"</sup>о , на чертеже лежат на одной прЯмой.
‚споминаЯ схему совмещениЯ плоскостей проекций (рис. 15 на с. 17),  заметим,
что  следы h<sup>'</sup>о и f<sup>"</sup>о, образуют равные углы с осью  
не только на чертеже, но  и в пространстве. Љак показано на рис. 122 справа,
из равенства прЯмоугольных треугольников ЉЉ'• и Љ"Љ'• следует, что угол KX
Љ' равен углу ' ", . е. след  f<sup>"</sup>о -  образует  . с  осью 
такой же угол, как и след h<sup>'</sup>о .
     Ћтсюда пл.  образует равные углы  с плоскостЯми  1 и 2. —асть пл. ,
находЯщаЯсЯ  в  первой четверти,  содержит в  себе  натуральный  угол  между
h<sup>'</sup>о и f<sup>"</sup>о (в нашем примере -- тупой).
     Ќа рис. 122 показано также построение третьего следа плоскости (р0) по
заданным двум  ее  следам h'0,  и f",.‚следствие  того,  что  следы  h'0a  и
f<sup>"</sup>о лежат  на одной  прЯмой, точка Z,  сливаетсЯ  с точкой “ и,
следовательно, точка “1  оказываетсЯ на  таком же расстоЯнии от точки Ћ, на
каком находитсЯ точка Z,; поэтому след р"'о, наклонен  под углом 45° к оси
.у (и  к оси  z); именно такой наклон профильного следа будет  получатьсЯ во
всех случаЯх построениЯ
     <img width="110" height="169" alt="0x01 graphic" src="gordon-113.png">
     ђис.121    <img    width="323"    height="120"    alt="0x01    graphic"
src="gordon-114.png">

     ђис 122
     плоскости,  у которой  на  чертеже горизонтальный и  фронтальный  следы
лежат на одной прЯмой, пересекающей ось  под острым углом.
     ’акаЯ плоскость  проходит через  перпендикулЯр  к оси х, составлЯющий с
пл. 2 (или  с  1  )  угол  45°.  Ђ  так  как  этот  перпендикулЯр ЯвлЯетсЯ
перпендикулЯром  к биссекторной  плоскости двугранных углов, смежных с углом
1  2 ,  то рассматриваемаЯ плоскость может  быть определена как плоскость,
перпендикулЯрнаЯ  к биссекторной  плоскости  второй  и  четвертой  четвертей
пространства ')

     ')  €нтересующихсЯ  более  подробным изложением отсылаем  к  предыдущим
изданиЯм этой книги.


     50


     2. …сли плоскости перпендикулЯрны лишь  к одной из плоскостей проекций,
то возможны три случаЯ частных положений.
     а) Џлоскость перпендикулЯрна к горизонтальной плоскости проекций. ’акие
плоскости называютсЯ горизонтально-проецирующими.
     Џример дан  на рис. 123: плоскость  задана проекциЯми треугольника ABC.
ѓоризонтальнаЯ проекциЯ  представлЯет  собой  отрезок  прЯмой линии. “гол 2
равен углу между заданной плоскостью и пл. 2.
     Ќа рис. 124 дан пример изображениЯ горизонтально-проецирующей плоскости
ее следами: слева дано наглЯдное изображение, в середине -- чертеж в системе
     <img width="92" height="115" alt="0x01 graphic" src="gordon-115.png">
     <img width="213" height="98" alt="0x01 graphic" src="gordon-116.png">

     ђис. 123
     1, 2 с  указанием  оси    и следов f<sup>"</sup>о и h<sup>'</sup>о
справа -- без указаниЯ оси  и, следовательно, следа f<sup>"</sup>о .
     ”ронтальный  след  перпендикулЯрен  к  пл.  1  и  к  оси  проекций  х.
ѓоризонтальный  же след  может  составлЯть с осью проекций любой угол;  этот
угол  служит линейным  углом  двугранного  между  горизонтально-проецирующей
плоскостью и пл. 2.
     “гол между  hо  и fо  , а также  угол  между h0 и ро в пространстве
равен 90°.
     …сли  в  горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, то  ее
горизонтальнаЯ  проекциЯ должна быть на  горизонтальном следе плоскости. ќто
относитсЯ    и     к     любой     системе     точек,    расположенных     в
горизонтально-проецирующей  плоскости, будь то  прЯмые линии, плоские кривые
или фигуры.
     ‘лед hо" ' можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.
     б)  Џлоскость перпендикулЯрна к фронтальной  плоскости проекций.  ’акие
плоскости называютсЯ фронтально-проецирующими.
     Џример дан на рис. 125: плоскость задана  проекциЯми  треугольника DEF.
”ронтальнаЯ проекциЯ представлЯет собой отрезок прЯмой линии. “гол 1  равен
углу между DEF и пл. 1.
     <img width="89" height="107" alt="0x01 graphic" src="gordon-117.png">
     <img width="215" height="94" alt="0x01 graphic" src="gordon-118.png">


     ђис. 125 ђис. 126
     Ќа рис. 126  слева дано наглЯдное изображение, в середине -- .чертеж  в
системе 1, 2 указанием оси проекций,  справа -- без указаниЯ оси проекций.
ѓоризонтальный след перпендикулЯрен к пл. 2 и к  оси  проекций. ”ронтальный
же след мо-


     51


     жет составлЯть  с осью проекций любой угол; этот угол  служит  линейным
углом двугранного между фронтально-проецирующей плоскостью и пл. 2.
     “гол между fо и hоy в пространстве равен 90°,
     …сли  в  фронтально-проецирующей  плоскости  расположена  точка, то  ее
фронтальнаЯ  проекциЯ  должна  быть  на  фронтальном  следе  плоскости.  ќто
относитсЯ  и  к  любой системе  точек.  ‘лед  fо  "  "  (рис.  126)  можно
рассматривать как фронтальную проекцию пл. .
     в)  Џлоскость  перпендикулЯрна  к профильной плоскости проекций.  ’акие
плоскости называютсЯ профильно-проецирующими.
     Ќа  рис.  127 дан  пример  профильно-проецирующей плоскости:  плоскость
задана проекциЯми треугольника  ABC. ѓоризонталь этой плоскости  расположена
перпендикулЯрно  к  пл.  3:  проекции  "D<sup>"</sup>  и  Ђ'D  '   взаимно
параллельны.     ќто    служит    признаком    того,    что    перед    нами
профильно-проецирующаЯ плоскость, а не плоскость общего  положениЯ (сравните
с рис. 112).°
     ЏрофильнаЯ проекциЯ треугольника  ABC представлЯет собой отрезок прЯмой
линии. “гол 1 между этим отрезком и линией свЯзи ‘"‘" равен углу наклона
     <img width="119" height="112" alt="0x01 graphic" src="gordon-119.png">
     <img width="205" height="87" alt="0x01 graphic" src="gordon-120.png">

     ђис. 128
     плоскости треугольника к пл. 1 , а угол наклона плоскости треугольника
к пл.·2 равен 90° - 1.
     Ќа рис.  128 дан пример изображениЯ профильно-проецирующей плоскости ее
следами.
     ѓоризонтальный и фронтальный следы этой  плоскости параллельны оси  и,
следовательно, параллельны между собой.
     €зображеннаЯ   на   рис.   107   справа    плоскость   также   ЯвлЯетсЯ
профильно-проецирующей.

     Џлоскость,   перпендикулЯрнаЯ   к   одной   из    плоскостей   проекций
(горизонтально-,   фронтально-   или   профильно-проецирующаЯ),   может,   в
частности,  проходить  через ось  проекций.  ’акую  плоскость  дополнительно
называют осевой плоскостью.
     ђассмотрим,  например,  осевую профильно-проецирующую  плоскость  (рис.
129). ‘леды ее f 0 и h0 сливаютсЯ с осью х; в этом случае необходимо иметь
еще  третий  ее  след  р0д  "  '"  или   хотЯ  бы  положение  одной  точки,
принадлежащей этой плоскости и не лежащей на оси .х.
     <img width="237" height="80" alt="0x01 graphic" src="gordon-121.png">

     ђис. 129
     ЋсеваЯ  плоскость  может  быть  биссекторной;  что значит,  что  осеваЯ
плоскость делит двугранный угол, образованный плоскостЯми проекций, пополам.


     52


     Љак можно  изобразить профильно-проецирующую  плоскость  на чертеже без
осей проекций? ’ак, как дано на рис. 127.  „ругой пример представлен на рис.
130:  плоскость задана двумЯ пересекающимисЯ  прЯмыми, из которых одна  (AB)
перпендикулЯрна к пл. 3, а другаЯ занимает произвольное положение.

     3. …сли плоскости перпендикулЯрны к двум  плоскостЯм проекций, то также
возможны три случаЯ частных положений<sup>1</sup>).
     <img width="68" height="130" alt="0x01 graphic" src="gordon-122.png">
     <img width="89" height="110" alt="0x01 graphic" src="gordon-123.png">
     <img width="158" height="87" alt="0x01 graphic" src="gordon-124.png">

     ђис. 132
     <img width="86" height="81" alt="0x01 graphic" src="gordon-125.png">
     <img width="194" height="113" alt="0x01 graphic" src="gordon-126.png">

     ђис. 133
     <img width="100" height="70" alt="0x01 graphic" src="gordon-127.png">
     <img width="207" height="98" alt="0x01 graphic" src="gordon-128.png">

     ђис. 135 ђис. 136
     а) Џлоскость перпендикулЯрна к плоскостЯм 2  и  3, т.. е. параллельна
плоскости 1 . ’акие плоскости называютсЯ горизонтальными.
     Ќа  рис. 131 дан пример  горизонтальной  плоскости, заданной проекциЯми
треугольника ABC. Ќа рис. 132  справа изображена горизонтальнаЯ плоскость  в
системе  1  ,  2  при помощи  фронтального следа.  ‘лед (f0t  = ")  можно
рассматривать как фронтальную проекцию плоскости.
     б) Џлоскость  перпендикулЯрна к плоскостЯм 1 и  3,  т. е. параллельна
плоскости 2. ’акие плоскости называютсЯ фронтальными.
     Ќа  рис.  133  дан  пример фронтальной  плоскости,  заданной проекциЯми
треугольника CDE.

     ') „лЯ  таких плоскостей встречаетсЯ общее название "плоскости уровнЯ".
Ћднако   это   название    отвечает    обычному   представлению   только   о
горизонтальности.


     53


     помощи  следа  (hо" '), который можно рассматривать как проекцию этой
плоскости на пл. 1 .
     в)  Џлоскость  перпендикулЯрна  к плоскостЯм 1 и 2, т. е. параллельна
плоскости 3. ’акие плоскости называютсЯ профильными.
     Џример изображениЯ в системе 2, 3 дан на  рис.  135: плоскость задана
проекциЯми треугольника EFG.
     Ќа рис. 136  дан пример изображениЯ в системе 1, 2 при помощи следов.
Љаждый   из   них  можно   рассматривать  как   проекцию   плоскости     на
соответствующей плоскости  проекций.  ЏрофильнаЯ  плоскость сочетает в  себе
свойства фронтально- и горизонтально-проецирующей плоскостей.

        ‚ЋЏђЋ‘› Љ §19

     1. Љак располагаютсЯ в системе 1, 2 , 3 плоскость общего положениЯ и
плоскости, называемые проецирующими?
     2.       —то       такое       фронтально-проецирующаЯ       плоскость,
горизонтально-проецирующаЯ, профильно-проецирующаЯ?
     3.  Љак  определить, ЯвлЯетсЯ ли плоскость, заданнаЯ  в системе  ,, Я-
пересекающимисЯ или параллельными  прЯмыми, плоскостью  общего положениЯ или
профильно-проецирующей?
     4.      —то     представлЯет     собой      горизонтальнаЯ     проекциЯ
горизонтально-проецирующей плоскости и фронтальной плоскости?
     5.    ’от    же    вопрос    в    отношении     фронтальной    проекции
фронтально-проецирующей плоскости и горизонтальной плоскости.
     6.  ѓде  располагаетсЯ  горизонтальнаЯ  проекциЯ  любой  системы точек,
расположенной в горизонтально-проецирующей или фронтальной плоскости?
     7.  ѓде  располагаетсЯ  фронтальнаЯ  проекциЯ  любой   системы   точек,
расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости?
     —ему  равен  в  пространстве  угол между  фронтальным  и горизонтальным
следами горизонтально- и фронтально-проецирующей плоскостей?

        § 20. ЏђЋ‚…„…Ќ€… ЏђЋ…–€ђ“ћ™…‰ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’€ —…ђ…‡</b> ЏђџЊ“ћ <b>‹€Ќ€ћ

     ‚  дальнейшем  изложении  будут  иметь  место  случаи,  когда  придетсЯ
проводить
     проецирующую плоскость через прЯмую линию согласно какому-либо условию.
—ерез  прЯмую общего положениЯ можно  провести  любую  из  таких плоскостей.
Џримеры даны на рис. 137. —ерез заданную в системе 1, 2 прЯмую, проходЯщую
через  точку Љ, проведены фронтально-проецирующаЯ  плоскость, выраженнаЯ  ее
фронтальной  проекцией ", горизонтально-проецирующаЯ  плоскость, выраженнаЯ
ее  горизонтальной   проекцией  ',  и   профильно-проецирующаЯ   плоскость,
определЯемаЯ, помимо заданной прЯмой ЂЉ, еще прЯмой  Ђ‚,  перпендикулЯрной к
пл. 3.
     <img width="176" height="86" alt="0x01 graphic" src="gordon-129.png">
     <img width="119" height="94" alt="0x01 graphic" src="gordon-130.png">


     Ќа  рис. 138 плоскости,  проведенные  через  заданную  прЯмую, выражены
следами. Џоложение оси х или задаетсЯ, или может быть выбрано.


     54

     Ќо  через  прЯмую  общего положениЯ нельзЯ провести ни фронтальную,  ни
горизонтальную, ни  профильную плоскость.  ’акие  плоскости можно  проводить
лишь через соответственно расположенные прЯмые:  через горизонтальную прЯмую
про-

     <img width="288" height="78" alt="0x01 graphic" src="gordon-131.png">
     <img width="78" height="68" alt="0x01 graphic" src="gordon-132.png">

     ђис. 139

     вести   горизонтальную   плоскость,,   через   фронтальную  прЯмую   --
фронтальную плоскость, через профильную прЯмую --  профильную плоскость.  Ќа
рис.   139   изображены   горизонтальнаЯ  плоскость  ,   проходЯщаЯ   через
горизонтальную  прЯмую Ђ‚, и фронтальнаЯ пл. , проходЯщаЯ через фронтальную
прЯмую CD.

        § 21. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€… ЏђЋ…Љ–€‰ Џ‹Ћ‘Љ€• ”€ѓ“ђ

     Џостроение проекций плоских фигур (т. е. фигур, все точки которых лежат
в одной  плоскости,  например, квадрата, круга, эллипса  и т. д.) сводитсЯ к
построению  проекций рЯда точек, отрезков  прЯмых и кривых линий, образующих
контуры  проекций  фигур.  ‡наЯ координаты вершин,  например,  треугольника,
можно построить проекции этих точек,  затем проекции сторон и получить таким
образом проекции фигуры.
     —ертежи, содержащие проекции  треугольника,, уже встречались (например,
рис. 110,  112  и  др.). …сли сравнить между  собой рис. 110 и 112, то можно
заметить, что  на рис. ЏЋ  одна из проекций, положим фронтальнаЯ, изображает
"лицевую" сторону треугольника, а горизонтальнаЯ -  "тыльную". Ђ на рис. 112
каждаЯ из  проекций  изображает треугольник  с одной и той  же его  стороны.
Џризнаком может служить  порЯдок обхода вершин: на  рис. 110 длЯ фронтальной
проекции  по часовой  стрелке (считаЯ от Ђ" к ‘"), а длЯ  горизонтальной  --
против  часовой стрелки;  на рис.  112 длЯ  обеих  проекций  обход  в  одном
направлении - в данном случае по часовой стрелке.
     ‚  общем  случае  в   системе  1,  2   ,   3   проекции  какого-либо
многоугольника  представлЯют  собой  также многоугольники  с тем  же  числом
сторон;  при этом  плоскость этого многоугольника ЯвлЯетсЯ плоскостью общего
положениЯ. Ќо  ,если в системе  1, 2 обе  проекции, например, треугольника
представлЯют собой треугольник, то его плоскость может оказатьсЯ  плоскостью
общего положениЯ или профильно-проецирующей: на рис. 112 -  плоскость общего
положениЯ, а на рис. 127 - профильно-проецирующаЯ. Ћпределителем служит, как
было сказано на  с. 52 в  поЯснении к рис.  127, горизонталь (или фронталь):
если  ее  проекции   на  ,   и  2   взаимно   параллельны,   то  плоскость
профильно-проецирующаЯ  (рис. 127);  если  же  не параллельны,  то плоскость
общего положениЯ (например, рис. 112, 115, слева).
     …сли проекциЯ многоугольника на 1 или на 2 представлЯет собой отрезок
прЯмой, то плоскость этого  многоугольника соответственно  перпендикулЯрна к
1   или   к    2.   Ќапример,   на   рис.   123   плоскость   треугольника
горизонтально-проецирующаЯ, на рис. 125 -- фронтально-проецирующаЯ.
     ”игура, расположеннаЯ  параллельно плоскости  проекций, проецируетсЯ на
нее без искажениЯ. Ќапример, все элементы треугольника CDE, изображенного на
рис. 133, проецируютсЯ на пл. 2 без искажениЯ; круг,  изображенный на  рис.
140, проецируетсЯ на пл. 1 без искажениЯ.


     55
     …сли  же  плоскость  фигуры  не параллельна плоскости  проекций, то длЯ
определениЯ  натурального вида  (т. е. без искажениЯ)  этой фигуры применЯют
способы,  указанные далее,  в главе V. Љонечно,  можно  было бы и теперь, не
знаЯ еще этих  способов, построить, например, натуральный вид  треугольника,
изображенного на рис.  112,  определив  длину  каждой его  стороны как длину
отрезка  (см.  § 13)  и  затем построив  треугольник по  найденные отрезкам.
‚месте с тем определились бы  и  углы данного  треугольника.  ’ак поступают,
например, при построении развертки
     <img width="74" height="96" alt="0x01 graphic" src="gordon-133.png">
     <img width="213" height="162" alt="0x01 graphic" src="gordon-134.png">

     ђис. 140 ђис. 141

     боковой поверхности  пирамиды, призмы и др. (см.  далее  § 44). …сли же
многоугольник  расположен в  проецирующей плоскости, то можно построить  его
натуральный вид так, как показано на рис, 141.
     Џоложим,  требуетсЯ определить натуральный вид  четырехугольника  KPNM,
расположенного в фронтально-проецирующей пл.  ос. ’огда, как это показано на
рис.  141  справа,  можно взЯть в  плоскости фигуры  две  оси  прЯмоугольных
координат с началом хотЯ бы в точке  Љ:  ось абсцисс (Љ"•", Љ'•<sup>1</sup>)
параллельно  пл.  2, ось ординат перпендикулЯрно к  2  (проекции этой  оси
Љ"", Љ'’),  провести прЯмую KL  (это  можно  сделать, например, параллельно
Љ"•")  и  отложить на  ней  Љ1  = = Љ"ђ", Љ2 -- Љ"Њ", Љ‡  =  "".  ‡атем на
перпендикулЯрах к прЯмой KL в точках 1,2 и. 3 отложим отрезки ђ1 = F4, Њ2 --
Њ'5 и N3 =  N'6. Џостроенный таким образом четырехугольник  представлЯет
собой натуральный вид заданного.

     Џри решении многих задач вопрос о том, какое положение занимает плоскаЯ
фигура относительно Џлоскостей проекций, приобретает существенное  значение.
‚  качестве  примера рассмотрим  вопрос  о построении  четырех замечательных
точек треугольника.
     ’ак как делению отрезка прЯмой в пространстве пополам отвечает такое же
деление  проекций этого отрезка (см. § 12), то построение  точки пересечениЯ
медиан  треугольника')  может  быть произведено  на чертеже во всех  случаЯх
непосредственно.  .„остаточно  (рис.  142) провести  медианы  на  каждой  из
проекций треугольника,  и точка пересечениЯ его медиан будет определена. Џри
этом можно ограничитьсЯ построением  обеих  проекций лишь  одной  из  медиан
(например, A'D' и A"D") и одной проекции второй  медианы (например, ‚"…"); в
пересечении<sup>4</sup> A"D" и ‚"…" получаем  точку Њ", а по ней  находим на
A'D' точку Њ'.
     Њожно  было бы также, построив лишь одну из медиан треугольника,  найти
на ней точку Њ на основании известного из геометрии свойства этой точки (она
делит каждую медиану в отношении 2:1).
     Џостроение точки пересечениЯ  трех  высот  треугольника <sup>2</sup>) и
точки  перпендикулЯров  к   сторонам   треугольника,  проведенных  через  их
середины<sup>3</sup>),  свЯзано  с   проведением   взаимно  перпендикулЯрных
прЯмых.

     *·) ’очка пересечениЯ медиан есть центр тЯжести треугольника.
     <sup>2</sup>) Ћртоцентр треугольника.
     –ентр описанной окружности.


     56

     ‚  § 15 были указаны условиЯ,  при  которых перпендикулЯрные отрезки  в
пространстве  имеют  своими  проекциЯми также перпендикулЯрные отрезки. …сли
плоскость треугольника параллельна плоскости проекций (например, треугольник
‘Ћ… на  рис. 133), то,  опустив пер-.  пендикулЯры  из  точек ‘", D" и …" на
противоположные  им  стороны,  получаем  проекции  высот треугольника.  Ќо в
треугольнике общего положениЯ так поступить нельзЯ.
     ‚  частном случае, когда одна сторона треугольника параллельна пл.  1,
а другаЯ параллельна пл. 2 (рис. 143), проведЯ ‘"…"  перпендикулЯрно к A"B"
и ‚'…'  перпендикулЯрно  к A'C', получаем в пространстве CF" AB  и  ‚…"  Ђ‘;
точка пересечениЯ высот оказалась построенной без каких-либо особых приемов.
     ‚  сймом  же  общем случае  длЯ  проведениЯ  на  проекционной!  чертеже
перпендикулЯрных линий приходитсЯ прибегать к  особым приемам, которые будут
изложены дальше.
     Џостроение  точки пересечениЯ биссектрис  треугольника ')  также  может
быть  произведено   непосредственно  лишь  в  частных  случаЯх  расположениЯ
треугольника  относительно  плоскостей  проекций.  ќто  объЯснЯетсЯ ’ем, что
деление пополам проекции какого-либо  утла  отвечает  его  делению пополам в
пространстве  только  в  том  случае, если  стороны данного  угла  одинаково
наклонены к  той плоскости проекций, на которой производитсЯ деление пополам
проекции угла (см. § 15).
     <img width="102" height="144" alt="0x01 graphic" src="gordon-135.png">
     <img width="94" height="144" alt="0x01 graphic" src="gordon-136.png">

     ђис. 143
     Џри построении проекций какого-либо многоугольника необходимо  обратить
внимание на то, чтобы  не  нарушалось  условие  нахождениЯ всех точек данной
фигуры в одной плоскости.
     Ќа  рис.  144   даны   полностью  горизонтальнаЯ  проекциЯ   некоторого
пЯтиугольника ABCDE и фронтальные проекции только трех его вершин: Ђ", ‚"  и
…". ‘права
     <img width="225" height="130" alt="0x01 graphic" src="gordon-137.png">

     ђис. 144
     на  рис. 144 показано  построение проекций остальных двух вершин,  ‘" и
D", пЯтиугольника. —тобы точки ‘ и D  лежали в плоскости, определенной тремЯ
точками Ђ,

     ') –ентр вписанной окружности.


     57


     ‚  и  …, необходимо,  чтобы  они находились на  прЯмых, лежащих в  этой
плоскости.  ќтими прЯмыми  ЯвлЯютсЯ диагонали AC, AD  и  BE,  горизонтальные
проекции которых мы можем  построить. Ќа  фронтальной проекции пЯтиугольника
мы  можем  провести  лишь  ‚"…".  Ќо в плоскости пЯтиугольника  лежат  точки
пересечениЯ  диагоналей  Љ  и  Њ,  горизонтальные  проекции  которых  (Љ'  и
Њ<sup>1</sup>) имеютсЯ, а фронтальные проекции получаютсЯ сразу, так как они
должны  лежать  на  ‚"…". Џо  двум  точкам  строЯтсЯ фронтальные проекции  и
остальных двух диагоналей Ђ"Љ" и Ђ"Њ";  на них должны лежать точки  ‘" и D",
которые определЯютсЯ по их горизонтальным проекциЯм. ·
     Љруг,  плоскость  которого  параллельна  какой-либо плоскости проекций,
проецируетсЯ  на  эту плоскость без искажениЯ (см. рис. 140, где круг взЯт в
горизонтальной плоскости). …сли плоскость круга  расположена перпендикулЯрно
к плоскости  проекций, то на эту плоскость круг проецируетсЯ  в виде отрезка
прЯмой, равного диаметру круга.
     Ќо если круг расположен  плоскости, составлЯющей с плоскостью проекций
какой-либо  острый угол  , то проекцией круга ЯвлЯетсЯ  фигура,  называемаЯ
эллипсом.
     ќллипсом называетсЯ также  криваЯ, ограничивающаЯ  эллипс-фигуру:  если
эллипс-фигура ЯвлЯетсЯ проекцией круга,  то  эллипс-линиЯ ЯвлЯетсЯ проекцией
окружности.  ‚ дальнейшем  изложении, говорЯ об эллипсе, будем подразумевать
проекцию окружности.
     ќллипс относитсЯ к числу кривых,  называемых  кривыми второго  порЯдка.
“равнениЯ таких кривых в декартовых координатах представлЯют собой уравнениЯ
второго порЯдка. ЉриваЯ второго порЯдка пересекаетсЯ с прЯмой линией в  двух
точках.  „алее  мы  встретимсЯ  еще с  параболой  и гиперболой, тоже кривыми
второго порЯдка.
     ќллипс можно  рассматривать как  "сжатую"  окружность.  ќто показано на
рис.  145, слева. Џоложим, что на радиусе Ћ‚  отложен  отрезок Ћ‚1 длиной b,
причем b &lt;  а  (т.  е. меньше радиуса  окружности).  …сли теперь взЯть на
окружности какую-либо  точку  Љ  и,  проведЯ из Љ  перпендикулЯр на Ђ 1  Ђ2,
отметить на ЉЊ точку
     <img width="81" height="89" alt="0x01 graphic" src="gordon-138.png">
     <img width="53" height="86" alt="0x01 graphic" src="gordon-139.png">
     <img width="180" height="150" alt="0x01 graphic" src="gordon-140.png">

     ђис. 145 ђис. 146
     ку  k1 так, чтобы  ЊЉ1 :ЊЉ  = b:а,  то эта точка Љ, будет  принадлежать
эллипсу.  ’ак можно преобразовать каждую  точку окружности в  точку эллипса,
соблюдаЯ одно и то же отношение b:а. Ћкружность как бы равномерно сжимаетсЯ;
линиЯ,  в которую  при этом  преобразуетсЯ  окружность,  ЯвлЯетсЯ  эллипсом.
Ћтношение  b: a называетсЯ коэффициентом сжатиЯ эллипса. …сли b приближаетсЯ
к а; то эллипс расширЯетсЯ и при b = а превращаетсЯ в окружность.

     Ќапомним (из курса черчениЯ средней школы), что
     1) отрезок Ђ1Ђ2=2а называетсЯ большой осью эллипса;
     2) отрезок bib- = 2b называетсЯ малой осью эллипса;
     3) большаЯ и малаЯ оси взаимно перпендикулЯрны;
     точка пересечениЯ осей называетсЯ центром эллипса;


     58
     5) отрезок прЯмой между двумЯ точками -эллипса, проходЯщий через -центр
эллипса, называетсЯ его диаметром;
     6) точки A,, A2&gt; ‚,, B2 называютсЯ вершинами эллипса;
     7) эллипс симметричен относительно его осей и относительно его центра;
     эллипс  есть  геометрическое  место точек, сумма  расстоЯний которых до
двух  заданных точек Ft и F2 (рис. 145, справа)  имеет одно и то же значение
2а (размер большой оси).

     C'D' делит хорду M\N{, параллельную  диаметру E'F', сопрЯженному с CD',
пополам. Ќо  именно  такие  два  диаметра эллипса,  из  которых каждый делит
пополам хорды, параллельные другому, ЯвлЯютсЯ сопрЯженными.
     ‘опрЯженные  диаметры  эллипса   не  перпендикулЯрны  один  к  другому;
исключение составлЯют оси эллипса, €з рассмотрениЯ рис. 146 следует, что при
повороте  окружности   вокруг  диаметра  AtA2  на   угол    этот  диаметр,
параллельный  пл.  itlt  сохранЯет в горизонтальной проекции свою величину и
становитсЯ  большой осью  эллипса (см. рис. 146,  справа). „иаметр же  ‚1‚2,
повернутый на угол 1 к пл. -, проецируетсЯ на нее с сокращением:
     <img width="105" height="17" alt="0x01 graphic" src="gordon-141.png">

     ќто  соответствует  отношению  осей эллипса,  т.  е.  его  коэффициенту
сжатиЯ.
     …сли  в  окружности  провести какие-либо  два  взаимно перпендикулЯрных
диаметра,  то в проекции,  представлЯющей  собой эллипс (рис. 146,  справа),
проекции  таких   диаметров  окружности   оказываютсЯ  диаметрами   эллипса,
называемыми  сопрЯженными.  …сли в  окружности (рис.  146,  слева) провести,
например, хорду [(, параллельную диаметру  E'F', то диаметр C'D'  разделит
эту  хорду (и все хорды, ей параллельные) пополам. Ћчевидно, что и в эллипсе
сохранитсЯ это свойство (см.  рис. 146,  справа):  диаметр также  ЯвлЯющиесЯ
парой сопрЯженных диаметров.
     <img width="231" height="86" alt="0x01 graphic" src="gordon-142.png">

     ђис. 147

     Ќапомним,  как производитсЯ построение эллипса  по его осЯм  (рис. 147,
слева).  Џостроение выполнЯетсЯ при помощи двух концентрических окружностей,
проведенных радиусами а (большаЯ полуось) и b (малаЯ полуось). …сли провести
какой-либо  радиус  ЋЊ, и прЯмые    1‹/&bdquo; и  …Њ, параллельные малой  и
большой  осЯм  эллипса, то  при пересечении этих прЯмых  получитсЯ  точка Њ,
принадлежащаЯ эллипсу. „ействительно,

     <img width="95" height="27" alt="0x01 graphic" src="gordon-143.png">

     ЏроводЯ  рЯд радиусов  и  повторЯЯ  указанное построение,  получаем рЯд
точек эллипса.
     Џостроив  какую-нибудь точку эллипса, можно  построить еще  три  точки,
расположенные  симметрично  найденной  относительно  осей  эллипса  или  его
центра.
     Ќа  рис. 147 справа  показано  построение  фокусов эллипса: засекаЯ  из
точки B, большую ось  дугой, радиуса, равного большой полуоси oa 1, получаем
точки f 1 и F2 -- фокусы эллипса. Џостроив угол F 1ЉF2, где Љ -- любаЯ точка
эллипса,  проводим  в нем  биссектрису и  перпендикулЯрно к  ней  в  точке Љ
касательную к эллипсу. ЏрЯмаЯ KN, перпендикулЯрнаЯ   каса-тельной, ЯвлЯетсЯ
нормалью<sup>1</sup>) к эллипсу в точке Љ.

     ') Ћт normal is (лат.) -- прЯмолинейный.


     59


     Љак построить оси эллипса, если известны его сопрЯженные диаметры?
     Џусть  получены  сопрЯженные  полудиаметры  CA  и  ‘‚  (рис.  148). „лЯ
построениЯ осей эллипса:
     1) один из сопрЯженных полудиаметров, например CB, поворачиваем на угол
90° по направлению к другому (до положениЯ CB2);
     2) проводим отрезок AB2 и делим его пополам;
     3) из точки Љ проводим окружность радиусом Љ‘; ·
     4)  прЯмую, определЯемую отрезком Ђ‚2, продолжаем до пересечениЯ с этой
окружностью в точках D и E;
     5) проводим прЯмую DC, получаем направление большой оси эллипса;
     6) проводим …‘ -- направление малой оси эллипса;
     7) откладываем ‘1 .= Ђ… -- большаЯ полуось;
     8) откладываем ‘‡ = AD -- малаЯ полуось;
     9) откладываем ‘2 = ‘;, ‘4 = ‘‡, ‘5,= ‘Ђ, ‘о = ‘‚.
     ќллипс может быть проведен через восемь точек /, Ђ, 3, ‚, 2,5,4 и 6 или
построен по большой и малой осЯм, как показано на рис. 147.
     €так, проведЯ  прЯмые CD  и ‘…, мы получили направлениЯ большой и малой
осей  эллипса;  точка  A, принадлежащаЯ  эллипсу, делит  диаметр  ED  на два
отрезка, из которых один (Ђ…) равен большой полуоси этого  эллипса, а другой
(AD) -- малой полуоси. …сли (рис. 149)
     <img width="145" height="254" alt="0x01 graphic" src="gordon-144.png">
     <img width="125" height="220" alt="0x01 graphic" src="gordon-145.png">

     ђис. 150 ђис. 151
     взЯть оси координат  и у соответственно по прЯмым CD и ‘… и из точки Ђ
провести перпендикулЯр AD к прЯмой  CD,  то координаты,,точки  Ђ могут  быть
выражены следующим образом:
     Ћтсюда <img width="190" height="53" alt="0x01 graphic" src="gordon-146.png">


     ќто уравнение эллипса, у которого Ђ… -- большаЯ полуось,  а ЂЋ -- малаЯ
полуось.
     Ќа   рис.   146  было   показано  построение   горизонтальной  проекции
окружности, расположенной в фронтально-проецирующей плоскости, наклоненной к
пл. 1. Џусть теперь в такой


     60


     плоскости  лежит эллипс с полуосЯми а  и b. …го проекцией  иногда может
оказатьсЯ окружность с диаметром, равным малой оси эллипса: это будет тогда,
когда длЯ  угла  между плоскостью, в  которой  лежит эллипс, и  пл. 1 имеет
место   соотношение<img   width="42"    height="22"    alt="0x01    graphic"
src="gordon-147.png">
     (рис.  150).   ЏолученнаЯ  окружность  будет  служить  проекцией   рЯда
эллипсов, если изменЯть угол  и размер а, оставлЯЯ b неизменным. Џредставим
себе прЯмой  круговой  цилиндр с  вертикальной  осью  (рис.  151); наклонные
сечениЯ этого цилиндра  будут эллипсами,  малаЯ ось  которых  равна диаметру
цилиндра.

        ‚ЋЏђЋ‘› Љ §§ 20-21

     1.  Љак  изображаетсЯ  на  чертеже  фронтально-проецирующаЯ  плоскость,
проведеннаЯ через прЯмую общего положениЯ?
     2.  Љак  построить   проекции   центра  тЯжести   в   заданном  чертеже
треугольника?
     3.  —то  могут  представлЯть  собой  проекции  круга  в зависимости  от
положениЯ его плоскости относительно плоскости проекций?
     4. Њожно ли рассматривать эллипс как "сжатую" окружность?
     5. —то такое коэффициент сжатиЯ эллипса?
     6. €меет ли эллипс: а) оси симметрии, б) центр симметрии?
     7.  Љакие  диаметры  эллипса  называютсЯ:  а)  осЯми,  б)  сопрЯженными
диаметрами?
     8. Љак по заданным сопрЯженным диаметрам эллипса построить его оси?


     ѓ‹Ђ‚Ђ IV. ‚‡Ђ€ЊЌЋ… ЏЋ‹Ћ†…Ќ€… <b>„‚“•</b> Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰, ЏђџЊЋ‰ ‹€Ќ€€ € Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’€

     <b>§  22.  ЋЃ‡Ћђ  ‚‡Ђ€ЊЌ›•  ЏЋ‹Ћ†…Ќ€‰  „‚“•  Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰,  ЏђџЊЋ‰  ‹€Ќ€€  €
Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’€</b>

     „ве плоскости могут быть параллельными или пересекатьсЯ между собой.
     ђассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. …сли плоскости  
и  параллельны (рис. 152), то всегда в каждой из них можно построить по две
пересекающиесЯ между собой прЯмые  линии так,  чтобы  прЯмые одной плоскости
были соответственно параллельны двум прЯмым другой плоскости.
     ќто служит основным признаком длЯ  определениЯ,  параллельны  плоскости
между собой или не параллельны. ’акими прЯмыми могут служить, например,

     <img width="102" height="89" alt="0x01 graphic" src="gordon-148.png">
     <img width="175" height="95" alt="0x01 graphic" src="gordon-149.png">

     ђис. 152 ђис. 153
     <img width="175" height="147" alt="0x01 graphic" src="gordon-150.png">
     <img width="151" height="133" alt="0x01 graphic" src="gordon-151.png">

     ђис. 154 ђис. 155
     следы обеих плоскостей: если два пересекающихсЯ между собой следа одной
плоскости  параллельны одноименным с  ними  следам  другой плоскости, то обе
плоскости параллельны между собой (рис. 153, где h'0% h'0, f"o || f"o).
     Ќа рис. 154  показаны параллельные  между собой фронтально-проецирующие
плоскости, заданные треугольниками ABC и DEF. €х параллельность определЯетсЯ
параллельностью фронтальных проекций Ђ"‚"‘" и D"F"E". …сли же эти  плоскости
выразить их следами на 2  и  ,,  то так  же, как на рис.  153, фронтальные
следы ока-


     62


     жутсЯ взаимно параллельными и  горизонтальные следы будут также взаимно
параллельны. Ћчевидно, если известно, что параллельные между собой плоскости
фронтально-проецирующие,   то   на  чертеже   можно   в   некоторых  случаЯх
ограничитьсЯ только приведением их фронтальных следов так, как это  показано
далее на  рис.  166  ("1||"2).  „лЯ горизонтально-проецирующих  плоекостей
(если  известно,   что  они.  взаимно  параллельны)  в  аналогичных  случаЯх
достаточно провести их горизонтальные следы -- один параллельно другому.
     ђассмотрим  случай взаимного пересечениЯ  плоскостей.  ‚ случае заданиЯ
плоскостей их следами легко установить, что эти плоскости пересекаютсЯ: если
хотЯ  бы   одна  пара   одноименных  следов   пересекаетсЯ,   то   плоскости
пересекаютсЯ.  ’ак,  например,  на  рис.  155  f"o  ||  f"o, но  '  и  а'
пересекаютсЯ: плоскости  и  пересекаютсЯ между собой.
     €зложенное относитсЯ  к  плоскостЯм, заданным  пересекающимисЯ следами.
…сли же обе  плоскости имеют на  и на 2 следы, параллельные оси х, то эти
плоскости  могут  или  пересекатьсЯ,  или быть  параллельными.  „лЯ  решениЯ
вопроса
     <img width="164" height="115" alt="0x01 graphic" src="gordon-152.png">
     <img width="155" height="113" alt="0x01 graphic" src="gordon-153.png">

     ђис. 156 ђис. 157
     о взаимном положении таких плоскостей можно построить третий след: если
следы обеих плоскостей на третьей плоскости проекций  также параллельны друг
другу, то плоскости параллельны (рис. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o и "' ||
'"); если  же  третьи следы пересекаютсЯ, то плоскости  пересекаютсЯ  (рис.
157)<sup>1</sup>).
     ’ак  решаетсЯ вопрос  о взаимном  положении  двух плоскостей,  заданных
следами. …сли же плоскости  заданы не следами, а каким-либо другим способом,
и надо узнать, пересекаютсЯ ли эти  плоскости, то вообще следует прибегать к
некоторым вспомогательным построениЯм.  Џримеры этих  построений  будут даны
при дальнейшем изложении.
     ђассмотрим   случаи  взаимного  положениЯ  прЯмой  линии  и  плоскости.
‚заимное  положение  прЯмой  линии и  плоскости  в  пространстве  может быть
следующим:  а) прЯмаЯ лежит в плоскости, б) прЯмаЯ пересекает плоскость,  в)
прЯмаЯ параллельна плоскости.
     …сли на чертеже непосредственно нельзЯ установить  взаимного  положениЯ
прЯмой и плоскости, и то прибегают  к некоторым вспомогательным построениЯм,
в результате которых  от  вопроса о взаимном  положении прЯмой  и  плоскости
переходЯт  к  вопросу  о  взаимном  положении  данной  прЯмой   и  некоторой
вспомогательной прЯмой. „лЯ этого (рис. 158) проводЯт через данную прЯмую Ђ‚
некоторую  вспомогательную  плоскость    и рассматривают взаимное положение
прЯмой  пересечениЯ плоскостей  и  и прЯмой Ђ‚.
     <img width="115" height="82" alt="0x01 graphic" src="gordon-154.png">


     ') Ћчевидно, что при такой, например, последовательности в расположении
параллельных  оси  следов: f"o, f"o,  h'0, h'0 плоскости не могут  быть
параллельны между собой и построение следов '" и '" излишне.

     63

     Џри этом возможны три случаЯ:
     1) ЏрЯмаЯ MN сливаетсЯ с прЯмой Ђ‚; это соответствует тому,  что прЯмаЯ
Ђ‚ принадлежит пл. .
     2) ЏрЯмаЯ   пересекает прЯмую Ђ‚;  это соответствует тому, что прЯмаЯ
Ђ‚ пересекает пл. .
     3) ЏрЯмаЯ  параллельна прЯмой Ђ‚; это соответствует тому, что  прЯмаЯ
Ђ‚ параллельна пл. .
     €так,   указанный  прием  определениЯ  взаимного   положениЯ  прЯмой  и
плоскости заключаетсЯ в следующем:
     1)  через  данную прЯмую проводЯт  вспомогательную  плоскость и  строЯт
линию пересечениЯ этой плоскости и данной плоскости;
     2) устанавливают взаимное положение  данной прЯмой и прЯмой пересечениЯ
плоскостей;  найденное положение определЯет взаимное положение данных прЯмой
и плоскости.
     „лЯ  решениЯ  вопроса  о  взаимном  положении  плоскости  и  прЯмой  мы
применили способ  вспомогательных  плоскостей, которым часто  пользуютсЯ при
построениЯх, свЯзанных со  взаимным  расположением  различных поверхностей и
линий с поверхностЯми.
     Џодбор вспомогательных плоскостей обычно производЯт  с таким  расчетом,
чтобы построениЯ были как можно более простыми.  Њожет оказатьсЯ,  например,
что    плоскости   горизонтальные    или   фронтальные,   горизонтально-   и
фронтально-проецирующие, вообще весьма  удобные в качестве  вспомогательных,
нельзЯ  будет   применить  совсем  или  их  применение   вызовет  усложнение
построениЯ  даже по  сравнению  с  плоскостЯми  общего положениЯ, взЯтыми  в
качестве   вспомогательных.  ђешаЯ  ту   или  иную   задачу   с  применением
вспомогательных плоскостей, необходимо выбирать эти плоскости так, чтобы все
возникающие при этом  построениЯ были возможно проще и чтобы этих построений
было как можно меньше.

     <b>§  23.  Џ…ђ…‘…—…Ќ€… ЏђџЊЋ‰ ‹€Ќ€€ ‘ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’њћ, Џ…ђЏ…Ќ„€Љ“‹џђЌЋ‰ Љ Ћ„ЌЋ‰
€‹€ Љ „‚“Њ Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’џЊ ЏђЋ…Љ–€‰</b>

     Џлоскость,  перпендикулЯрнаЯ  к  плоскости  проекций,  проецируетсЯ  на
последнюю  в виде прЯмой линии. Ќа этой прЯмой  (проекции плоскости)  должна
находитьсЯ  соответствующаЯ  проекциЯ  точки,  в  которой  некотораЯ  прЯмаЯ
пересекает такую плоскость<sup>1</sup>).
     Ќа  рис.  159  фронтальнаЯ проекциЯ Љ"  точки пересечениЯ прЯмой  Ђ‚  с
треугольником ‘Ћ… определЯетсЯ в  пересечении проекций Ђ"‚"  и ‘"…", так как
треугольник проецируетсЯ  на пл.  2 в виде прЯмой  линий.  ЌайдЯ точку  Љ",
определЯем положение проекции Љ'. ’ак как прЯмаЯ Ђ‚ в направлении  от Љ к  ‚
находитсЯ под
     <img width="71" height="113" alt="0x01 graphic" src="gordon-155.png">
     <img width="111" height="104" alt="0x01 graphic" src="gordon-156.png">
     <img width="61" height="100" alt="0x01 graphic" src="gordon-157.png">
     <img width="77" height="110" alt="0x01 graphic" src="gordon-158.png">

     <b>ђис.</b> 159 ђис. 160 ђис. 162

     ') ’очку пересечениЯ прЯмой с плоскостью называют  также точкой встречи
прЯмой с плоскостью.


     64
     треугольником,  то  на  чертеже  часть  горизонтальной проекции  прЯмой
проведена штриховой линией.
     Ќа  рис.  160 фронтальный след пл.  ЯвлЯетсЯ ее фронтальной проекцией.
ЏроекциЯ Љ" определЯетсЯ в пересечении проекции Ђ"‚" и следа ".
     Ќа  рис. 161 дан пример построениЯ проекций точки пересечениЯ прЯмой  с
горизонтально-проецирующей плоскостью.

     „лЯ большей  наглЯдности изображают  проекции  отрезков  прЯмой  линии,
пересекающей  плоскость, одни -- сплошными  линиЯми, другие  --  штриховыми,
руководствуЯсь при этом следующими соображениЯми:
     1.  “словно  считают, что даннаЯ плоскость непрозрачна и точки и линии,
лежащие  хотЯ  бы  и   в  первой  четверти,  расположенные  длЯ  зрителЯ  за
плоскостью, будут невидимыми; видимыми же будут точки и линии, расположенные
по  одну  сторону  плоскости со  зрителем, который,  как  мы будем  считать,
находитсЯ в первом  октанте и бесконечно далеко от соответствующей плоскости
проекций.
     2. ‚идимые отрезки линий вычерчиваютсЯ  сплошными линиЯми, а  невидимые
-- штриховыми.
     3. Џри пересечении прЯмой с  плоскостью  часть этой прЯмой делаетсЯ длЯ
зрителЯ невидимой; точка пересечениЯ  прЯмой  с плоскостью  служит  границей
видимости линии.
     4. ‚опрос о видимости линии  всегда можно свести к вопросу о  видимости
точек.  Џри этом не только плоскость может закрывать точку, но и точка может
закрывать другую точку (см. рис. 87).
     5.  …сли  несколько  точек  расположены на  общей длЯ них  проецирующей
прЯмой, то видимой будет только одна из них:
     а) по отношению к пл.  -- точка, наиболее удаленнаЯ от ,;
     б) по отношению к пл. 2 -- точка, наиболее удаленнаЯ от 2;
     в) по отношению к пл. 3 -- точка, наиболее удаленнаЯ  3.
     6.  …сли  чертеж содержит оси  проекций,  то длЯ определениЯ  видимости
точек, расположенных на общей длЯ них проецирующей прЯмой, служат расстоЯниЯ
их соответствующих проекций от оси проекций:
     а)  относительно  пл.   видима точка,  фронтальнаЯ  проекциЯ  которой
находитсЯ дальше от оси х;
     б) относительно пл.  2 видима точка,  горизонтальнаЯ  проекциЯ которой
находитсЯ дальше от оси х;
     в)  относительно пл. 3 видима точка,  горизонтальнаЯ  проекциЯ которой
находитсЯ дальше от оси у.
     Љак  надо поступать  в случае,  если чертеж не содержит  осей проекций?
ђассмотрим  рис. 162.  ’очки 1 к 2 двух скрещивающихсЯ прЯмых расположены на
общей длЯ них проецирующей прЯмой, перпендикулЯрной к  пл. 2, а точки 3 и 4
-- на проецирующей прЯмой, перпендикулЯрной к пл. п1.
     ’очка  пересечениЯ  горизонтальных  проекций данных прЯмых представлЯет
собой слившиесЯ проекции двух  точек, из  которых точка 4 принадлежит прЯмой
AB, а точка 3 -- прЯмой CD. ’ак как 3"3' &gt;  4"4', то  видима относительно
пл. 1 точка 3, принадлежащаЯ прЯмой CD, а точка 4 точкой 3 закрыта.
     ’ак  же  и точка  пересечениЯ  фронтальных  проекций  прЯмых  AB  и  CD
представлЯет собой слившиесЯ  проекции двух точек / и  2, из которых точка 1
принадлежит  прЯмой AB, а точка 2  -  прЯмой  CD. ’ак как 1'1" &gt; 2'2", то
видима относительно пл. 2 точка 1, закрывающаЯ собой точку 2.
     ќто --  общий  способ:  так  можно  поступать  и на  чертежах  с  осЯми
проекций.

        § 24. ЏЋ‘’ђЋ…Ќ€… ‹€Ќ€€ Џ…ђ…‘…—…Ќ€џ „‚“• Џ‹Ћ‘ЉЋ‘’…‰

     ЏрЯмаЯ  линиЯ, получаемаЯ при  взаимном  пересечении  двух  плоскостей,
вполне  определЯетсЯ  двумЯ точками,  из  которых  каждаЯ  принадлежит обеим
плоскостЯм. ’ак, прЯмаЯ Љ1Љ2 (рис. 163), по которой пересекаютсЯ между собой
плоскость, заданнаЯ  треугольником  ABC, и  пл. , заданнаЯ прЯмыми DE и DF,
проходит через точки  и Љ2, но в этих точках

     <img width="125" height