что черта лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы числитель, и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону оси, где должны размещаться соответствующие проекции. Введение в систему 1, 2 одной дополнительной плоскости проекций. В большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему  1, 2 в качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию, отвечающему цели построения. Примером может служить пл. 3 на рис. 77: так как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и пл. 1, то пл. 3 была расположена перпендикулярно к пл.  (образовалась система 3, ) и || АВ. На рис. 202 также выбор пл. 3 подчинен цели -- определить угол между прямой CD и плоскостью проекций 2. Поэтому 3%  2 и в то же время пл. 3 параллельна прямой CD (ось 3/2% C"D"). Кроме искомого угла 2 определилась и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"'). И в случае, изображенном на рис. 203, выбор пл. 3 вполне зависит от задания: определить натуральный вид  ABC. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к пл. 2, то для его изображения без искажения надо ввести в систему ,, 2 дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: 3 % 2 (для образования системы 2, з) и з II ABC (что дает возможность изобразить  ABC без искажения). Новая ось 2/3 проведена параллельно проекций А"С"В". Для построения проекции A'"B'"C"" от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек A', B' и С от оси 2/ 1. Натуральный вид  ABC выражается новой его проекцией A'"B'"C'". 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 202 Рис. 203 82 Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. 3 не уточнен и она может быть любой горизонтально-проецирующей, или фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения - получить проекции точки пересечения двух профильных прямых AB и СО, лежащих в общей для них профильной плоскости'). На рис. 204 показана горизонтально-проецирующая пл. П3 в качестве дополнительной плоскости проекций. Взаимное положение новых проекций A'."B'" и C'"D'" определяет взаимное положение заданных прямых: в данном случае прямые между собой пересекаются. Проекцией точки пересечения на пл. п3 является точка К'"; по ней находим проекции К' и К". 0x01 graphic Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например, преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе ь, 2, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций. Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость п3 проведена так, что плоскость общего положения, заданная треугольником ABC, стала перпендикулярной к пл. 3. Как же это получено? В треугольнике ЛВС проведена горизонталь AD. Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к ABC и в то же время к пл. 1, (так как AD% 1). Этому удовлетворяет пл. 3,  ABC. проецируется на нее в отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рик 206), то пл. 3 следует провести перпенди- ') То, что прямые АВ и СО пересекаются, следует из сравнения положений точек A и В, С и D. 83 кулярно к следу h' о, т. е. к линии пересечения пл.  и пл. 1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. е. явится дополнительной плоскостью проекций) и к пл. . Теперь надо построить след пл.  на пл. п3. Так как %3, то проекция на пл. 3 любой точки пл.  получится на прямой пересечения пл.  с пл. 3, т. е. на следе '". На рис. 206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"о; построена ее проекция '" (" ="'), через которую, а также через точку пересечения следа h' о , с осью 3/1 проходит след '". Построения на рис. 205 и 206 приводят к получению угла 1 наклона заданных плоскостей к пл. 1. Если же взять пл. 3 (рис. 207), перпендикулярную к пл. 2 и к плоскости, заданной треугольником ABC (для чего надо провести ось 2/3 перпендикулярно к фронтали этой плоскости), то определится угол 2 наклона плоскости ABC к пл. 2. ╥ Введение в систему 1, 2 двух дополнительных плоскостей проекций. Рассмотрим введение в систему 1, 2 двух дополнительных плоскостей проекций на следующем примере. Пусть требуется заданную в системе  1, 2 прямую общего положения АВ расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций. Можно ли достигнуть этого введением лишь одной дополнительной плоскости? Нет. Ведь такая плоскость, будучи перпендикулярной к прямой общего положения, сама в системе 1, 2 окажется плоскостью общего положения, т. е. не перпендикулярной ни к 1, ни к 2. Но этим нарушится условие введения дополнительных плоскостей проекций (см. с. 22). Как же обойти это препятствие и применить все же способ перемены плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от системы 1, 2 перейти к системе 3, 1( в которой 3% 1 и 3 || АВ, а затем перейти к системе 3, 4, где 4% 3 и 4% АВ (рис. 208). Соответствующий чертеж дан на рис. 209. Дело сводится к последовательному построению проекций А'" и АIV точки А, В'" и B|V точки В. Прямая общего положения в системе  1, 2 оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций 4 с переходом через промежуточную стадию параллельности по отношению к первой дополнительной плоскости 3. Так как пл. 3 расположена параллельно прямой АВ, то расстояния точек А и В от пл. 3 равны между собой и выражаются, например, отрезком А'2; взяв ось 3/4 перпендикулярно к А'"В'" (что соответствует в пространстве перпендикулярности пл. 4 к прямой АВ) и отложив отрезок А IV3, равный А'2, получаем обе проекции, А IV и BIV, в одной точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ% 4. 0x01 graphic На рис. 210 дан пример построения натурального вида  ABC. Здесь также введены две дополнительные плоскости проекций 3 и 4, но по такой схеме:  3 %  1 и 3 % ABC, а 4 %3 и 4 || ABC. Заключительная стадия построения свелась к проведению пл. 4 || пл. ABC (так как требовалось определить натуральный вид  ABC); промежуточной стадией была перпендикулярность дополнительной плоскости 3 к пл. ABC. Эта промежуточная стадия повторяет построение, показанное несколько раньше на рис. 205. В заключительной стадии построения на рис. 210 ось  3/  4 II С'" А'" В"', т. е. пл.  4 проведена параллельно пл. ABC, что и приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией A IV B IV C IV . Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости  ABC и пл. 4, потребовалось предварительно расположить взаимно перпендикулярно  ABC и пл. 3. Наоборот, в примере на рис. 209, чтобы получить перпендикулярность (АВ% 4), предварительно потребовалось положение параллельности (АВ || 3). 0x01 graphic ВОПРОСЫ К ╖╖ 32-33 1. Какие способы преобразования чертежа рассматриваются в главе V? 2. В чем заключается основное различие этих способов? 3. В чем заключается способ, известный под названием "способ перемены плоскостей проекций"? 4. Какое положение в системе пг, л2 должна занять плоскость проекций я-, вводимая для образования системы -к,, , 5. Какое положение в системе ,, - займет плоскость проекций к, при последовательных переходах от ,, - через тс,, тс, к тс,, л.,? 6. Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с плоскостями я╥ и ╥,, вводя дополнительные плоскости проекций? 7. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему ,, п2, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к пл. яц или к пл. ? 8. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему it], я-, чтобы заданная прямая общего положения оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций? ' 9. Тот же вопрос, но в отношении получения натурального вида фигуры, плоскость которой есть плоскость общего положения. ╖ 34. ОСНОВЫ СПОСОБА ВРАЩЕНИЯ ') При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (центр вращения), а радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо из точек данной системы находится на оси вращения, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. *) Подробное изложение способа вращения дал в свое время В. И. К у  д ю м о в в книге "Курс начертательной геометрии", в отделе, посвященном ортогональным проекциям. Ось вращения может быть задана или выбрана; в последнем случае выгодно расположить ось перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения. 0x01 graphic Рис. 211 Действительно, если ось вращения перпендикулярна, например, к пл. 2, то плоскость, в которой происходит вращение точки, параллельна пл. 2. Следовательно, траектория точки проецируется на пл.  2 без искажения, а на пл. 1 -- в виде отрезка прямой линии (рис. 211). ╖ 35. ВРАЩЕНИЕ ТОЧКИ, ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ОСИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ Вращение вокруг заданной оси. 1. Пусть точка А вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис. 212). Через точку А проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и, следовательно, параллельная пл.  1. При вращении точка А описывает в пл.  окружность радиуса R; величина радиуса выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на пл.  1 без искажения. Так как пл.  перпендикулярна к пл. 2, то проекции точек окружности на пл. 2 расположатся на ", т. е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции оси вращения. Чертеж дан на рис. 212 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси, спроецирована без искажения на пл. 1 Из точки О', как из центра, проведена окружность радиуса R = О'А'!"No; на пл.  2 эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R. 0x01 graphic Рис. 212 Рис. 213 Рис. 214 На рис. 213 изображено вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на пл. 2. Из точки 0", как из центра, проведена окружность радиуса R= О'А'; на пл.  эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R. 86 Из рассмотрения рис. 212 и рис. 213 отчетливо видно, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения. На рис. 214 показан поворот точки A против движения часовой стрелки на угол  вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к пл.  2. Из точки О", как из центра, проведена дуга радиуса О"А", соответствующая углу  и направлению вращения. Новое положение фронтальной проекции точки А -- точка 0x01 graphic . 2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси. Отрезок АВ (рис. 215) повернут в положение0x01 graphic . Очевидно, дело свелось к повороту точек А и В на заданный угол  по заданному направлению. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек указаны прямыми, проведенными через А" и В" перпендикулярно к фронтальной проекции оси вращения Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка 0x01 graphic ) получено при повороте радиуса О'А' на заданный угол . Для нахождения точки В' (положение горизонтальной проекции точки В после поворота) проведена дуга радиусом О'В" 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 215 Рис. 216 и в этой дуге отложена хорда В1 0x01 graphic , равная хорде 1--2; это соответствует повороту точки В на тот же угол_. Далее, из точек 0x01 graphic ' и 0x01 graphic ' проведены линии связи до пересечения направлениями перемещения фронтальных проекций; получены проекции 0x01 graphic " и 0x01 graphic ". Отрезки прямых между точками 0x01 graphic " и 0x01 graphic " и между точками А' и В' определяют новые положения фронтальной и горизонтальной проекций отрезка АВ после его поворота в положение АВ.___╥ Так как в треугольниках '' и А'В'О' (рис. 215) стороны_В'О' и А'О' треугольника А'В'О' .равны (как радиусы) соответственно сторонам ' и А'О' треугольника А'В'О' и углы, заключенные между указанными_сторонами, также равны, то эти треугольники равны между собой. Значит, А'В1= А'В', т. е. величина горизонтальной проекции отрезка, повернутого вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1( не изменяется. Очевидно, такое же заключение справедливо в отношении фронтальной проекции отрезка при его повороте вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2. В равных между собой треугольниках А'В'О' и А'В'О' (рис._215) будут равны и их высоты, проведенные, например, из точки О' на А'В' и А'В'. Сделанные выводы позволяют установить следующий способ построения новых проекций отрезка, вращаемого около оси на заданный угол (рис. 216). Через точку О' проводим прямую, перпендикулярную к А'В1; точку С' (пересечение перпендику- 87 ляра с А'В') повертываем на заданный угол. Проведя через точку С" (новое положение точки С') прямую, перпендикулярную к радиусу О'С', получаем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка. Так_как отрезки С' А' и С' В1 не_изменяют своей величины, то, откладывая от точки С' отрезки С'А' = С' А' и С'В' = С'В', находим новое положение А'В'_проекции всего отрезка. Нахождение нового положения фронтальной проекции А"В" остается прежним. Указанным способом можно не только повернуть отрезок на заданный угол, но и определить угол, на который надо повернуть заданный отрезок, чтобы придать ему некоторое требуемое положение (например, расположить параллельно плоскости 2). 3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту принадлежащих ей точек и прямых линий. Пример дан на рис. 217: треугольник АВС, определяющий плоскость, повернут в положение ABC согласно заданным углу  и направлению, указанному стрелкой. Построение подобно показанному на рис. 215: там были повернуты две точки А и В, здесь же три точки -- вершины А, В и С, а следовательно, и вся фигура. Треугольники А'В'С и А'В1С' равны между собой по построению: при оси, перпендикулярной к пл.  1, горизонтальная проекция величины своей не изменяет. Это 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 217 соответствует тому, что угол наклона пл. ABC по отношению к пл.  1 не изменяется, ;если ось вращения перпендикулярна к пл.  1. Очевидно, при повороте вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2, не изменяется угол наклона вращаемой плоскости к пл. 2 и сохраняется величина фронтальных проекций. При вращении, плоскости, выраженной ее следами, обычно поворачивают один из следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. Пример дан на рис. 218; плоскость общего положения  повернута на угол  вокруг оси, перпендикулярной к пл.  1. На следе h'0. взята точка, ближайшая к оси вращения,-- точка А' (О' А' % h'0 )подобно тому, как была на рис. 216 взята точка С'. Затем точка А' повернута на угол . Через полученную точку А' проведена прямая линия, перпендикулярная к О'А'; это горизонтальный след плоскости в ее новом положении. Для нахождения фронтального следа плоскости после ее поворота достаточно найти, помимо найденной точки Х на оси х, еще одну точку, принадлежащую следу. В пл.  взята горизонталь N'F', N"F", пересекающая ось вращения (N'F1 проходит через горизонтальную проекцию оси вращения). Конечно, можно взять горизонталь и не пересекающую ось вращения. Так как горизонталь и при новом положении плоскости останется параллельной ее горизонтальному следу, то надо провести через О' прямую, параллельную h'0 ; получится новое положение гори- 88 зонтальной проекции горизонтали. Фронтальная ее проекция не изменит своего направления, а поэтому легко найти новый фронтальный след горизонтали -- точку N". Теперь можно построить фронтальный след (f"o). Вращение вокруг выбранной осн. В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упростится, так как точка, через которую проходит ось, будет "неподвижной" и для поворота отрезка надо построить новое положение проекций только одной точки -- другого конца. На рис. 219 показан случай, когда для поворота отрезка АВ выбрана ось вращения, перпендикулярная к пл.  1 и проходящая через точку А. При повороте вокруг такой оси можно, например, расположить отрезок параллельно пл. 2. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис.. 219 Рис. 221 Именно такое положение показано на рис. 219. Горизонтальная проекция отрезка в своем новом положении перпендикулярна к линии связи А'А". Найдя точку В" и построив отрезок А"В", получаем фронтальную проекцию отрезка АВ в его новом положении. Проекция А"В" выражает длину отрезка АВ. Угол А"В"В" равен углу между прямой АВ и пл.  1. Если поставить перед собой цель -- определить угол наклона прямой общего положения к пл. 2, то надо провести ось вращения перпендикулярно к пл. 2 и повернуть прямую так, чтобы она стала параллельной пл. . Предоставляем читателю выполнить такое построение. Если при повороте плоскости, выраженной следами, можно выбрать ось вращения, то ее целесообразно расположить в плоскости проекций; построения в этом случае упрощаются. Пример дан на рис. 220. Положим, что ось вращения должна быть перпендикулярна к пл.  1. Если ее взять, в пл. 2, то на следе f"o , оказывается "неподвижная" точка О (в пересечении с осью вращения). После поворота плоскости фронтальный след должен пройти через эту точку. Следовательно, найдя положение горизонтального следа (h'0) после поворота, надо провести след f"o через точку Х и через точку О". По сравнению с рис. 218 упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в случае "ухода" точки Х" за пределы чертежа; но в аналогичном случае на рис. 218 пришлось бы взять две вспомогательные линии. На рис. 221 плоскость общего положения повернута в положение горизонтально-проецирующей; при этом определился угол наклона пл.  к пл. 2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл.  1 то можно пл.  поставить в положение фронтально-проецирующей, определив при этом угол наклона плоскости к пл.  1. Сравнивая между собой плоскости до и после поворота, замечаем, что угол, образуемый следами f"o и h'0 на чертеже, вообще изменяется. 89 Если представить себе круговой конус с вершиной в точке О и с основанием на рис. 220 в пл. 1ь а на рис. 221 в пл.  2 и .касательную к конусу пл. , то поворот пл.  вокруг оси вращения, совпадающей с осью конуса, представляет собой как бы "обкатку" конуса касательной к нему плоскостью. ВОПРОСЫ К ╖ 34-35 1. В чем заключается способ вращения? 2. Что такое плоскость вращения точки и как она располагается по отношению к оси вращения? 3. Что такое центр вращения точки при повороте ее вокруг некоторой оси? 4. Что такое радиус вращения точки? Последующие вопросы относятся к вращению вокруг оси, перпевдикулярной к плоскости проекций. 5. Как перемещаются проекции точки? 6. Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей величины? 7. Как осуществляется поворот плоскости: а) не выраженной следами, 6) выраженной следами? 8. В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой линии по отношению: а) к пл. ", б) к пл. -? 9. Такой же вопрос относительно плоскости 3. 10. Можно ли путем поворота определить длину отрезка прямой линии и угол ее наклона к пл. , и . ..? 11. Можно ли путем поворота плоскости определить угол ее наклона к пл. а, и к пл. я-? Какое выгодное положение можно придать оси вращения при повороте: 1) отрезка прямой, 2) плоскости, выраженной следами? ╖ 36. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ВРАЩЕНИЯ БЕЗ УКАЗАНИЯ НА ЧЕРТЕЖЕ ОСЕЙ ВРАЩЕНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ , ИЛИ , Раньше (см. ╖ 35) мы видели, что если вращать отрезок прямой линии или плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине -- меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Что же касается другой проекции -- на плоскости, параллельной оси вращения, то все точки этой проекции (за исключением, конечно, проекций точек, расположенных на оси вращения) перемещаются по прямым, параллельным оси проекций, и проекция вообще изменяется по форме и по величине. Пользуясь этими свойствами, можно применить способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения и не устанавливая величины радиуса вращения; достаточно лишь, не изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры, переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую проекцию так, как.указано выше. Например, задавшись целью повернуть отрезок АВ прямой общего положения (рис. 222) так, чтобы он оказался перпендикулярным к пл.  , начинаем с поворота вокруг оси, перпендикулярной к пл.  1 до положения, параллельного пл.  2, но эту ось на чертеже не указываем. Так как при таком повороте горизонтальная проекция отрезка не изменяет своей величины, то проекцию А'В' берем равной А'В' и располагаем параллельно оси х, что соответствует параллельности самого отрезка пл. 2. Найдя соответствующую фронтальную проекцию отрезка (А"В") выполняем второй поворот, теперь вокруг оси, перпендикулярной к пл.  2, до искомого положения -- перпендикулярности АВ к пл, . И эту ось на чертеже не изображаем. Располагаем проекцию А"В", равную А"В", перпендикулярно к оси х. Горизонтальная проекция отрезка выражается точкой с двойным обозначением -- А'В'. Итак, выполненные операции соответствуют поворотам вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций, но оси эти не указаны. Конечно, их можно найти. 90 Например, если провести прямые -- одну через точки А' и А', другую через В' и В', затем провести перпендикуляры в серединах отрезков А'А' и В'В', то полученная точка пересечения этих перпендикуляров и будет горизонтальной проекцией оси вращения, перпендикулярной к пл. ,. Но, как видно, необходимости в этом нет. На рис. 223 показаны две стадии поворота  ABC, расположенного в плоскости общего положения, с целью получения натурального вида этого треугольника. Действительно, он в последнем своем положении параллелен пл.  1 и, следовательно, проекция 0x01 graphic '0x01 graphic '0x01 graphic ' представляет собой натуральный вид треугольника. Но чтобы получить такое положение, надо предварительно повернуть плоскость общего 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 222 Рис. 223 положения, в которой расположен треугольник, так, чтобы эта плоскость оказалась перпендикулярной к пл. 2. А для этого надо взять горизонталь в  ABC и повернуть ее до перпендикулярности к пл. 2; тогда и треугольник, содержащий эту горизонталь, окажется перпендикулярным к пл.  2. Так как построение производится без указания осей вращения, то проекцию 0x01 graphic '0x01 graphic '0x01 graphic ' располагаем произвольно, но так, чтобы горизонталь оказалась перпендикулярной к пл..п2; для этого проекцию горизонтали 0x01 graphic '0x01 graphic ' направляем параллельно хотя бы линии связи А"А' (чертеж выполнен без оси проекций). При этом повороте подразумевается ось вращения, перпендикулярная к пл. ; поэтому горизонтальная проекция треугольника сохраняет свой вид и величину (0x01 graphic '0x01 graphic '0x01 graphic '= А'В'С'), изменяется лишь ее положение. Так, точки А, В и С при таком повороте перемещаются в плоскостях, параллельных пл. 1; проекции 0x01 graphic ", 0x01 graphic " и 0x01 graphic " находятся на горизонтальных линиях связи А"0x01 graphic ", В"0x01 graphic " и С"0x01 graphic ". При втором повороте, приводящем треугольник в параллельное пл.  1 положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к пл. 2. Теперь фронтальная проекция при_повороте сохраняет вид и величину, полученные во второй стадии поворота, точки 0x01 graphic , 0x01 graphic и 0x01 graphic перемещаются в плоскостях, параллельных пл. 2, проекции 0x01 graphic ',0x01 graphic ' и 0x01 graphic '_находятся на горизонтальных линиях связи с точками 0x01 graphic ',0x01 graphic ',0x01 graphic '. Проекция 0x01 graphic '0x01 graphic '0x01 graphic ' передает натуральный вид и натуральную величину треугольника ABC. При таком способе, во-первых, несколько упрощаются построения и, во-вторых, не происходит наложения проекций одной на другую, однако чертеж занимает большую площадь1). Еще один пример вращения без изображения осей дан на рис. 224 и 225. На этих рисунках показаны последовательный поворот куба и выведение его в положение, когда диагональ АВ расположится перпендикулярно к пл. 2. ') Для рассмотренного случая вращения, а именно без изображения осей вращения, встречается название "способ плоскопараллельного перемещения". 91 0x01 graphic Рис. 224 Рис. 225 Сначала вращением вокруг оси, перпендикулярной к пл.  1,, куб поставлен так, что диагональ AB оказалась в профильной плоскости (рис. 224). Из этого положения куб переведен в третье, при котором диагональ АВ оказывается перпендикулярной  пл. 2 (рис. 225). Это достигнуто поворотом куба вокруг оси, перпендикулярной к пл. з 1)╥ ╖ 37. ВРАЩЕНИЕ ТОЧКИ, ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ, И ВОКРУГ СЛЕДА ПЛОСКОСТИ Поворот плоской фигуры вокруг ее горизонтали. Для определения формы и размеров плоской фигуры можно ее повернуть вокруг принадлежащей ей горизонтали так, чтобы в результате вращения фигура расположилась параллельно плоскости  1. Рассмотрим сначала поворот точки (рис. 226). Точка В вращается вокруг некоторой горизонтально расположенной оси ON", описывая дугу окружности, лежащую в пл. . Эта плоскость перпендикулярна к оси вращения и, следовательно, является горизонтально-проецирующей; поэтому горизонтальная проекция окружности, описываемой точкой В, должна находиться на '. Если радиус_ОВ займет положение, параллельное пл. 1, то проекция О'0x01 graphic ' окажется равной ОВ, т. е. равной натуральной величине радиуса ОВ. Теперь рассмотрим рис. 227. На нем показан поворот треугольника ABC. В качестве оси вращения взята горизонталь AD. Точка А, расположенная на оси 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 226 Рис. 228 ') Получающаяся при этом проекция куба на пл. 2 (рис, 225) совпадает с изображением куба в прямоугольной изометрической проекции, изучаемой в курсе черчения средней школы. 92 вращения, останется на месте. Следовательно, для изображения горизонтальной проекции треугольника после поворота надо найти положение проекций других двух его вершин. Опуская из точки В' перпендикуляр на A'D', находим горизонтальную проекцию центра вращения -- точку О' и горизонтальную проекцию радиуса вращения точки В -- отрезок О'В', а затем фронтальную проекцию центра вращения -- точку О" и фронтальную проекцию радиуса вращения точки В -- отрезок О"В". Теперь надо определить натуральную величину радиуса вращения точки В. Для этого применен способ, указанный в ╖ 13, т. е. построение прямоугольного треугольника. По катетам О'В' и В'В* = В"1 " строим прямоугольный треугольник О'В'В*, гипотенуза его равна радиусу вращения точки В.