\input style
%% !! ЁАЗОБРАТЬСЯ, ГДЕ M И  sM?
\ex[ть20] яУСТЬ~$S$---МНОЖЕСТВО И~$\cM$---СОВОКУПНОСТЬ ЕГО 
ПОДМНОЖЕСТВ. яРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО~$p$---ФУНКЦИЯ, ЗАДАННАЯ НА МНОЖЕСТВАХ ИЗ~$\cM$,
 ПРИНИМАЮЩАЯ НА НИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, И ЧТО $p(M)$~ОБОЗНАЧАЕТ 
ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО "СЛУЧАЙНО" ВЫБРАННЫЙ ЭЛЕМЕНТ ИЗ~$S$ ПРИНАДЛЕЖИТ~$M$. 
юБОБЩИТЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~т И~D ТАК, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ХОРОШЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ 
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННОЙ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<Z_n>$ ЭЛЕМЕНТОВ 
МНОЖЕСТВА~$S$ ПО ОТНОШЕНИЮ К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ~$p$.

\rex[ть30] (уЕРМАН тЕЙЛЬ.) яОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ 
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ НА~$[0, 1)$ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА
\EQ{
\lim_{N\to\infty}{1\over N}\sum_{0\le n < N} \exp(2\pi i(c_1U_n+\cdots+c_kU_{n+k-1}))=0
}
ДЛЯ КАЖДОГО МНОЖЕСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ~$c_1$, $c_2$,~\dots, $c_k$, ГДЕ НЕ 
ВСЕ~$c_j$ ОДНОВРЕМЕННО РАВНЫ НУЛЮ.

\ex[ь34] яОКАЖИТЕ, ЧТО $b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<X_n>$ 
$k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<c_1X_n+c_2X_{n+1}+\cdots+c_kX_{n+k-1}>$ 
\emph{РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ} ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО~$c_1$, $c_2$,~\dots, $c_k$ 
ЯВЛЯЮТСЯ ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ С~$\НОД(c_1,~\ldots, c_k)=1$.

\ex[ь30] яОКАЖИТЕ, ЧТО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ $k\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$ 
НА~$[0,1)$ В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ СЛУЧАЕ, КОГДА ВСЕ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<c_1U_n+c_2U_{n+1}+\cdots+c_kU_{n+k-1}>$ 
\emph{РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНЫ} ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО~$c_1$, $c_2$,~\dots, 
$c_k$---НЕКОТОРЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, НЕ РАВНЫЕ НУЛЮ ОДНОВРЕМЕННО.

\ex[ть20] яОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАЗЫВАЕТСЯ "БЕЛОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ", ЕСЛИ 
ВСЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ РАВНЫ НУЛЮ, Т.~Е.\ 
ЕСЛИ СООТНОШЕНИЕ ИЗ СЛЕДСТВИЯ~S СПРАВЕДЛИВО ПРИ \emph{ВСЕХ}~$k\ge1$. (ъАК 
ВИДНО ИЗ СЛЕДСТВИЯ~S, $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 
ЯВЛЯЕТСЯ БЕЛОЙ.) яОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ $[0,1)\hbox{-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ}$ 
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНА, ТО ОНА ЯВЛЯЕТСЯ БЕЛОЙ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
\EQ{
\lim_{n\to\infty}{1\over n}\sum_{0\le j < n} (U_j-1/2)(U_{j+k}-1/2)=0 
\rem{ПРИ ВСЕХ~$k\ge 1$.}
}

\ex[ть34] (фЖ. ЇРЭНКЛИН.) юПРЕДЕЛЕННАЯ В ПРЕДЫДУЩЕМ УПРАЖНЕНИИ БЕЛАЯ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, БЕЗУСЛОВНО, МОЖЕТ НЕ БЫТЬ СЛУЧАЙНОЙ. яУСТЬ $U_0$, 
$U_1$,~\dots{} ЕСТЬ $\infty\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. 
юПРЕДЕЛИМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ $V_0$, $V_1$,~\dots{} СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:
\EQ{
\eqalignter{
(V_{2n-1}, V_{2n})&=(U_{2n-1}, U_{2n}), & \rem{ЕСЛИ $(U_{2n-1}, U_{2n})\in 
G$,}\cr
(V_{2n-1}, V_{2n})&=(U_{2n}, U_{2n-1}), & \rem{ЕСЛИ $(U_{2n-1}, 
U_{2n})\notin G$},\cr
}
}
ГДЕ~$G$---МНОЖЕСТВО~$\set{(x,y) \mid x-(1/2)\le y \le x \ror  x+(1/2)\le y}$.
 яОКАЖИТЕ, ЧТО
(a)~$V_0$, $V_1$,~\dots{} ЕСТЬ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ И БЕЛАЯ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ,
(b)~$\Pr(V_n>V_{n+1})=5/8$. (юТСЮДА ВИДНА СЛАБОСТЬ ТЕСТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ.)

\ex[ть49] яУСТЬ~$\<V_n>$---РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННАЯ БЕЛАЯ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ▀ВЛЯЕТСЯ ЛИ ЧИСЛО~$5/8$ В ПРЕДЫДУЩЕМ УПРАЖНЕНИИ 
НАИБОЛЬШИМ ВОЗМОЖНЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ВЕЛИЧИНЫ~$\Pr(V_n>V_{n+1})$?

\rex[ь24] шСПОЛЬЗУЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~\eqref[11], ПОСТРОЙТЕ 
$3\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННУЮ}$ НА~$[0,1)$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ДЛЯ КОТОРОЙ~$\Pr(U_{2n}\ge1/2)=3/4$.

\ex[ть34] яУСТЬ $X_0$, $X_1$, \dots{} ЕСТЬ $(2k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННАЯ}$ 
ДВОИЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. яОКАЖИТЕ, ЧТО
\EQ{
 \Prsup(X_{2n}=0)\le 1/2+\perm{2k-1}{k}\bigg/2^{2k}.
}

%% 192

\rex[ь39] яОСТРОЙТЕ $(2k)\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕННУЮ}$ ДВОИЧНУЮ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ДЛЯ КОТОРОЙ СПРАВЕДЛИВО РАВЕНСТВО
\EQ{
 \Pr(X_{2n}=0)=1/2+\perm{2k-1}{k}\bigg/ 2^{2k}.
}
(юТСЮДА СЛЕДУЕТ, ЧТО НЕРАВЕНСТВО В ПРЕДЫДУЩЕМ УПРАЖНЕНИИ НЕЛЬЗЯ УЛУЧШИТЬ.)

\ex[ь30] яОКАЖИТЕ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0,1)$ 
УДОВЛЕТВОРЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛЕНИЮ~R5, НО ТАКАЯ, ЧТО~$\nu_n/n\ge 1/2$ ДЛЯ 
ВСЕХ~$n>0$, ГДЕ $\nu_n$~ЕСТЬ ЧИСЛО ТЕХ~$j<n$, ДЛЯ КОТОРЫХ~$U_j<1/2$. (¤ТО 
МОЖНО РАССМАТРИВАТЬ КАК НЕСЛУЧАЙНОЕ СВОЙСТВО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.)

\ex[ь24] яУСТЬ~$\<X_n>$---"СЛУЧАЙНАЯ" $b\hbox{-ИЧНАЯ}$ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ В 
СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~R5 И~$\cR$---ВЫЧИСЛИМОЕ ПРАВИЛО ПОСТРОЕНИЯ 
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, КОТОРОЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ БЕСКОНЕЧНУЮ 
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<X_n>\cR$. яОКАЖИТЕ, ЧТО ЭТА ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 
НЕ ТОЛЬКО $1\hbox{-РАСПРЕДЕЛЕНА}$, НО И "СЛУЧАЙНА" В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~R5.

\ex[ть24] яУСТЬ~$\<U_{r_n}>$ И~$\<U_{s_n}>$---БЕСКОНЕЧНЫЕ, НЕ ИМЕЮЩИЕ 
ОБЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<U_n>$. (¤ТО 
ЗНАЧИТ, ЧТО $r_0<r_1<r_2<\ldots$ И~$s_0<s_1<s_2<\ldots$---ДВЕ ВОЗРАСТАЮЩИЕ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И~$r_m\ne s_n$ ПРИ ЛЮБЫХ~$m$, $n$). яУСТЬ 
$\<U_{t_n}>$~ЕСТЬ СОСТАВНАЯ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ДЛЯ 
КОТОРОЙ~$t_0<t_1<t_2<\ldots$ И 
МНОЖЕСТВО~$\set{t_n}=\set{r_n}\cup\set{s_n}$. яОКАЖИТЕ, ЧТО 
ЕСЛИ~$\Pr(U_{r_n}\in A)= \Pr(U_{s_n}\in A)=p$, ТО~$\Pr(U_{t_n}\in A)=p$.

\rex[ь25] юПРЕДЕЛИТЕ ПРАВИЛА~$\cR_1$, $\cR_2$, $\cR_3$~\dots{} ПОСТРОЕНИЯ 
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ТАКИЕ, ЧТОБЫ ЭТИ ПРАВИЛА МОЖНО БЫЛО БЫ 
ИСПОЛЬЗОВАТЬ С АЛГОРИТМОМ~W ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОГО АЛГОРИТМА 
ПОСТРОЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА~$[0,1)$, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ ОПРЕДЕЛЕНИЮ~R1.

\ex[ь50] юБОБЩИТЕ, ЕСЛИ ЭТО ВОЗМОЖНО, АЛГОРИТМ~W ТАК, ЧТОБЫ ПОЛУЧАЛИСЬ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ БОЛЕЕ СТРОГИМ УСЛОВИЯМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~R6.

\ex[ть30] яУСТЬ~$\<X_n>$---ДВОИЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, КОТОРАЯ 
ЯВЛЯЕТСЯ "СЛУЧАЙНОЙ" В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~R6. яОКАЖИТЕ, ЧТО 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ~$\<U_n>$ НА~$[0,1)$, СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ ОПРЕДЕЛЕННАЯ В 
ДВОИЧНОЙ ЗАПИСИ:
\EQ{
\eqalign{
U_0&=0.X_0\cr
U_1&=0.X_1X_2\cr
U_2&=0.X_3X_4X_5\cr
U_3&=0.X_6X_7X_8X_9\cr
\ldots\cr
}
}
ЯВЛЯЕТСЯ СЛУЧАЙНОЙ В СМЫСЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ~R6.

\ex[ь48] ёУЩЕСТВУЮТ ЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ 
ОПРЕДЕЛЕНИЮ~R4, НО НЕ~R5?

\ex[ь50] (р.~э.~ъОЛМОГОРОВ.) яУСТЬ ЗАДАНЫ~$N$, $n$ И~$\varepsilon$. эАЙТИ 
НАИМЕНЬШЕЕ ЧИСЛО АЛГОРИТМОВ В МНОЖЕСТВЕ~$A$, ТАКИХ, ЧТОБЫ НЕ СУЩЕСТВОВАЛИ 
$(n,\varepsilon)\hbox{-СЛУЧАЙНЫЕ}$ ПО ОТНОШЕНИЮ К~$A$ ДВОИЧНЫЕ 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ДЛИНЫ~$N$. (хСЛИ НЕЛЬЗЯ ПОЛУЧИТЬ ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ, МОЖНО 
ЛИ НАЙТИ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ? уЛАВНОЕ В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ---ОПРЕДЕЛИТЬ, 
НАСКОЛЬКО БЛИЗКА ВЕЛИЧИНА~\eqref[35] К "НАИЛУЧШЕЙ ВОЗМОЖНОЙ".)

\ex[ть45] (ъ.~ЁОТ.) яУСТЬ~$\<U_n>$---ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0,1)$ 
И~$\nu_n(u)$---ЧИСЛО НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ~$j<n$, ТАКИХ, ЧТО~$0\le U_j 
<u$.  фОКАЖИТЕ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПОСТОЯННАЯ~$c$, ТАКАЯ, ЧТО 
ДЛЯ ЛЮБОГО~$N$ И ЛЮБОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ~$\<U_n>$ НА~$[0,1)$ ИМЕЕТ МЕСТО НЕРАВЕНСТВО
\EQ{
\abs{\nu_n(u)-un}>c\sqrt{\log N}
}
ДЛЯ НЕКОТОРЫХ~$n$ И~$u$, ТАКИХ, ЧТО~$0\le n < N$, $0\le u < 1$. (фРУГИМИ 
СЛОВАМИ, НИКАКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НА~$[0,1)$ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ 
\emph{СЛИШКОМ} РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ.)

%% 193
\subchap{т√тюф√} % 3.6
т ЭТОЙ ГЛАВЕ МЫ ЗАТРОНУЛИ БОЛЬШОЙ КРУГ ВОПРОСОВ: КАК ВЫРАБАТЫВАТЬ 
СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА, КАК ПРОВЕРЯТЬ ИХ, КАК ИХ ПРЕОБРАЗОВЫВАТЬ И КАК ПОЛУЧАТЬ 
СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. юСНОВНОЙ ВОПРОС, КОТОРЫЙ, 
НАВЕРНОЕ, ВОЗНИКНЕТ ПО ПРОЧТЕНИИ ЭТОЙ ГЛАВЫ У БОЛЬШИНСТВА ЧИТАТЕЛЕЙ, МОЖНО 
СФОРМУЛИРОВАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: "ъАКОВ ЖЕ РЕЗУЛЬТАТ ВСЕЙ ЭТОЙ ТЕОРИИ? 
уДЕ ПРОСТОЙ И КАЧЕСТВЕННЫЙ ДАТЧИК, КОТОРЫЙ Я МОГ БЫ ИСПОЛЬЗОВАТЬ В СВОИХ 
ПРОГРАММАХ КАК НАДЕЖНЫЙ ИСТОЧНИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ?"

шЗ ВСЕГО МАТЕРИАЛА, ИЗЛОЖЕННОГО В ЭТОЙ ГЛАВЕ, СЛЕДУЕТ, ЧТО "НАИЛУЧШИЙ" И 
"ПРОСТЕЙШИЙ" ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ПОЛУЧАЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. т 
НАЧАЛЕ ПРОГРАММЫ УСТАНОВИТЕ ПЕРЕМЕННУЮ~$X$ РАВНОЙ НЕКОТОРОМУ ЦЕЛОМУ 
ЗНАЧЕНИЮ~$X_0$. ¤ТА ПЕРЕМЕННАЯ~$X$ ДОЛЖНА ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ 
ПОРОЖДЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. ъАК ТОЛЬКО ДЛЯ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ 
ПОТРЕБУЕТСЯ СЛЕДУЮЩЕЕ СЛУЧАЙНОЕ ЧИСЛО, НУЖНО УСТАНОВИТЬ
\EQ[1]{
 X\asg(aX+c) \bmod m
}
И ИСПОЛЬЗОВАТЬ НОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ~$X$ В КАЧЕСТВЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. яРИ 
ВЫБОРЕ $X_0$, $a$, $c$ И~$m$ НЕОБХОДИМО СОБЛЮДАТЬ НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛА И 
ИСПОЛЬЗОВАТЬ СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА ОСМЫСЛЕННО, РУКОВОДСТВУЯСЬ СЛЕДУЮЩИМИ ПРИНЦИПАМИ.
{\medskip\narrower
\item{i)}ўИСЛО~$X_0$ МОЖЕТ БЫТЬ ПРОИЗВОЛЬНЫМ. хСЛИ ПО ПРОГРАММЕ ДЕЛАЕТСЯ 
НЕСКОЛЬКО ПРОСЧЕТОВ И КАЖДЫЙ РАЗ ЖЕЛАТЕЛЕН РАЗЛИЧНЫЙ ИСТОЧНИК СЛУЧАЙНЫХ 
ЧИСЕЛ, ПРИСВОЙТЕ~$X_0$ ПОСЛЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ~$X$, ПОЛУЧЕННОЕ ВО ВРЕМЯ 
ПРЕДЫДУЩЕГО ПРОСЧЕТА, ИЛИ (ЕСЛИ ЭТО БОЛЕЕ УДОБНО) УСТАНОВИТЕ~$X_0$ РАВНЫМ 
ТЕКУЩЕМУ МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ И КАЛЕНДАРНОЙ ДАТЕ.

\item{ii)}ўИСЛО~$m$ ДОЛЖНО БЫТЬ ВЕЛИКО. єДОБНО ВЫБИРАТЬ ЕГО РАВНЫМ 
РАЗМЕРУ СЛОВА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ, ПОСКОЛЬКУ ПРИ ЭТОМ ЭФФЕКТИВНО 
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ~$(aX+c)\bmod m$. тОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ВЫБОРОМ~$m$, БОЛЕЕ 
ПОДРОБНО РАЗБИРАЮТСЯ В П.~3.2.1.1. чНАЧЕНИЕ~$(aX+c)\bmod m$ СЛЕДУЕТ 
ВЫЧИСЛЯТЬ \emph{ТОЧНО,} БЕЗ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ.

\item{iii)}хСЛИ $m$~ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ СТЕПЕНЬ ДВОЙКИ (Т.~Е.\ 
ЕСЛИ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ МАШИНА, РАБОТАЮЩАЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ), 
ВЫБЕРИТЕ~$a$ ТАКИМ, ЧТОБЫ~$a\bmod8=5$. хСЛИ $m$~ЕСТЬ СТЕПЕНЬ~$10$ 
(Т.~Е.\ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ МАШИНА, РАБОТАЮЩАЯ В ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ), 
ВЫБЕРИТЕ~$a$ ТАКИМ, ЧТОБЫ~$a\bmod 200=21$.
%% 194
яРИ ТАКОМ ВЫБОРЕ ВЕЛИЧИНЫ~$a$, ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО $c$~ВЫБИРАЕТСЯ ОПИСАННЫМ 
НИЖЕ СПОСОБОМ, ГАРАНТИРУЕТСЯ, ЧТО ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ДАСТ ВСЕ 
$m$~ВОЗМОЖНЫХ РАЗЛИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ~$X$ ПРЕЖДЕ, ЧЕМ ОНИ НАЧНУТ ПОВТОРЯТЬСЯ 
(СМ.~П.~3.2.1.2), И, КРОМЕ ТОГО, ГАРАНТИРУЕТСЯ ВЫСОКАЯ "МОЩНОСТЬ" (СМ.~П.~3.2.1.3).

\item{iv)}ьНОЖИТЕЛЬ~$a$ ДОЛЖЕН ПРЕВОСХОДИТЬ ВЕЛИЧИНУ~$\sqrt{m}$, ЖЕЛАТЕЛЬНО,
 ЧТОБЫ ОН БЫЛ БОЛЬШЕ~$m/100$, НО МЕНЬШЕ~$m-\sqrt{m}$. яОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 
РАЗРЯДОВ В ДВОИЧНОМ ИЛИ ДЕСЯТИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ~$a$ \emph{НЕ} ДОЛЖНА 
ИМЕТЬ ПРОСТОГО, РЕГУЛЯРНОГО ВИДА. яО ЭТОМУ ПОВОДУ СМ., НАПРИМЕР, 
П.~3.2.1.3 И УПР.~3.2.1.3-8. ыУЧШЕ ВСЕГО В КАЧЕСТВЕ ЭТОГО МНОЖИТЕЛЯ 
ВЫБРАТЬ НАУДАЧУ НЕКОТОРУЮ ПОСТОЯННУЮ, НАПРИМЕР,
\EQ[2]{
 a=3141592621.
}
(¤ТА ПОСТОЯННАЯ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ОБОИМ УСЛОВИЯМ ИЗ~(iii).) тЫСКАЗАННЫХ 
СООБРАЖЕНИЙ ОБЫЧНО БЫВАЕТ ДОСТАТОЧНО ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНОГО 
МНОЖИТЕЛЯ, ОДНАКО, ЕСЛИ ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ИНТЕНСИВНО, 
МНОЖИТЕЛЬ~$a$, КРОМЕ ТОГО, СЛЕДУЕТ ВЫБИРАТЬ ТАК, ЧТОБЫ УДОВЛЕТВОРЯЛСЯ 
"ёПЕКТРАЛЬНЫЙ ТЕСТ" (П.~3.3.4).

\item{v)}яОСТОЯННАЯ~$c$ ДОЛЖНА БЫТЬ РАВНА НЕЧЕТНОМУ ЧИСЛУ (КОГДА $m$~ЕСТЬ 
СТЕПЕНЬ ДВОЙКИ) И КРОМЕ ТОГО НЕ ДОЛЖНА БЫТЬ КРАТНОЙ~$5$ (КОГДА $m$~ЕСТЬ 
СТЕПЕНЬ~$10$). цЕЛАТЕЛЬНО ВЫБИРАТЬ~$c$ ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТОБЫ 
ОТНОШЕНИЕ~$c/m$ БЫЛО БЫ ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО РАВНО ВЕЛИЧИНЕ, ПРИВЕДЕННОЙ В 
П.~3.3.3, СООТНОШЕНИЕ~\eqref[41].

\item{vi)}ьЕНЕЕ ЗНАЧИМЫЕ (ПРАВЫЕ) РАЗРЯДЫ~$X$ НЕ ОЧЕНЬ ХОРОШИ С ТОЧКИ 
ЗРЕНИЯ СЛУЧАЙНОСТИ, ПОЭТОМУ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЧИСЛА~$X$ ОСНОВНУЮ РОЛЬ 
ДОЛЖНЫ ИГРАТЬ НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМЫЕ РАЗРЯДЫ. тООБЩЕ ГОВОРЯ, ЛУЧШЕ 
РАССМАТРИВАТЬ~$X$ КАК СЛУЧАЙНУЮ ДРОБЬ~$X/m$ В ИНТЕРВАЛЕ МЕЖДУ~$0$ И~$1$, 
Т.~Е.\ ПРЕДСТАВЛЯТЬ~$X$ С ДЕСЯТИЧНОЙ ТОЧКОЙ СЛЕВА, ЧЕМ КАК СЛУЧАЙНОЕ 
ЦЕЛОЕ ЧИСЛО; РАСПОЛОЖЕННОЕ МЕЖДУ~$0$ И~$m-1$. фЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ 
СЛУЧАЙНОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, РАСПОЛОЖЕННОЕ МЕЖДУ~$0$ И~$k-1$, СЛЕДУЕТ 
УМНОЖИТЬ~$X$ НА~$k$ И ОТБРОСИТЬ ЛИШНИЕ РАЗРЯДЫ (СМ.\ НАЧАЛО П.~3.4.2).
\medskip}

т ЭТИХ ШЕСТИ "ПРАВИЛАХ" ЗАКЛЮЧЕНО ВСЕ НАИБОЛЕЕ ВАЖНОЕ ИЗ ТОГО, ЧТО НУЖНО 
ЗНАТЬ О СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЛАХ, ПОЛУЧАЕМЫХ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ. ъ СОЖАЛЕНИЮ,
В ЗНАЧИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ МАТЕРИАЛА, ОПУБЛИКОВАННОГО К МОМЕНТУ НАПИСАНИЯ ЭТОЙ 
ГЛАВЫ, РЕКОМЕНДУЕТСЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ДАТЧИКИ, В КОТОРЫХ НАШИ 
ПРАВИЛА НАРУШАЮТСЯ. тО МНОГИХ СТАТЬЯХ ИМЕЮТСЯ ВАЖНЫЕ 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ВЫРАБОТКЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, ОДНАКО 
ПРЕДЛАГАЕМЫЕ В НИХ КОНКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ НЕСОВЕРШЕННЫ, ЧТО БЫЛО ОБНАРУЖЕНО ИХ 
АВТОРАМИ СЛИШКОМ ПОЗДНО.

тОЗМОЖНО, ЧТО И РЕКОМЕНДУЕМЫЕ НАМИ ДАТЧИКИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
%% 195
В БУДУЩЕМ БУДУТ ПРИЗНАНЫ НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫМИ. ьЫ НАДЕЕМСЯ, ЧТО ЭТОГО 
НЕ ПРОИЗОЙДЕТ, ОДНАКО ПРОШЛОЕ УЧИТ НАС ОСТОРОЖНОСТИ. эАИБОЛЕЕ 
БЛАГОРАЗУМНО БЫЛО БЫ ПОСТУПАТЬ ТАК: ПРЕЖДЕ ЧЕМ ВСЕРЬЕЗ ОТНОСИТЬСЯ К 
РЕЗУЛЬТАТАМ РАСЧЕТА ПО ПРОГРАММАМ, ИСПОЛЬЗУЮЩИМ МЕТОД ьОНТЕ-ъАРЛО, СЛЕДУЕТ 
СЧИТАТЬ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ДВАЖДЫ, ИСПОЛЬЗУЯ СОВЕРШЕННО РАЗЛИЧНЫЕ ИСТОЧНИКИ 
СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ. ЄАКОЙ ПОДХОД НЕ ТОЛЬКО ГАРАНТИРУЕТ 
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ, НО И КОНТРОЛИРУЕТ КАЧЕСТВО ДАТЧИКА. (ыЮБОЙ 
ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ БУДЕТ ДАВАТЬ ПЛОХИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ В 
ОДНОМ КЛАССЕ ПРИЛОЖЕНИЙ.)

їОТЯ ЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, АНАЛОГИЧНЫЕ ОПИСАННЫМ ЗДЕСЬ,
 ОБЫЧНО ЯВЛЯЮТСЯ УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, В 
П.~3.3.4 (СМ.~(3.3.4-13)) УКАЗАНО ВАЖНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ ИХ КАЧЕСТВА. шЗ 
УПР.~3.3.4-27 СЛЕДУЕТ, ЧТО ЛИНЕЙНЫЕ КОНГРУЭНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НЕ 
ГОДЯТСЯ ДЛЯ РАСЧЕТОВ ПО МЕТОДУ ьОНТЕ-ъАРЛО С "ВЫСОКИМ РАЗРЕШЕНИЕМ". хСЛИ 
ТРЕБУЕТСЯ БОЛЬШАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, НЕОБХОДИМО ИСПОЛЬЗОВАТЬ 
МЕТОДЫ П.~3.2.2.

яРЕВОСХОДНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЙ ПО ЭТОМУ ВОПРОСУ ДО 1962~Г.,
 СОДЕРЖИТСЯ В СТАТЬЕ Є.~їАЛДА И р.~фОБЕЛЛА "Random Number Generators" 
({\sl SIAM Review,\/} {\bf 4} (1962), 230--254). т СВЯЗИ С ЭТИМ НАМ НЕ 
НУЖНО ПРИВОДИТЬ ССЫЛКИ НА РАННИЕ ПУБЛИКАЦИИ, КРОМЕ ТЕХ, КОТОРЫЕ УЖЕ 
УПОМЯНУТЫ В ЭТОЙ ГЛАВЕ.

ёРЕДИ РАБОТ, ПОЯВИВШИХСЯ ПОСЛЕ 1962~Г., ОСОБЕННО СЛЕДУЕТ ОТМЕТИТЬ СТАТЬЮ 
ь.~ьАКЛАРЕНА И фЖ.~ьАРСАЛЬИ "Uniform random Generators" ({\sl JACM,\/} 
{\bf 12} (1965), 83--89), ПОТОМУ ЧТО В НЕЙ ВПЕРВЫЕ УКАЗАНЫ НЕДОСТАТКИ 
ЛИНЕЙНЫХ КОНГРУЭНТНЫХ ДАТЧИКОВ С НЕПРАВИЛЬНО ВЫБРАННЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ. т 
ЭТОЙ ЖЕ СТАТЬЕ БЫЛ ПРЕДЛОЖЕН АЛГОРИТМ~3.2.2ь. ¤ТО ХОРОШИЙ МЕТОД, КОТОРЫЙ 
ЗНАЧИТЕЛЬНО УЛУЧШАЕТ КАЧЕСТВО ДАТЧИКА И ТРЕБУЕТ ТОЛЬКО ВДВОЕ БОЛЬШЕГО 
ВРЕМЕНИ СЧЕТА.

ьНОГИЕ ЗАДАЧИ, ЗАТРОНУТЫЕ В НАСТОЯЩЕЙ ГЛАВЕ, РАССМАТРИВАЮТСЯ В КНИГЕ 
с.~▀НССОНА "Random Number Generators" (Stockholm, Almqvist and Wiksell, 
1966). т КНИГЕ фЖ.~їАММЕРСЛИ И~ф.~їЭНДСКОМБА "Monte Carlo Methods" (London,
 Methuen, 1964) ПОДРОБНО ИЗУЧАЕТСЯ ПРИМЕНЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ В 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДАХ. т ЭТОЙ КНИГЕ ПОКАЗАНО, ЧТО ЭФФЕКТИВНОСТЬ 
МНОГИХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ВОЗРАСТАЕТ, ЕСЛИ ИСПОЛЬЗОВАТЬ "КВАЗИСЛУЧАЙНЫЕ" 
ЧИСЛА, СПЕЦИАЛЬНО ПОДОБРАННЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ЗАДАЧИ (И НЕ 
ОБЯЗАТЕЛЬНО УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ СТАТИСТИЧЕСКИМ ТЕСТАМ, О КОТОРЫХ МЫ ПИСАЛИ).

т ПРИВЕДЕННЫХ НИЖЕ УПРАЖНЕНИЯХ ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ ИНТЕРЕСНЫЕ ПРОЕКТЫ 
ПРОГРАММ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА. тОЗМОЖНО, ЧТО АНАЛОГИЧНЫЕ ПРОЕКТЫ 
ПРИДУТ В ГОЛОВУ ЧИТАТЕЛЮ. яО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДИН ДАТЧИК СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 
ИМЕЕТСЯ ПОЧТИ В ЛЮБОЙ ХОРОШЕЙ ПРОГРАММЕ.

%%  196

\excercises
\ex[21] эАПИШИТЕ ПОДПРОГРАММУ ДЛЯ МАШИНЫ~\MIX{} СО СЛЕДУЮЩИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ:
\descrtable{
тЫЗОВ:  & |JMP RANDI|\cr
ёОСТОЯНИЕ ПРИ ВХОДЕ:& $|rA|=k$, ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЦЕЛОЕ~$ < 5000$\cr
ёОСТОЯНИЕ ПРИ ВЫХОДЕ: & $|rA|\asg \hbox{СЛУЧАЙНОЕ ЦЕЛОЕ} Y$,
$1\le Y \le k$, КАЖДОЕ ЦЕЛОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАВНОВЕРОЯТНО, $|rX|=?$; ТРИГГЕР 
ПЕРЕПОЛНЕНИЯ СБРОШЕН.\cr
}
(шСПОЛЬЗУЙТЕ МЕТОД, ПРЕДЛОЖЕННЫЙ В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ, НО ВОЗЬМИТЕ~$c=1$.)

\rex[21] эЕКОТОРЫЕ ОПАСАЛИСЬ, ЧТО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ СО ВРЕМЕНЕМ БУДУТ 
УПРАВЛЯТЬ МИРОМ. шХ УСПОКАИВАЮТ ЗАЯВЛЕНИЕМ, ЧТО МАШИНА НЕ МОЖЕТ СДЕЛАТЬ 
НИЧЕГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНО НОВОГО, ПОСКОЛЬКУ ОНА ВСЕГО ЛИШЬ ВЫПОЛНЯЕТ КОМАНДЫ 
СВОЕГО ХОЗЯИНА, ПРОГРАММИСТА. ыЕДИ ыАВЛЕЙС\note{1}%
{ёМ.\ ТОМ~1, СТР.~25.---{\sl яРИМ. ПЕРЕВ.\/}}
 ПИСАЛА В 1844~Г.:
"рНАЛИТИЧЕСКАЯ МАШИНА НЕ ПРИТЯЗАЕТ НА \emph{ИЗОБРЕТЕНИЕ} ЧЕГО-ЛИБО. юНА 
МОЖЕТ ДЕЛАТЬ ВСЕ ТО, \emph{ЧТО МЫ СУМЕЕМ ЕЙ ПРИКАЗАТЬ}". ьНОГИЕ ФИЛОСОФЫ 
РАЗВИВАЛИ ЭТУ МЫСЛЬ. юБДУМАЙТЕ ЭТО УТВЕРЖДЕНИЕ, ИМЕЯ В ВИДУ ДАТЧИКИ 
СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ.

\ex[32] "шГРА В КОСТИ". эАПИШИТЕ ПРОГРАММУ, КОТОРАЯ МОДЕЛИРУЕТ БРОСАНИЕ 
ДВУХ КОСТЕЙ, НА КАЖДОЙ ИЗ КОТОРЫХ С РАВНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ 
ВЫПАДАЮТ ЗНАЧЕНИЯ~$1$, $2$,~\dots{}, $6$. хСЛИ ПРИ ПЕРВОМ БРОСАНИИ ОБЩАЯ 
СУММА РАВНА~$7$ ИЛИ~$11$, ИГРА СЧИТАЕТСЯ ВЫИГРАННОЙ, ЕСЛИ ОНА РАВНА~$2$, 
$3$ ИЛИ~$12$---ПРОИГРАННОЙ. яРИ ЛЮБОЙ ДРУГОЙ СУММЕ (НАЗОВЕМ ЭТУ СУММУ 
"СТРЕЛКОЙ") ПРОДОЛЖАЙТЕ БРОСАНИЯ, ПОКА НЕ ВЫПАДЕТ~$7$ (ПРОИГРЫШ) ИЛИ 
ОПЯТЬ ПОЛУЧИТСЯ "СТРЕЛКА" (ВЫИГРЫШ).

ёЫГРАЙТЕ ДЕСЯТЬ ИГР. ЁЕЗУЛЬТАТЫ КАЖДОГО БРОСАНИЯ КОСТЕЙ СЛЕДУЕТ 
НАПЕЧАТАТЬ В ВИДЕ~$mn$, ГДЕ~$m$ И~$n$---ЦИФРЫ НА ДВУХ КОСТЯХ, СНАБДИВ 
СООТВЕТСТВУЮЩИМИ КОММЕНТАРИЯМИ ВРОДЕ "ЗМЕИНЫЕ ГЛАЗА" И~Т.~П.

\ex[40] "ёОЛИТЕР" (ПАСЬЯНС). эЕКОТОРЫЕ ТРАТЯТ ДРАГОЦЕННОЕ ВРЕМЯ 
НА РАСКЛАДЫВАНИЕ ПАСЬЯНСА "СОЛИТЕР". тОЗМОЖНО, ЧТО АВТОМАТИКА ВТОРГНЕТСЯ И 
В ЭТУ ОБЛАСТЬ. эАПИШИТЕ ПРОГРАММУ, КОТОРАЯ (a)~ТАСУЕТ 
СМОДЕЛИРОВАННУЮ КОЛОДУ КАРТ, (b)~РАСКЛАДЫВАЕТ КАКОЙ-ЛИБО ОБЫЧНЫЙ ПАСЬЯНС 
"СОЛИТЕР", ОСНОВЫВАЯСЬ НА ПОЛУЧЕННОМ ПОРЯДКЕ КАРТ В КОЛОДЕ, (c)~ПЕЧАТАЕТ 
РЕЗУЛЬТАТ ИГРЫ, ОТКУДА БУДЕТ ВИДНО, НАСКОЛЬКО ПРОГРАММА БЫЛА БЛИЗКА К 
УСПЕХУ. ёЛЕДУЕТ СЫГРАТЬ НЕСКОЛЬКО ИГР. ьОЖНО СДЕЛАТЬ ТАК, ЧТОБЫ ПО 
ТРЕБОВАНИЮ ПРОГРАММА НАЧИНАЛА "МОШЕННИЧАТЬ".

\ex[46] \emph{ьОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИТЕРАТУРНОГО ТВОРЧЕСТВА С ПОМОЩЬЮ 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ.} 26~ОКТЯБРЯ 1960~Г.\ ПО ТЕЛЕВИЗИОННОЙ 
ПРОГРАММЕ~CBS ПОКАЗЫВАЛАСЬ ПЕРЕДАЧА, ОЗАГЛАВЛЕННАЯ "фУМАЮЩАЯ МАШИНА", В 
КОТОРОЙ, В ЧАСТНОСТИ, ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ ДВЕ НЕБОЛЬШИЕ ПЬЕСЫ В СТИЛЕ ВЕСТЕРН, 
СОСТАВЛЕННЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ¤ть. эИЖЕ ПРИВОДЯТСЯ ДВА ЭТИХ 
СЦЕНАРИЯ В ТОМ ВИДЕ, В КОТОРОМ ИХ ВЫДАЛА МАШИНА.

\tvscript ёЦЕНАРИЙ 1. (ЁЕВОЛЬВЕР В ПРАВОЙ РУКЕ; ДЕНЬГИ В ЛЕВОЙ РУКЕ; 
СТАКАН НА СТОЛЕ;
БУТЫЛКА НА СТОЛЕ; КОБУРА НА ГРАБИТЕЛЕ; РЕВОЛЬВЕР ШЕРИФА В ПРАВОЙ 
РУКЕ ШЕРИФА; КОБУРА ШЕРИФА НА ШЕРИФЕ.)
\body
уЁрсшЄхы№& (уРАБИТЕЛЬ ЗА ОКНОМ.) шДЕТ К ДВЕРИ; ОТКРЫВАЕТ ДВЕРЬ; ПРОХОДИТ 
В ДВЕРЬ; ЗАКРЫВАЕТ ДВЕРЬ; ИДЕТ В УГОЛ; КЛАДЕТ ДЕНЬГИ В УГЛУ; ИДЕТ К СТОЛУ; 
КЛАДЕТ РЕВОЛЬВЕР НА СТОЛ; САДИТСЯ И НЕРВНИЧАЕТ; СИДИТ ЗА СТОЛОМ; БЕРЕТ 
СТАКАН (ПУСТОЙ) ПРАВОЙ РУКОЙ; СТАВИТ СТАКАН НА СТОЛ; БЕРЕТ БУТЫЛКУ ПРАВОЙ РУКОЙ;
НАЛИВАЕТ; СТАВИТ БУТЫЛКУ НА СТОЛ; БЕРЕТ СТАКАН ПРАВОЙ РУКОЙ;
ПЬЕТ ИЗ СТАКАНА; СТАВИТ СТАКАН НА СТОЛ; БЕРЕТ БУТЫЛКУ ПРАВОЙ РУКОЙ; СИДЯТ 
ЗА СТОЛОМ; СИДИТ ЗА СТОЛОМ; ИДЕТ В УГОЛ; ИДЕТ К ОКНУ; ИДЕТ К СТОЛУ; СТАВИТ 
БУТЫЛКУ НА СТОЛ; САДИТСЯ И НЕРВНИЧАЕТ; СИДИТ ЗА СТОЛОМ; СИДИТ И 
НЕРВНИЧАЕТ; ИДЕТ К ОКНУ;
ИДЕТ К СТОЛУ; БЕРЕТ СТАКАН ПРАВОЙ РУКОЙ.\cr
%% 197
°хЁшЇ & (°ЕРИФ ЗА ОКНОМ.) тИДИТ ГРАБИТЕЛЯ; (ГРАБИТЕЛЬ ВИДИТ ШЕРИФА);\cr
уЁрсшЄхы№& ёТАВИТ СТАКАН НА СТОЛ; БЕРЕТ РЕВОЛЬВЕР ПРАВОЙ РУКОЙ; ПРОВЕРЯЕТ РЕВОЛЬВЕР.\cr
°хЁшЇ& цДЕТ; ОТКРЫВАЕТ ДВЕРЬ; ВИДИТ ГРАБИТЕЛЯ; (ГРАБИТЕЛЬ ВИДИТ ШЕРИФА); 
ПРОХОДИТ В ДВЕРЬ.\cr
уЁрсшЄхы№&  шДЕТ К ОКНУ; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; ыхуъю ЁрэшЄ °хЁшЇр.\cr
°хЁшЇ& шДЕТ К ОКНУ; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀, ИДЕТ К ДВЕРИ; ИДЕТ К ОКНУ.\cr
уЁрсшЄхы№& шДЕТ К ДВЕРИ; ЦЕЛИТСЯ; ЦЕЛИТСЯ.\cr
°хЁшЇ& ЎЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀.\cr
уЁрсшЄхы№& ёТРЕЛЯЕТ; ыхуъю ЁрэшЄ °хЁшЇр.\cr
°хЁшЇ& шДЕТ К ДВЕРИ; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀; ПРОХОДИТ В ДВЕРЬ; ЦЕЛИТСЯ.\cr
уЁрсшЄхы№& ЎЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀.\cr
°хЁшЇ& ёТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀; ИДЕТ К ОКНУ; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; 
яЁюьрїштрхЄё▀. \cr
уЁрсшЄхы№& ЎЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ, 
яЁюьрїштрхЄё▀; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; ыхуъю ЁрэшЄ °хЁшЇр.\cr
°хЁшЇ& ЎЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; Єюўэю яюярфрхЄ т уЁрсшЄхы▀.\cr
уЁрсшЄхы№& ЁОНЯЕТ РЕВОЛЬВЕР; ГРАБИТЕЛЬ УМИРАЕТ.\cr
°хЁшЇ& ъЛАДЕТ РЕВОЛЬВЕР В КОБУРУ; ИДЕТ К СТОЛУ; БЕРЕТ СТАКАН (ПУСТОЙ) 
ПРАВОЙ РУКОЙ; БЕРЕТ ЛЕВОЙ РУКОЙ СТАКАН ИЗ ПРАВОЙ РУКИ; БЕРЕТ БУТЫЛКУ 
ПРАВОЙ РУКОЙ; НАЛИВАЕТ; СТАВИТ БУТЫЛКУ НА СТОЛ; БЕРЕТ ПРАВОЙ РУКОЙ СТАКАН 
ИЗ ЛЕВОЙ РУКИ; ПЬЕТ ИЗ СТАКАНА; БЕРЕТ ЛЕВОЙ РУКОЙ СТАКАН ИЗ ПРАВОЙ РУКИ; 
БЕРЕТ БУТЫЛКУ ПРАВОЙ РУКОЙ; НАЛИВАЕТ; СТАВИТ БУТЫЛКУ НА СТОЛ;
БЕРЕТ ПРАВОЙ РУКОЙ СТАКАН ИЗ ЛЕВОЙ РУКИ; ПЬЕТ ИЗ СТАКАНА;
СТАВИТ СТАКАН НА СТОЛ; ИДЕТ В УГОЛ; БЕРЕТ ДЕНЬГИ ПРАВОЙ РУКОЙ; ИДЕТ К 
ДВЕРИ, ПРОХОДИТ В ДВЕРЬ; ЗАКРЫВАЕТ ДВЕРЬ. чрэртхё.\cr
\endtvscript

\tvscript ёЦЕНАРИЙ~2. (ЁЕВОЛЬВЕР В ПРАВОЙ РУКЕ; ДЕНЬГИ В ЛЕВОЙ РУКЕ; 
СТАКАН НА СТОЛЕ; БУТЫЛКА НА СТОЛЕ; КОБУРА НА ГРАБИТЕЛЕ; РЕВОЛЬВЕР ШЕРИФА 
В ПРАВОЙ РУКЕ ШЕРИФА; КОБУРА ШЕРИФА НА ШЕРИФЕ.)
%% 197
\body
уЁрсшЄхы№& (уРАБИТЕЛЬ ЗА ОКНОМ.) шДЕТ К ДВЕРИ; ОТКРЫВАЕТ ДВЕРЬ; ПРОХОДИТ 
В ДВЕРЬ; ЗАКРЫВАЕТ ДВЕРЬ; ИДЕТ В УГОЛ; КЛАДЕТ ДЕНЬГИ В УГЛУ; ИДЕТ К ОКНУ; 
КЛАДЕТ РЕВОЛЬВЕР У ОКНА; ОБЛОКАЧИВАЕТСЯ И СМОТРИТ В ОКНО; ОБЛОКАЧИВАЕТСЯ И 
СМОТРИТ В ОКНО, ИДЕТ В УГОЛ; СЧИТАЕТ ДЕНЬГИ; ИДЕТ К СТОЛУ; БЕРЕТ СТАКАН 
(ПУСТОЙ) ПРАВОЙ РУКОЙ; БЕРЕТ ЛЕВОЙ РУКОЙ СТАКАН ИЗ ПРАВОЙ РУКИ;
БЕРЕТ БУТЫЛКУ ПРАВОЙ РУКОЙ; НАЛИВАЕТ; СТАВИТ БУТЫЛКУ НА СТОЛ; БЕРЕТ ПРАВОЙ 
РУКОЙ СТАКАН ИЗ ЛЕВОЙ РУКИ; ПЬЕТ ИЗ СТАКАНА; СТАВИТ СТАКАН НА СТОЛ; 
БЕРЕТ БУТЫЛКУ ПРАВОЙ РУКОЙ;
НАЛИВАЕТ; ИДЕТ В УГОЛ; СТАВИТ БУТЫЛКУ В УГЛУ; ИДЕТ К ОКНУ;
БЕРЕТ РЕВОЛЬВЕР ПРАВОЙ РУКОЙ; ПРОВЕРЯЕТ РЕВОЛЬВЕР; КЛАДЕТ РЕВОЛЬВЕР В 
КОБУРУ; ИДЕТ К СТОЛУ; БЕРЕТ СТАКАН ПРАВОЙ РУКОЙ; ПЬЕТ ИЗ СТАКАНА; ИДЕТ К 
ОКНУ; СТАВИТ СТАКАН У ОКНА.\cr
°хЁшЇ&     (°ЕРИФ ЗА ОКНОМ.) тИДИТ ГРАБИТЕЛЯ; (ГРАБИТЕЛЬ ВИДИТ ШЕРИФА);
ИДЕТ К ДВЕРИ.\cr
уЁрсшЄхы№& сЕРЕТ РЕВОЛЬВЕР ИЗ КОБУРЫ ПРАВОЙ РУКОЙ; ПРОВЕРЯЕТ РЕВОЛЬВЕР, 
ИДЕТ К ДВЕРИ; ПРОВЕРЯЕТ РЕВОЛЬВЕР; КЛАДЕТ РЕВОЛЬВЕР У ДВЕРИ.\cr
°хЁшЇ& юТКРЫВАЕТ ДВЕРЬ; ВИДИТ ГРАБИТЕЛЯ; (ГРАБИТЕЛЬ ВИДИТ ШЕРИФА); 
ПРОХОДИТ В ДВЕРЬ; ИДЕТ К ОКНУ.\cr
уЁрсшЄхы№& сЕРЕТ РЕВОЛЬВЕР ПРАВОЙ РУКОЙ.\cr
°хЁшЇ& шДЕТ К СТОЛУ.\cr
уЁрсшЄхы№& ЎЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ; яЁюьрїштрхЄё▀; ЦЕЛИТСЯ; СТРЕЛЯЕТ;
Єюўэю яюярфрхЄ т °хЁшЇр; ПРОДУВАЕТ СТВОЛ; КЛАДЕТ РЕВОЛЬВЕР В КОБУРУ.\cr
°хЁшЇ&ЁОНЯЕТ РЕВОЛЬВЕР; ШЕРИФ УМИРАЕТ.\cr
уЁрсшЄхы№& шДЕТ В УГОЛ; БЕРЕТ ДЕНЬГИ ПРАВОЙ РУКОЙ; ИДЕТ К ДВЕРИ; 
ПРОХОДИТ В ДВЕРЬ; ЗАКРЫВАЕТ ДВЕРЬ. чрэртхё.\cr
\endtvscript

хСЛИ ВНИМАТЕЛЬНО ПРОЧИТАТЬ СЦЕНАРИИ, МОЖНО ЗАМЕТИТЬ, ЧТО ОНИ ПОЛНЫ 
НАПРЯЖЕННОГО ДРАМАТИЗМА. яРОГРАММА ДОСТАТОЧНО ТОЧНО ОПРЕДЕЛЯЛА, ГДЕ 
НАХОДИТСЯ КАЖДОЕ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЛИЦО, ЧТО ОНО ДЕРЖИТ В РУКАХ И Т.~Д.\ 
фЕЙСТВИЯ АКТЕРОВ СЛУЧАЙНЫ И ПОДЧИНЯЮТСЯ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ВЕРОЯТНОСТЯМ, 
ВЕРОЯТНОСТЬ НЕРАЗУМНЫХ ДЕЙСТВИЙ ВОЗРАСТАЕТ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТОГО, СКОЛЬКО 
ВЫПИТО ВИСКИ И СКОЛЬКО РАЗ ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЛИЦО БЫЛО РАНЕНО. ўИТАТЕЛЬ МОЖЕТ 
ИЗУЧИТЬ ПРИВЕДЕННЫЕ СЦЕНАРИИ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ВЫЯВИТЬ ДРУГИЕ  СВОЙСТВА ПРОГРАММЫ.

ЁАЗУМЕЕТСЯ, ДАЖЕ ЛУЧШИЕ СЦЕНАРИИ ПРИХОДИТСЯ ПЕРЕДЕЛЫВАТЬ, ПРЕЖДЕ ЧЕМ 
ПОСТАВИТЬ, И ТЕМ БОЛЕЕ ЭТО НЕОБХОДИМО СДЕЛАТЬ СО СЦЕНАРИЕМ, НАПИСАННЫМ 
НЕОПЫТНЫМ АВТОРОМ. эИЖЕ ПРИВЕДЕНЫ СЦЕНАРИИ В ТОМ ВИДЕ, В КОТОРОМ ИХ 
ИСПОЛЬЗОВАЛИ В ТЕЛЕВИЗИОННОЙ ПЕРЕДАЧЕ (ъя---КРУПНЫЙ ПЛАН, ёя-СРЕДНИЙ ПЛАН, 
фя---ДАЛЬНИЙ ПЛАН).

\tvscript ёЦЕНАРИЙ 1. ьУЗЫКА.
\body
ёя.& уРАБИТЕЛЬ СМОТРИТ В ОКНО ХИЖИНЫ.\cr
ъя.& ыИЦО ГРАБИТЕЛЯ.\cr
ёя.& уРАБИТЕЛЬ ВХОДИТ В ХИЖИНУ.\cr
ъя.& уРАБИТЕЛЬ ВИДИТ НА СТОЛЕ БУТЫЛКУ ВИСКИ.\cr
ъя.& °ЕРИФ СНАРУЖИ ХИЖИНЫ.\cr
ёя.& уРАБИТЕЛЬ ВИДИТ ШЕРИФА.\cr
фя.& °ЕРИФ В ДВЕРНОМ ПРОЕМЕ ВИДЕН НАД ПЛЕЧОМ ГРАБИТЕЛЯ, ОБА ХВАТАЮТСЯ ЗА КОБУРЫ.\cr
ёя.& °ЕРИФ ВЫХВАТЫВАЕТ РЕВОЛЬВЕР.\cr
фя.& ёТРЕЛЯЕТ, ПОПАДАЕТ В ГРАБИТЕЛЯ.\cr
ёя.& °ЕРИФ БЕРЕТ МЕШКИ С ДЕНЬГАМИ.\cr
ёя.& уРАБИТЕЛЬ ШАТАЕТСЯ.\cr
ёя.& уРАБИТЕЛЬ УМИРАЕТ. яЫТАЕТСЯ ПОСЛЕДНИЙ РАЗ ВЫСТРЕЛИТЬ В ШЕРИФА, ПАДАЕТ НА СТОЛ.\cr
ёя.& °ЕРИФ ВЫХОДИТ ИЗ ДВЕРИ С ДЕНЬГАМИ.\cr
%% 199
ёя.& ЄЕЛО ГРАБИТЕЛЯ, НЕПОДВИЖНО ЛЕЖАЩЕЕ НА СТОЛЕ. ъАМЕРА ДВИГАЕТСЯ НАЗАД. (ёМЕХ.)\cr
\endtvscript

\tvscript
ёЦЕНАРИЙ 2. ьУЗЫКА.
\body
ъя.& юКНО. яОЯВЛЯЕТСЯ ГРАБИТЕЛЬ.\cr
ёя.& уРАБИТЕЛЬ ВХОДИТ В ХИЖИНУ С ДВУМЯ МЕШКАМИ ДЕНЕГ.\cr
ёя.& уРАБИТЕЛЬ КЛАДЕТ МЕШКИ С ДЕНЬГАМИ НА БОЧКУ.\cr
ъя.& уРАБИТЕЛЬ ВИДИТ НА СТОЛЕ ВИСКИ.\cr
ёя. & уРАБИТЕЛЬ НАЛИВАЕТ СЕБЕ ВИСКИ. эАЧИНАЕТ СЧИТАТЬ ДЕНЬГИ. ёМЕЕТСЯ.\cr
ёя. & °ЕРИФ СНАРУЖИ ХИЖИНЫ.\cr
ёя. & тИД ЧЕРЕЗ ОКНО.\cr
ёя. & уРАБИТЕЛЬ ВИДИТ ШЕРИФА ЧЕРЕЗ ОКНО.\cr
фя. & °ЕРИФ ВХОДИТ В ХИЖИНУ. їВАТАЕТСЯ ЗА РЕВОЛЬВЕР. тЫСТРЕЛ.\cr
ъя. & °ЕРИФ. ъОРЧИТСЯ ОТ БОЛИ.\cr
ёя. & °ЕРИФ, ШАТАЯСЬ ИДЕТ К СТОЛУ, ЧТОБЫ ВЫПИТЬ, \dots{} ПАДАЕТ МЕРТВЫЙ.\cr
ёя. & уРАБИТЕЛЬ УХОДИТ ИЗ ХИЖИНЫ С МЕШКАМИ ДЕНЕГ%
% !!! РАЗОБРАТЬСЯ, КУДА ДЕВАЮТСЯ СНОСКИ ИЗ ВНУТРЕННЕЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ МОДЫ
\note{}{\copyright~1962 by Columbia Broadcasting System, Inc. All Rights 
Reserved. Used by permission. фЛЯ ДАЛЬНЕЙШИХ СПРАВОК СМ. J.~E.~Pfeiffer, 
The Thinking Machine (New York: J. B. Lippincott, 1962).}.\cr
\endtvscript

тЫШЕИЗЛОЖЕННОЕ ЛЮБЕЗНО СООБЩИЛИ АВТОРУ Є.~тУЛФ, ПОСТАНОВЩИК 
ТЕЛЕВИЗИОННОЙ ПРОГРАММЫ, ПРЕДЛОЖИВШИЙ ИДЕЮ НАПИСАНИЯ НЕБОЛЬШОЙ ПЬЕСЫ С 
ПОМОЩЬЮ ¤ть, А ТАКЖЕ ф.~ЁОСС И~X.~ьОРС, КОТОРЫЕ НАПИСАЛИ И ОТЛАДИЛИ ПРОГРАММУ.

сЕЗ СОМНЕНИЯ, У ЧИТАТЕЛЯ ВОЗНИКНУТ СВОИ СООБРАЖЕНИЯ О ТОМ, КАК БЫ ОН МОГ 
НАПИСАТЬ ПРОГРАММУ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛИТЕРАТУРНОГО ТВОРЧЕСТВА. ¤ТО И ЕСТЬ ЦЕЛЬ 
ДАННОГО УПРАЖНЕНИЯ.

%% 200

\chapter{рРИФМЕТИКА} %% 4
\epigraph
тВИДУ ТОГО ЧТО НЕТ НИЧЕГО БОЛЕЕ ХЛОПОТНОГО В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ (О 
ВОЗЛЮБЛЕННЫЕ СТУДЕНТЫ-МАТЕМАТИКИ!), НИЧЕГО ТАКОГО, ЧТО БОЛЕЕ ДОСАЖДАЛО БЫ 
И МЕШАЛО ВЫЧИСЛИТЕЛЮ, ЧЕМ ВЫПОЛНЯЕМЫЕ НАД БОЛЬШИМИ ЧИСЛАМИ УМНОЖЕНИЕ, 
ДЕЛЕНИЕ, ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНЫХ И КУБИЧЕСКИХ КОРНЕЙ, КОТОРЫЕ 
СОПРЯЖЕНЫ ОБЫЧНО С МАССОЙ ТРУДНО ОБНАРУЖИВАЕМЫХ ОШИБОК, Я СТАЛ РАЗМЫШЛЯТЬ 
НАД ТЕМ, КАКОЕ НАДЕЖНОЕ И УДОБНОЕ СРЕДСТВО МОГЛО БЫ УСТРАНИТЬ ЭТИ ПОМЕХИ.
\signed
фЖОН эЕПЕР (1614)

\epigraph
ЄЕРПЕТЬ НЕ МОГУ СКЛАДЫВАТЬ. эЕТ БОЛЬШЕЙ ОШИБКИ, ЧЕМ НАЗЫВАТЬ АРИФМЕТИКУ 
ТОЧНОЙ НАУКОЙ. ёУЩЕСТВУЮТ~\dots{} ТАЙНЫЕ ЗАКОНЫ, УПРАВЛЯЮЩИЕ ЧИСЛАМИ, 
ПОСТИЧЬ КОТОРЫЕ МОЖЕТ ЛИШЬ УМ ТИПА МОЕГО. эАПРИМЕР, ЕСЛИ ВЫ НАХОДИТЕ 
СУММУ, СКЛАДЫВАЯ ЧИСЛА СТОЛБИКОМ СНАЧАЛА СНИЗУ ВВЕРХ, А ЗАТЕМ СВЕРХУ ВНИЗ, 
ВЫ ВСЕГДА ПОЛУЧАЕТЕ РАЗНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ.
\signed
уОСПОЖА ыА ЄУШ (19~В.)

\epigraph
эЕ МОГУ ПРЕДСТАВИТЬ СЕБЕ, ЧТОБЫ КОМУ-НИБУДЬ ПОТРЕБОВАЛОСЬ ВЫПОЛНЯТЬ 
УМНОЖЕНИЕ СО СКОРОСТЬЮ $40\ 000$ ИЛИ ДАЖЕ $4\ 000$~ОПЕРАЦИЙ В ЧАС; ТАКОЕ 
РАДИКАЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ, КАК ПЕРЕХОД К ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ, НЕ СЛЕДУЕТ 
НАВЯЗЫВАТЬ ВСЕМУ ЧЕЛОВЕЧЕСТВУ РАДИ НЕСКОЛЬКИХ ЛИЧНОСТЕЙ.
\signed
Ї.~X.~єЭЙЛС (1936)

юСНОВНАЯ ЦЕЛЬ ЭТОЙ ГЛАВЫ---ТЩАТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ
%% !!! bugfix  ОСНОВЫХ => ОСНОВНЫХ 
ОСНОВНЫХ ДЕЙСТВИЙ АРИФМЕТИКИ: СЛОЖЕНИЯ, 
ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ. ьНОГИЕ СЧИТАЮТ АРИФМЕТИКУ ТРИВИАЛЬНОЙ 
ВЕЩЬЮ, КОТОРОЙ ОБУЧАЮТ ДЕТЕЙ В ШКОЛЕ И ДЕЙСТВИЯ КОТОРОЙ ВЫПОЛНЯЮТ МАШИНЫ, 
НО, КАК МЫ УВИДИМ, АРИФМЕТИКА---ЭТО УВЛЕКАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ, ИМЕЮЩИЙ МНОГО 
ИНТЕРЕСНЫХ АСПЕКТОВ. рРИФМЕТИКА ЛЕЖИТ В ОСНОВЕ СТОЛЬ БОЛЬШОГО ЧИСЛА 
МАШИННЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ, ЧТО ВАЖНО САМЫМ ДОСКОНАЛЬНЫМ ОБРАЗОМ ИССЛЕДОВАТЬ 
ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ЧИСЛАМИ.

рРИФМЕТИКА---ЭТО НА САМОМ ДЕЛЕ ЖИВАЯ И ВСЕ ЕЩЕ БЫСТРО РАЗВИВАЮЩАЯСЯ ОБЛАСТЬ 
НАУКИ, СЫГРАВШАЯ ВАЖНУЮ РОЛЬ В МИРОВОЙ ИСТОРИИ. т ЭТОЙ ГЛАВЕ МЫ 
ПРОАНАЛИЗИРУЕМ АЛГОРИТМЫ ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОГИМИ 
ТИПАМИ ВЕЛИЧИН, ТАКИМИ, КАК ЧИСЛА "С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ", ОЧЕНЬ БОЛЬШИЕ 
ЧИСЛА, ДРОБИ (РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА), МНОГОЧЛЕНЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ; МЫ ОБСУДИМ 
ТАКЖЕ СВЯЗАННЫЕ С ЭТИМ ВОПРОСЫ, ТАКИЕ, КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗ ОДНОЙ 
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ, РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА МНОЖИТЕЛИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ 
МНОГОЧЛЕНОВ.

%% 201
\bye