ений развиваетсЯ идеЯ равенства
отношений; одна из них есть конкретный зародыш точной  науки,  другаЯ  -  ее
абстрактный зародыш ’е, которые не могут  понЯть,  как  познание  подобиЯ  в
существах  одного  и  того  же  вида  может  иметь  какую-нибудь   свЯзь   с
умозаключением, - преодолеют это затруднение, если  вспомнЯт,  что  ЯвлениЯ,
между которыми равенство отношений таким  образом  усмотрено,  суть  ЯвлениЯ
того же самого порЯдка и представлЯютсЯ чувствам в одно и то же времЯ; тогда
как ЯвлениЯ, отношениЯ между которыми усматривает  только  развитый  ум,  не
принадлежат, вообще говорЯ, к одному порЯдку  и  не  представлЯютсЯ  в  одно
времЯ. …сли, далее, они вспомнЯт, как Љювье и Ћвэн по одной части животного,
например по зубу, строЯт целое животное посредством процесса  умозаключениЯ,
основанного на этом равенстве отношений, то они увидЯт,  что  эти  две  вещи
свЯзаны тесно, сколько бы ни казались они далекими на первый взглЯд.  Ќо  мы
забегаем вперед. Џокуда нам нужно  только  заметить,  что  из  знакомства  с
органическими формами единовременно возникают и идеЯ  простого  равенства  и
идеЯ равенства отношений.
     ‚ то же времЯ и путем тех же умственных процессов ЯвлЯютсЯ первые Ясные
идеи  числа.  Ќа  самых  ранних  ступенЯх  представление  отдельных  сходных
предметов производит только неопределенное понЯтие  множественности,  это  и
теперь  еще  видно  между  австралийцами,  бушменами  и  дамарасами,   когда
представлЯемое число превышает три или четыре. €меЯ такие факты перед собой,
мы можем безопасно  заключить,  что  первое  Ясное  численное  понЯтие  было
понЯтие  двойственности,  как  противоположное  единице.   €   это   понЯтие
двойственности необходимо должно было вырасти рЯдом с понЯтиЯми  сходства  и
равенства, потому что невозможно признать сходство двух вещей,  не  усмотрев
вместе с тем, что  их  две.  ‘  самого  начала  понЯтие  числа  должно  было
соединЯтьсЯ, как оно до сих  пор  соединЯетсЯ,  со  сходством  и  равенством
исчислЯемых вещей. ЂнализируЯ простое счисление, мы  найдем,  что  оно  есть
записывание  повторЯвшихсЯ  впечатлений  какого-нибудь   рода.   —тобы   эти
впечатлениЯ могли быть доступны счислению, необходимо, чтобы они были  более
или  менее  сходны;  и  прежде,  чем  можно  достигнуть  абсолютно  истинных
численных  результатов,  нужно,  чтобы   единицы   были   абсолютно   равны.
…динственный  путь,  которым  мы  можем  установить  какое-нибудь  численное
сродство между вещами, не производЯщими на нас сходных впечатлений,  состоит
в том, чтобы разделить их на части, которые производили бы  на  нас  сходные
впечатлениЯ. „ве несходные величины притЯжениЯ, силы, времени, веса или чего
бы то ни было  могут  быть  оценены  в  своих  относительных  итогах  только
посредством какой-либо мелкой единицы, котораЯ содержитсЯ много раз в  обеих
величинах; если мы выражаем большую величину единицей и другую - дробью  ее,
мы определЯем в знаменателе дроби число частей, на  которые  единица  должна
быть  разделена,  чтобы  допустить  сравнение  с  дробью.  ‘праведливо,  без
сомнениЯ, что посредством некоторого, очевидно нового,  процесса  отвлечениЯ
мы иногда прилагаем числа к неравным единицам, как, например,  к  утвари  на
аукционе или к различным животным на ферме, - прилагаем просто как ко многим
отдельным вещам; но через  счисление  единиц  такого  рода  нельзЯ  получить
никакого истинного результата. € в  самом  деле,  отличительнаЯ  особенность
счислениЯ вообще состоит в  том,  что  оно  совершаетсЯ  при  гипотезе  того
безусловного равенства абстрактных его единиц,  каким  не  обладают  никакие
реальные единицы, и что точность его результатов держитсЯ только в силу этой
гипотезы. ’аким образом, первые идеи числа необходимо произошли  из  сходных
или равных величин, какие усматриваютсЯ главнейшим  образом  в  органических
предметах; и  так  как  подобные  величины,  чаще  всего  наблюдаемые,  были
величины протЯжениЯ, то надо заключить, что  геометриЯ  и  арифметика  имеют
одновременное начало.
     Ќе только первые Ясные идеи числа свЯзаны с идеЯми подобиЯ и равенства,
но и первые усилиЯ к счислению представлЯют  то  же  самое  сродство.  —итаЯ
рассказы о различных диких племенах, мы находим, что метод счета посредством
пальцев, которому еще и теперь следуют многие дети, есть первобытный  метод.
Џомимо отдельных случаев, в которых способность  к  счислению  не  достигает
даже полного числа пальцев на одной руке, есть много случаев, в которых  она
не простираетсЯ далее  десЯти,  -  предела  простого  означениЯ  посредством
пальцев. ”акт, что в столь многих  случаЯх  отдаленные  и,  по-видимому,  не
сообщающиесЯ одна с другой  нации  принЯли  десЯть  за  основание  численной
системы, вместе с фактом, что в остальных случаЯх основное  число  есть  или
пЯть (пальцы одной руки), или двадцать (пальцы рук и ног), сам по себе почти
доказывает, что пальцы были первоначальными единицами счислениЯ. „о сих  пор
удержавшеесЯ употребление слова digit, как общего названиЯ длЯ всЯкой фигуры
в арифметике,  многознаменательно,  и  даже  говорЯт,  что  наше  слово  ten
(саксонское tyn, голландское tien, немецкое zehri) означало в первоначальной
своей форме две руки. ’ак что в первобытное времЯ сказать,  десЯть  вещей  -
было то же самое, что сказать: две руки  вещей  €з  всех  этих  свидетельств
достаточно Ясно, что самый ранний способ сообщениЯ идеи какого-нибудь  числа
вещей состоЯл в поднЯтии стольких пальцев,  сколько  было  вещей,  т.  е.  в
употреблении  символа,  который  был  равен,  в  отношении  множественности,
означаемой группе. Ѓез сомнениЯ, сильным  подтверждением  длЯ  этого  вывода
служит новейший факт, что наши солдаты самобытно усвоили себе этот  прием  в
сношениЯх с турками во времЯ Љрымской войны. Ќадо заметить, что в этом новом
сочетании понЯтиЯ равенства с понЯтием множественности, посредством которого
делаютсЯ первые шаги в счислении, мы  можем  видеть  одно  из  самых  ранних
соприкосновений между  расходЯщимисЯ  отраслЯми  науки,  -  соприкосновений,
которые впоследствии постоЯнно встречаютсЯ.
     Ќо, прежде чем проследим способ,  которым  точнаЯ  наука  возникает  из
приблизительных суждений чувств, и прежде чем покажем нелинейность  развитиЯ
отделов   науки,   полезно   будет   заметить   нелинейный   характер    тех
предварительных процессов, продолжение которых  составлЯет  все  последующее
развитие. ‚сЯкий, кто рассмотрит эти  процессы,  увидит,  что  они  суть  не
только расходЯщиесЯ отростки от общего корнЯ, не только одновременны в своем
развитии, но что они взаимно помогают друг другу и что ни  один  из  них  не
может  идти  вперед  без  остальных.  Џолнота  классификации,  длЯ   которой
прокладывает  путь  развитие  восприЯтий,  невозможна  без  соответствующего
прогресса в  Языке,  посредством  которого  большее  разнообразие  предметов
становитсЯ  мыслимо  и  выразимо.  ‘   одной   стороны,   невозможно   вести
классификацию без названий, которыми бы обозначались классы, а  с  другой  -
невозможно создать Язык прежде, нежели классифицируютсЯ вещи.  „алее,  самое
умножение классов и следующее отсюда стеснение каждого  класса  предполагают
уже большее сходство между вещами, соединенными в один класс; а  приближение
к понЯтию совершенного сходства само способствует тому, чтобы  классификациЯ
была доведена до более высокой степени. ‘верх того, классификациЯ необходимо
идет вперед pari  passu  с  рациональностью,  т  е.  классификациЯ  вещей  с
классификацией отношений: потому что вещи, принадлежащие к одному и тому  же
классу, представлЯют,  само  собою  разумеетсЯ,  вещи,  свойства  которых  и
условиЯ положениЯ - сосуществованиЯ и последовательности -  суть  более  или
менее  те  же  самые;  а  познание   этого   тождества   сосуществованиЯ   и
последовательности   есть   умозаключение.   Ћтсюда   следует,   что   успех
классификации необходимо  пропорционален  успеху  обобщений.  Ќо  далее,  из
понЯтиЯ сходства как в вещах, так и в  отношениЯх  одновременно  развиваютсЯ
идеи равенства вещей и равенства отношений, которые суть  основаниЯ  точного
конкретного и точного абстрактного  умозаключениЯ  -  математики  и  логики.
Љроме того, эта идеЯ равенства, в самом процессе  своего  образованиЯ,  дает
начало двум рЯдам отношений - отношениЯм величины  и  отношениЯм  числа,  из
которых возникли геометриЯ и счисление. ’аким  образом,  весь  процесс  есть
процесс постоЯнного подразделениЯ и постоЯнного взаимного сообщениЯ отделов.
‘ самого начала существовала та  свЯзь  различных  родов  познаниЯ,  котораЯ
соответствует свЯзи умственных способностей  и  котораЯ,  как  уже  сказано,
должна существовать между науками.
     Џерейдем теперь к наблюдению того, как из понЯтий  равенства  и  числа,
образовавшихсЯ   указанным   способом,   возникают    постепенно    элементы
количественного предвидениЯ.
     ђавенство, раз определенно понЯтое, тотчас же начало  применЯтьсЯ  и  к
другим ЯвлениЯм, помимо Явлений величины. ’ак как оно  оказалось  приложимым
ко всем вещам, производЯщим одинаковые впечатлениЯ, то естественно  возникли
идеи о равенстве весов, звуков, цветов и т. д. …два  ли  можно  сомневатьсЯ,
что опыты над равными весами, звуками и цветами имели свою  долю  участиЯ  в
развитии отвлеченного понЯтиЯ о  равенстве,  т.  е.  что  идеи  равенства  в
размерах,  отношениЯх,  силах,  сопротивлениЯх  и  чувствительных  свойствах
вообще развивались в продолжение того же самого периода. Љак бы то ни  было,
но Ясно, что как  скоро  понЯтие  равенства  приобрело  определенность,  так
низший род количественного предвидениЯ, которого достигают без помощи  каких
бы то ни было приборов, сделалсЯ возможен. ‘пособность оценить,  как  бы  ни
было грубо, величину предвидимого результата подразумевает понЯтие того, что
эта величина будет равна известному воображаемому количеству; и правильность
оценки, очевидно, будет зависеть от точности, до которой достигли восприЯтиЯ
чувствуемого равенства. „икарь с куском  камнЯ  в  руке,  имеЯ  перед  собой
другой кусок большей величины, но того же самого вида (заключение о виде  он
выводит  из  равенства  обоих   камней   по   цвету   и   строению),   знает
приблизительно, какое усилие он должен употребить, чтобы поднЯть этот другой
кусок; и точность  его  суждениЯ  пропорциональна  точности,  с  которой  он
усмотрел, что один кусок вдвое, втрое или вчетверо  больше  другого,  т.  е.
пропорциональна точности его идей о равенстве и числе. € заметим здесь,  что
даже  в  этих  наиболее   неопределенных   из   количественных   предвидений
заключаетсЯ  также  понЯтие  равенства  отношений:  ибо  даже  самое  грубое
приближение может быть достигнуто только в силу  некоторого  неопределенного
усмотрениЯ, что  отношение  между  объемом  и  весом  в  одном  камне  равно
отношению между объемом и весом в другом.
     Ќо каким образом совершаетсЯ переход от этих неопределенных  усмотрений
равенства, которые  даютсЯ  невооруженными  чувствами,  к  тем  определенным
усмотрениЯм,  с  которыми  имеет  дело  наука?  Ћн  совершаетсЯ  посредством
сопоставлениЯ сравниваемых вещей.  ’ак  как  равенство  утверждаетсЯ  о  тех
вещах, которые производЯт на нас неотличимые одно от другого впечатлениЯ,  и
так как  точное  сравнение  впечатлений  невозможно,  если  они  не  следуют
непосредственно  одно  за  другим,  то  отсюда  вытекает,  что   возможность
установить точность  равенства  находитсЯ  в  прЯмом  отношении  к  близости
сравниваемых предметов. ‚следствие этого,  когда  мы  хотим  судить  о  двух
оттенках цвета, мы помещаем  их  рЯдом;  вследствие  этого  мы  не  можем  с
какой-либо точностью сказать, который из двух соединенных звуков громче  или
выше  в  диапазоне,  если  только  звуки  не  следовали   один   за   другим
непосредственно; вследствие этого, желаЯ оценить отношение грузов, мы  берем
по одному в каждую руку, чтобы  можно  было  сравнить  их  давлениЯ,  быстро
переходЯ в  мысли  от  одного  груза  к  другому;  вследствие  этого,  играЯ
музыкальную пьесу, мы можем сделать одинаковый такт вслед за предыдущим,  не
можем быть уверены, что размер такта будет  тот  же  при  повторении  пьесы;
вследствие этого, наконец, ЯвлЯетсЯ  факт,  что  из  всех  величин  величины
линейного протЯжениЯ суть такие, равенство которых доступно наиболее  точной
поверке и на которые  вследствие  этого  сводЯтсЯ  все  другие.  Ћсобенность
линейного протЯжениЯ  состоит  в  том,  что  оно  одно  дозволЯет  абсолютно
совместить величины или, лучше, поставить их в  совпадающее  положение;  оно
одно может проверить равенство двух величин посредством наблюдениЯ, совпадут
ли они, как совпадают две равные  математические  линии,  проведенные  между
теми же самыми точками,  оно  одно  может  проверить  равенство  посредством
испытаниЯ того, станет ли оно тождеством. Ћтсюда вытекает факт,  что  всЯкаЯ
точнаЯ наука в окончательном  анализе  может  быть  сведена  на  результаты,
измерЯемые равными единицами линейного протЯжениЯ.
     ЋстаетсЯ  еще  заметить,  каким  образом  возникает   это   определение
равенства посредством сравнениЯ линейных  величин.  Њы  можем  тут  еще  раз
убедитьсЯ, как окружающие  естественные  предметы  служат  к  тому  полезным
руководством. ‘ самого начала должен был существовать  постоЯнный  опыт  над
сходными вещами, расположенными рЯдом, как, например, над людьми, стоЯщими и
гулЯющими вместе, над животными одного и того же стада, над рыбами на  одной
и той же отмели. Ѓеспрестанное повторение этих опытов не могло не привести к
наблюдению, что, чем ближе находЯтсЯ какие-нибудь предметы друг к другу, тем
виднее становитсЯ всЯкое неравенство между ними.  Ћтсюда  понЯтнаЯ  привычка
прикладывать друг к другу те вещи,  относительные  величины  которых  желают
узнать. Ћтсюда же поЯвилась идеЯ меры. Њы тут неожиданно приходим  к  группе
фактов, которые доставлЯют твердое основание длЯ основного рассуждениЯ;  они
же дают сильное доказательство и в подтверждение предыдущих умозрений. ‹юди,
которые смотрЯт скептически  на  попытку  восстановить  самые  ранние  эпохи
умственного развитиЯ, и особенно те,  которые  думают,  что  относить  массу
первичных понЯтий  к  органическим  формам  есть  вещь  довольно  натЯнутаЯ,
увидЯт, быть может, больше вероЯтности в различных гипотезах, на которые  мы
здесь отважились, если убедЯтсЯ, что все меры протЯжениЯ и силы произошли из
долгот и весов органических тел; а  все  меры  времени  -  из  периодических
Явлений как в органических, так и в неорганических телах.
     ’аким образом, из  линейных  мер  еврейский  локоть  представлЯл  длину
передней части руки от локтЯ до конца среднего пальца; а меньшие  библейские
меры выражаютсЯ в ладонЯх и пЯдЯх. …гипетский локоть,  происшедший  подобным
же образом, был разделен на единицы, представлЯвшие ширину пальца; а  ширина
пальца выражалась более определенно и  принималась  равной  толщине  четырех
Ячменных зерен. „ругие древние меры были обхват, шаг и ладонь.  “потребление
этих натуральных единиц длины так укоренилось на ‚остоке, что даже и  теперь
некоторые из арабов мерЯют сукно переднею частью руки. ’о же самое было и  с
европейскими  мерами.  ‘о  времен  римлЯн  фут  представлЯет   преобладающее
измерение во всей  …вропе;  длина  его  в  различных  местах  разнообразитсЯ
немногим более, нежели длина ступни различных людей. ‚ысота  лошадей  еще  и
теперь выражаетсЯ ладонЯми. „юйм есть длина первого сустава большого пальца,
как это особенно Ясно видно во ”ранции, где pouce означает и большой  палец,
и дюйм. ’очно таким образом дюйм разделЯетсЯ у нас  на  три  Ячменных  зерна
(barley corns). ќти органические меры служили субстратами всЯкого измерениЯ,
и только посредством их мы можем составить какую-нибудь оценку некоторых  из
древних расстоЯний. Ќапример, длина градуса земной поверхности, как она была
определена арабскими  астрономами  вскоре  после  смерти  ѓарун  аль-ђашида,
равнЯлась пЯтидесЯти шести милЯм. Ћб их миле мы не знаем ничего, кроме того,
что она равнЯлась 4000 локтей; остаетсЯ сомнительным, были ли это  свЯщенные
локти или обыкновенные, но длина локтЯ дана в двадцать семь дюймов, а каждый
дюйм определЯлсЯ толщиной шести Ячменных зерен. ’аким образом, одно из самых
древних  измерений  градуса  дошло  до  нас  в  Ячменных  зернах.  Ќо  длина
органических тел составлЯла  не  только  те  приблизительные  меры,  которые
удовлетворЯли человеческим нуждам в более  грубые  века,  -  она  доставлЯла
также  образец  мер,  требовавшихсЯ  во  времена  позднейшие.  Ћдин   пример
встречаетсЯ, между прочим, и в нашей  истории.  ѓенрих  I,  чтобы  исправить
господствовавшие беспорЯдки, приказал, чтобы ulna (локоть), или древний ell,
который соответствует нынешнему Ярду, равнЯлась длине его собственной руки.
     Њеры веса имеют подобное же происхождение.  ‡ерна,  кажетсЯ,  постоЯнно
доставлЯли единицу. Ћригинал карата, употреблЯемого длЯ взвешиваниЯ в €ндии,
есть мелкий боб. Ќаши собственные системы, как аптекарскаЯ, так и  торговаЯ,
основаны на зернах пшеницы. Ќаш самый мелкий вес, гран, есть  зерно  (grain)
пшеницы. ќто  не  умозрение,  а  исторически  записанный  факт.  ѓенрих  III
постановил законом, чтобы унциЯ была весом в  640  сухих  зерен  пшеницы  из
середины колоса. ’ак как все другие веса были кратными по отношению к этому,
то  очевидно,  что  зерно  пшеницы   составлЯет   основание   нашего   веса.
ЏользоватьсЯ  органическими  телами   как   единицами   веса,   прежде   чем
установились искусственные единицы веса, так естественно,  что  в  некоторых
отдаленных частЯх €рландии народ, говорЯт, имеет обыкновение, даже и теперь,
ставить на весы человека, чтобы он служил мерой длЯ тЯжелых товаров.
     ’о же самое нужно  сказать  и  об  измерении  времени.  ЂстрономическаЯ
периодичность и периодичность животной  и  растительной  жизни  одновременно
употреблЯлись  на  первых  ступенЯх  прогресса  длЯ   определениЯ   времени.
Џростейшую единицу  времени,  день,  природа  дает  нам  готовой.  ‘ледующий
простейший период, месЯц, также  сам  собою  представлЯетсЯ  вниманию  людей
посредством видимых изменений, составлЯющих лунный период. „лЯ делений более
обширных древнейшие и нецивилизованные народы пользовались ЯвлениЯми  времен
года  и  некоторыми  главными  событиЯми,   случающимисЯ   после   известных
промежутков  времени.  ’акое  значение  у  египтЯн  имело  возвышение  Ќила.
Ќовозеландцы начинали свой год с поЯвлениЯ плеЯд над морем. Ћдна из полезных
сторон,  какие  древние  греки  видели  в  птицах,  состоЯла  в   том,   что
переселениЯми своими птицы указывают времена года. Ѓарроу рассказывает,  что
готтентоты означают периоды числом месЯцев до или после созреваниЯ одного из
главных элементов их пищи. „алее, он утверждает,  что  у  кафров  хронологиЯ
ведетсЯ по луне и записываетсЯ посредством зарубок на палках, причем  смерть
любимого вождЯ или  одержание  победы  служат  новой  эрой.  Џоследний  факт
напоминает вместе с тем, что в  первые  эпохи  истории  событиЯ  обыкновенно
записываютсЯ как случившиесЯ в известные царствованиЯ  и  в  известные  годы
известных царствований, вследствие чего  царствование  государЯ  практически
делаетсЯ мерой времени. Љак дальнейший пример склонности  делить  времЯ  при
посредстве естественных Явлений и естественных событий  можно  привести  тот
факт, что даже наши поселЯне мало употреблЯют определенные делениЯ месЯцев и
годов и в своих разговорах обыкновенно ссылаютсЯ на событиЯ, как,  например:
"до стрижки овец", "после  жатвы",  "около  того  времени,  когда  скончалсЯ
сквайр" и пр. ’аким образом, очевидно, что более или менее  равные  периоды,
усмотренные в природе, дали первые единицы меры длЯ времени;  точно  так  же
как более или менее равные протЯжениЯ и веса в природе дали  первые  единицы
меры длЯ пространства и силы.
     Ћсталось только указать (как на дальнейший пример подобного же развитиЯ
количественных идей), что меры ценности произошли подобным же образом. Њена,
в той или другой форме, существовала между всеми человеческими расами, кроме
самых низших. Ћна, очевидно,  основана  на  понЯтии  равенства  ценности.  ‘
постепенным переходом  мены  в  торговлю,  через  введение  некоторого  рода
ходЯчей монеты, оказываетсЯ, что меры  ценности,  составлЯющие  эту  монету,
суть органические тела; в одних случаЯх куари, в других кокосовые  орехи,  в
иных рогатый скот, в других свиньи-, у американских индейцев шкуры или кожи,
а в €сландии сушенаЯ рыба.
     Љогда  достигнуты  были  понЯтиЯ  точного  равенства  и  меры,  Явились
определенные идеи относительных величин как кратных одна другой; а отсюда  -
привычка измерЯть посредством прЯмого приложениЯ меры. Ћпределение  линейных
протЯжений посредством этого процесса едва ли  может  быть  названо  наукой,
хотЯ оно и  составлЯет  ступень  к  ней;  но  определение  продолжительности
времени посредством аналогичного процесса можно рассматривать  как  один  из
самых ранних примеров  количественного  предвидениЯ.  Љогда  уже  определено
было, что ‹уна  совершает  цикл  своих  изменений  в  период  времени  около
тридцати дней, - а этот факт  известен  самым  нецивилизованным  из  племен,
которые могут считать далее числа своих пальцев, -  тогда,  очевидно,  стало
возможным предсказывать, через какое  число  дней  возвратитсЯ  даннаЯ  фаза
‹уны;  и  очевидно  также,  что  это  предвидение  совершалось   посредством
сопоставлениЯ  двух  времен,  по  тому  же  самому  способу,  как   линейное
протЯжение измерЯетсЯ посредством сопоставлениЯ двух линий. ‚ыразить  лунный
период в  днЯх  значит  сказать,  сколько  этих  единиц  меры  содержитсЯ  в
измерЯемом периоде, значит определить  расстоЯние  между  двумЯ  точками  во
времени посредством рЯда дней, так точно, как мы определЯем расстоЯние между
двумЯ точками в пространстве посредством рЯда футов или дюймов: в  том  и  в
другом случае рЯд совпадает с измерЯемой вещью - в одном умственно, в другом
видимо. ’аким образом в этом самом  простом  и,  может  быть,  самом  раннем
случае   количественного   предвидениЯ   ЯвлениЯ   не    только    ежедневно
представлЯютсЯ вниманию людей, но природа как бы повторЯет вечно тот процесс
измерениЯ, через наблюдение которого достигаетсЯ предвидение.
     ”акт, что уже на самых ранних  ступенЯх  общественного  прогресса  было
известно, что ‹уна совершает свои изменениЯ почти  в  тридцать  дней  и  что
приблизительно через двенадцать лун возвращаютсЯ времена  года,  т.  е.  тот
факт, что хронологическаЯ астрономиЯ  приобретает  некоторого  рода  научный
характер раньше, нежели геометриЯ, - обЯзан своим существованием частью тому
обстоЯтельству, что астрономические делениЯ - день, месЯц и год -  даны  нам
готовыми  в  природе,  частью  же  тем   дальнейшим   обстоЯтельством,   что
земледельческие   и   другие   занЯтиЯ   в   первое   времЯ   регулировались
астрономическими данными и  что,  кроме  того,  вследствие  предполагавшейсЯ
божественности  небесных   тел,   их   движениЯ   определЯли   периодические
религиозные празднества.  Ћдно  подтверждение  представлЯетсЯ  в  наблюдении
египтЯн,  что  возвышение  Ќила  соответствовало  гелиакальному  восхождению
‘ириуса,  в  наставлении,  какое  находим  у  ѓезиода,  касательно  жатвы  и
вспахиваниЯ согласно положению плеЯд и в  положении  его,  что  "пЯтидесЯтый
день после поворота ‘олнца есть благополучное времЯ длЯ начала путешествиЯ".
„ругого рода подтверждение представлЯетсЯ в названии дней по ‘олнцу, ‹уне  и
планетам; в ранних попытках  восточных  народов  установить  календарь  так,
чтобы боги  не  были  оскорблЯемы  перемещением  их  жертвоприношений,  и  в
определении великого годичного  празднества  перуанцев  сообразно  положению
‘олнца. ‚о всех этих фактах мы видим, что наука была  первоначально  простым
орудием религии и промышленности.
     Џосле открытий, что лунный период занимает почти тридцать  дней  и  что
около двенадцати лунных периодов составлЯют год, - открытий, о  которых  нет
исторического известиЯ, но которые можно считать самыми ранними, опираЯсь на
тот факт, что ныне существующие нецивилизованные расы знакомы с ними,  -  мы
переходим к первым известным астрономическим заметкам, к заметкам  затмений.
•алдеи были в состоЯнии предсказывать их. "Ћни делали это, - говорит “эвелль
в своей прекрасной истории, из которой извлечена большаЯ  часть  материалов,
какими мы пользуемсЯ, - вероЯтно,  посредством  их  цикла  223  месЯцев  или
приблизительно восемнадцати лет; потому что в конце этого  времени  затмениЯ
‹уны начинают возвращатьсЯ с теми же самыми промежутками и в  том  же  самом
порЯдке, как и вначале." €так, этот метод  вычислениЯ  затмений  посредством
возвращающегосЯ цикла - ‘арос, как  они  называли  его,  представлЯет  более
сложный пример предвидениЯ посредством  совпадениЯ  мер.  Џосредством  каких
наблюдений халдеи  открыли  этот  цикл?  Ћчевидно,  как  заключает  „еламбр,
посредством    рассмотрениЯ    своих    списков;    посредством    сравнениЯ
последовательных промежутков; посредством усмотрениЯ того, что некоторые  из
промежутков  одинаковы,  что  эти  равные  промежутки  имеют   отдельно   по
восемнадцать лет; посредством открытиЯ того,  что  все  промежутки,  которые
имели отдельно по восемнадцать лет, были равны; посредством  познаниЯ  того,
что промежутки составлЯют рЯд, который повторЯетсЯ, так что если  один  цикл
наложить на другой, то делениЯ  совпадут.  Љак  только  это  усмотрено,  так
становитсЯ возможным употреблЯть цикл  как  единицу  времени  длЯ  измерениЯ
будущих периодов. ’аким образом, видЯ,  что  процесс  предсказаниЯ  затмений
есть, в сущности, такой же, как и процесс  предсказаниЯ  месЯчных  изменений
‹уны посредством наблюдениЯ числа дней, после которых они повторЯютсЯ; видЯ,
что оба они различаютсЯ только обширностью и неправильностью промежутков,  -
не трудно понЯть, как можно было столь рано достичь подобной  суммы  знаниЯ.
…ще менее будем мы удивлЯтьсЯ, если вспомним, что в этих предвидениЯх ничего
не заключаетсЯ, кроме времени и числа, и что времЯ  было  некоторым  образом
самосчислЯемо.
     Ћднако способность  предсказывать  событиЯ,  случающиесЯ  только  после
столь долгого периода,  как  восемнадцать  лет,  подразумевает  значительный
успех в цивилизации,  значительное  развитие  общего  знаниЯ;  и  теперь  мы
разберем, какой прогресс в других  науках  сопровождал  эти  астрономические
предвидениЯ и был необходим  длЯ  них.  ‚о-первых,  Ясно,  что  должна  была
существовать   довольно   удовлетворительнаЯ   система   счислениЯ.   Ћдного
перечислениЯ  по  пальцам  или  по  головам,  даже  с  помощью   правильного
десЯтичного означениЯ, было бы недостаточно длЯ счислениЯ дней в одном году,
а  тем  более  длЯ  вычислениЯ  годов,  месЯцев  и  дней  между  затмениЯми.
‘ледовательно, должен был существовать способ  записываниЯ  чисел,  вероЯтно
даже, что существовала система  численных  знаков.  ‘амые  ранние  численные
заметки,  насколько  мы  можем   судить   по   обычаЯм   ныне   существующих
нецивилизованных рас, были  сохранЯемы,  вероЯтно,  посредством  зарубок  на
палках или черт, означенных на стенах, как сохранЯютсЯ и теперь  еще  многие
счеты в  гостиницах.  ЉажетсЯ,  есть  основание  предполагать,  что  впервые
употребленные численные знаки были просто группы прЯмых черт, как  некоторые
из римских, доныне еще существующих. ќто дает нам повод подозревать, что эти
группы черт были употреблЯемы, чтобы представить группы пальцев, точно  так,
как группы  пальцев  употреблЯлись  длЯ  представлениЯ  групп  предметов,  -
предположение,  совершенно  согласное  с  первобытной  системой   картинного
письма. Љак бы то ни было, во  всЯком  случае,  очевидно,  что,  прежде  чем
халдеи открыли свой ‘арос, они должны были иметь как рЯд письменных  знаков,
служащих длЯ обширного счислениЯ, так и знакомство с  простейшими  правилами
арифметики.
     Ќе одна абстрактнаЯ математика должна была сделать некоторый успех,  но
и конкретнаЯ. …два ли возможно, чтобы зданиЯ, относЯщиесЯ к этой эпохе, были
выстроены без всЯкого  знаниЯ  геометрии.  ‚о  всЯком  случае,  должна  была
существовать  та  элементарнаЯ  геометриЯ,  котораЯ  имеет  дело  с   прЯмым
измерением, т. е. с приложением линий. ЉажетсЯ, только  после  открытиЯ  тех
простых построений, посредством которых чертЯтсЯ прЯмые углы и  определЯютсЯ
относительные положениЯ,  могли  ЯвитьсЯ  такие  правильные  постройки.  —то
касаетсЯ другого отдела  конкретной  математики  -  механики,  то  мы  имеем
определенные доказательства ее прогресса. Њы знаем, что  рычаг  и  наклоннаЯ
плоскость употреблЯлись уже в то времЯ, а  это  указывает  на  существование
качественного, если не количественного, предвидениЯ их действий  Њало  того.
Њы встречаем разновесы в самых ранних памЯтниках и находим их  в  развалинах
самой глубокой древности ђазновесы предполагают весы, на  которые  мы  также
находим указание. ‚есы же заключают в себе основную теорему  механики  в  ее
наименее  сложной  форме,  -  заключают  не  только   качественное,   но   и
количественное предвидение механических действий ‡десь можно  заметить,  как
механика, вместе с другими точными науками,  берет  свое  начало  от  самого
простого приложениЯ идеи равенства. Њеханическое предложение,  заключающеесЯ
в весах, состоит в том, что если на рычаг с равными плечами повешены  равные
разновесы, то разновесы будут оставатьсЯ  травных  высотах.  Њожно  заметить
далее, как на  этой  первой  ступени  рациональной  механики  представлЯетсЯ
поЯснение той истины, на которую мы недавно указали, а именно  что  так  как
только одни величины линейного протЯжениЯ допускают точное  определение,  то
посредством их определЯлись, вначале равенства всех других величин, ибо если
равенство разновесов, уравновешивающих друг друга на весах,  вполне  зависит
от равенства плеч, то мы  можем  знать,  что  грузы  равны,  только  доказав
равенство  плеч.  Ђ  когда  мы  подобным  путем  установили  систему  весов,
известный рЯд равных единиц силы, тогда сделалась возможной наука  механики.
Ћтсюда  необходимо  следует,  что  рациональнаЯ  механика  не  могла   иметь
какой-либо другой исходной точки, кроме весов.
     „алее, вспомним, что в течение того же самого периода существовало  уже
некоторое знание химии.  Њногие  ремесла,  производившиесЯ  тогда,  были  бы
невозможны без обобщенного опыта о том, каким  образом  действуют  известные
тела друг на друга при данных условиЯх. Ћсобенно много примеров представлЯет
в этом отношении металлургиЯ, которой тогда занимались в обширных  размерах.
Њы  имеем  доказательства,  что  существовало  даже   в   известном   смысле
количественное  знание.  ’ак,  анализ  показывает,  что  твердый  сплав,  из
которого египтЯне делали свои острые орудиЯ, составлен был из меди и олова в
определенных пропорциЯх; следовательно, должно было  существовать  некоторое
установившеесЯ предвидение, что такой сплав мог быть  получен  только  через
смешение металлов именно  в  этих  пропорциЯх.  ‘праведливо,  что  это  было
простое эмпирическое обобщение,  но  таково  же  было  обобщение  касательно
возвращениЯ затмений, и таковы первые обобщениЯ каждой науки.
     Ћтносительно одновременности развитиЯ наук в течение этой ранней  эпохи
остаетсЯ заметить только, что даже самаЯ сложнаЯ из наук должна была сделать
некоторый успех - может быть, даже относительно больший  успех,  нежели  все
остальные науки, ибо  при  каких  условиЯх  возможно  было  предшествовавшее
развитие?  Џрежде  всего,  нужна  была   установившаЯсЯ   и   организованнаЯ
социальнаЯ система. ђЯд записанных затмений, постройка дворцов, употребление
весов, занЯтие металлургией - все это одинаково предполагает  сложившуюсЯ  и
многолюдную нацию. ‘уществование такой нации предполагает не только законы и
некоторое отправление правосудиЯ - что, как мы  знаем,  имело  место,  -  но
предполагает даже хорошие законы, законы, сообразные в известной  степени  с
условиЯми   устойчивости   общества,   законы,   установленные    вследствие
очевидности, что действиЯ, ими запрещавшиесЯ, были опасны  длЯ  государства.
Њы никак не хотим сказать, чтобы все или даже  большаЯ  часть  этих  законов
были таковы, - мы говорим только об основных законах. ЌельзЯ  отрицать,  что
таковы были законы, касавшиесЯ жизни и собственности. ЌельзЯ отрицать,  что,
как бы ни была незначительна их обЯзательность в отношениЯх одного класса  к
другому, они были в значительной степени обЯзательны  длЯ  членов  одного  и
того же класса. …два ли можно оспаривать,  что  применение  этих  законов  в
среде членов одного и того же  класса  правители  почитали  необходимым  длЯ
удержаниЯ подданных в согласии. Ќо помимо  всЯких  предположений  Ясно,  что
обыкновенное признание этих требований  в  тогдашних  законах  подразумевает
некоторое предвидение общественных Явлений.  ’а  же  самаЯ  идеЯ  равенства,
котораЯ, как мы видели, составлЯет основу всех других наук, составлЯет также
основу этики и социологии. ЏонЯтие правосудиЯ, которое есть основа этики,  и
отправление его, составлЯющее жизненное условие  социального  существованиЯ,
невозможны без признаниЯ некоторого сходства в  человеческих  требованиЯх  в
силу общей человечности  людей.  ‘праведливость  (equity)  буквально  значит
ровность (equalness); таким образом, допустив, что в эти первобытные времена
существовала  хотЯ  самаЯ   неопределеннаЯ   идеЯ   справедливости,   должно
допустить, что существовала некоторого рода оценка равенства  свободы  людей
на  добывание   себе   предметов   жизни,   а   следовательно,   определение
существенного принципа национального равновесиЯ.
     ’аким образом, уже на этой начальной ступени положительных наук, прежде
чем геометриЯ успела перейти за несколько эмпирических  правил,  прежде  чем
механика пошла далее своей первой теоремы, прежде чем  астрономиЯ  из  чисто
хронологического фазиса перешла в геометрический, - наиболее  запутаннаЯ  из
наук  (социологиЯ)  достигла  известной  степени  развитиЯ,  развитиЯ,   без
которого невозможен был прогресс в других науках.
     ‡аметим мимоходом, как уже в этот ранний период прогресс  точной  науки
шел не только к увеличению числа предвидений,  но  и  к  предвидениЯм  более
точно-количественным; как в астрономии период возвращающихсЯ лунных движений
мало-помалу сведен  был  к  более  верному  количеству  времени  -  двумстам
тридцати пЯти лунным периодам, как далее Љаллип исправил  этот  метонический
цикл, опустив один  день  в  конце  каждого  семьдесЯт  шестого  года,  как,
наконец, эти  последовательные  успехи  предполагают  более  продолжительное
записывание наблюдений и соглашение более значительного числа факсов. “казав
на это, перейдем к исследованию вопроса о  том,  как  получила  свое  начало
геометрическаЯ астрономиЯ. Џервым астрономическим инструментом был гномон Ћн
не только рано был употреблЯем на ‚остоке, но найден был  и  у  мексиканцев;
посредством его были сделаны астрономические наблюдениЯ  перуанцев.  €сториЯ
говорит, что за 1100 лет до ђ. X. китайцы  нашли,  что  на  известном  месте
длина солнечной тени, в летнее солнцестоЯние, находитсЯ в таком же отношении
к высоте гномона, как полтора к восьми. ‡десь опЯть мы видим не  только  то,
что инструмент находитсЯ готовым,  но  и  то,  что  природа  сама  постоЯнно
совершает процесс измерениЯ; всЯкий укрепленный  стоЯчий  предмет  -  столб,
сухаЯ пальма, жердь, угол зданиЯ - служит гномоном; и нужно только  замечать
изменЯющеесЯ положение тени,  им  бросаемой,  чтобы  сделать  первый  шаг  в
геометрической астрономии. Љак  незначителен  был  этот  первый  шаг,  можно
видеть из того, что вначале узнаны были только  периоды  зимнего  и  летнего
солнцестоЯний,  соответствовавшие  самой  меньшей  и  самой  большей   длине
полуденной тени, длЯ определениЯ которых стоило  только  ежедневно  отмечать
точку, какой достигла тень. ЌельзЯ не заметить, что  в  наблюдении  в  какое
времЯ в течение следующего года тень снова дойдет до крайнего предела,  и  в
выводе, что ‘олнце достигло тогда той же  самой  поворотной  точки  в  своем
годовом пути, мы имеем один  из  самых  простых  примеров  того  совокупного
употреблениЯ  равных  величин  нравных   отношений,   посредством   которого
достигаетсЯ всЯкаЯ точнаЯ наука, всЯкое  количественное  предвидение.  Љогда
замечено было отношение между длиной солнечной тени и положением  ‘олнца  на
небе, ЯвилсЯ вывод, что если в  следующий  год  оконечность  солнечной  тени
достигла той же самой точки, то и ‘олнце занЯло то же  самое  место,  т.  е.
идеи, заключавшиесЯ здесь, были: равенство теней и равенство отношений между
тенью и ‘олнцем в течение нескольких годов  подрЯд.  €  здесь,  как  в  деле
весов, установившеесЯ равенство отношений было самого простого порЯдка.  ќто
не то равенство, с которым обыкновенно имеют дело в  высших  родах  научного
рассуждениЯ и которое соответствует общему типу:  отношение  между  двумЯ  и
тремЯ равнЯетсЯ отношению между шестью и девЯтью. Ќет, это равенство следует
типу, отношение между двумЯ и тремЯ равнЯетсЯ отношению между двумЯ и тремЯ,
тут дело идет не просто о равных отношениЯх, но об отношениЯх совпадающих. €
здесь, без сомнениЯ, мы видим прекрасное поЯснение  того,  как  идеЯ  равных
отношений возникает тем же самым путем,  как  и  идеЯ  равных  величин.  Љак
показано уже, идеЯ равных величин возникает из наблюдаемого совпадениЯ  двух
долгот, сопоставленных рЯдом; а в данном  случае  мы  имеем  не  только  две
совпадающие длины теней, но и два  совпадающих  отношениЯ  между  ‘олнцем  и
тенЯми.
     €з  употреблениЯ  гномона  естественно  выросло  понЯтие   об   угловых
измерениЯх, и с успехом геометрических концепций Явились  гемисфера  Ѓероса,
равноденственное кольцо, солнцестоЯтельное кольцо и  квадрант  ЏтолемеЯ;  во
всех этих приборах тень служила указателем положениЯ ‘олнца, но в соединении
с угловыми делениЯми. ‘ледить за этими  подробностЯми  прогресса,  очевидно,
лежит вне нашей задачи. „остаточно будет заметить, что во всех них мы  можем
видеть то понЯтие равенства отношений более  сложного  рода,  которое  лучше
всего выЯснилось в астролЯбии,  инструменте,  состоЯвшем  "из  кругообразных
ободов, движущихсЯ один внутри  другого  или  около  полюсов,  и  содержащем
круги,  которые  должны  приводитьсЯ  в  положение  эклиптики  и  плоскости,
проходЯщей через ‘олнце и полюсы эклиптики", - в инструменте, следовательно,
представлЯвшем  как  бы   в   модели   относительные   положениЯ   известных
воображаемых  линий  и  плоскостей  на  небе;  он   действовал   посредством
приведениЯ этих представлЯющих линий и плоскостей в параллелизм и совпадение
с небесными, и в своем употреблении основывалсЯ на идее, что отношениЯ между
этими  представлЯвшими  линиЯми  и  плоскостЯми   равны   отношениЯм   между
представлЯемыми линиЯми и  плоскостЯми.  Њы  могли  бы  указать  далее,  что
понЯтие о небе, как вращающейсЯ полой  сфере,  изъЯснение  фаз  ‹уны  и  все
последующие шаги предполагают в себе тот же самый умственный процесс. Ќо  мы
должны удовольствоватьсЯ указанием на теорию эксцентриков и  эпициклов,  как
на более отчетливое выЯснение этого. ЏредложеннаЯ и доказаннаЯ в первый  раз
ѓиппархом, с целью доставить объЯснение главных неправильностей  в  небесных
движениЯх, эта теориЯ заключает  понЯтие,  что  прогрессии,  ретрегрессии  и
вариации скорости, видимые в небесных  телах,  могут  быть  примирены  с  их
предполагаемым однообразным движением в  кругах  посредством  предположениЯ,
что ‡емлЯ находитсЯ не в центре их орбит, или посредством предположениЯ, что
они обращаютсЯ  в  кругах,  которых  центры  обращаютсЯ  вокруг  ‡емли,  или
посредством того и другого предположениЯ, вместе взЯтых. Ћткрытие того,  что
так должны быть объЯснЯемы ЯвлениЯ, было не что иное, как  открытие,  что  в
некоторых геометрических фигурах отношениЯ  были  таковы,  что  однообразное
движение  точки,  если  на  него  смотреть  с  известного  положениЯ,  будет
представлЯть  аналогичные  неправильности;  и  вычислениЯ  ѓиппарха,   таким
образом, предполагают верование, что  отношениЯ,  существующие  между  этими
геометрическими кривыми,  равны  отношениЯм,  существующим  между  небесными
орбитами.
     ЋставлЯЯ здесь эти подробности астрономического прогресса  и  философию
его, заметим, как относительно конкретнаЯ наука  геометрическаЯ  астрономиЯ,
поддерживаемаЯ до  тех  пор  развитием  геометрии  вообще,  в  свою  очередь
воздействовала на нее и была также  причиной  ее  успеха  -  и  затем  снова
пользовалась ее помощью. ѓиппарх, до составлениЯ своих  солнечных  и  лунных
таблиц, открыл правила длЯ вычислениЯ отношений  между  сторонами  и  углами
треугольников, - открыл тригонометрию, подкласс  чистой  математики.  „алее,
приведение теории о шаре в количественной форме, нужное длЯ  астрономических
предположений, требовало образованиЯ сферической тригонометрии, которое было
также совершено ѓиппархом. ’аким  образом,  и  прЯмолинейнаЯ  и  сферическаЯ
тригонометриЯ, части  весьма  абстрактной  и  простой  науки  о  протЯжении,
оставались неразвившимисЯ до тех пор, пока менее отвлеченнаЯ и более сложнаЯ
наука небесных движений не стала нуждатьсЯ в них. ”акт, принимаемый  Љонтом,
что со времен „екарта прогресс