcii gorizontalej AB i CD i znaya, chto ploskosti pri etom ne obyazatel'no
parallel'ny, a mogut peresekat'sya (po obshchej dlya nih gorizontali), nado
ispytat' ploskosti i pri pomoshchi hotya by gorizontal'no-proeciruyushchej
ploskosti (sm. ris. 167); esli pryamye, po kotorym eta vspomogatel'naya
ploskost' peresechet i , takzhe okazalis' by parallel'ny odna drugoj, to
ploskosti i ne peresekayutsya, a parallel'ny odna drugoj. Na ris. 167 eti
pryamye peresekayutsya v tochke K, cherez kotoruyu i prohodit liniya peresecheniya
ploskostej i parallel'no pryamym BA i CD.
Esli ploskosti zadany ih sledami na ploskostyah proekcij, to estestvenno
iskat' tochki, opredelyayushchie pryamuyu peresecheniya ploskostej, v tochkah
peresecheniya odnoimennyh sledov ploskostej (ris. 168): pryamaya, prohodyashchaya
cherez eti tochki, yavlyaetsya obshchej dlya obeih ploskostej, t. e. ih liniej
peresecheniya.
67
Shemu postroeniya linii peresecheniya dvuh ploskostej (sm. ris. 166)
mozhno, konechno, rasprostranit' i na sluchaj zadaniya ploskostej ih sledami.
Zdes' rol' vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej ispolnyayut sami ploskosti
proekcij:
Tochki peresecheniya odnoimennyh sledov ploskostej yavlyayutsya sledami linii
peresecheniya etih ploskostej. Poetomu dlya postroeniya proekcij linii
peresecheniya ploskostej (ris. 168) nado: 1) najti tochku M' v peresechenii
sledov h'0 i h'0
Ris. 171
i tochku N" v peresechenii f"o i f"o, a po nim -- proekcii M" i N'; 2)
provesti pryamye linii M"N" i M'N'.
Na ris. 169--171 pokazany sluchai, kogda izvestno napravlenie linii
peresecheniya. Poetomu dostatochno imet' lish' odnu tochku ot peresecheniya sledov
i dalee provesti cherez etu tochku pryamuyu, ishodya iz polozheniya ploskostej i ih
sledov.
VOPROSY K §§ 22-24
1. Kakoe vzaimnoe polozhenie mogut zanimat' dve ploskosti?
2. Kakov priznak parallel'nosti dvuh ploskostej?
3. Kak vzaimno raspolagayutsya frontal'nye sledy dvuh parallel'nyh mezhdu
soboj frontal'no-proeciruyushchih ploskostej?
68
4. Kak vzaimno raspolagayutsya gorizontal'nye sledy dvuh parallel'nyh
mezhdu soboj gorizontal'no-proeciruyushchih ploskostej?
5. Kak vzaimno raspolagayutsya odnoimennye sledy dvuh parallel'nyh mezhdu
soboj ploskostej?
6. Sluzhit li priznakom vzaimnogo peresecheniya dvuh ploskostej
peresechenie hotya by odnoj pary ih odnoimennyh sledov?
7. Kak ustanovit' vzaimnoe polozhenie pryamoj i ploskosti?
8. Kak stroitsya tochka peresecheniya pryamoj linii ch ploskost'yu,
perpendikulyarnoj k odnoj ili k dvum ploskostyam proekcij?
9. Kakaya tochka iz chisla raspolozhennyh na obshchem perpendikulyare k a) pl.
, b) pl. bj schitaetsya vidimoj sootvetstvenno na , na 2?
10. Kak stroitsya liniya peresecheniya dvuh ploskostej, iz kotoryh hotya by
odna perpendikulyarna K PL. 1 ILI K PL. 2?
V chem zaklyuchaetsya obshchij sposob postroeniya linii peresecheniya dvuh
ploskostej?
§ 25. PERESECHENIE PRYAMOJ LINII S PLOSKOSTXYU OBSHCHEGO POLOZHENIYA
Dlya postroeniya tochki peresecheniya pryamoj s ploskost'yu obshchego polozheniya
nado vypolnit' sleduyushchee (ris. 158):
1) cherez dannuyu pryamuyu (AV) provesti nekotoruyu vspomogatel'nuyu
ploskost' (os),
2) postroit' pryamuyu () peresecheniya ploskosti dannoj () i
vspomogatel'noj (os),
3) opredelit' polozhenie tochki (K) peresecheniya pryamyh -- dannoj (AV) i
postroennoj ().
Na ris. 172 pokazano postroenie tochki peresecheniya pryamoj FK s
ploskost'yu obshchego polozheniya, zadannoj dvumya peresekayushchimisya pryamymi AV i CD,
Ris. 172 Ris. 173
CHerez pryamuyu FK provedena vspomogatel'naya frontal'no-proeciruyushchaya
ploskost' . Vybor frontal'no-proeciruyushchej ploskosti ob®yasnyaetsya udobstvom
postroeniya tochek peresecheniya ee frontal'nogo sleda s proekciyami A"V" i
S"D". Po tochkam M" i " najdeny gorizontal'nye proekcii M' i ' i
tem samym opredelena pryamaya , po kotoroj vspomogatel'naya pl. peresekaet
dannuyu pl. . Zatem najdena tochka K', v kotoroj gorizontal'naya proekciya
pryamoj neposredstvenno ili
69
pri svoem prodolzhenii peresekaet proekciyu M'N'. Posle etogo ostaetsya
najti frontal'nuyu proekciyu tochki peresecheniya -- tochku K".
Na ris. 173 pokazano postroenie tochki peresecheniya pryamoj MN s
ploskost'yu, zadannoj treugol'nikom ABC. Hod postroeniya ne otlichaetsya ot
rassmotrennogo na ris. 172. No vspomogatel'naya (na etot raz
gorizontal'no-proeciruyushchaya) ploskost' v dannom .sluchae ukazana tol'ko odnim
sledom ', prohodyashchim cherez proekciyu M'N'. Pl. peresekaet ABC no pryamoj
DE. No mozhno obojtis' i bez ': myslenno predstavlyaya sebe
vspomogatel'nuyu.gorizontal'no-proeciruyushchuyu ploskost', prohodyashchuyu cherez ,
vyrazhaem proekciyami E'D' i E"D" otrezok ED, po kotoromu provedennaya cherez MN
gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' peresekaet treugol'nik.
Schitaya, chto v prostranstve zadany pryamaya i neprozrachnyj treugol'nik,
opredelim vidimye i nevidimye chasti pryamoj MN otnositel'no ploskostej 1 i
2.
V tochke na pl. 1 sovmeshchayutsya gorizontal'nye proekcii dvuh tochek, iz
kotoryh odna prinadlezhit pryamoj MN (frontal'naya proekciya E"1), a drugaya --
storone treugol'nika A S (frontal'naya proekciya E").
Iz raspolozheniya frontal'nyh proekcij E'1 i E" sleduet, chto na uchastke
KM pryamaya nahoditsya nad treugol'nikom i, sledovatel'no, na gorizontal'noj
proekcii otrezok M'K' -- ves' vidimyj, a otrezok K'D' -- nevidimyj.
Na frontal'noj proekcii v tochke F" sovmeshchayutsya frontal'nye proekcii
dvuh tochek, iz kotoryh odna prinadlezhit pryamoj MN, a drugaya -- storone
treugol'nika AV. Po raspolozheniyu gorizontal'nyh proekcij F' i F( zaklyuchaem,
chto pryamaya MN na uchastke K nahoditsya za treugol'nikom i, sledovatel'no, na
frontal'noj proekcii otrezok F"K" -- nevidimyj, a otrezok K"N" -- vidimyj.
Na ris. 174-- 176 dany primery postroeniya tochki peresecheniya pryamoj s
ploskost'yu obshchego polozheniya, vyrazhennoj sledami. V pervom primere cherez
pryamuyu AB provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya pl. , a vo vtorom (ris. 175)
-- gorizontal'naya ploskost', chto okazalos' 'vozmozhnym sdelat', tak kak v
etom primere pryamaya AB -- gorizontal'naya.
Ris. 176
Izobrazhennaya na ris. 176 pryamaya perpendikulyarna k pl. ,.
Gorizontal'nye proekcii vseh tochek etoj pryamoj slivayutsya v odnu tochku.
Sledovatel'no, polozhenie proekcii K' iskomoj tochki peresecheniya pryamoj AB s
pl. izvestno. Polozhenie proekcii K" opredeleno pri pomoshchi gorizontali.
§ 26. POSTROENIE LINII PERESECHENIYA DVUH PLOSKOSTEJ PO TOCHKAM
PERESECHENIYA PRYAMYH LINIJ S PLOSKOSTXYU
V § 24 byl izlozhen obshchij sposob postroeniya linii, peresecheniya dvuh
ploskostej, a imenno primenenie vspomogatel'nyh sekushchih ploskostej (sm. ris.
166). Rassmotrim teper' drugoj sposob postroeniya v primenenii k ploskostyam
obshchego polozheniya. |tot sposob zaklyuchaetsya tom, chto nahodyat tochki
peresecheniya dvuh
70
pryamyh, prinadlezhashchih odnoj iz ploskostej, s drugoj ploskost'yu.
Sledovatel'no, nado umet' stroit' tochku peresecheniya pryamoj linii s
ploskost'yu obshchego polozheniya, chto izlozheno v § 25.
Na ris. 177 pokazano peresechenie treugol'nika ABC ploskost'yu, zadannoj
dvumya parallel'nymi pryamymi (DE \\ FG). Postroenie svelos' k postroeniyu
tochek ki i K2, v kotoryh pryamye DE i F G peresekayut ploskost' treugol'nika,
i k provedeniyu cherez eti tochki otrezka pryamoj linii. Predstavlyaya sebe, chto
cherez DE i FG provedeny frontal'no-proeciruyushchie ploskosti, nahodim
parallel'nye pryamye, po kotorym eti ploskosti peresekayut treugol'nik. Odna
iz nih vyrazhena proekciyami 1' 2' i 1" 2"; dlya drugoj pokazana odna tochka 3",
3', cherez gorizontal'nuyu proekciyu kotoroj provedena pryamaya parallel'no
proekcii 1 2'. Opredeliv polozhenie proekcij i K'2, nahodim proekcii K'[ i
K2 i proekcii otr. K1K2.
Konechno, i v rassmotrennom sluchae primenim obshchij sposob (sm. ris. 166),
no prishlos' by provesti bol'she linij, chem eto sdelano na ris. 177.
Na ris. 178 dano postroenie linii peresecheniya dvuh treugol'nikov ABC i
DEF s ukazaniem vidimyh i nevidimyh uchastkov etih treugol'nikov.
Pryamaya KiK2 postroena po tochkam peresecheniya storon AS i VS treugol'nika
ABC s ploskost'yu treugol'nika DEF. Vspomogatel'naya frontal'no-proeciruyushchaya
ploskost', provedennaya cherez A S (na chftezhe eta ploskost' osobo ne
oboznachena), peresekaet treugol'nik DEF po pryamoj s proekciyami 1"2" i 1'2';
v peresechenii proekcij A'S' i 1'2' poluchena gorizontal'naya proekciya tochki Kt
peresecheniya pryamoj AS i treugol'nika DEF, zatem postroena frontal'naya
proekciya K"1. Tak zhe .najdena i tochka K2,
V primerah na ris. 177 i 178 my vstretilis' s voprosom o razdelenii
ploskih figur na chasti, vidimye i nevidimye dlya zritelya, tak kak ploskosti
schitayutsya
s
( -.·-
Ris.178 Ris.179
neprozrachnymi. Na chertezhah eto pokazano pri pomoshchi shtrihovki
sootvetstvuyushchih chastej treugol'nikov ABC. Vidimost' opredelena na osnovanii
takih zhe rassuzhdenij, kakie imeli mesto v primere, rassmotrennom na ris.
173.
Na ris. 179 priveden eshche odin primer postroeniya linii peresecheniya dvuh
treugol'nikov. V dannom sluchae s odinakovym osnovaniem mozhno schitat', chto
treugol'nik ABC prohodit v prorez' v treugol'nike DEF ili treugol'nik DEF
prohodit v prorez' v treugol'nike ABC: nado lish' uslovit'sya, v kakom iz
treugol'nikov schitat' etu prorez' po pryamoj KgK2. Mezhdu tem v sluchae,
privedennom na ris. 178, prorez' tol'ko v treugol'nike DEF i treugol'nik ABC
prohodit cherez nee.
Samoe postroenie na ris. 179 svoditsya k nahozhdeniyu tochki K, i tochki N 2
pri pomoshchi frontal'no-proeciruyushchih ploskostej 1, i 2.
Sleduet eshche raz obratit' vnimanie na to, chto primenenie shtrihovyh linij
vmesto sploshnyh, naprimer na ris. 159, 161, 164, 165, 173--179, podskazano
zhelaniem sdelat' izobrazheniya bolee naglyadnymi. Esli ishodit' iz ponyatiya o
proekcii kak geometricheskom obraze, to vopros o "prozrachnosti" ili
"neprozrachnosti", o "vidimosti" i "nevidimosti" otpal by: vse nado bylo by
izobrazhat' sploshnymi liniyami. No dlya pridaniya chertezham naglyadnosti vvedeny
nekotorye uslovnosti, v tom chisle shtrihovye linii.
VOPROSY K §§ 25-26
1. V chem zaklyuchaetsya v obshchem sluchae sposob postroeniya tochki peresecheniya
pryamoj s, ploskost'yu?
2. Kakie dejstviya i v kakoj posledovatel'nosti nado vypolnit' dlya
postroeniya etoj tochki (sm. vopros 1)?
3. Kak opredelit' "vidimost'" pri peresechenii pryamoj s ploskost'yu?
4. Kak mozhno postroit' pryamuyu peresecheniya dvuh ploskostej, esli ne
primenyat' obshchego sposoba, opisannogo v § 24?
5. Kak opredelit' "vidimost'" v sluchae vzaimnogo peresecheniya dvuh
ploskostej?
6. CHem otlichayutsya sluchai, rassmotrennye na ris. 178 i 179?
§ 27. POSTROENIE PRYAMOJ LINII I PLOSKOSTI, PARALLELXNYH MEZHDU SOBOJ
Postroenie pryamoj, parallel'noj zadannoj ploskosti, osnovano na
sleduyushchem polozhenii, izvestnom iz geometrii: pryamaya parallel'na ploskosti,
esli eta pryamaya parallel'na lyuboj pryamoj v ploskosti.
CHerez zadannuyu tochku v prostranstve mozhno provesti beschislennoe
mnozhestvo pryamyh linij, parallel'nyh zadannoj ploskosti: Dlya polucheniya
edinstvennogo resheniya trebuetsya kakoe-nibud' dopolnitel'noe uslovie.
Naprimer, cherez tochku (ris. 180) trebuetsya provesti pryamuyu,
parallel'nuyu ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC, i ploskosti proekcij !
(dopolnitel'noe uslovie).
Ochevidno, iskomaya pryamaya dolzhna byt' parallel'na linii peresecheniya
obeih ploskostej, t.e. dolzhna byt' parallel'na gorizontal'nomu sledu
ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC. Dlya opredeleniya napravleniya etogo
sleda mozhno vospol'zovat'sya gorizontal'yu ploskosti, zadannoj treugol'nikom
ABC. Na ris. 180 provedena gorizontal' DC i zatem cherez tochku M provedena
pryamaya, parallel'naya etoj gorizontali.
Postavim obratnuyu zadachu: cherez zadannuyu tochku provesti ploskost',
parallel'nuyu zadannoj pryamoj linii. Ploskosti, prohodyashchie cherez nekotoruyu
tochku A parallel'no nekotoroj pryamoj VS, obrazuyut puchok ploskostej, os'yu
kotorogo yavlyaetsya pryamaya, prohodyashchaya cherez tochku A parallel'no pryamoj VS.
Dlya polucheniya edinstvennogo resheniya trebuetsya kakoe-libo dopolnitel'noe
uslovie.
72
Naprimer, nado provesti ploskost', parallel'nuyu pryamoj CD, ne cherez
tochku, a cherez pryamuyu AV (ris. 181). Pryamye AV i CD - skreshchivayushchiesya. Esli
cherez odnu iz dvuh skreshchivayushchihsya pryamyh trebuetsya provesti ploskost',
parallel'-
Ris. 180 Ris. 181
nuyu drugoj, to zadacha imeet edinstvennoe reshenie. CHerez tochku V
provedena pryamaya, parallel'naya pryamoj CD; pryamye AV i BE opredelyayut
ploskost', parallel'nuyu pryamoj CD.
Kak ustanovit', parallel'na li dannaya pryamaya dannoj ploskosti?
Mozhno popytat'sya provesti v etoj ploskosti nekotoruyu pryamuyu parallel'no
dannoj pryamoj. Esli takuyu pryamuyu v ploskosti ne udaetsya postroit', to
zadannye pryamaya i ploskost' ne parallel'ny mezhdu soboj.
Mozhno popytat'sya najti takzhe tochku peresecheniya dannoj pryamoj s dannoj
ploskost'yu. Esli takaya tochka ne mozhet byt' najdena,, to zadannye pryamaya i
ploskost' vzaimno parallel'ny.
§ 28. POSTROENIE VZAIMNO PARALLELXNYH PLOSKOSTEJ
Pust' daetsya tochka K, cherez kotoruyu nado provesti ploskost',
parallel'nuyu nekotoroj ploskosti, zadannoj peresekayushchimisya pryamymi AF i BF
(ris. 182).
Ochevidno, esli cherez tochku K provesti pryamye SK i DK, sootvetstvenno
parallel'nye pryamym AF i BF, to ploskost', opredelyaemaya pryamymi SK i DK,
okazhetsya parallel'noj zadannoj ploskosti.
Drugoj primer postroeniya dan na ris. 183 sprava. CHerez tochku A
provedena pl. parallel'no pl. a. Snachala cherez tochku A provedena pryamaya,
zavedomo parallel'naya pl. . |to gorizontal' s proekciyami "" i '',
prichem A'N'\\ h'o. Tak
Ris. 182 Ris. 183
kak tochka N yavlyaetsya frontal'nym sledom gorizontali AN, to cherez etu
tochku projdet sled f"o% f"o,, a cherez H - sled h'o || h'o. Ploskosti
i vzaimno parallel'ny, tak kak ih odnoimennye peresekayushchiesya sledy vzaimno
parallel'ny.
73
Na ris. 184 izobrazheny dve parallel'nye mezhdu soboj ploskosti -- odna
ga nih zadana treugol'nikom LVS, drugaya -- parallel'nymi pryamymi DE i FG.
CHem zhe ustanavlivaetsya parallel'nost' etih ploskostej? Tem, chto v ploskosti,
zadannoj pryamymi DE i FG, okazalos' vozmozhnym provesti dve peresekayushchiesya
Ris. 184
pryamye KN i KM, sootvetstvenno parallel'nye peresekayushchimsya pryamym AS i
VS drugoj ploskosti.
Konechno, mozhno bylo by popytat'sya najti tochku peresecheniya hotya by
pryamoj DE s ploskost'yu treugol'nika ABC. Neudacha podtverdila by
parallel'nost' ploskostej.
VOPROSY K §§ 27-28
1. Na chem osnovano postroenie pryamoj linii, kotoraya dolzhna byt'
parallel'na nekotoroj ploskosti?
2. Kak provesti ploskost' cherez pryamuyu parallel'no zadannoj pryamoj?
3. CHem opredelyaetsya vzaimnaya parallel'nost' dvuh ploskostej?
4. Kak provesti cherez tochku ploskost', parallel'nuyu zadannoj ploskosti?
5. Kak proverit' na chertezhe, parallel'ny li odna drugoj zadannye
ploskosti?
§ 29. POSTROENIE VZAIMNO PERPENDIKULYARNYH PRYAMOJ I PLOSKOSTI
Iz vseh vozmozhnyh polozhenij pryamoj, peresekayushchej ploskost', otmetim
sluchaj, kogda pryamaya perpendikulyarna k ploskosti, i rassmotrim svojstva
proekcij takoj pryamoj.
Na ris. 185 zadana ploskost', opredelyaemaya dvumya peresekayushchimisya
pryamymi AN i AM, prichem AN yavlyaetsya gorizontal'yu, a AM -- frontal'yu etoj
ploskosti. Pryamaya AV, izobrazhennaya na tom zhe chertezhe, perpendikulyarna k AN i
k AM i, sledovatel'no, perpendikulyarna k opredelyaemoj imi ploskosti.
Perpendikulyar k ploskosti perpendikulyaren k lyuboj pryamoj, provedennoj v
etoj ploskosti. No chtoby pri etom proekciya perpendikulyara k ploskosti obshchego
polozheniya okazalas' perpendikulyarnoj k odnoimennoj proekcii kakoj-libo
pryamoj etoj ploskosti, pryamaya dolzhna byt' gorizontal'yu, ili frontal'yu, ili
profil'noj pryamoj ploskosti. Poetomu, zhelaya postroit' perpendikulyar k
ploskosti, berut v obshchem sluchae dve takie pryamye (naprimer, gorizontal' i
frontal', kak eto pokazano na ris. 185).
Itak, u perpendikulyara k ploskosti ego gorizontal'naya proekciya
perpendikulyarna k gorizontal'noj proekcii gorizontali, frontal'naya proekciya
perpendiku-
74
lyarna k frontal'noj proekcii frontali, profil'naya proekciya
perpendikulyarna k profil'noj proekcii profil'noj pryamoj etoj ploskosti.
Ochevidno, v sluchae, kogda ploskost' vyrazhena sledami (ris. 186), my
poluchaem sleduyushchij vyvod: esli pryamaya perpendikulyarna k ploskosti, to
gorizontal'naya proekciya etoj pryamoj perpendikulyarna k gorizontal'nomu sledu
ploskosti, a frontal'naya proekciya perpendikulyarna k frontal'nomu sledu
ploskosti.
Itak, esli v sisteme ,, 2 gorizontal'naya proekciya pryamoj
perpendikulyarna k gorizontal'nomu sledu i frontal'naya proekciya pryamoj
perpendikulyarna k frontal'nomu sledu ploskosti, to v sluchae ploskostej
obshchego polozheniya (ris. 186), a takzhe gorizontal®no-i frontal'no-proeciruyushchih
pryamaya perpendikulyarna k ploskosti. No dlya profil'no-proeciruyushchej ploskosti
mozhet okazat'sya, chto pryamaya k etoj ploskosti ne perpendikulyarna, hotya
proekcii pryamoj sootvetstvenno perpendikulyarny k gorizontal'nomu i
frontal'nomu sledam ploskosti. Poetomu v sluchae profil'no-proeciruyushchej
ploskosti nado rassmotret' takzhe vzaimnoe polozhenie profil'noj proekcii
pryamoj i profil'nogo sleda dannoj ploskosti i lish' posle etogo ustanovit',
budut li perpendikulyarny mezhdu soboj dannye pryamaya i ploskost'.
Ochevidno (ris. 187), gorizontal'naya proekciya perpendikulyara k ploskosti
slivaetsya s gorizontal'noj proekciej linii skata, provedennoj v ploskosti
cherez osnovanie perpendikulyara.
Na ris. 186 iz tochki A proveden perpendikulyar k pl. (A"S" % f"o, AC
% h'o i pokazano postroenie tochki E, v kotoroj perpendikulyar AS peresekaet
pl. . Postroenie vypolneno s pomoshch'yu gorizontal'no-proeciruyushchej pl. ,
provedennoj cherez perpendikulyar AE.
Na ris. 188 pokazano postroenie perpendikulyara k ploskosti,
opredelyaemoj treugol'nikom ABC. Perpendikulyar'proveden cherez tochku A.
Tak kak frontal'naya proekciya perpendikulyara k ploskosti dolzhna byt'
perpendikulyarna k frontal'noj proekcii frontali ploskosti, a ego
gorizontal'naya proekciya perpendikulyarna k gorizontal'noj proekcii
gorizontali, to v ploskosti cherez tochku A provedeny frontal' s proekciyami
A'D' i A"D" i gorizontal' A"E", A'E'. Konechno, eti pryamye ne obyazatel'no
provodit' imenno cherez tochku A.
Dalee provedeny proekcii perpendikulyara: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Pochemu
proekcii na ris. 188 na uchastkah A"N" i A'M' pokazany shtrihovymi liniyami?
Potomu, chto zdes' rassmatrivaetsya ploskost', zadannaya treugol'nikom ABC, a
ne tol'ko etot treugol'nik: perpendikulyar nahoditsya chastichno pered
ploskost'yu, chastichno za nej.
75
Na ris. 189 i 190 pokazano postroenie ploskosti, prohodyashchej cherez tochku
A perpendikulyarno k pryamoj VS. Na ris. 189 ploskost' vyrazhena sledami.
Postroenie nachato s provedeniya cherez tochku A gorizontali iskomoj ploskosti:
tak kak gorizontal'nyj sled ploskosti dolzhen byt' perpendikulyaren k V'S, to
i gorizontal'naya proekciya gorizontali dolzhna byt' perpendikulyarna k V'S.
Poetomu A'N'% V'S'. Proekciya A"N" \\ osi h, kak eto dolzhno byt' u
gorizontali. Zatem proveden cherez tochku " (" - frontal'naya proekciya
frontal'nogo sleda goryuontali AN) sled f"o% V"S", poluchena tochka X, i
proveden sled h'o" II-4'-V' (h^LB'C).
Na ris. 190 ploskost' opredelena ee frontal'yu AM i gorizontal'yu AN. |ti
pryamye perpendikulyarny k VS (A"M"% V"S", A'N' %
V'S); opredelyaemaya imi ploskost' perpendikulyarna k VS.
Tak kak perpendikulyar k ploskosti perpendikulyaren k kazhdoj pryamoj,
provedennoj v etoj ploskosti, to, nauchivshis' provodit' ploskost'
perpendikulyarno k pryamoj, mozhno vospol'zovat'sya etim dlya provedeniya
perpendikulyara iz nekotoroj tochki A k pryamoj obshchego polozheniya VS. Ochevidno,
mozhno nametit' sleduyushchij plan postroeniya proekcij iskomoj pryamoj:
1) cherez tochku A provesti ploskost' (nazovem ee ), perpendikulyarnuyu k
VS;
2) opredelit' tochku K peresecheniya pryamoj VS s il. ;
soedinit' tochki A i K otrezkom pryamoj linii.
Pryamye AK i VS vzaimno perpendikulyarny.
Primer postroeniya dan na ris. 191. CHerez tochku A provedena ploskost'
(), perpendikulyarnaya k VS. |to sdelano pri pomoshchi frontali, frontal'naya
proekciya
76
A"F" kotoroj provedena perpendikulyarno k frontal'noj proekcii V"S", i
gorizontali, gorizontal'naya proekciya kotoroj perpendikulyarna k V'S.
Zatem najdena tochka K, v kotoroj pryamaya VS peresekaet pl. . Dlya etogo
cherez pryamuyu VS provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' (na chertezhe
ona zadana tol'ko gorizontal'nym sledom 1). Pl. peresekaet pl.
po pryamoj s proekciyami 1'2' i 1 "2". V peresechenii etoj pryamoj s pryamoj VS
poluchaetsya tochka K. Pryamaya AK yavlyaetsya iskomym perpendikulyarom k VS.
Dejstvitel'no, pryamaya AK peresekaet pryamuyu VS i nahoditsya v pl. ,
perpendikulyarnoj k pryamoj VS', sledovatel'no, AKLBC.
V § 15 bylo pokazano (ris. 92), kak mozhno provesti perpendikulyar iz
tochki na pryamuyu. No tam eto bylo vypolneno pri pomoshchi vvedeniya v sistemu
1,2 dopolnitel'noj ploskosti i obrazovaniya, takim obrazom, sistemy 3, 1,
v kotoroj pl. 3 provoditsya parallel'no zadannoj pryamoj. Rekomenduem
sravnit' postroeniya, dannye na ris. 92 i 191,
Na ris. 192 izobrazheny ploskost' obshchego polozheniya o, prohodyashchaya cherez
tochku A, i perpendikulyar AM k etoj ploskosti, prodolzhennyj do peresecheniya s
pl. , v tochke V'.
Ugol 1 mezhdu pl. i pl. nt i ugol mezhdu pryamoj AM i pl. yavlyayutsya
ostrymi uglami pryamougol'nogo treugol'nika V'AM', i, sledovatel'no, 1 + =
90°. Analogichno, esli pl. sostavlyaet s pl. 2 ugol ?, a pryamaya AM,
perpendikulyarnaya k o, sostavlyaet s pl. 2 ugol , 2 + = 90°. Iz etogo,
prezhde vsego, sleduet, chto ploskost' obshchego polozheniya, kotoraya dolzhna
sostavlyat' s pl. ugol ,, a s pl. 2 ugol 2, mozhet byt' postroena, lish'
esli 180° >1 +2>90°.
Dejstvitel'no, skladyvaya pochlenno + = 90° i 2 + = 90°, poluchim
1 + 2 + + = 180°, . e. + 2 < 180°, a tak kak + < 90°
(sm. s. 33), 1 + 2 > 90°. Esli vzyat' :1 + 2 = 90°, to poluchitsya
profil'no-proeciruyushchaya ploskost', a esli vzyat' , + 2 = 180°, to poluchitsya
profil'naya ploskost', t. e. v oboih etih sluchayah ploskost' ne obshchego
polozheniya, a chastnogo.
§ 30. POSTROENIE VZAIMNO PERPENDIKULYARNYH PLOSKOSTEJ
Postroenie ploskosti , perpendikulyarnoj k ploskosti o, mozhet byt'
proizvedeno dvumya putyami: 1) pl. provoditsya cherez pryamuyu, perpendikulyarnuyu
k pl. a; 2) pl. provoditsya perpendikulyarno k pryamoj, lezhashchej v pl. os ili
parallel'noj etoj ploskosti. Dlya polucheniya edinstvennogo resheniya trebuyutsya
dopolnitel'nye usloviya.
Na ris. 193 pokazano postroenie ploskosti, perpendikulyarnoj k
ploskosti, zadannoj treugol'nikom CDE. Dopolnitel'nym usloviem zdes' sluzhit
to, chto iskomaya ploskost' dolzhna prohodit' cherez pryamuyu AV. Sledovatel'no,
iskomaya ploskost' opredelyaetsya pryamoj AV i perpendikulyarom k ploskosti
treugol'nika. Dlya provedeniya etogo perpendikulyara k pl. CDE v nej vzyaty
fron-
Ris. 193 Ris. 194
tal' CN i gorizontal' SM: esli B"F" % S"" i V'F'%S'M', to BF%pl. CDE.
Obrazovannaya peresekayushchimisya pryamymi A V i VF ploskost' perpendikulyarna
k pl. CDE, tak kak prohodit cherez perpendikulyar k etoj ploskosti. Na ris.
194 gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' prohodit cherez tochku K
perpendikulyarno k ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC. Zdes'
dopolnitel'nym usloviem yavlya-
77
las' perpendikulyarnost' iskomoj ploskosti srazu k dvum ploskostyam: k
pl. ABC i k pl. ,. Poetomu i otvetom sluzhit gorizontal'no-proeciruyushchaya
ploskost'. A tak kak ona provedena perpendikulyarno k gorizontali AD, t. e. k
pryamoj, prinadlezhashchej pl. ABC, to pl. perpendikulyarna k pl. ABC.
Mozhet li perpendikulyarnost' odnoimennyh sledov ploskostej sluzhit'
priznakom perpendikulyarnosti samih ploskostej?
K ochevidnym sluchayam, kogda eto tak, otnositsya vzaimnaya
perpendikulyarnost' dvuh gorizontal'no-proeciruyushchih ploskostej, u kotoryh
gorizontal'nye sledy vzaimno perpendikulyarny. Takzhe eto imeet mesto pri
vzaimnoj perpendikulyarnosti frontal'nyh sledov frontal'no-proeciruyushchih
ploskostej; eti ploskosti vzaimno perpendikulyarny.
Rassmotrim (ris. 195) gorizontal'no-proeciruyushchuyu ploskost' ,
perpendikulyarnuyu k ploskosti obshchego polozheniya a.
Esli pl. perpendikulyarna k pl. 1 i k pl. , to % h'o kak k linii
peresecheniya pl. i pl. ,. Otsyuda h'o% i, sledovatel'no, h'o % ', kak
k odnoj iz pryamyh v pl. .
Itak, perpendikulyarnost' gorizontal'nyh sledov ploskosti obshchego
polozheniya i gorizontal'no-proeciruyushchej sootvetstvuet vzaimnoj
perpendikulyarnosti etih ploskostej.
Ochevidno, perpendikulyarnost' frontal'nyh sledov frontal'no-proeciruyushchej
ploskosti i ploskosti obshchego polozheniya takzhe sootvetstvuet vzaimnoj
perpendikulyarnosti etih ploskostej.
Ris. 196
No esli odnoimennye sledy dvuh ploskostej obshchego polozheniya vzaimno
perpendikulyarny, to samye ploskosti ne perpendikulyarny mezhdu soboj, tak kak
zdes' ne soblyudaetsya ni odno iz uslovij, izlozhennyh v nachale etogo
paragrafa.
V zaklyuchenie rassmotrim ris. 196. Zdes' imeet mesto sluchaj vzaimnoj
perpendikulyarnosti odnoimennyh sledov v obeih ih parah i perpendikulyarnosti
samih ploskostej: obe ploskosti osobogo (chastnogo) polozheniya -- profil'naya
i profil'no-proeciruyushchaya
§ 31. POSTROENIE PROEKCIJ UGLA MEZHDU PRYAMOJ I PLOSKOSTXYU I MEZHDU DVUMYA
PLOSKOSTYAMI
Esli pryamaya ne perpendikulyarna k ploskosti, to uglom mezhdu pryamoj i
ploskost'yu nazyvayut ugol mezhdu etoj pryamoj i ee proekciej na dannoj
ploskosti.
Ob uglah mezhdu pryamoj i ploskostyami proekcij sm, § 13.
Na ris. 197 izobrazhena pryamaya AV, peresekayushchaya pl, 0 v tochke D; ugol
obrazovan otrezkom BD dannoj pryamoj i proekciej B°D etogo otrezka na pl. 0.
78
Postroenie proekcij ugla mezhdu pryamoj AV i nekotoroj pl. vypolneno na
ris. 198. Pl. zadana ee gorizontal'yu (proekcii R"N" i R'N') i frontal'yu
(proekcii P"F" i PF).
Postroenie vypolneno v sleduyushchem poryadke:
a) najdena tochka D peresecheniya pryamoj AV s pl. o, dlya chego cherez AV
provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' ;
b) iz tochki A proveden perpendikulyar k pl. a;
v) najdena tochka peresecheniya etogo perpendikulyara s pl.' os, dlya chego
provedena gorizontal'no-proeciruyushchaya ploskost' ;
g) cherez tochki D" i E", D' i provedeny pryamye, chem opredelyayutsya
proekcii pryamoj AV na pl. .
Ris. 197 Ris. 198
Ugol A"D"E" predstavlyaet soboj frontal'nuyu proekciyu ugla mezhdu AV i pl.
, a ugol A'D E' -- gorizontal'nuyu proekciyu etogo ugla.
Postroenie proekcii ugla mezhdu pryamoj i ploskost'yu znachitel'no
uproshchaetsya, esli ploskost' ne yavlyaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya, tak kak
v podobnyh sluchayah tochka peresecheniya zadannoj pryamoj s ploskost'yu
opredelyaetsya bez dopolnitel'nyh postroenij.
Dve peresekayushchiesya mezhdu soboj ploskosti obrazuyut chetyre dvugrannyh
ugla. Ogranichivayas' rassmotreniem ugla mezhdu i , pokazannogo na ris. 199,
postroim ego linejnyj ugol, dlya chego peresechem rebro dvugrannogo ugla
ploskost'yu , perpendikulyarnoj k .
Postroenie proekcij linejnogo ugla vypolneno na ris. 200. Pl. os zadana
treugol'nikom , pl. -- treugol'nikom .
a) Postroena pl. % , prohodyashchaya cherez tochku N (pl. zadana ee
frontal'yu NF i gorizontal'yu ).
79
b) Postroena liniya peresecheniya ploskostej i (pryamaya E); tak kak
pl. provedena cherez tochku N pl. o, to nado najti tol'ko tochku E, dlya chego
vzyata vspo-
mogatel'naya ploskost' .
v) Najdena liniya peresecheniya ploskostej i (pryamaya NG); zdes' takzhe
nado bylo najti tol'ko tochku G (vspomogatel'naya pl. ).
Tochka N yavlyaetsya vershinoj iskomogo linejnogo ugla, ugol E'N'G'
predstavlyaet soboj gorizontal'nuyu proekciyu etogo ugla, ugol E'N"G" -- ego
frontal'nuyu proekciyu.
Na ris. 195 postroeny proekcii linejnogo ugla, izmeryayushchego dvugrannyj
ugol, obrazuemyj pl. s ploskost'yu proekcij k,. Tak kak dlya polucheniya
linejnogo ugla nado provesti ploskost', perpendikulyarnuyu k rebru dvugrannogo
ugla, to dlya polucheniya utla naklona pl. k pl. , provedena pl. ,
perpendikulyarnaya k sledu h'o. Analogichno, dlya polucheniya ugla mezhdu pl. i
pl. 2 nado bylo by provesti ploskost' perpendikulyarno k. sledu f"o.
Na ris. 195 frontal'noj proekciej iskomogo ugla yavlyaetsya ugol ""', a
gorizontal'naya proekciya ugla sovpadaet so sledom ". Velichina ugla mozhet
byt' opredelena postroeniem pryamougol'nogo,treugol'nika po katetam "' i
''.
1. Kak raspolagayutsya proekcii perpendikulyara k ploskosti?
2. Kak vzaimno raspolagayutsya gorizontal'nye proekcii perpendikulyara k
ploskosti v ee linii skata, provedennoj cherez tochku peresecheniya
perpendikulyara s ploskost'yu?
3. Kak provesti ploskost', perpendikulyarnuyu k dannoj pryamoj (cherez
tochku na pryamoj i cherez tochku vne pryamoj)?
4. Kak provesti perpendikulyar iz tochki na pryamuyu obshchego polozheniya (pri
pomoshchi ploskosti, perpendikulyarnoj k pryamoj, i pri pomoshchi vvedeniya v sistemu
k,, ya- dopolnitel'noj ploskosti proekcij)?
5. Kak postroit' vzaimno perpendikulyarnye ploskosti?
6. V kakih sluchayah vzaimnaya perpendikulyarnost' odnoj pary odnoimennyh
sledov ploskostej sootvetstvuet vzaimnoj perpendikulyarnosti samih
ploskostej?
7. V kakom sluchae v sisteme 1,2 vzaimnaya perpendikulyarnost'
ploskostej vyrazhaetsya vzaimnoj perpendikulyarnost'yu frontal'nyh sledov? V
kakom sluchae v sisteme ·, l2 vzaimnaya perpendikulyarnost' ploskostej
vyrazhaetsya vzaimnoj perpendikulyarnost'yu gorizontal'nyh sledov?
8. Perpendikulyarny li ploskosti obshchego polozheniya odna k drugoj, esli ih
odnoimennye sledy vzaimno perpendikulyarny?
9. CHto nazyvaetsya uglom mezhdu pryamoj i ploskost'yu i kakie dejstviya nado
vypolnit' dlya postroeniya na chertezhe proekcij etogo ugla?
Kakie dejstviya nado vypolnit' dlya postroeniya na chertezhe proekcij
linejnogo ugla dlya dannogo dvugrannogo?
GLAVA V. SPOSOBY PEREMENY PLOSKOSTEJ PROEKCIJ I VRASHCHENIYA
§ 32. PRIVEDENIE PRYAMYH LINIJ I PLOSKIH FIGUR
V CHASTNYE POLOZHENIYA OTNOSITELXNO PLOSKOSTEJ PROEKCIJ
Zadanie pryamyh linij i ploskih figur v chastnyh polozheniyah otnositel'no
ploskostej proekcij (sm. §§11, 19) znachitel'no uproshchaet postroeniya i
reshenie zadach, a podchas pozvolyaet poluchit' otvet ili neposredstvenno po
dannomu chertezhu, ili pri pomoshchi prostejshih postroenij.
Naprimer, opredelenie rasstoyaniya tochki A do gorizontal'no-proeciruyushchej
ploskosti (ris. 201), zadannoj treugol'nikom BCD, svoditsya k provedeniyu
perpendikulyara iz proekcii A' k proekcii, vyrazhennoj otrezkom B'D'. Iskomoe
rasstoyanie opredelyaetsya otrezkom A'K'.
Izlagaemye v nastoyashchej glave sposoby dayut vozmozhnost' perehodit' ot
obshchih polozhenij pryamyh linij i ploskih figur v sisteme 1, 2 k chastnym v
toj zhe sisteme ili v dopolnitel'noj.
Dostigaetsya eto:
1) vvedeniem dopolnitel'nyh ploskostej proekcij tak, chtoby pryamaya liniya
ili ploskaya figura, ne izmenyaya svoego polozheniya v prostranstve, okazalas' v
kakom-libo chastnom polozhenii v novoj sisteme ploskostej proekcij (sposob
peremeny ploskostej proekcij);
2) izmeneniem polozheniya pryamoj linii ili ploskoj figury putem povorota
vokrug nekotoroj osi tak, chtoby pryamaya ili figura okazalas' v chastnom
polozhenii otnositel'no neizmennoj sistemy ploskostej proekcij (sposob
vrashcheniya i chastnyj sluchaj ego -- sposob sovmeshcheniya).
Vvedenie dopolnitel'nyh 'ploskostej proekcij v sistemu 1; 2
rassmatrivalos' v § 8, a primery postroenij v dopolnitel'nyh sistemah byli
privedeny v §§ 13 i 15. Teper' rassmotrim eto podrobnee.
§ 33. SPOSOB PEREMENY PLOSKOSTEJ PROEKCIJ 1)
Obshchie svedeniya. Sushchnost' sposoba peremeny ploskostej
proekcij2) zaklyuchaetsya v tom, chto polozhenie tochek, linij, ploskih
figur, poverhnostej v prostranstve ostaetsya neizmennym, a sistema 1, 2
dopolnyaetsya ploskostyami, obrazuyushchimi s 1 ili 2, ili mezhdu soboj sistemy
dvuh vzaimno perpendikulyarnyh ploskostej, prinimaemyh za ploskosti proekcij.
Ris. 2011) My primenyaem rasprostranennoe nazvanie "peremena
ploskostej proekcij", no na samom dele ploskosti proekcij i - ostayutsya i
lish' vvodyatsya dopolnitel'nye ploskosti proekcij. ·
2) Vpervye na russkom yazyke sposob peremeny ploskostej
proekcij byl izlozhen I. I. Somovym v ego knige "Nachertatel'naya geometriya",
1862. Zatem etot vopros poluchil bolee podrobnoe i uglublennoe osveshchenie v
trudah N. I. Makarova i V. I. Kurdyumova.
Kazhdaya novaya sistema vybiraetsya tak, chtoby poluchit' polozhenie, naibolee
udobnoe dlya vypolneniya trebuemogo postroeniya. .
V ryade sluchaev dlya polucheniya sistemy ploskostej proekcij, razreshayushchej
zadachu, byvaet dostatochno vvesti tol'ko odnu ploskost', naprimer 3% 1 ili
4%2; pri etom pl. 3 okazhetsya gorizontal'no-proeciruyushchej, a pl. 4
-frontal'no-proeciruyushchej. Esli vvedenie odnoj ploskosti, 3 ili 4, ne
pozvolyaet razreshit' zadachu, to pribegayut k posledovatel'nomu dopolneniyu
osnovnoj sistemy ploskostej proekcij novymi: naprimer, vvodyat ploskost' 3%
1, poluchayut pervuyu novuyu sistemu -- 3, 1, a zatem ot etoj sistemy
perehodyat ko vtoroj novoj sisteme, vvodya nekotoruyu pl. 4% 3. Pri etom pl.
4 okazyvaetsya ploskost'yu obshchego polozheniya v osnovnoj sisteme 1, 2. Takim
obrazom, proizvoditsya posledovatel'nyj perehod ot sistemy 1 2 k sisteme
3, 4 cherez promezhutochnuyu sistemu 3, 1.
Esli "ploskosti 3 i 4 vse zhe ne razreshayut voprosa polnost'yu, mozhno
perejti k tret'ej novoj sisteme, vvodya eshche odnu ploskost', perpendikulyarnuyu
k 4.
Pri postroeniyah v novoj sisteme ploskostej proekcij soblyudayutsya te zhe
usloviya otnositel'no polozheniya zritelya, kotorye byli ustanovleny dlya sistemy
ploskostej 1 i 2 (sm. § 7).
Os' proekcij budem otmechat' zapis'yu v vide drobi, schitaya, chto cherta
lezhit na etoj osi; oboznacheniya ploskostej predstavlyayut soboj kak by
chislitel', i znamenatel' drobi, prichem kazhdaya bukva stavitsya po tu storonu
osi, gde dolzhny razmeshchat'sya sootvetstvuyushchie proekcii.
Vvedenie v sistemu 1, 2 odnoj dopolnitel'noj ploskosti proekcij. V
bol'shinstve sluchaev dopolnitel'naya ploskost', vvodimaya v sistemu 1, 2 v
kachestve ploskosti proekcij, vybiraetsya soglasno kakomu-libo usloviyu,
otvechayushchemu celi postroeniya. Primerom mozhet sluzhit' pl. 3 na ris. 77: tak
kak trebovalos' opredelit' natural'nuyu velichinu otrezka AV i ugol mezhdu AV i
pl. 1, to pl. 3 byla raspolozhena perpendikulyarno k pl. (obrazovalas'
sistema 3, ) i || AV.
Na ris. 202 takzhe vybor pl. 3 podchinen celi -- opredelit' ugol mezhdu
pryamoj CD i ploskost'yu proekcij 2. Poetomu 3% 2 i v to zhe vremya pl. 3
parallel'na pryamoj CD (os' 3/2% C"D"). Krome iskomogo ugla 2 opredelilas'
i natural'naya velichina otrezka CD (ee vyrazhaet proekciya C"'D"').
I v sluchae, izobrazhennom na ris. 203, vybor pl. 3 vpolne zavisit ot
zadaniya: opredelit' natural'nyj vid ABC. Tak kak v dannom sluchae
ploskost', opredelyaemaya treugol'nikom, perpendikulyarna k pl. 2, to dlya ego
izobrazheniya bez iskazheniya nado vvesti v sistemu ,, 2 dopolnitel'nuyu
ploskost', otvechayushchuyu dvum usloviyam: 3 % 2 (dlya obrazovaniya sistemy 2,
z) i z II ABC (chto daet vozmozhnost' izobrazit' ABC bez iskazheniya). Novaya
os' 2/3 provedena parallel'no proekcij A"S"V". Dlya postroeniya proekcii
A'"B'"C"" ot novoj osi otlozheny otrezki, ravnye rasstoyaniyam tochek A', B' i S
ot osi 2/ 1. Natural'nyj vid ABC vyrazhaetsya novoj ego proekciej
A'"B'"C'".
Ris. 202 Ris. 203
82
Primerom postroeniya, v kotorom vybor dopolnitel'noj pl. 3 ne utochnen i
ona mozhet byt' lyuboj gorizontal'no-proeciruyushchej, ili
frontal'no-proeciruyushchej, ili profil'noj ploskost'yu, lish' by udobno bylo
stroit' na nej proekcii, sluzhit ris. 204. Cel' postroeniya - poluchit'
proekcii tochki peresecheniya dvuh profil'nyh pryamyh AB i SO, lezhashchih v obshchej
dlya nih profil'noj ploskosti'). Na ris. 204 pokazana
gorizontal'no-proeciruyushchaya pl. P3 v kachestve dopolnitel'noj ploskosti
proekcij.
Vzaimnoe polozhenie novyh proekcij A'."B'" i C'"D'" opredelyaet vzaimnoe
polozhenie zadannyh pryamyh: v dannom sluchae pryamye mezhdu soboj peresekayutsya.
Proekciej tochki peresecheniya na pl. p3 yavlyaetsya tochka K'"; po nej nahodim
proekcii K' i K".
Vvedenie dopolnitel'noj ploskosti proekcij daet vozmozhnost', naprimer,
preobrazovat' chertezh tak, chto ploskost' obshchego polozheniya, zadannaya v sisteme
', 2, stanovitsya perpendikulyarnoj k dopolnitel'noj ploskosti proekcij.
Primer dan na ris. 205, gde dopolnitel'naya ploskost' p3 provedena tak, chto
ploskost' obshchego polozheniya, zadannaya treugol'nikom ABC, stala
perpendikulyarnoj k pl. 3. Kak zhe eto polucheno?
V treugol'nike LVS provedena gorizontal' AD. Ploskost',
perpendikulyarnaya k AD, perpendikulyarna k ABC i v to zhe vremya k pl. 1, (tak
kak AD% 1). |tomu udovletvoryaet pl. 3, ABC. proeciruetsya na nee v
otrezok V'"S"'. Esli zhe ploskost' obshchego polozheniya zadana sledami (rik 206),
to pl. 3 sleduet provesti perpendi-
') To, chto pryamye AV i SO peresekayutsya, sleduet iz sravneniya polozhenij
tochek A i V, S i D.
83
kulyarno k sledu h' o, t. e. k linii peresecheniya pl. i pl.
1. Tem samym pl. 3 okazhetsya perpendikulyarnoj k pl. 1 (t. e. yavitsya
dopolnitel'noj ploskost'yu proekcij) i k pl. . Teper' nado postroit' sled
pl. na pl. p3. Tak kak %3, to proekciya na pl. 3 lyuboj tochki pl.
poluchitsya na pryamoj peresecheniya pl. s pl. 3, t. e. na slede '". Na ris.
206 takoj tochkoj sluzhit tochka N, vzyataya na slede f"o; postroena ee proekciya
'" (" ="'), cherez kotoruyu, a takzhe cherez tochku peresecheniya sleda
h' o , s os'yu 3/1 prohodit sled '".
Postroeniya na ris. 205 i 206 privodyat k polucheniyu ugla 1 naklona
zadannyh ploskostej k pl. 1. Esli zhe vzyat' pl. 3 (ris. 207),
perpendikulyarnuyu k pl. 2 i k ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC (dlya
chego nado provesti os' 2/3 perpendikulyarno k frontali etoj ploskosti), to
opredelitsya ugol 2 naklona ploskosti ABC k pl. 2. ·
Vvedenie v sistemu 1, 2 dvuh dopolnitel'nyh ploskostej proekcij.
Rassmotrim vvedenie v sistemu 1, 2 dvuh dopolnitel'nyh ploskostej proekcij
na sleduyushchem primere.
Pust' trebuetsya zadannuyu v sisteme 1, 2 pryamuyu obshchego polozheniya AV
raspolozhit' perpendikulyarno k dopolnitel'noj ploskosti proekcij. Mozhno li
dostignut' etogo vvedeniem lish' odnoj dopolnitel'noj ploskosti? Net. Ved'
takaya ploskost', buduchi perpendikulyarnoj k pryamoj obshchego polozheniya, sama v
sisteme 1, 2 okazhetsya ploskost'yu obshchego polozheniya, t. e. ne
perpendikulyarnoj ni k 1, ni k 2. No etim narushitsya uslovie vvedeniya
dopolnitel'nyh ploskostej proekcij (sm. s. 22).
Kak zhe obojti eto prepyatstvie i primenit' vse zhe sposob peremeny
ploskostej proekcij? Nado priderzhivat'sya sleduyushchej shemy: ot sistemy 1, 2
perejti k sisteme 3, 1( v kotoroj 3% 1 i 3 || AV, a zatem perejti k
sisteme 3, 4, gde 4% 3 i 4% AV (ris. 208). Sootvetstvuyushchij chertezh dan
na ris. 209. Delo svoditsya k posledovatel'nomu postroeniyu proekcij A'" i
AIV tochki A, V'" i B|V tochki V. Pryamaya
obshchego polozheniya v sisteme 1, 2 okazalas' perpendikulyarnoj k
dopolnitel'noj ploskosti proekcij 4 s perehodom cherez promezhutochnuyu stadiyu
parallel'nosti po otnosheniyu k pervoj dopolnitel'noj ploskosti 3. Tak kak
pl. 3 raspolozhena parallel'no pryamoj AV, to rasstoyaniya tochek A i V ot pl.
3 ravny mezhdu soboj i vyrazhayutsya, naprimer, otrezkom A'2; vzyav os' 3/4
perpendikulyarno k A'"V'" (chto sootvetstvuet v prostranstve
perpendikulyarnosti pl. 4 k pryamoj AV) i otlozhiv otrezok A IV3,
ravnyj A'2, poluchaem obe proekcii, A IV i BIV, v odnoj
tochke, t. e. to, chto i dolzhno poluchit'sya, esli AV% 4. 
Na ris. 210 dan primer postroeniya natural'nogo vida ABC. Zdes' takzhe
vvedeny dve dopolnitel'nye ploskosti proekcij 3 i 4, no po takoj sheme:
3 % 1 i 3 % ABC, a 4 %3 i 4 || ABC. Zaklyuchitel'naya stadiya postroeniya
svelas' k provedeniyu pl. 4 || pl. ABC (tak kak trebovalos' opredelit'
natural'nyj vid ABC); promezhutochnoj stadiej byla perpendikulyarnost'
dopolnitel'noj ploskosti 3 k pl. ABC. |ta promezhutochnaya stadiya povtoryaet
postroenie, pokazannoe neskol'ko ran'she na ris. 205. V zaklyuchitel'noj stadii
postroeniya na ris. 210 os' 3/ 4 II S'" A'" V"', t. e. pl.
4 provedena parallel'no pl. ABC, chto i privodit k opredeleniyu natural'nogo
vida, vyrazhaemogo proekciej A IV B IV
C IV .
Itak, v etom primere, chtoby poluchit' parallel'nost' ploskosti ABC i
pl. 4, potrebovalos' predvaritel'no raspolozhit' vzaimno perpendikulyarno
ABC i pl. 3. Naoborot, v primere na ris. 209, chtoby poluchit'
perpendikulyarnost' (AV% 4), predvaritel'no potrebovalos' polozhenie
parallel'nosti (AV || 3). 
VOPROSY K §§ 32-33
1. Kakie sposoby preobrazovaniya chertezha rassmatrivayutsya v glave V?
2. V chem zaklyuchaetsya osnovnoe razlichie etih sposobov?
3. V chem zaklyuchaetsya sposob, izvestnyj pod nazvaniem "sposob peremeny
ploskostej proekcij"?
4. Kakoe polozhenie v sisteme pg, l2 dolzhna zanyat' ploskost' proekcij
ya-, vvodimaya dlya obrazovaniya sistemy -k,, ,
5. Kakoe polozhenie v sisteme ,, - zajmet ploskost' proekcij k, pri
posledovatel'nyh perehodah ot ,, - cherez ts,, ts, k ts,, l.,?
6. Kak najti dlinu otrezka pryamoj linii i ugly etoj pryamoj s
ploskostyami ya· i ·,, vvodya dopolnitel'nye ploskosti proekcij?
7. Skol'ko dopolnitel'nyh ploskostej nado vvesti v sistemu ,, p2,
chtoby opredelit' natural'nyj vid figury, ploskost' kotoroj perpendikulyarna k
pl. yac ili k pl. ?
8. Skol'ko i v kakoj posledovatel'nosti nado vvesti dopolnitel'nyh
ploskostej v sistemu it], ya-, chtoby zadannaya pryamaya obshchego polozheniya
okazalas' perpendikulyarnoj k dopolnitel'noj ploskosti proekcij?
' 9. Tot zhe vopros, no v otnoshenii polucheniya natural'nogo vida figury,
ploskost' kotoroj est' ploskost' obshchego polozheniya.
§ 34. OSNOVY SPOSOBA VRASHCHENIYA ')
Pri vrashchenii vokrug nekotoroj nepodvizhnoj pryamoj (os' vrashcheniya) kazhdaya
tochka vrashchaemoj figury peremeshchaetsya v ploskosti, perpendikulyarnoj k osi
vrashcheniya (ploskost' vrashcheniya). Tochka peremeshchaetsya po okruzhnosti, centr
kotoroj nahoditsya v tochke peresecheniya osi s ploskost'yu vrashcheniya (centr
vrashcheniya), a radius okruzhnosti ravnyaetsya rasstoyaniyu ot vrashchaemoj tochki do
centra (eto radius vrashcheniya). Esli kakaya-libo iz tochek dannoj sistemy
nahoditsya na osi vrashcheniya, to pri vrashchenii sistemy eta tochka schitaetsya
nepodvizhnoj.
*) Podrobnoe izlozhenie sposoba vrashcheniya dal v svoe vremya V. I. K u d
yu m o v v knige "Kurs nachertatel'noj geometrii", v otdele, posvyashchennom
ortogonal'nym proekciyam.
Os' vrashcheniya mozhet byt' zadana ili vybrana; v poslednem sluchae vygodno
raspolozhit' os' perpendikulyarno k odnoj iz ploskostej proekcij, tak kak pri
etom uproshchayutsya postroeniya.
Ris. 211
Dejstvitel'no, esli os' vrashcheniya perpendikulyarna, naprimer, k pl. 2,
to ploskost', v kotoroj proishodit vrashchenie tochki, parallel'na pl. 2.
Sledovatel'no, traektoriya tochki proeciruetsya na pl. 2 bez iskazheniya, a na
pl. 1 -- v vide otrezka pryamoj linii (ris. 211).
§ 35. VRASHCHENIE TOCHKI, OTREZKA PRYAMOJ, PLOSKOSTI VOKRUG OSI,
PERPENDIKULYARNOJ K PLOSKOSTI PROEKCIJ
Vrashchenie vokrug zadannoj osi.
1. Pust' tochka A vrashchaetsya vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1 (ris.
212). CHerez tochku A provedena pl. , perpendikulyarnaya k osi vrashcheniya i,
sledovatel'no, parallel'naya pl. 1. Pri vrashchenii tochka A opisyvaet v pl.
okruzhnost' radiusa R; velichina radiusa vyrazhaetsya dlinoj perpendikulyara,
provedennogo iz tochki A na os'. Okruzhnost', opisannaya v prostranstve tochkoj
A, proeciruetsya na pl. 1 bez iskazheniya. Tak kak pl. perpendikulyarna k
pl. 2, to proekcii tochek okruzhnosti na pl. 2 raspolozhatsya na ", t. e. na
pryamoj, perpendikulyarnoj k frontal'noj proekcii osi vrashcheniya. CHertezh dan na
ris. 212 sprava: okruzhnost', opisannaya tochkoj A pri vrashchenii ee vokrug osi,
sproecirovana bez iskazheniya na pl. 1 Iz tochki O', kak iz centra, provedena
okruzhnost' radiusa R = O'A'!"No; na pl. 2 eta okruzhnost' izobrazhena
otrezkom pryamoj, ravnym 2R.
Ris. 212 Ris. 213 Ris. 214
Na ris. 213 izobrazheno vrashchenie tochki A vokrug osi, perpendikulyarnoj k
pl. 2. Okruzhnost', opisannaya tochkoj A, sproecirovana bez iskazheniya na pl.
2. Iz tochki 0", kak iz centra, provedena okruzhnost' radiusa R= O'A'; na pl.
eta okruzhnost' izobrazhena otrezkom pryamoj, ravnym 2R.
86
Iz rassmotreniya ris. 212 i ris. 213 otchetlivo vidno, chto pri vrashchenii
tochki vokrug osi, perpendikulyarnoj k kakoj-nibud' iz ploskostej proekcij,
odna iz proekcij vrashchaemoj tochki peremeshchaetsya po pryamoj, perpendikulyarnoj k
proekcii osi vrashcheniya.
Na ris. 214 pokazan povorot tochki A protiv dvizheniya chasovoj strelki na
ugol vokrug osi, prohodyashchej cherez tochku O perpendikulyarno k pl. 2. Iz
tochki O", kak iz centra, provedena duga radiusa O"A", sootvetstvuyushchaya uglu
i napravleniyu vrashcheniya. Novoe polozhenie frontal'noj proekcii tochki A --
tochka 
.
2. Teper' rassmotrim povorot otrezka_pryamoj linii vokrug zadannoj osi.
Otrezok AV (ris. 215) povernut v polozhenie
. Ochevidno, delo svelos' k povorotu tochek A i V na zadannyj ugol po
zadannomu napravleniyu. Puti peremeshcheniya frontal'nyh proekcij etih tochek
ukazany pryamymi, provedennymi cherez A" i V" perpendikulyarno k frontal'noj
proekcii osi vrashcheniya
Novoe polozhenie gorizontal'noj proekcii tochki A (tochka
) polucheno pri povorote radiusa O'A' na zadannyj ugol . Dlya nahozhdeniya
tochki V' (polozhenie gorizontal'noj proekcii tochki V posle povorota)
provedena duga radiusom O'V"
Ris. 215 Ris. 216
i v etoj duge otlozhena horda V1
, ravnaya horde 1--2; eto sootvetstvuet povorotu tochki V na tot zhe
ugol_.
Dalee, iz tochek
' i
' provedeny linii svyazi do peresecheniya napravleniyami peremeshcheniya
frontal'nyh proekcij; polucheny proekcii
" i
".
Otrezki pryamyh mezhdu tochkami
" i
" i mezhdu tochkami A' i V' opredelyayut novye polozheniya frontal'noj i
gorizontal'noj proekcij otrezka AV posle ego povorota v polozhenie A V.___·
Tak kak v treugol'nikah '' i A' V'O' (ris. 215) storony_V'O' i A'O'
treugol'nika A'V'O' .ravny (kak radiusy) sootvetstvenno storonam ' i
A'O' treugol'nika A' V'O' i ugly, zaklyuchennye mezhdu ukazannymi_storonami,
takzhe ravny, to eti treugol'niki ravny mezhdu soboj. Znachit, A'V1=
A' V', t. e. velichina gorizontal'noj proekcii otrezka, povernutogo vokrug
osi, perpendikulyarnoj k pl. 1( ne izmenyaetsya. Ochevidno, takoe zhe zaklyuchenie
spravedlivo v otnoshenii frontal'noj proekcii otrezka pri ego povorote vokrug
osi, perpendikulyarnoj k pl. 2.
V ravnyh mezhdu soboj treugol'nikah A'V'O' i A' V'O' (ris._215) budut
ravny i ih vysoty, provedennye, naprimer, iz tochki O' na A'V' i A' V'.
Sdelannye vyvody pozvolyayut ustanovit' sleduyushchij sposob postroeniya novyh
proekcij otrezka, vrashchaemogo okolo osi na zadannyj ugol (ris. 216). CHerez
tochku O' provodim pryamuyu, perpendikulyarnuyu k A'V1; tochku S'
(peresechenie perpendiku-
87
lyara s A'V') povertyvaem na zadannyj ugol. Provedya cherez tochku S"
(novoe polozhenie tochki S') pryamuyu, perpendikulyarnuyu k radiusu O' S',
poluchaem napravlenie novogo polozheniya gorizontal'noj proekcii otrezka.
Tak_kak otrezki S' A' i S' V1 ne_izmenyayut svoej velichiny, to,
otkladyvaya ot tochki S' otrezki S' A' = S' A' i S' V' = S'V', nahodim
novoe polozhenie A'V'_proekcii vsego otrezka. Nahozhdenie novogo polozheniya
frontal'noj proekcii A"V" ostaetsya prezhnim.
Ukazannym sposobom mozhno ne tol'ko povernut' otrezok na zadannyj ugol,
no i opredelit' ugol, na kotoryj nado povernut' zadannyj otrezok, chtoby
pridat' emu nekotoroe trebuemoe polozhenie (naprimer, raspolozhit' parallel'no
ploskosti 2).
3. Povorot ploskosti vokrug zadannoj osi svoditsya k povorotu
prinadlezhashchih ej tochek i pryamyh linij.
Primer dan na ris. 217: treugol'nik AVS, opredelyayushchij ploskost',
povernut v polozhenie A B C soglasno zadannym uglu i napravleniyu,
ukazannomu strelkoj. Postroenie podobno pokazannomu na ris. 215: tam byli
povernuty dve tochki A i V, zdes' zhe tri tochki -- vershiny A, V i S, a
sledovatel'no, i vsya figura. Treugol'niki A'V'S i A' V1 S' ravny
mezhdu soboj po postroeniyu: pri osi, perpendikulyarnoj k pl. 1,
gorizontal'naya proekciya velichiny svoej ne izmenyaet. |to
Ris. 217
sootvetstvuet tomu, chto ugol naklona pl. ABC po otnosheniyu k pl. 1 ne
izmenyaetsya, ;esli os' vrashcheniya perpendikulyarna k pl. 1. Ochevidno, pri
povorote vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 2, ne izmenyaetsya ugol naklona
vrashchaemoj ploskosti k pl. 2 i sohranyaetsya velichina frontal'nyh proekcij.
Pri vrashchenii, ploskosti, vyrazhennoj ee sledami, obychno povorachivayut
odin iz sledov i gorizontal' (ili frontal') ploskosti. Primer dan na ris.
218; ploskost' obshchego polozheniya povernuta na ugol vokrug osi,
perpendikulyarnoj k pl. 1. Na slede h'0. vzyata tochka, blizhajshaya k osi
vrashcheniya,-- tochka A' (O' A' % h'0 )podobno tomu, kak byla na ris. 216 vzyata
tochka S'. Zatem tochka A' povernuta na ugol . CHerez poluchennuyu tochku A'
provedena pryamaya liniya, perpendikulyarnaya k O' A'; eto gorizontal'nyj sled
ploskosti v ee novom polozhenii.
Dlya nahozhdeniya frontal'nogo sleda ploskosti posle ee povorota
dostatochno najti, pomimo najdennoj tochki H na osi h, eshche odnu tochku,
prinadlezhashchuyu sledu. V pl. vzyata gorizontal' N'F', N"F", peresekayushchaya os'
vrashcheniya (N'F1 prohodit cherez gorizontal'nuyu proekciyu osi
vrashcheniya). Konechno, mozhno vzyat' gorizontal' i ne peresekayushchuyu os' vrashcheniya.
Tak kak gorizontal' i pri novom polozhenii ploskosti ostanetsya parallel'noj
ee gorizontal'nomu sledu, to nado provesti cherez O' pryamuyu, parallel'nuyu
h'0 ; poluchitsya novoe polozhenie gori-
88
zontal'noj proekcii gorizontali. Frontal'naya ee proekciya ne izmenit
svoego napravleniya, a poetomu legko najti novyj frontal'nyj sled gorizontali
-- tochku N". Teper' mozhno postroit' frontal'nyj sled (f"o).
Vrashchenie vokrug vybrannoj osn. V ryade sluchaev os' vrashcheniya mozhet byt'
vybrana. Pri etom, esli os' vrashcheniya vybrat' prohodyashchej cherez odin iz koncov
otrezka, to postroenie uprostitsya, tak kak tochka, cherez kotoruyu prohodit
os', budet "nepodvizhnoj" i dlya povorota otrezka nado postroit' novoe
polozhenie proekcij tol'ko odnoj tochki -- drugogo konca.
Na ris. 219 pokazan sluchaj, kogda dlya povorota otrezka AV vybrana os'
vrashcheniya, perpendikulyarnaya k pl. 1 i prohodyashchaya cherez tochku A. Pri
povorote vokrug takoj osi mozhno, naprimer, raspolozhit' otrezok parallel'no
pl. 2.
Ris.. 219 Ris. 221
Imenno takoe polozhenie pokazano na ris. 219. Gorizontal'naya proekciya
otrezka v svoem novom polozhenii perpendikulyarna k linii svyazi A'A". Najdya
tochku V" i postroiv otrezok A" V", poluchaem frontal'nuyu proekciyu
otrezka AV v ego novom polozhenii. Proekciya A" V" vyrazhaet dlinu otrezka AV.
Ugol A" V"V" raven uglu mezhdu pryamoj AV i pl. 1.
Esli postavit' pered soboj cel' -- opredelit' ugol naklona pryamoj
obshchego polozheniya k pl. 2, to nado provesti os' vrashcheniya perpendikulyarno k
pl. 2 i povernut' pryamuyu tak, chtoby ona stala parallel'noj pl. .
Predostavlyaem chitatelyu vypolnit' takoe postroenie.
Esli pri povorote ploskosti, vyrazhennoj sledami, mozhno vybrat' os'
vrashcheniya, to ee celesoobrazno raspolozhit' v ploskosti proekcij; postroeniya v
etom sluchae uproshchayutsya. Primer dan na ris. 220. Polozhim, chto os' vrashcheniya
dolzhna byt' perpendikulyarna k pl. 1. Esli ee vzyat', v pl. 2, to na slede
f"o , okazyvaetsya "nepodvizhnaya" tochka O (v peresechenii s os'yu vrashcheniya).
Posle povorota ploskosti frontal'nyj sled dolzhen projti cherez etu tochku.
Sledovatel'no, najdya polozhenie gorizontal'nogo sleda (h'0) posle povorota,
nado provesti sled f"o cherez tochku H i cherez tochku O". Po sravneniyu s ris.
218 uproshchenie sostoit v tom, chto otpala gorizontal'. Ona ponadobilas' by v
sluchae "uhoda" tochki H" za predely chertezha; no v analogichnom sluchae na ris.
218 prishlos' by vzyat' dve vspomogatel'nye linii.
Na ris. 221 ploskost' obshchego polozheniya povernuta v polozhenie
gorizontal'no-proeciruyushchej; pri etom opredelilsya ugol naklona pl. k pl.
2. Esli vzyat' os' vrashcheniya, perpendikulyarnuyu k pl. 1 to mozhno pl.
postavit' v polozhenie frontal'no-proeciruyushchej, opredeliv pri etom ugol
naklona ploskosti k pl. 1.
Sravnivaya mezhdu soboj ploskosti do i posle povorota, zamechaem, chto
ugol, obrazuemyj sledami f"o i h'0 na chertezhe, voobshche izmenyaetsya.
89
Esli predstavit' sebe krugovoj konus s vershinoj v tochke O i s
osnovaniem na ris. 220 v pl. 1' a na ris. 221 v pl. 2 i .kasatel'nuyu k
konusu pl. , to povorot pl. vokrug osi vrashcheniya, sovpadayushchej s os'yu
konusa, predstavlyaet soboj kak by "obkatku" konusa kasatel'noj k nemu
ploskost'yu.
1. V chem zaklyuchaetsya sposob vrashcheniya?
2. CHto takoe ploskost' vrashcheniya tochki i kak ona raspolagaetsya po
otnosheniyu k osi vrashcheniya?
3. CHto takoe centr vrashcheniya tochki pri povorote ee vokrug nekotoroj osi?
4. CHto takoe radius vrashcheniya tochki?
Posleduyushchie voprosy otnosyatsya k vrashcheniyu vokrug osi, perpevdikulyarnoj k
ploskosti proekcij.
5. Kak peremeshchayutsya proekcii tochki?
6. Kakaya iz proekcij otrezka pryamoj linii ne izmenyaet svoej velichiny?
7. Kak osushchestvlyaetsya povorot ploskosti: a) ne vyrazhennoj sledami, 6)
vyrazhennoj sledami?
8. V kakom sluchae ne izmenyaetsya pri vrashchenii naklon pryamoj linii po
otnosheniyu: a) k pl. ", b) k pl. -?
9. Takoj zhe vopros otnositel'no ploskosti 3.
10. Mozhno li putem povorota opredelit' dlinu otrezka pryamoj linii i
ugol ee naklona k pl. , i . ..?
11. Mozhno li putem povorota ploskosti opredelit' ugol ee naklona k pl.
a, i k pl. ya-?
Kakoe vygodnoe polozhenie mozhno pridat' osi vrashcheniya pri povorote: 1)
otrezka pryamoj, 2) ploskosti, vyrazhennoj sledami?
§ 36. PRIMENENIE SPOSOBA VRASHCHENIYA BEZ UKAZANIYA NA CHERTEZHE OSEJ
VRASHCHENIYA, PERPENDIKULYARNYH K PLOSKOSTI , ILI ,
Ran'she (sm. § 35) my videli, chto esli vrashchat' otrezok pryamoj linii ili
ploskuyu figuru vokrug osi, perpendikulyarnoj k ploskosti proekcij, to
proekciya na etu ploskost' ne izmenyaetsya ni po vidu, ni po velichine --
menyaetsya lish' polozhenie etoj proekcii otnositel'no osi proekcij. CHto zhe
kasaetsya drugoj proekcii -- na ploskosti, parallel'noj osi vrashcheniya, to vse
tochki etoj proekcii (za isklyucheniem, konechno, proekcij tochek, raspolozhennyh
na osi vrashcheniya) peremeshchayutsya po pryamym, parallel'nym osi proekcij, i
proekciya voobshche izmenyaetsya po forme i po velichine. Pol'zuyas' etimi
svojstvami, mozhno primenit' sposob vrashcheniya, ne zadavayas' izobrazheniem osi
vrashcheniya i ne ustanavlivaya velichiny radiusa vrashcheniya; dostatochno lish', ne
izmenyaya vida i velichiny odnoj iz proekcij rassmatrivaemoj figury,
peremestit' etu proekciyu v trebuemoe polozhenie, a zatem postroit' druguyu
proekciyu tak, kak.ukazano vyshe.
Naprimer, zadavshis' cel'yu povernut' otrezok AV pryamoj obshchego polozheniya
(ris. 222) tak, chtoby on okazalsya perpendikulyarnym k pl. , nachinaem s
povorota vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1 do polozheniya, parallel'nogo
pl. 2, no etu os' na chertezhe ne ukazyvaem. Tak kak pri takom povorote
gorizontal'naya proekciya otrezka ne izmenyaet svoej velichiny, to proekciyu
A' V' berem ravnoj A'V' i raspolagaem parallel'no osi h, chto sootvetstvuet
parallel'nosti samogo otrezka pl. 2.
Najdya sootvetstvuyushchuyu frontal'nuyu proekciyu otrezka ( A" V") vypolnyaem
vtoroj povorot, teper' vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 2, do iskomogo
polozheniya -- perpendikulyarnosti AV k pl, . I etu os' na chertezhe ne
izobrazhaem. Raspolagaem proekciyu A"V", ravnuyu A"V", perpendikulyarno k osi h.
Gorizontal'naya proekciya otrezka vyrazhaetsya tochkoj s dvojnym oboznacheniem --
A' V'.
Itak, vypolnennye operacii sootvetstvuyut povorotam vokrug osej,
perpendikulyarnyh k ploskostyam proekcij, no osi eti ne ukazany. Konechno, ih
mozhno najti.
90
Naprimer, esli provesti pryamye -- odnu cherez tochki A' i A', druguyu
cherez V' i V', zatem provesti perpendikulyary v seredinah otrezkov A'A' i
V'V', to poluchennaya tochka peresecheniya etih perpendikulyarov i budet
gorizontal'noj proekciej osi vrashcheniya, perpendikulyarnoj k pl. ,. No, kak
vidno, neobhodimosti v etom net.
Na ris. 223 pokazany dve stadii povorota ABC, raspolozhennogo v
ploskosti obshchego polozheniya, s cel'yu polucheniya natural'nogo vida etogo
treugol'nika. Dejstvitel'no, on v poslednem svoem polozhenii parallelen pl.
1 i, sledovatel'no, proekciya
'
'
' predstavlyaet soboj natural'nyj vid treugol'nika. No chtoby poluchit'
takoe polozhenie, nado predvaritel'no povernut' ploskost' obshchego
Ris. 222 Ris. 223
polozheniya, v kotoroj raspolozhen treugol'nik, tak, chtoby eta ploskost'
okazalas' perpendikulyarnoj k pl. 2. A dlya etogo nado vzyat' gorizontal' v
ABC i povernut' ee do perpendikulyarnosti k pl. 2; togda i treugol'nik,
soderzhashchij etu gorizontal', okazhetsya perpendikulyarnym k pl. 2. Tak kak
postroenie proizvoditsya bez ukazaniya osej vrashcheniya, to proekciyu
'
'
' raspolagaem proizvol'no, no tak, chtoby gorizontal'
okazalas' perpendikulyarnoj k pl..p2; dlya etogo proekciyu gorizontali
'
' napravlyaem parallel'no hotya by linii svyazi A"A' (chertezh vypolnen bez
osi proekcij). Pri etom povorote podrazumevaetsya os' vrashcheniya,
perpendikulyarnaya k pl. ; poetomu gorizontal'naya proekciya treugol'nika
sohranyaet svoj vid i velichinu (
'
'
'= A'V'S'), izmenyaetsya lish' ee polozhenie. Tak, tochki A, V i S pri takom
povorote peremeshchayutsya v ploskostyah, parallel'nyh pl. 1; proekcii
",
" i
" nahodyatsya na gorizontal'nyh liniyah svyazi A"
", V"
" i S"
".
Pri vtorom povorote, privodyashchem treugol'nik v parallel'noe pl. 1
polozhenie, podrazumevaetsya os' vrashcheniya, perpendikulyarnaya k pl. 2. Teper'
frontal'naya proekciya pri_povorote sohranyaet vid i velichinu, poluchennye vo
vtoroj stadii povorota, tochki
,
i
peremeshchayutsya v ploskostyah, parallel'nyh pl. 2, proekcii
',
' i
'_nahodyatsya na gorizontal'nyh liniyah svyazi s tochkami
',
',
'.
Proekciya
'
'
' peredaet natural'nyj vid i natural'nuyu velichinu treugol'nika ABC.
Pri takom sposobe, vo-pervyh, neskol'ko uproshchayutsya postroeniya i,
vo-vtoryh, ne proishodit nalozheniya proekcij odnoj na druguyu, odnako chertezh
zanimaet bol'shuyu ploshchad'1).
Eshche odin primer vrashcheniya bez izobrazheniya osej dan na ris. 224 i 225. Na
etih risunkah pokazany posledovatel'nyj povorot kuba i vyvedenie ego v
polozhenie, kogda diagonal' AV raspolozhitsya perpendikulyarno k pl. 2.
') Dlya rassmotrennogo sluchaya vrashcheniya, a imenno bez izobrazheniya osej
vrashcheniya, vstrechaetsya nazvanie "sposob ploskoparallel'nogo peremeshcheniya".
Ris. 224 Ris. 225
Snachala vrashcheniem vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1,, kub
postavlen tak, chto diagonal' AB okazalas' v profil'noj ploskosti (ris. 224).
Iz etogo polozheniya kub pereveden v tret'e, pri kotorom diagonal' AV
okazyvaetsya perpendikulyarnoj pl. 2 (ris. 225). |to dostignuto povorotom
kuba vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. z 1)·
§ 37. VRASHCHENIE TOCHKI, OTREZKA PRYAMOJ, PLOSKOSTI VOKRUG OSI,
PARALLELXNOJ PLOSKOSTI PROEKCIJ, I VOKRUG SLEDA PLOSKOSTI
Povorot ploskoj figury vokrug ee gorizontali. Dlya opredeleniya formy i
razmerov ploskoj figury mozhno ee povernut' vokrug prinadlezhashchej ej
gorizontali tak, chtoby v rezul'tate vrashcheniya figura raspolozhilas'
parallel'no ploskosti 1.
Rassmotrim snachala povorot tochki (ris. 226). Tochka V vrashchaetsya vokrug
nekotoroj gorizontal'no raspolozhennoj osi ON", opisyvaya dugu okruzhnosti,
lezhashchuyu v pl. . |ta ploskost' perpendikulyarna k osi vrashcheniya i,
sledovatel'no, yavlyaetsya gorizontal'no-proeciruyushchej; poetomu gorizontal'naya
proekciya okruzhnosti, opisyvaemoj tochkoj V, dolzhna nahodit'sya na '.
Esli radius_OV zajmet polozhenie, parallel'noe pl. 1, to proekciya
O'
' okazhetsya ravnoj OV, t. e. ravnoj natural'noj velichine radiusa OV.
Teper' rassmotrim ris. 227. Na nem pokazan povorot treugol'nika ABC. V
kachestve osi vrashcheniya vzyata gorizontal' AD. Tochka A, raspolozhennaya na osi
Ris. 226 Ris. 228
') Poluchayushchayasya pri etom proekciya kuba na pl. 2 (ris, 225) sovpadaet s
izobrazheniem kuba v pryamougol'noj izometricheskoj proekcii, izuchaemoj v kurse
chercheniya srednej shkoly.
92
vrashcheniya, ostanetsya na meste. Sledovatel'no, dlya izobrazheniya
gorizontal'noj proekcii treugol'nika posle povorota nado najti polozhenie
proekcij drugih dvuh ego vershin. Opuskaya iz tochki V'
perpendikulyar na A'D', nahodim gorizontal'nuyu proekciyu centra vrashcheniya --
tochku O' i gorizontal'nuyu proekciyu radiusa vrashcheniya tochki V -- otrezok
O'V', a zatem frontal'nuyu proekciyu centra vrashcheniya -- tochku O" i
frontal'nuyu proekciyu radiusa vrashcheniya tochki V -- otrezok O"V". Teper' nado
opredelit' natural'nuyu velichinu radiusa vrashcheniya tochki V. Dlya etogo primenen
sposob, ukazannyj v § 13, t. e. postroenie pryamougol'nogo treugol'nika. Po
katetam O'V' i V'V* = V"1 " stroim pryamougol'nyj treugol'nik
O'V'V*, gipotenuza ego ravna radiusu vrashcheniya tochki V.
Last-modified: Wed, 12 Nov 2003 22:07:59 GMT