 геометрии   или   интегрированиЯ   в   частных
производных: различие в числовой отчетности будет сравнительно небольшим.
     …ще  более  нелепаЯ  картина  складываетсЯ  при оценке работы  учителей
русского Языка, когда балл "1" выставлЯетсЯ за 10 и  более ошибок. 10 ошибок
-  единица, 50 ошибок -  та же единица.  Љак в этих условиЯх оценить  работу
учителЯ, сумевшего за период эксперимента  уменьшить число ошибок, скажем, с
20  до  12? Љак  показать развитие и перспективность процесса?  ‚ыход  один:
оперировать не оценками, а общим количеством ошибок, допущенных учениками во
времЯ контрольных  проверок - диктантов,  сочинений, изложений и пр.  Љстати
сказать, несколько лет назад „онецкий областной отдел народного  образованиЯ
провел в  одной  из школ  области  диктанты, чтобы выЯвить  не  отчетную,  а
истинную  грамотность  учащихсЯ.  …стественно,  что  инспекторам  было  дано
указание придерживатьсЯ строгих  министерских норм словарного объема  работ,
времени их проведениЯ, повторов  при чтении текстов и  правил  произношениЯ.
Љогда  подсчитали  общее  количество  всех   допущенных  учащимисЯ   ошибок,
разделили их  на количество  учащихсЯ, то получили  общую итоговую  единицу.
‘реднестатистическаЯ оценка  грамотности  -  1. …сли  кто-то  думает,  что в
„онецкой  области работают словесники-не-умехи, то  пусть он  пригласит этих
"неумех" в свою школу длЯ проведениЯ таких же контрольных проверок.
     Џодытожим: общепринЯтаЯ пЯтибалльнаЯ система оцениваниЯ знаний учащихсЯ
неприемлема  длЯ отражениЯ  итогов экспериментальной  работы. —то  же  можно
предложить  взамен?  ‚ариантов  много.  Ћдин  из   них  -  троичнаЯ  система
оцениваниЯ  письменных  работ, при  которой за правильно решенное упражнение
или безупречный ответ  на теоретический вопрос ученик получает высшую оценку
2  балла,  за  ответ с недочетами  или небольшими  ошибками -  1 балл  и  за
неправильное решение  или  за  неверный ответ - 0 баллов.  Ћсобо  подчеркнем
значимость  последней  оценки:  отсутствие  ответа или  абсолютное  незнание
материала не может отражатьсЯ никаким числовым эквивалентом, кроме как ноль.
‚ массовом эксперименте важен прежде всего общий итог работы группы, класса,
учебной  параллели  или  всей школы. „ифференцированный  учет  следует вести
исходЯ из  других критериев.  …сли  же  речь идет о действенности методики в
целом, то  на первом плане  должен быть  только  итоговый уровень  знаний  и
практических   навыков  всей  группы,   работавшей  в  новых   условиЯх.   ‚
детализированном анализе результатов  сопоставительных  работ  и контрольных
проверок  со  всей  определенностью  отражаютсЯ  преимущества  и  недостатки
экспериментальной методики. ‚от, например, как это может выглЯдеть.
     1.   ‡аметно   повышаютсЯ   результаты  наиболее  сильных  учащихсЯ   и
практически не менЯютсЯ результаты основной массы учащихсЯ.
     ‚ывод:   есть   смысл   перенести   экспериментальные   исследованиЯ  в
специализированные   школы   и  поставить   под  особый   контроль   уровень
загруженности учащихсЯ во внеурочное времЯ.
     2.  ЌаблюдаетсЯ  общий  подъем результатов  у  подавлЯющего большинства
учащихсЯ.
     ‚ывод: рамки эксперимента следует расширить.
     3.  Љачественно улучшаютсЯ  результаты работы  наиболее слабых учащихсЯ
при сохранении высоких результатов у лучших ребЯт.
     ‚ывод:  провести  контрольный  эксперимент  и  рекомендовать   проверку
экспериментальных приемов в условиЯх работы вспомогательных школ.
     4.  Џри общем подъеме результатов учебной работы среди средних и слабых
учащихсЯ наибольших успехов достигают лучшие учащиесЯ.
     ‚ывод:   оптимальный   вариант.    ќкспериментальную   методику   можно
рекомендовать и распространЯть во всех школах данного типа.
     ђазумеетсЯ,  этими четырьмЯ  результатами и  выводами не ограничиваютсЯ
все  возможные  варианты,  оценку  которым  могут дать  только  компетентные
научные коллективы и  довести  до сведениЯ всех учителей-экспериментаторов и
научно-поисковых групп длЯ утверждениЯ статуса их исследовательской работы.
     Ќе  менее  важен и  подбор  упражнений длЯ сопоставительных контрольных
работ.  ‡наниЯ учащихсЯ  необходимо  проверЯть  не  по отдельным  темам  или
разделам,   а   по   всему   изученному   курсу.   Ѓолее   того,  содержание
сопоставительных  контрольных  работ  должно  быть  таким   же  глубоким   и
всеохватным, какими ЯвлЯютсЯ материалы  экзаменационных работ. ќто,  с одной
стороны,  позволит   исключить  и  необъективность,  и   тенденциозность,  и
предвзЯтость при оценке возможности применЯемой методики, а с другой - будет
соответствовать особенностЯм и целЯм эксперимента. ‚ подкрепление сказанного
приведем  варианты  контрольной,   предложенной  весной   1986  г.  ученикам
экспериментального IV  класса после освоениЯ ими за  один учебный год курсов
математики IV и V классов. ђечь идет о  том самом  классе, где каждый третий
еще осенью 1985 г. читал по слогам.

     <i>I вариант.</i>
     <li>Ћт города до  колхоза 24 км. €з города  в  колхоз  выехал грузовик,
который проходит  1 км  за  2-мин.  —ерез  15 мин из колхоза  в город выехал
велосипедист со  скоростью вдвое меньшей  скорости  грузовика. —ерез сколько
времени после своего выезда велосипедист встретит грузовик?
     <li>Џионерский отрЯд в  первый день прошел <sup>5</sup>/14; всего пути,
во второй день  <sup>7</sup>/18 оставшегосЯ пути, а  в третий день остальные
22 км. Љаков весь путь отрЯда?
     <li>Љолхоз должен был засеЯть 840 га, но он перевыполнил план на 7,5 %.
„ругой колхоз засеЯл  на  33  га больше, чем первый, но его  план 900 га. Ќа
сколько процентов перевыполнил свой план второй колхоз?
     <li>Ќа укладке газопровода три бригады заработали 1308 рублей. ‚ первой
бригаде было  5  человек, и работала она 9 дней,  во  второй бригаде  было 6
человек,  и  работала она  8  дней, а в третьей  бригаде было 4  человека, и
работала  она  50% того времени,  которое  работала втораЯ  бригада. ‘колько
рублей получила каждаЯ бригада в отдельности?
     <li>Ќайти периметр  и площадь фигуры, размеры которой даны на чертеже в
метрах.

     <i>II вариант.</i>
     <li>Џосле реконструкции завод увеличил выпуск  продукции на 30%. ‘пустЯ
некоторое  времЯ  выпуск  продукции увеличилсЯ еще на 10%,  а  после  замены
оборудованиЯ  увеличилсЯ  еще  на  15%.  Ќа  сколько   процентов  увеличилсЯ
первоначальный выпуск продукции?
     <li>‘умма цифр двузначного числа равна 14. …сли к этому числу прибавить
36,  то  получитсЯ  новое  число, записанное теми же  цифрами, но в обратном
порЯдке. Ќайти число.
     <li>“  треугольника координаты  вершин  (-3;  1),  (-1;  4) и  (2;  3).
Џостроить  симметричный ему треугольник  относительно оси,  проходЯщей через
точки с координатами (-8; -2) и (-7; -2).
     <li>џ  задумал  число,  увеличил его  в полтора  раза,  к  произведению
прибавил 4,4, полученную сумму разделил на 3-, из полученного частного вычел
1,4 и получил 0,6. Ќайти задуманное число.
     <li>“ченик может выполнить работу за 16 ч, мастер -  за 12 ч. ‘начала в
течение 4  ч работал ученик, затем 2 ч работал мастер.  ‡а сколько часов они
выполнЯт оставшуюсЯ работу, работаЯ вместе?

     (‘пециалистам-математикам нетрудно заметить, что в этих  двух вариантах
учащимсЯ предложены задачи  с цифровой вариацией из сборника Њ. €. ‘канави -
No 13 005 и 13 030.)

     <i>III вариант.</i>
     <li>‚ треугольнике один из углов на 20° больше второго, а третий на 44°
меньше второго. Ќайти углы треугольника.
     <li>‘умма  двух чисел  70. …сли  большее  из  этих  чисел разделить  на
меньшее, то в частном получитсЯ 5, а в остатке 4. Ќайти эти числа.
     <li>‚се билеты на футбольный матч проданы за 4  днЯ. ‚ первый день было
продано 20%  всех билетов,  во второй день  150% того, что  в первый день, в
третий день - 80% того количества билетов, которые были проданы в первые два
днЯ вместе. Ђ в четвертый день  были проданы последние 2000 билетов. ‘колько
всего мест на стадионе?
     <li>Ќа плане, выполненном в масштабе 1 : 1000, длина земельного участка
25 см, ширина 15 см. Ќайти площадь земельного участка.
     <li>‘о  станций  Ђ и  Ѓ,  расстоЯние  между  которыми  26,6  км,  вышли
навстречу друг другу два поезда. „о точки встречи поезд из Ђ  прошел на  1,4
км больше,  чем поезд  из  Ѓ. Ќайти скорость каждого поезда, если поезд из Ђ
был в пути 15 мин, а поезд из Ѓ вышел на 1 мин раньше, чем поезд из Ђ.

     <i>IV вариант.</i>
     <li>Љоординаты  вершин  треугольника  (-2;  4),  (-1;  -4)  и (6;  -2).
Џостроить  ему  симметричный  треугольник  относительно  центра   симметрии,
имеющего координаты (1; -3).
     <li>Њагазин в первый день продал <sup>3</sup>/8 всех поступивших в него
длЯ продажи кубиков ђубика.  ‚о  второй день  -  <sup>2</sup>/3 того,  что в
первый день, а в третий день на 20 кубиков больше, чем во второй день, после
чего продажа была закончена. ‘колько кубиков получил магазин?
     <li>Ћдин насос может выкачать  воду  из котлована за 16 ч, другой  - за
75%  этого времени. Џервые  3 ч они выкачивали воду вместе, затем оставшуюсЯ
воду выкачал только  первый насос.  ‘колько  времени  первый  насос  работал
самостоЯтельно?
     <li>„лЯ 5  лошадей и 57 коров необходимо на день 630 кг  сена, а длЯ 10
лошадей и 17 коров - 290 кг сена. ‘колько сена  нужно одной лошади и сколько
одной корове?
     <li>‘реднее  арифметическое  четырех  последовательных  нечетных  чисел
равно 2. Ќайти эти числа.

     ‘одержание  задач  охватывает  по  крайней мере 10  разделов программы.
Ќеобычность контрольной и в объеме (5 задач), и  в  отсутствии примеров, и в
абсолютной несхожести вариантов.

     …ще  одна   особенность  требует  поЯснений.  ’радиционные  контрольные
преследуют цель выЯснить подготовку каждого ученика по отношению  к должному
уровню знаний  и  практических  навыков. Џри  этом  не  учитываетсЯ скорость
выполнениЯ  заданий,  тогда  как   отдельные   учащиесЯ  тратЯт  на  решение
значительно меньше времени, чем основнаЯ масса детей. Ђ ведь времЯ решениЯ -
тоже показатель, отражающий уровень подготовки. …сли же в контрольную работу
включить заведомо избыточное число задач, то каждый ученик  за одно  и то же
времЯ  решит  неодинаковое количество задач,  что позволит  совершенно точно
определить различиЯ в уровне подготовки школьников. Џримеры же характеризуют
только технические навыки счета и преобразованиЯ, что никак не соотноситсЯ с
логикой решениЯ задач.  €менно поэтому навыки решениЯ примеров проверЯютсЯ в
отдельной работе.

         Ќа финише года

     „лЯ приведенной выше  контрольной лучшим учащимсЯ экспериментального IV
класса  потребовалось всего  только от  25 до  30 минут, в  то  времЯ как  в
контрольных  классах  до истечениЯ 45-й минуты урока не была  сдана ни  одна
работа.
     €тоговые  результаты  оказались следующими:  учащиесЯ VIII контрольного
класса набрали  в общей сложности 55 баллов, учащиесЯ VI контрольного класса
- 32  балла,  учащиесЯ  V  контрольного  класса  -  7  баллов,  учащиесЯ  IV
экспериментального  класса - 157 баллов. ќто значит, что  каждый из учащихсЯ
экспериментального IV  класса  решил в  среднем столько  задач, сколько  все
учащиесЯ  V  контрольного класса,  вместе  взЯтые! €ными  словами, 4  лучших
ученика IV  класса решили столько задач, сколько все ученики VI класса, или,
иначе, б лучших учеников IV класса решили столько задач, сколько все ученики
VIII  класса. ќто  ли  не убедительное подтверждение  давно  уже  сделанного
вывода, что новые формы работы, обеспечиваЯ достижение успеха всех учащихсЯ,
создают режим наибольшего благоприЯтствованиЯ длЯ самых одаренных.
     Џриведенные  полностью четыре  варианта контрольной  позволЯют  каждому
учителю математики в течение 45  минут сопоставить  результаты, полученные в
экспериментальном и в контрольных классах, с возможностЯми своих собственных
учеников. ‘делать это в  высшей степени интересно еще  и потому, что заданиЯ
близки  по своему содержанию  к  тем  требованиЯм,  которые предъЯвлЯлись  к
учащимсЯ  пЯтых  классов общеобразовательных  школ...  30  лет назад,  когда
сложность контрольных была несравнимо выше предлагающихсЯ сегоднЯ.
     Ђ теперь о классе,  в котором  была начата работа на новой методической
основе осенью (23 сентЯбрЯ - это существенно!) 1985 г. Ѓолее 60% учащихсЯ на
протЯжении  всего  учебного  года в  III классе  не имели  ни  одной хорошей
четвертной оценки по математике,  40% ребЯт  аттестовались  во всех  учебных
четвертЯх  по  всем  учебным  предметам  только  тройками.  €з  800 учителей
начальных классов, проходивших курсы повышениЯ квалификации при „онецком €““
за последние  годы,  ни  один  не  смог  припомнить в  своей  педагогической
практике  таких низких результатов  к окончанию начальной школы. Ђ  ведь 800
учителей - это  12 000  лет педагогического стало. €ными словами, за  12 000
лет ни  один из  учителей не имел  подобного класса.  Љакой же вывод следует
сделать  из этого разительного примера?  Ћдин: работу  на повой методической
основе  можно  начинать  в  любом  классе,  ибо  более  тЯжелого  по  уровню
подготовки,  чем  четвертый  экспериментальный  1985г.,  встретить  едва  ли
возможно.

         ЏотерЯнное времЯ

     Ћткройте наугад любую  тетрадь  ученика  любого класса. Џод  заголовком
"ЉласснаЯ  работа" вы обнаружите, как правило,  максимум  две задачи  и один
пример. Џод заголовком "„омашнЯЯ работа" чаще всего будет одна задача и один
пример. Љонечно, в старших классах сплошь  и рЯдом встречаютсЯ такие задачи,
длЯ  решениЯ  каждой из которых  иной раз  и урока мало:  чертежи,  расчеты,
письменные объЯснениЯ  к решению,- 45 минут пролетают как одно мгновение. Ќо
в  начальных-то классах вполне возможно  решать за  один урок  до  10 задач!
Џочему же не получаетсЯ? ‚ объЯснительной записке к программам по математике
есть одно вполне  резонное требование: "...привить учащимсЯ некоторые навыки
в краткой записки условий задач".
     Џочему-то оно воспринЯто учителЯми как  обЯзательное,  €  везде  ребЯта
пишут краткие условиЯ ко всем  без исключениЯ задачам - когда нужно, и когда
ненужно. Џричем  делают это по  совершенно одинаковым шаблонам и стандартным
схемам, вне зависимости от того, как видит задачу каждый отдельный ученик. ‚
результате  возникают  парадоксы:  ученик  отлично  представлЯет  все  этапы
решениЯ прочитанной  им задачи, от  первого  до последнего действиЯ, и может
произвести  устно  все расчеты  - вплоть до  окончательного  ответа, но  его
принуждают  выполнЯть  рутинную  работу  по письменному оформлению  краткого
условиЯ задачи. ‚ школе это делают учителЯ,  дома - родители. ‚ремени на это
уходит уйма.  €  что же получаем  в  итоге? ‘лабое  владение вычислительными
навыками, сдерживающее развитие логического  мышлениЯ. Ђ самое  печальное  -
утрачиваетсЯ живой интерес  детей к поисковой деЯтельности, самообразованию,
снижаетсЯ познавательнаЯ активность.

         Ќачало урока

     Ќа   всем   поле  доски  -  краткие   записи,  разделенные   небольшими
промежутками и  объединенные  самыми  разнообразными  границами  разделов  и
рамками. ‘вободное место оставлено только под первой задачей. Љраткие записи
- это условиЯ задач, которые будут решатьсЯ на уроке. ‚се записи аккуратно и
тщательно сделаны на перемене  учителем. Ќа  чистой  части доски выполнЯютсЯ
расчеты  при решении первой  задачи,  после  чего и  решение и  само условие
задачи  будут  стерты.  Ќа  освободившемсЯ  пространстве   начнетсЯ  решение
следующей задачи, по завершении которого запись снова стирают, и т. д. „оска
становитсЯ все чище и чище.
     ЏсихологическаЯ значимость этого приема весьма существенна: дети уже на
первых  минутах  урока  видЯт объем  предстоЯщей работы, а затем  - динамику
движениЯ коллективной мысли,  наконец,  приближающийсЯ  с  последней задачей
конец  урока как венец  дела. ЏоЯвлЯютсЯ деловой азарт, заинтересованность в
достижении цели, даже  энтузиазм: класс  увлекаетсЯ новой перспективой точно
так  же,   как  и  сам  учитель.   Ћбщность  цели   рождает  единомыслие   и
сотрудничество.  ђанее скрытые  от  ребЯт  замысел  и  план урока становЯтсЯ
зримыми,  отраженными  в  конкретных задачах, которые во что бы то ни  стало
надо  решить.  ’еперь уже и  длЯ самого нерадивого  ученика времЯ  урока  не
тЯнетсЯ, а летит: успеем или  не успеем? €  о какой пассивности  может  идти
речь,  если  учитель вдруг  остановитсЯ, посмотрит  с сожалением  на часы  и
озабоченно скажет:
     - Њ-да-с...  Ћсталось всего  12 минут, а у нас еще три задачи, и притом
самые интересные. ЏоднатужимсЯ?
     Џедагогическим  мастерством   и  психологической  грамотностью  учителЯ
включаетсЯ вдохновение  ребЯт на любой  минуте урока, будь  она  перваЯ  или
сорок четвертаЯ!
     Љраткие записи условий задач на доске лучше выполнЯть цветными мелками,
однако не  следует злоупотреблЯть такими сильно действующими раздражителЯми.
џрко  нужно  выделить  одну-две  задачи, на  которых  должно быть  заострено
внимание ребЯт.  Ђ заинтересовать можно  еще  и  новизной, и  сложностью,  и
нестандартностью,  и перспективностью,  да мало  ли  загадок  обнаружитсЯ  у
каждой задачи!
     ЏорЯдок расположениЯ  условий  на  доске совсем  не обЯзательно  должен
соответствовать  последовательности  работы  над  ними   -  это  и  уныло  и
однообразно. ‡а каждой записью скрыто неизведанное, и учебный  процесс может
захватить, как самаЯ увлекательнаЯ игра или  чтение детектива. ’ем более что
времЯ от времени учитель обращаетсЯ к классу с вопросом:
     - Ђ теперь какую решим?

         ђезервные задачи

     ‘овершенно  очевидно, что  никакой педагогический  опыт  не  поможет  с
абсолютной точностью предсказать весь ход урока  и  тем более  предусмотреть
возможную  скорость  решениЯ  задачи  тем  или  иным  учеником. „лЯ  учителЯ
предстоЯщий  урок - всегда  уравнение с  несколькими неизвестными, дорога  в
неведомое.  ‘лучаетсЯ,   не  удаетсЯ  выполнить  все   запланированное  или,
наоборот, остаютсЯ минуты  свободного времени. Љонечно, если класс готовитсЯ
к  итоговому опросу по листам группового контролЯ или к плановой контрольной
работе, то учителю просто необходимо сделать на уроке все, что предусмотрено
его планом  урока.  ‚ иных же  случаЯх, особенно при решении задач,  учитель
должен   включать  в  свой  поурочный  план  одну-две  "избыточные"  задачи.
€збыточные с точки  зрениЯ необходимости  и достаточности.  Ќа  деле  же они
помогут  оградить  урок  от  любых  случайностей.  ’акие  задачи  называютсЯ
резервными. € не беда, если какаЯ-то из них не будет  полностью выполнена на
уроке, а  решение окажетсЯ прерванным вместе  со звонком на перемену. Ѓудьте
уверены, многие непременно попытаютсЯ одолеть начатую задачу самостоЯтельно.
Ђ спустЯ несколько дней  можно предложить ее на уроке. € тогда она уже будет
решена оперативно и четко, без каких-либо потерь.

         ‚ключить мысль

     ‘  этим  можно  соглашатьсЯ   или  не  соглашатьсЯ,  но  начинать  урок
необходимо не с легкой разминки в форме  полетного повторениЯ, устного счета
или  решениЯ шутливой задачи,  а  с  напрЯжениЯ мысли.  ђасслаблЯтьсЯ легко.
ЌапрЯгатьсЯ несравненно более трудно, и первые "расслабленные" минуты  урока
могут выбить из колеи делового ритма не только отдельных учащихсЯ, но и весь
класс на все 45 минут.
     -  Ћднозначное число,-  начинаетсЯ  урок в V классе,-  увеличили на  10
единиц.  …сли  же  полученное число  увеличить на столько процентов,  как  в
первый раз, то получитсЯ 72. Ќайти первоначальное число.
     Џусть специалиста не смутит сложность задачи и даже выход ее решениЯ на
квадратное  уравнение (это задача  No  13  168 по  сборнику Њ. €. ‘канави) -
подобные  заданиЯ предусмотрены экспериментальной программой длЯ учащихсЯ IV
класса.  ђечь  о другом:  что  и как делает учитель  в процессе осмысливаниЯ
ребЯтами  условиЯ задачи? Ќа каких  моментах он  концентрирует их  внимание?
Љому предоставлЯет  право работать  у доски?  Љакова  допускаемаЯ им степень
содействиЯ ученику  при движении к  цели? ‚опросов не счесть, да и ответы на
них  не могут быть ни  унифицированными, ни  категоричными.  Ќо есть  единые
педагогические  закономерности, обеспечивающие  и  взаимное уважение  ребЯт,
выполнЯющих  разные математические операции,  и устойчивый интерес  к самому
процессу поиска.  ‘огласимсЯ, что изложить весь ход решениЯ задачи-далеко не
просто. ‚ самом деле,  6  логических  этапов должен преодолеть ученик, чтобы
выйти на составление уравнениЯ. ‚от эти этапы.
     „вумЯ   этапами   определЯетсЯ   первоначальное  процентное  увеличение
неизвестного числа:
     10 : x/100
     Ќа третьем этапе  записываетсЯ формула нового числа: х + 10.  …ще двумЯ
этапами определЯетсЯ приращение к образовавшемусЯ числу:
     (x+10)/100 * (10 : x/10)
     Ќа   шестом   этапе  записываетсЯ  формула   окончательного   числа   и
составлЯетсЯ уравнение:
     x + 10 + (x + 10) * 10/x = 72
     Џраво  же,  авторский  коллектив,  работавший под  руководством  Њ.  €.
‘канави,  со всей серьезностью  отнессЯ  к поставленной перед  ним  задаче -
создать   критерий  математической  подготовки   выпускника  средней  школы.
‘редней...  Ќо разве кто-нибудь мог  предположить, что  над  этими  задачами
спустЯ всего несколько  лет  начнут работать  ученики  IV-V  классов?  „ети,
которым  только-только минуло 10  лет!  Љак же  строить  учебный процесс при
работе с такими ребЯтами?
     Ќачнем с того, что уже записанное условие дважды прочитываетсЯ учителем
и при этом основной  акцент  делаетсЯ  на ключевой  детали:  "... на столько
процентов, как в первый раз...". Ќеторопливо, четко выговариваЯ слова. ‡десь
должна сработать генеральнаЯ мысль.
     ‚  классе  тишина.  ‘пустЯ минуту  - перваЯ  рука. ќто  один из  лучших
учеников -  ‚ова  Ѓрага. ‡а  ним  втораЯ  - Ђндрей  ЃустерЯков. …сли  сейчас
вызвать длЯ решениЯ одного из них, то это будет повторЯтьсЯ до бесконечности
на многих уроках - Ѓрага,  ЃустерЯков, ЃустерЯков, Ѓрага... Ђ  32 остальных?
Ќа  что  они обречены? Ќа списывание  с доски  и  медленное,  но  неуклонное
угасание?  Ќедопустимо. Ђ  как  допустимо? ‚ремени-то на уроке  не  столь уж
много, да  и  ЃустерЯков с  Ѓрагой, поднЯв  руки,  призывно  требуют  к себе
вниманиЯ. ’ребуют, вроде бы, по праву, да только право это ведет к ущемлению
интересов товарищей. ‡десь уже одним методическим приемом не обойтись, нужен
надежно срабатывающий комплекс действий педагога.
     ЏоднЯтую первым учеником руку видЯт  далеко не все. Ђ видеть должны все
- в этом престиж первого.
     -   ’ак-так,-   неторопливо  оглЯдываЯ   класс,   произносит  учитель,-
ЃустерЯкова вижу, Ѓрагу  вижу, ‘ерых вижу,  ‚олченского вижу, Њоисееву вижу,
џ-ку-ша  вижу...  ЏоследнЯЯ  фамилиЯ  растЯгиваетсЯ,  произноситсЯ   тише  и
выжидательнее - кто следующий? Ќо секунды летЯт, а рук в классе нет. Ћтметим
в этом месте два методических приема.
     1. ЌазываетсЯ фамилиЯ  ученика, поднЯвшего  руку, и тем самым  решаетсЯ
проблема приоритета.
     2.  ђастЯгиваЯ  последние  слова  и  слоги, учитель  как бы  приглашает
поднЯть руки  всех тех, кто  еще сомневаетсЯ, не уверен в правильности своих
рассуждений.
     €  вот еще  одна  рука!  ќто преодолела  свою  робость  ‹еночка €саева.
ЊаленькаЯ, кажетсЯ, из одной только застенчивости и вылепленнаЯ. €тогом трех
лет  ее  работы  в  начальной  школе стала  безликаЯ тройка. Џочерк  у  ‹ены
невероЯтно  плохой, уровень грамотности -  в  области устойчивой  единицы. ‚
классе такие  дети предпочитают молчать  даже  тогда, когда у  них возникают
какие-нибудь догадки  или мысли. „лЯ таких нужен особый добрый стимул, чтобы
они безбоЯзненно предложили ответ, не стушевавшись  перед авторитетом лучших
учеников класса.
     €так, задачу пойдет решать ‹ена. €менно она должна стать точкой отсчета
на  этом  уроке. Џусть  она  говорит тихо  -  не  беда!  “читель  каждое  ее
правильное  слово  громко  и  внЯтно  повторит  классу.  Џусть  она  надолго
задумываетсЯ. Џусть! ќто  только уверенный в  себе ученик может без малейших
сомнений  последовательно и стройно изложить  план решениЯ конкурсной задачи
длЯ   поступающих   в   высшие   учебные   заведениЯ,   будучи  всего   лишь
пЯтиклассником.  Џусть  она  ошибаетсЯ.  €  это  извинительно.  ‚едь на  нее
устремлены  десЯтки глаз  тех, кто  сопереживает и готовит себЯ  к такому же
смелому шагу, который только  что совершила вчерашнЯЯ троечница.  …е успех -
это завтрашний взлет десЯтков подобных ей.
     ђеакциЯ  учителЯ  на тихий голос,  на раздумьЯ,  на неудачи - это  тоже
методические приемы, найденные долгим опытом.
     -  Ћшиблась - не беда,- говорит во времЯ одной из пауз учитель,- ошибка
- это даже хорошо: не убежим далеко  от тех, кто поотстал. ‚сЯ наша работа -
неизбежные ошибки. …сли бы вы не ошибались, то зачем тогда вам учитель?
     "‡начит,-  спросит озадаченный  читатель,-  к доске  всегда  вызываетсЯ
самый неуверенный в себе ученик? ’от, который последним поднЯл руку?"
     Ќет, не всегда. Ќо в большинстве случаев.
     "Ќо  не  будет  ли это  действовать  угнетающе на  лучших  учеников? Ќе
потерЯют ли они интерес к работе?"
     ‚опрос  резонный.  …сли бы  учитель  ограничивалсЯ только  тем, что  на
протЯжении многих уроков называл лишь фамилии учеников, первыми  поднимающих
руки,  то спад  их  интереса к делу произошел непременно. € даже более того:
почувствовав  бесконтрольность, они вполне могут начать поднимать руки  даже
тогда, когда не  совсем  уверены  в правильности  предполагаемого  ими  хода
решениЯ,  а это уже недопустимый воспитательный сбой.  Љак должен вести себЯ
ученик,  выЯснивший,  что  верного  решениЯ   он  найти  не  смог?  Љ  каким
нравственным  издержкам  это  приведет?  Ђ  если  решение  было  верным,  но
оригинальным  и непохожим на то, которое прозвучало  в классе? ‡десь впору и
обидетьсЯ, и замкнутьсЯ, и надолго замолчать...
     € вот на одном из уроков, когда несколько первых учеников поднЯли руки,
учитель снова называет их фамилии и говорит:
     - ‚о времЯ больших  сражений главнокомандующий всегда держит  в резерве
несколько  своих лучших воинских соединений.  Ћни  не вступают в бой, но уже
одно только их присутствие наполнЯет  сердца воинов уверенностью в победе. ‚
этих  условиЯх никогда не  будет паники: резервные войска есть, значит, пока
еще можно  обойтись  и без  них. ‡начит,  выстоим.  ’ак было в сражении  под
Ѓородином в 1812  году. ’ак было  в великой битве под  Њосквой  в 1941 году.
‘тавка   всегда   должна   располагать   резервом   главного   командованиЯ.
“ничтоженный резерв-это катастрофа. ’ак вот, ЃустерЯков, Ѓрага,  ‚олченский,
‘ерых,  Њоисеева,   џкуш,  ’алалаев,  вы  сейчас  выполнЯете   роль  резерва
главнокомандующего, и к вам  мы обратимсЯ  только  тогда, когда  уже  никто,
кроме  вас,  не поможет нам выиграть бой с  этой задачей. €  на  линию  огнЯ
сейчас пойдет €горь Љаширин.
     “ €горька, так же как и у ‹ены €саевой, годовой оценкой по математике в
III классе была тройка.  Ќо то было в III классе, а  уже в V и  ‹ена и €горь
стали лучшими учениками класса, и в их экранах  успеваемости  по  математике
стоЯли одни только пЯтерки.  € никто из многочисленных посетителей уроков  в
экспериментальном  классе  даже представить себе не мог, какими беспомощными
были эти ребЯта всего только год назад. ѓости представить не могли,  но дети
в  классе  отлично понимают и знают,  кто сейчас у  доски, кто решает  такие
задачи, и уже на следующем уроке поднимаютсЯ новые руки, затаенной  надеждой
на  немыслимый еще  вчера успех загораютсЯ новые глаза. Ћ "резерве  главного
командованиЯ"  на  одном из  родительских  собраний  непременно  ставЯтсЯ  в
известность родители  - пусть не возмущаютсЯ  сообщением сына  или дочери  о
том, что их "сегоднЯ не вызывали, хотЯ руку  они поднимали". Џусть понимают,
что их ребенок поднЯлсЯ на новую высоту. ‚ этом скрыт  еще  один побуждающий
мотив содружества семьи и школы.
     "ђезерв" - "резервом", а долгое  молчание ребЯт, входЯщих в него, никак
не может благотворно влиЯть на их отношение ко всему происходЯщему на уроке.
ѓипертрофиЯ в использовании этого методического приема неизбежно повлечет за
собой  спад  активности  лучших ребЯт,  а  это  чревато  самыми  неприЯтными
последствиЯми. ‚ экспериментальных  классах подобного не происходило никогда
- лучшие учащиесЯ всегда оставались самыми активными. Џричин тому много,  но
одна из  них в том,  что,  когда класс думает над  решением задачи, им,  уже
поднЯвшим руки,  предлагаетсЯ  приступить к черновым  расчетам,  составлению
итоговых  уравнений  и  даже к  записи решениЯ в тетрадь  набело,  если  все
расчеты окажутсЯ  верными и будет получен правильный  ответ. ќто даст  им  в
конце  урока несколько  свободных минут, и, как  уже было  сказано,  они или
раньше других  уйдут  домой,  если идет  последний  урок,  или  приступЯт  к
выполнению домашних заданий. Џроверку правильности решений проводит учитель,
если задача сложнаЯ и решивших ее  ранее других не  столь уж много, или  это
делаетсЯ в форме парного  контролЯ, или десантом, или цепочкой - было бы что
проверЯть
     Ќо  как же  быть, если  в систему взаимопроверки  просочитсЯ ошибка и у
одного из  ребЯт  или одновременно у двоих в паре окажутсЯ неверными ответы?
’акое тоже  не исключено - часто проверЯютсЯ не  только готовые записи, но и
черновые наброски. Ќе беда! ‡а времЯ, пока лучшие оформлЯют свои  решениЯ, к
доске обычно уже  выходит ученик  и  начинает работать  перед  всем классом.
’етради же, которыми обменЯлись ребЯта при парном контроле, остаютсЯ  у тех,
кто их проверЯл, и окончательное решение о правильности выполненных операций
выноситсЯ  только  тогда,  когда четко  прорисовываетсЯ весь  ход решениЯ на
доске.

         ќто могут все

     10  октЯбрЯ 1986  г. V эксперимен-тальный класс.  ’ема  урока  "ђешение
упражнений".  K началу  урока во времЯ перемены подготовлена класснаЯ доска,
на которой учителем сделаны следующие записи и числовые пометки (см. рис.).
     <img src=image046.gif>
     —итатель, видимо, уже догадалсЯ, что это краткие условиЯ задач, которые
ребЯтам предстоит решить на уроке.
     …жедневно  работаЯ с  такими буквенно-числовыми  сокращениЯми,  ученики
исподволь овладевают  основными  умственными  операциЯми анализа  и синтеза,
приучаютсЯ выделЯть действенные данные задач, устанавливать между ними свЯзи
и представлЯть условиЯ задач в наглЯдной и лаконичной  графической форме. Ќе
по  шаблонам, не  по обЯзанности, а в  высшей степени естественно,  так, как
этого  требует  собственное  видение  условиЯ.   ‘  течением  времени  такаЯ
обработка  условиЯ   становитсЯ   привычной,  и  ребЯта  пользуютсЯ  ею  при
самостоЯтельном  решении  задач,  хотЯ  к  этому  их  не  понуждают  никакие
требованиЯ или обЯзательные установки.  Љраткие условиЯ  обычно записываютсЯ
на   черновиках  и  не  переносЯтсЯ  в  тетради   или   чистовые  экземплЯры
самостоЯтельных  работ.  ЉраткаЯ  запись  нужна  ученику  всего  только  как
строительные леса при возведении  объекта. ‘  завершением строительства леса
убираютсЯ. “словие первой задачи учитель прочитывает дважды.  Џервый раз - в
обычном разговорном темпе. ‚торой раз - медленно, акцентирование.
     - ‚ одной школе  840 учащихсЯ. ‚о второй на <sup>1</sup>/7  этого числа
больше, в третьей <sup>5</sup>/6 числа учащихсЯ второй школы,  а в четвертой
<sup>3</sup>/10 числа  учащихсЯ первых трех школ вместе. ‘колько учащихсЯ во
всех четырех школах вместе?
     ЉороткаЯ пауза.
     - Џисать ничего не нужно. ђасчеты произвести устно и записать в тетради
окончательный ответ.
     „лЯ  20  учителей,  присутствовавших  на  этом уроке, установка  решить
задачу устно прозвучала сенсационно, длЯ ребЯт - привычно, буднично. ‘колько
логических переходов и сопутствующих им вычислений должны произвести  ребЯта
устно, не делаЯ никаких записей?
     <li><sup>1</sup>/7 от 840. Ќа 120 учащихсЯ больше во второй школе,  чем
в первой.
     <li>840+120=960 учащихсЯ во второй школе.
     <li><sup>5</sup>/6 от 960. 800 учащихсЯ в третьей школе.
     <li>840+960+800=2600 учащихсЯ в трех школах вместе.
     <li><sup>3</sup>/10 от 2600. 780 учащихсЯ в четвертой школе.
     <li>2600+780=3380 учащихсЯ в четырех школах.

     €того пЯть логических переходов и 7 арифметических действий. ќто вполне
доступно   абсолютному   большинству  учащихсЯ,  но  при  двух  обЯзательных
условиЯх.
     1. “читель сам  должен решать  такие задачи-примеры только устно, даваЯ
тем  самым  ученикам  образец  выполнениЯ  операций,  вселЯЯ  уверенность  в
посильности подобного способа решениЯ, побуждаЯ к напрЯжению мысли.
     2.  “читель  не должен  сомневатьсЯ  в  возможностЯх  ребЯт,  ибо  даже
малейшее  проЯвление  скептицизма мгновенно передастсЯ детЯм  и демобилизует
их.
     ‹учшим учащимсЯ класса длЯ решениЯ этой задачи требуетсЯ не более одной
минуты,  а к концу учебного  года  умение производить  устные расчеты такого
объема приобретают почти все ученики. Ћписываемый урок  проводилсЯ через  40
дней  после начала учебного  года, и до этого были  решены только 2 задачи с
устными  расчетами,  так  как  на  первом  плане   начала  учебного  года  -
массированное  повторение:  необходимо восстановить навыки  расчетов и  весь
учебный материал IV класса, подзабытый за 3 месЯца летних каникул.
     Љ исходу второй минуты в классе 5 рук.
     - Љолос, ЃустерЯков, џкуш, ‡уенко, Љаширин - к доске.
     ЏЯть человек решили задачу, и  все пЯтеро должны доказать  правильность
своих действий, окончательный  результат  которых учитель уже проверил по их
ответам в тетрадЯх.  ‘лов нет,  записанное в тетради число 3380 само по себе
уже говорит о правильно решенной задаче, но  доказанное учителю должно  быть
доказано и всем. ‚ызвать одного, как это обычно практикуетсЯ, значит обидеть
четырех остальных: они-то  тоже решили  задачу. ‡ачем же давать пищу чувству
обиды и неудовлетворенности? € поэтому все пЯтеро идут к  доске  и выполнЯют
последовательно один за другим все 20  операций - вопросы, действиЯ к ним, а
сверх того называют ответы каждого промежуточного действиЯ. Џо 4 операции на
каждого. ќтого  вполне достаточно, чтобы судить  о степени пониманиЯ решениЯ
задачи  каждым из тех, кто поднЯл руку.  ‚ результате никто не  обижен. ‚сем
можно   поставить   отличные  оценки.  €   никакого  обезличиваниЯ,   каждый
оцениваетсЯ индивидуально.  ‚от только с выставлением  оценки  торопитьсЯ не
следует. Љоварно-реактивное  это  оружие -  оценка.  ‘писываниЯ,  подсказки,
заискиваниЯ, обман,  лицемерие, угодничество,  трусость, чванство  - все эти
негативные ЯвлениЯ возникают там, где оценка становитсЯ  побуждающим мотивом
и целью учениЯ.
     ‚тораЯ  задача  из "‘борника  задач московских математических олимпиад"
(Њ., 1967): "‘умма двух  чисел 640. …сли  большее из этих чисел разделить на
меньшее, то в частном получитсЯ 3, а в остатке 60. Ќайти эти числа".
     ‘ледует  оговоритьсЯ,  что  в  1967  г.  пЯтиклассники,  которым  автор
сборника  ѓ.  €.  ‡убелевич  рекомендовала  эту задачу, еще не  пользовались
приемом составлениЯ уравнений, и потому процесс решениЯ в  1989 г. несколько
отличаетсЯ от  того, как  это должны  были делать  ребЯта 22 года  назад, но
существо дела остаетсЯ  практически тем же. ‡адача  общедоступна  и выглЯдит
даже несколько наивно в сравнении с задачами такого же типа из сборника 1897
г. ‘удите сами.
     No 283. "‘умма трех чисел  равна 70. ‚торое число при делении на первое
дает в  частном 2 и остатке 1,  третье число при делении на  второе  дает  в
частном 3 и в остатке 3. Ќайти эти числа".
     No 284. "Ќайти число, которое при делении на 5 дает в остатке  2, а при
делении  на 8 дает  в остатке  5,  знак при  этом, что первое  частное тремЯ
больше второго".
     € эти  задачи  не длЯ  участников московских математических олимпиад, а
длЯ рЯдовых гимназистов IV класса. €нформациЯ к размышлению.
     ‚ V экспериментальном ребЯта составлЯют уравнение, а составив, сразу же
поднимают руки.
     ‚от поднЯты две первые руки.
     -  ЋбменЯйтесь,  пожалуйста, тетрадЯми  и подержите  их  у  себЯ,  пока
закончат работу другие.
     Ќе прошло и минуты,  как тетрадЯми  обменЯлись  десЯть пар  учеников, а
21-й был вызван к доске и начал последовательный рассказ о процессе решениЯ,
сопровождаЯ его краткими  записЯми. ‚се  остальные  учащиесЯ делают такие же
записи в  тетрадЯх,  ноне в своих,  а в  чужих.  Ђ  почему,  собственно,  не
позволить один раз в месЯц сделать записи в чужих тетрадЯх? ‘ одной стороны,
врЯд  ли кто станет писать  в чужой  тетради вкривь и вкось,  а  с другой  -
хозЯевам  тетрадей  будет  с  чем  сравнивать  собственные   записи,   чтобы
постаратьсЯ в дальнейшем оформлЯть свои работы не хуже "соавтора". ‚озможно,
в этом приеме можно найти и какие-нибудь теневые стороны, да только стоит ли
это делать, если ребЯта с очевидным удовольствием включаютсЯ в эту игру? Ђ у
игры свои законы, с которыми спорить почти невозможно. € нужно ли?
     ђабота над второй задачей заканчиваетсЯ сравнением результатов, которые
назвали ребЯта  до начала фронтального  решениЯ,  с  окончательным  ответом.
‘лучаи  расхождениЯ  здесь,  отметим  попутно,  чрезвычайно  редки.  “ченики
относЯтсЯ к  этому виду работы  с большой ответственностью и  осторожностью:
кому хочетсЯ вручить товарищу документальное свидетельство несостоЯтельности
своего пути решениЯ?
     „лЯ  учителЯ, и это понЯтно, важны не только общие подходы к выполнению
практических работ,  но и методические "частности",  свЯзанные с постановкой
вопросов, с переключением вниманиЯ одного ученика к другому, с рассмотрением
различных вариантов, возникающих в ходе решениЯ...  Ќо все эти моменты носЯт
индивидуальный  характер,  и  в каждом  отдельном случае  учитель  действует
по-своему.    Љакие-либо   универсальные    советы    здесь,    по-видимому,
нецелесообразны.
     ‚тораЯ  задача  решена.  ’етради возвращены их хозЯевам. “словиЯ первых
двух задач стерты  с доски, и она стала  просторнее и чище. ќто мощный,  как
уже было отмечено ранее, психологический фактор.  Љласс видит поступательное
движение  урока! Ќо  энтузиазм тоже  нужно подпитывать. ‘ этой  целью  перед
началом решениЯ третьей задачи учитель, как бы между прочим, говорит:
     - Ђ теперь совершенно новаЯ задача. Ќезамысловатее  первой.  ‚ первой -
что там было  особенного?.. ‚ одной школе 840, во второй  на <sup>1</sup>/7,
больше,  в  третьей <sup>5</sup>/6  второй,  а  в  четвертой <sup>3</sup>/10
первых трех. ЏрЯмой  ход решениЯ.  Ќашли  <sup>1</sup>/7  от 840, прибавили,
нашли <sup>5</sup>/6 от 960, сложили все три  и  нашли <sup>8</sup>/10 этого
количества. ЏустЯк!
     € все это спокойно, чуть насмешливо, на одном дыхании, без запинки!
     "Ђ и  верно,-  думают при  этом  те, кто не смог решить  самостоЯтельно
первую задачу.- ‹егкота. Љак же это Я оплошал?"
     Љраткий   пересказ  решениЯ  первой   задачи  преследует  многие  цели:
повторить  процесс решениЯ  длЯ тех  ребЯт,  которые  еще  отстают от  своих
товарищей (нужны-то длЯ этого считанные секунды!), сориентировать на быстрое
мышление,  мобилизовать  внимание  на   основных  действиЯх,  но  главное  -
подготовить  ребЯт   к   решению   третьей  задачи:  "Џлавательный   бассейн
наполнЯетсЯ  двумЯ трубами за  48 мин,  если открыть  сразу две трубы. —ерез
одну  трубу  бассейн может  наполнитьсЯ за  2 ч. Ќайти объем бассейна,  если
известно, что за 1 минуту через вторую трубу поступает на 50 куб. м  больше,
чем  через первую"  (‘борник  задач  московских математических олимпиад. Њ.,
1967).
     ’ретьЯ  задача  -  задача-разрЯдка.  ‡десь  искушенный  читатель  может
возразить:  "‡адача на совместную работу с переходом на разность и отношение
величин  не может  выполнить эту функцию  из-за  своей сложности".  € тем не
менее  это  так. ‚се  дело в  том, что принцип решениЯ  таких  задач надежно
усваиваетсЯ ребЯтами  и  они любЯт и умеют  распутывать  самые  замысловатые
условиЯ. ЏоЯвление таких задач на уроке вызывает радостное оживление, ибо их
готов решать любой ученик. ‚от почему это разрЯдка. ‚ абсолютном большинстве
случаев решение задач на  совместную, работу  не записываетсЯ в  тетради,  а
только проговариваетсЯ устно. Љак это будет  происходить  (решает ли у доски
один ученик или  сразу несколько,  работает ли  одновременно  весь класс или
ведетсЯ диалог между  двумЯ учениками), зависит  от уровнЯ подготовки ребЯт,
новизны и сложности условиЯ задачи, громоздкости расчетов и прочих условий.
     ‚енчает урок конечно же четвертаЯ задача (Њ. €. ‘канави, No 13 048):
     "„лина „унаЯ относитсЯ к длине „непра, как 6<sup>3</sup>/1 : 5, а длина
„она относитсЯ  к длине „унаЯ, как  6<sup>1</sup>/2 : 9<sup>1</sup>/2. Ќайти
протЯженность каждой из трех рек, если „непр длиннее „она на 300 км".
     “чителЯ математики  хорошо знают, что  таких  задач  нет ни в  одном из
учебников IV-VI классов,  хотЯ еще  совсем недавно они занимали значительное
место во всех без исключениЯ сборниках. ‹юбопытен и такой факт. ‚ ’аганроге,
в школе, где училсЯ Ђ. Џ. —ехов, хранитсЯ его ученическаЯ тетрадь  с записью
решениЯ подобной задачи. ‘тало быть, работа над  материалом  такой сложности
нисколько не  помешала Ђнтону Џавловичу стать великим  русским  писателем и,
как знать,  возможно, даже  помогла  ему развить логику мышлениЯ, вниман