idi-font-size: 12.0pt;line-height:150%;mso-ansi-language:EN-US'>P), назовем их прагматическими множествами или сигнатурами. Упорядоченная тройка å = <S; F; P> называется сигнатурой, если выполняются следующие условия: а) множества S и P есть выполнимые множества; б) множество F акцидентальное для множеств S и P. Как видно, эта схема исчерпывает структуру конструктивной теории множеств, показавшей себя таким образом.

Разъясним это подробнее, построив алфавит языка морфологии, формализующего язык логики отношений. Метафорическое изложение языка морфологии мы имеем, в частности, в статье Гете "Природа".

1) E_s₁, E_s₂, E_s₃ (переменная величина) -- синтаксисы;

2) C₁, C₂, C₃ (постоянная величина) -- грамматика;

3) B₁, B₁, B₃ (морфизмы) --семиотики;

4) m₁, m₂, m₃ (модельные множества) -- семантики;

5) изоморфизм -- материальная импликация,

самоморфизм -- строгая импликация,

автоморфизм -- дедуктивная импликация,

эндоморфизм -- индуктивная импликация

сигнатура -- субстантивация

6) П (индекс) -- S, T (топология) -- P

Укажем на подобные контроверзы у Ч. Пирса ("горизонтальная регрессия бесконечности в отличие от вертикальной", теорема Пирса в топологии)

7) технические знаки "и, л" - " , E

уместно здесь вспомнить замечания А. Эйнштейна, Н. Бора, Гейденберга о "простоте" формул. Таблицы здесь -- правила употребления квазикванторов n, Т.

Добавим также, что доказательство собственной непротиворечивости в морфологии достигается формализуемыми в ней же средствами, поскольку это доказательство, будучи формализмом, интерпретируется адекватно в интерпретируемом языком морфологии языке логики отношений, снимающих в свою очередь обвинение в неполноте, интерпретируя языки логики предикатов, пустой формализации по отношению к нему, как логики понятия. Сделаем также замечание о том, что полнота системы доказывается той системой, которую она формализует, ее же непротиворечивость доказывается системой, которая формализует ее самое. Система морфологии в этом смысле система конъюнктивная, подобно тому, как система логики отношений импликативна, т. е. является логикой понятия, интерпретирующего импликативную конструктивную теории множеств, ее формальный язык по отношению к ней, как к речи. В собственном смысле, существуют не различные логики, математики, физики, не различные науки со стороны их точности и гуманитарности, а различные, различных измерений теории множеств, что впрочем, не слишком усложняет и в отношении них (этих теорем дело), поскольку множество прежде всего является понятием и, следовательно лишь его интерпретирующий, т. е. интерпретаций интерпретаций, конечно, как мы покажем далее, показав коррелируемость этих измерений (при этом следует помнить, что, объективистски выражаясь, субстантивация множества есть ничто; безусловно, здесь следует упомянуть русского философа Соловьева, его "Критику отвлеченных начал") множество в этом смысле есть вспомогательное средство, формализующееся в системе и доказывающее ее непротиворечивость референцией интерпретации, экспликации, экспликатом которого является понятие. Рассмотрим карнаповскую теорию функции С, разработанную им в "Логических основаниях вероятностей", и p-систему, предложенную Карнапом позднее в "Континууме индуктивных методов" в зависимости от того, существует или не существует непрерывный переход от одного описания состояния к другому, имеем мы дело с непрерывным или прерывным многообразием, отдельные описания состояния называются в первом случае индексами, или геделевыми номерами, во втором -- референциальными точками, общим понятием, предпосланным топологами, изучающей свойства геометрических объектов, сохраняющихся при непрерывных преобразованиях.

Как известно, конечное число независимых одночленных предикатов и число независимых индивидных констант имеет язык логики Карнапа. Определим их соответственно через референциальные точки и геделевские номера. Образуемые из исходных предикатов Q-предикаты

Q_i (x) = (Б) P₁(x) & (Б) P₂ (x)& .... & (Б) P_R (x),

где (Б) P_j (x) означает P_j (x) или ~ P_j (x), рассматриваются нами как сумма топологий или некоторая теория множеств определенного измерения n (геделевского номера, то есть референтативный характер множеств, данных одновременно и заданного типа.

Конъюнкции из Q-предикатов, называются тогда конструктивной теорией множеств, теорией определенного референтативного типа, т. е. измерительный характер множеств. Назовем их поэтому суммой теологий.

S = Q_ji (α₁) & Q_j₂ (α₂) & ... & Q_in (α_n)

Областью рациональности уравнения Q_i (x) будет совокупность рациональных функций коэффициентов R (p₁, p₂, p₃).

Для уравнений Q_i (x)=0 в той же области рациональности можно найти уравнение S = 0 такое, что корни данных уравнений будут выражаться друг через друга рациональностью. Уравнение S (α) в этом случае называется нормальным. Подстановки корней нормального уравнения образуют совершенную группу с простым делителем p, имея в виду иерархию типов чисел, снимаемую таким образом.

Всякое рациональное соотношение между корнями уравнения и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы.

Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения в радикалах состоит в разрешимости этой группы, условие разрешимости будет соответствовать уравнению.

Такова сущность программы трансфинитизма, прагматики в качестве теоретической дисциплины, крайней точкой зрения которой является кантианство, единственно предполагающее существование формализмов в речи. Как ясно, у программы трансфинитизима существует лишь одна крайняя точка зрения, и поэтому она может быть выражена также концепцией понимания в физике, сформулированной А. Эйнштейном в виде тезиса о реальности общих понятий, принципа дополнительности Н. Бора.

Совершенная группа с простым делителем избирается еще и потому, что подстановки корней нормального уравнения S (α) = 0 не исчерпывают G_p и образуют, точнее. Ей образуется также подстановки корней уравнения для всех логических связок языка логики предикатов и формализующих его языков, в чем и состоит необходимое и достаточное условие формализации G_p выражает, таким образом, субстантивацию связки "есть" и служит исходным словом в алгорифме.

Трансфинитизм выражает тот факт, что объектом в подлинном смысле любой науки любой специализацией, является не опыт, не эксперимент, не уравнение, а математические понятия группы.

На вопрос "что исследуется, что изучается?" следует, таким образом, отвечать "понятие группы", трансфинитизм есть финитизм логики понятия. Математические суждения, высказываемые в этой главе получат демонстративное доказательство (так сказать, "вокальный жест" (Мид), идуктивного доказательства) в следующей главе, здесь же они принимаются в виду допущения понятийной структуры, предшествующей образованию понятия "величины", требующей имя величины. Прагматики -- это ловцы душ ученых, они всесильны там, где бессилен ученый и индифферентны там, где всесилен ученый. Собственно говоря, эта глава посвящена схеме и схематизированию, понятию схемы, которое было подвергнуто и незаслуженно подвергается и поныне самой резкой критике, как в области философии, так и в области науки, а между тем, смысл, требующий образования понятия схемы весьма глубок и лежит у истоков чистого теоретического мышления, и состоит он, на наш взгляд, в том, что выражает и начинает прагматику мышления, будучи ее нетематизируемым основанием, иначе говоря, план для самого мышления выглядит конструирование мышлением прагматической системе, в каждой его десигнируемой ситуации, фазе, этапе, образе, десигнируемой теперь уже посредством самого понятия, его собственной финитности. Таким пониманием схематизма мы обязаны, по-видимому, Шеллингу. Оно дает нам право вместо термина "схема систем" употреблять термин "конфигурация". Значением термина "конфигурация" тогда будет выступать финитизм понятия арифметической формулы, поскольку трансфинитивно арифметическая формула представляет из себя любую комбинацию символов.

+, -, х, :, (,), =, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Понятно, что мы приступаем здесь к изложению трансфинитивной логики, поскольку ясно, что таких формул бесконечно много, но множество их счетно: существует соответствие между ними и множеством n натуральных чисел.

Чтобы установить это соответствие, начнем с того, что "закодируем" символы:

+ - х : ( ) = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

(под каждым символом стоит его код). Далее, чтобы закодироваь цепочку символов, например

4+7=11

образуем число

2¹² З 3¹ З 5¹⁵ З 7⁷ З 11⁹ З 13⁹,

где 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... - последовательность простых чисел, а показатели степени 12, 1, 15, 7, 9, 9 -- коды символов 4, +, 7, =, 1, 1, образующих нашу цепочку. Таким способом можно поставить каждой цепочке в соответствие ее код, который является натуральным числом. Поскольку каждое число единственным образом разлагается на простые множители, цепочку можно восстановить по ее коду. Допустим, например, что кодом является число 720. Разложим его на множители: 720 = 2⁴ З 3² З 5¹

Числа 4, 2, 1 являются кодами символов: -, +.

Значит, 720 есть код цепочки: -, +.

Такие коды называют геделевскими номерами.

Нашей задачей, таким образом, является построение такой цепочки символов и кодирующейся таким образом, чтобы каждый код цепочки давал осмысленное выражение, выполнимую цепочку символов. Такова истина логики формального языка, трансфинитивной логики языка, имеющего самостоятельное, независимое существование.

Первый отсюда вывод -- это тот, что геделевский номер есть некоторая формула. Формула геделевского номера есть доказательство, устанавливающее существование произвольно больших простых чисел, простой и изящный результат Евклида:

n = p! + 1

Геделевский номер, код, не делится ни на какое простое число, вплоть до p. Поэтому либо между p и n должно быть какое-нибудь простое число, либо простым является само n. И то и другое противоречит предположению, что p - наибольшее простое число.

Таким образом, конструирование числа конструктивной теорией множеств операция проектирования конструктивной теории множеств, есть индексация (индексирование). Геделев номер, или индекс, имеет таким образом, следующую дефиницию: индекс тем выше, чем выше порядок множества и тем ниже, чем выше мощность множества и определяется по формуле (т. е. конструируется)

_Ord

n = ----

^Card

Ясно, что n -- целое число, таким образом, определены степени свободы, схема конструирования множества с заданной структурой. В конструктивной теории множеств рассматриваются, следовательно, только множества такой структуры. Фундаментальной теоремой КТМ является теорема об однопорядковости множества такой структуры квадрату, аналогу теоремы о равномощности бесконечного множества своему квадрату и в этом смысле правилом вывода формальной системы арифметики, полной и непротиворечивой, доказательством теоремы Ферма в качестве доказательства непротиворечивости системы формализуемыми в ней средствами.

Теорема об однопорядковости множества тонкой структуры своему квадрату есть теория субстантивного алгорифма, т. к. является правилом построения числа, свободным от соотнесения с самим собой, в основе теории субстантивного алгорифма, измерение и равенство множества с самим собой, а не графическое тождество и подобие. Теорему об однопорядковости множества тонкой структуры своему квадрату мы можем назвать иначе теоремой об абстрактности инерции, или теоремой об отвлеченностях. Докажем эту теорему.

Пусть {x_α : d К A} -- произвольное семейство множеств x_α и π₂{x_α :