chto cherta lezhit na etoj osi; oboznacheniya ploskostej predstavlyayut soboj kak by chislitel', i znamenatel' drobi, prichem kazhdaya bukva stavitsya po tu storonu osi, gde dolzhny razmeshchat'sya sootvetstvuyushchie proekcii. Vvedenie v sistemu 1, 2 odnoj dopolnitel'noj ploskosti proekcij. V bol'shinstve sluchaev dopolnitel'naya ploskost', vvodimaya v sistemu 1, 2 v kachestve ploskosti proekcij, vybiraetsya soglasno kakomu-libo usloviyu, otvechayushchemu celi postroeniya. Primerom mozhet sluzhit' pl. 3 na ris. 77: tak kak trebovalos' opredelit' natural'nuyu velichinu otrezka AV i ugol mezhdu AV i pl. 1, to pl. 3 byla raspolozhena perpendikulyarno k pl. (obrazovalas' sistema 3, ) i || AV. Na ris. 202 takzhe vybor pl. 3 podchinen celi -- opredelit' ugol mezhdu pryamoj CD i ploskost'yu proekcij 2. Poetomu 3% 2 i v to zhe vremya pl. 3 parallel'na pryamoj CD (os' 3/2% C"D"). Krome iskomogo ugla 2 opredelilas' i natural'naya velichina otrezka CD (ee vyrazhaet proekciya C"'D"'). I v sluchae, izobrazhennom na ris. 203, vybor pl. 3 vpolne zavisit ot zadaniya: opredelit' natural'nyj vid ABC. Tak kak v dannom sluchae ploskost', opredelyaemaya treugol'nikom, perpendikulyarna k pl. 2, to dlya ego izobrazheniya bez iskazheniya nado vvesti v sistemu ,, 2 dopolnitel'nuyu ploskost', otvechayushchuyu dvum usloviyam: 3 % 2 (dlya obrazovaniya sistemy 2, z) i z II ABC (chto daet vozmozhnost' izobrazit' ABC bez iskazheniya). Novaya os' 2/3 provedena parallel'no proekcij A"S"V". Dlya postroeniya proekcii A'"B'"C"" ot novoj osi otlozheny otrezki, ravnye rasstoyaniyam tochek A', B' i S ot osi 2/ 1. Natural'nyj vid ABC vyrazhaetsya novoj ego proekciej A'"B'"C'". 0x01 graphic

Ris. 202 Ris. 203 82 Primerom postroeniya, v kotorom vybor dopolnitel'noj pl. 3 ne utochnen i ona mozhet byt' lyuboj gorizontal'no-proeciruyushchej, ili frontal'no-proeciruyushchej, ili profil'noj ploskost'yu, lish' by udobno bylo stroit' na nej proekcii, sluzhit ris. 204. Cel' postroeniya - poluchit' proekcii tochki peresecheniya dvuh profil'nyh pryamyh AB i SO, lezhashchih v obshchej dlya nih profil'noj ploskosti'). Na ris. 204 pokazana gorizontal'no-proeciruyushchaya pl. P3 v kachestve dopolnitel'noj ploskosti proekcij. Vzaimnoe polozhenie novyh proekcij A'."B'" i C'"D'" opredelyaet vzaimnoe polozhenie zadannyh pryamyh: v dannom sluchae pryamye mezhdu soboj peresekayutsya. Proekciej tochki peresecheniya na pl. p3 yavlyaetsya tochka K'"; po nej nahodim proekcii K' i K". 0x01 graphic

Vvedenie dopolnitel'noj ploskosti proekcij daet vozmozhnost', naprimer, preobrazovat' chertezh tak, chto ploskost' obshchego polozheniya, zadannaya v sisteme ', 2, stanovitsya perpendikulyarnoj k dopolnitel'noj ploskosti proekcij. Primer dan na ris. 205, gde dopolnitel'naya ploskost' p3 provedena tak, chto ploskost' obshchego polozheniya, zadannaya treugol'nikom ABC, stala perpendikulyarnoj k pl. 3. Kak zhe eto polucheno? V treugol'nike LVS provedena gorizontal' AD. Ploskost', perpendikulyarnaya k AD, perpendikulyarna k ABC i v to zhe vremya k pl. 1, (tak kak AD% 1). |tomu udovletvoryaet pl. 3, ABC. proeciruetsya na nee v otrezok V'"S"'. Esli zhe ploskost' obshchego polozheniya zadana sledami (rik 206), to pl. 3 sleduet provesti perpendi- ') To, chto pryamye AV i SO peresekayutsya, sleduet iz sravneniya polozhenij tochek A i V, S i D. 83 kulyarno k sledu h^' o, t. e. k linii peresecheniya pl. i pl. 1. Tem samym pl. 3 okazhetsya perpendikulyarnoj k pl. 1 (t. e. yavitsya dopolnitel'noj ploskost'yu proekcij) i k pl. . Teper' nado postroit' sled pl. na pl. p3. Tak kak %3, to proekciya na pl. 3 lyuboj tochki pl. poluchitsya na pryamoj peresecheniya pl. s pl. 3, t. e. na slede '". Na ris. 206 takoj tochkoj sluzhit tochka N, vzyataya na slede f"o; postroena ee proekciya '" (" ="'), cherez kotoruyu, a takzhe cherez tochku peresecheniya sleda h^' o , s os'yu 3/1 prohodit sled '". Postroeniya na ris. 205 i 206 privodyat k polucheniyu ugla 1 naklona zadannyh ploskostej k pl. 1. Esli zhe vzyat' pl. 3 (ris. 207), perpendikulyarnuyu k pl. 2 i k ploskosti, zadannoj treugol'nikom ABC (dlya chego nado provesti os' 2/3 perpendikulyarno k frontali etoj ploskosti), to opredelitsya ugol 2 naklona ploskosti ABC k pl. 2. З Vvedenie v sistemu 1, 2 dvuh dopolnitel'nyh ploskostej proekcij. Rassmotrim vvedenie v sistemu 1, 2 dvuh dopolnitel'nyh ploskostej proekcij na sleduyushchem primere. Pust' trebuetsya zadannuyu v sisteme 1, 2 pryamuyu obshchego polozheniya AV raspolozhit' perpendikulyarno k dopolnitel'noj ploskosti proekcij. Mozhno li dostignut' etogo vvedeniem lish' odnoj dopolnitel'noj ploskosti? Net. Ved' takaya ploskost', buduchi perpendikulyarnoj k pryamoj obshchego polozheniya, sama v sisteme 1, 2 okazhetsya ploskost'yu obshchego polozheniya, t. e. ne perpendikulyarnoj ni k 1, ni k 2. No etim narushitsya uslovie vvedeniya dopolnitel'nyh ploskostej proekcij (sm. s. 22). Kak zhe obojti eto prepyatstvie i primenit' vse zhe sposob peremeny ploskostej proekcij? Nado priderzhivat'sya sleduyushchej shemy: ot sistemy 1, 2 perejti k sisteme 3, 1( v kotoroj 3% 1 i 3 || AV, a zatem perejti k sisteme 3, 4, gde 4% 3 i 4% AV (ris. 208). Sootvetstvuyushchij chertezh dan na ris. 209. Delo svoditsya k posledovatel'nomu postroeniyu proekcij A'" i A^IV tochki A, V'" i B^|^V tochki V. Pryamaya obshchego polozheniya v sisteme 1, 2 okazalas' perpendikulyarnoj k dopolnitel'noj ploskosti proekcij 4 s perehodom cherez promezhutochnuyu stadiyu parallel'nosti po otnosheniyu k pervoj dopolnitel'noj ploskosti 3. Tak kak pl. 3 raspolozhena parallel'no pryamoj AV, to rasstoyaniya tochek A i V ot pl. 3 ravny mezhdu soboj i vyrazhayutsya, naprimer, otrezkom A'2; vzyav os' 3/4 perpendikulyarno k A'"V'" (chto sootvetstvuet v prostranstve perpendikulyarnosti pl. 4 k pryamoj AV) i otlozhiv otrezok A ^IV3, ravnyj A'2, poluchaem obe proekcii, A ^IV i B^IV, v odnoj tochke, t. e. to, chto i dolzhno poluchit'sya, esli AV% 4. 0x01 graphic

Na ris. 210 dan primer postroeniya natural'nogo vida ABC. Zdes' takzhe vvedeny dve dopolnitel'nye ploskosti proekcij 3 i 4, no po takoj sheme: 3 % 1 i 3 % ABC, a 4 %3 i 4 || ABC. Zaklyuchitel'naya stadiya postroeniya svelas' k provedeniyu pl. 4 || pl. ABC (tak kak trebovalos' opredelit' natural'nyj vid ABC); promezhutochnoj stadiej byla perpendikulyarnost' dopolnitel'noj ploskosti 3 k pl. ABC. |ta promezhutochnaya stadiya povtoryaet postroenie, pokazannoe neskol'ko ran'she na ris. 205. V zaklyuchitel'noj stadii postroeniya na ris. 210 os' 3/ 4 II S'" A'" V"', t. e. pl. 4 provedena parallel'no pl. ABC, chto i privodit k opredeleniyu natural'nogo vida, vyrazhaemogo proekciej A ^IVB ^IVC ^IV. Itak, v etom primere, chtoby poluchit' parallel'nost' ploskosti ABC i pl. 4, potrebovalos' predvaritel'no raspolozhit' vzaimno perpendikulyarno ABC i pl. 3. Naoborot, v primere na ris. 209, chtoby poluchit' perpendikulyarnost' (AV% 4), predvaritel'no potrebovalos' polozhenie parallel'nosti (AV || 3). 0x01 graphic

VOPROSY K ЇЇ 32-33 1. Kakie sposoby preobrazovaniya chertezha rassmatrivayutsya v glave V? 2. V chem zaklyuchaetsya osnovnoe razlichie etih sposobov? 3. V chem zaklyuchaetsya sposob, izvestnyj pod nazvaniem "sposob peremeny ploskostej proekcij"? 4. Kakoe polozhenie v sisteme pg, l2 dolzhna zanyat' ploskost' proekcij ya-, vvodimaya dlya obrazovaniya sistemy -k,, , 5. Kakoe polozhenie v sisteme ,, - zajmet ploskost' proekcij k, pri posledovatel'nyh perehodah ot ,, - cherez ts,, ts, k ts,, l.,? 6. Kak najti dlinu otrezka pryamoj linii i ugly etoj pryamoj s ploskostyami yaЗ i З,, vvodya dopolnitel'nye ploskosti proekcij? 7. Skol'ko dopolnitel'nyh ploskostej nado vvesti v sistemu ,, p2, chtoby opredelit' natural'nyj vid figury, ploskost' kotoroj perpendikulyarna k pl. yac ili k pl. ? 8. Skol'ko i v kakoj posledovatel'nosti nado vvesti dopolnitel'nyh ploskostej v sistemu it], ya-, chtoby zadannaya pryamaya obshchego polozheniya okazalas' perpendikulyarnoj k dopolnitel'noj ploskosti proekcij? ' 9. Tot zhe vopros, no v otnoshenii polucheniya natural'nogo vida figury, ploskost' kotoroj est' ploskost' obshchego polozheniya. Ї 34. OSNOVY SPOSOBA VRASHCHENIYA ') Pri vrashchenii vokrug nekotoroj nepodvizhnoj pryamoj (os' vrashcheniya) kazhdaya tochka vrashchaemoj figury peremeshchaetsya v ploskosti, perpendikulyarnoj k osi vrashcheniya (ploskost' vrashcheniya). Tochka peremeshchaetsya po okruzhnosti, centr kotoroj nahoditsya v tochke peresecheniya osi s ploskost'yu vrashcheniya (centr vrashcheniya), a radius okruzhnosti ravnyaetsya rasstoyaniyu ot vrashchaemoj tochki do centra (eto radius vrashcheniya). Esli kakaya-libo iz tochek dannoj sistemy nahoditsya na osi vrashcheniya, to pri vrashchenii sistemy eta tochka schitaetsya nepodvizhnoj. *) Podrobnoe izlozhenie sposoba vrashcheniya dal v svoe vremya V. I. K u d yu m o v v knige "Kurs nachertatel'noj geometrii", v otdele, posvyashchennom ortogonal'nym proekciyam. Os' vrashcheniya mozhet byt' zadana ili vybrana; v poslednem sluchae vygodno raspolozhit' os' perpendikulyarno k odnoj iz ploskostej proekcij, tak kak pri etom uproshchayutsya postroeniya. Ris. 211 Dejstvitel'no, esli os' vrashcheniya perpendikulyarna, naprimer, k pl. 2, to ploskost', v kotoroj proishodit vrashchenie tochki, parallel'na pl. 2. Sledovatel'no, traektoriya tochki proeciruetsya na pl. 2 bez iskazheniya, a na pl. 1 -- v vide otrezka pryamoj linii (ris. 211). Ї 35. VRASHCHENIE TOCHKI, OTREZKA PRYAMOJ, PLOSKOSTI VOKRUG OSI, PERPENDIKULYARNOJ K PLOSKOSTI PROEKCIJ Vrashchenie vokrug zadannoj osi. 1. Pust' tochka A vrashchaetsya vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1 (ris. 212). CHerez tochku A provedena pl. , perpendikulyarnaya k osi vrashcheniya i, sledovatel'no, parallel'naya pl. 1. Pri vrashchenii tochka A opisyvaet v pl. okruzhnost' radiusa R; velichina radiusa vyrazhaetsya dlinoj perpendikulyara, provedennogo iz tochki A na os'. Okruzhnost', opisannaya v prostranstve tochkoj A, proeciruetsya na pl. 1 bez iskazheniya. Tak kak pl. perpendikulyarna k pl. 2, to proekcii tochek okruzhnosti na pl. 2 raspolozhatsya na ", t. e. na pryamoj, perpendikulyarnoj k frontal'noj proekcii osi vrashcheniya. CHertezh dan na ris. 212 sprava: okruzhnost', opisannaya tochkoj A pri vrashchenii ee vokrug osi, sproecirovana bez iskazheniya na pl. 1 Iz tochki O', kak iz centra, provedena okruzhnost' radiusa R = O'A'!"No; na pl. 2 eta okruzhnost' izobrazhena otrezkom pryamoj, ravnym 2R. Ris. 212 Ris. 213 Ris. 214 Na ris. 213 izobrazheno vrashchenie tochki A vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 2. Okruzhnost', opisannaya tochkoj A, sproecirovana bez iskazheniya na pl. 2. Iz tochki 0", kak iz centra, provedena okruzhnost' radiusa R= O'A'; na pl. eta okruzhnost' izobrazhena otrezkom pryamoj, ravnym 2R. 86 Iz rassmotreniya ris. 212 i ris. 213 otchetlivo vidno, chto pri vrashchenii tochki vokrug osi, perpendikulyarnoj k kakoj-nibud' iz ploskostej proekcij, odna iz proekcij vrashchaemoj tochki peremeshchaetsya po pryamoj, perpendikulyarnoj k proekcii osi vrashcheniya. Na ris. 214 pokazan povorot tochki A protiv dvizheniya chasovoj strelki na ugol vokrug osi, prohodyashchej cherez tochku O perpendikulyarno k pl. 2. Iz tochki O", kak iz centra, provedena duga radiusa O"A", sootvetstvuyushchaya uglu i napravleniyu vrashcheniya. Novoe polozhenie frontal'noj proekcii tochki A -- tochka . 2. Teper' rassmotrim povorot otrezka_pryamoj linii vokrug zadannoj osi. Otrezok AV (ris. 215) povernut v polozhenie . Ochevidno, delo svelos' k povorotu tochek A i V na zadannyj ugol po zadannomu napravleniyu. Puti peremeshcheniya frontal'nyh proekcij etih tochek ukazany pryamymi, provedennymi cherez A" i V" perpendikulyarno k frontal'noj proekcii osi vrashcheniya Novoe polozhenie gorizontal'noj proekcii tochki A (tochka ) polucheno pri povorote radiusa O'A' na zadannyj ugol . Dlya nahozhdeniya tochki V' (polozhenie gorizontal'noj proekcii tochki V posle povorota) provedena duga radiusom O'V" Ris. 215 Ris. 216 i v etoj duge otlozhena horda V¹ , ravnaya horde 1--2; eto sootvetstvuet povorotu tochki V na tot zhe ugol_. Dalee, iz tochek ' i ' provedeny linii svyazi do peresecheniya napravleniyami peremeshcheniya frontal'nyh proekcij; polucheny proekcii " i ". Otrezki pryamyh mezhdu tochkami " i " i mezhdu tochkami A' i V' opredelyayut novye polozheniya frontal'noj i gorizontal'noj proekcij otrezka AV posle ego povorota v polozhenie AV.___З Tak kak v treugol'nikah '' i A'V'O' (ris. 215) storony_V'O' i A'O' treugol'nika A'V'O' .ravny (kak radiusy) sootvetstvenno storonam ' i A'O' treugol'nika A'V'O' i ugly, zaklyuchennye mezhdu ukazannymi_storonami, takzhe ravny, to eti treugol'niki ravny mezhdu soboj. Znachit, A'V¹= A'V', t. e. velichina gorizontal'noj proekcii otrezka, povernutogo vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1( ne izmenyaetsya. Ochevidno, takoe zhe zaklyuchenie spravedlivo v otnoshenii frontal'noj proekcii otrezka pri ego povorote vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 2. V ravnyh mezhdu soboj treugol'nikah A'V'O' i A'V'O' (ris._215) budut ravny i ih vysoty, provedennye, naprimer, iz tochki O' na A'V' i A'V'. Sdelannye vyvody pozvolyayut ustanovit' sleduyushchij sposob postroeniya novyh proekcij otrezka, vrashchaemogo okolo osi na zadannyj ugol (ris. 216). CHerez tochku O' provodim pryamuyu, perpendikulyarnuyu k A'V¹; tochku S' (peresechenie perpendiku- 87 lyara s A'V') povertyvaem na zadannyj ugol. Provedya cherez tochku S" (novoe polozhenie tochki S') pryamuyu, perpendikulyarnuyu k radiusu O'S', poluchaem napravlenie novogo polozheniya gorizontal'noj proekcii otrezka. Tak_kak otrezki S' A' i S' V¹ne_izmenyayut svoej velichiny, to, otkladyvaya ot tochki S' otrezki S'A' = S' A' i S'V' = S'V', nahodim novoe polozhenie A'V'_proekcii vsego otrezka. Nahozhdenie novogo polozheniya frontal'noj proekcii A"V" ostaetsya prezhnim. Ukazannym sposobom mozhno ne tol'ko povernut' otrezok na zadannyj ugol, no i opredelit' ugol, na kotoryj nado povernut' zadannyj otrezok, chtoby pridat' emu nekotoroe trebuemoe polozhenie (naprimer, raspolozhit' parallel'no ploskosti 2). 3. Povorot ploskosti vokrug zadannoj osi svoditsya k povorotu prinadlezhashchih ej tochek i pryamyh linij. Primer dan na ris. 217: treugol'nik AVS, opredelyayushchij ploskost', povernut v polozhenie ABC soglasno zadannym uglu i napravleniyu, ukazannomu strelkoj. Postroenie podobno pokazannomu na ris. 215: tam byli povernuty dve tochki A i V, zdes' zhe tri tochki -- vershiny A, V i S, a sledovatel'no, i vsya figura. Treugol'niki A'V'S i A'V¹S' ravny mezhdu soboj po postroeniyu: pri osi, perpendikulyarnoj k pl. 1, gorizontal'naya proekciya velichiny svoej ne izmenyaet. |to Ris. 217 sootvetstvuet tomu, chto ugol naklona pl. ABC po otnosheniyu k pl. 1 ne izmenyaetsya, ;esli os' vrashcheniya perpendikulyarna k pl. 1. Ochevidno, pri povorote vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 2, ne izmenyaetsya ugol naklona vrashchaemoj ploskosti k pl. 2 i sohranyaetsya velichina frontal'nyh proekcij. Pri vrashchenii, ploskosti, vyrazhennoj ee sledami, obychno povorachivayut odin iz sledov i gorizontal' (ili frontal') ploskosti. Primer dan na ris. 218; ploskost' obshchego polozheniya povernuta na ugol vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1. Na slede h'0. vzyata tochka, blizhajshaya k osi vrashcheniya,-- tochka A' (O' A' % h'0 )podobno tomu, kak byla na ris. 216 vzyata tochka S'. Zatem tochka A' povernuta na ugol . CHerez poluchennuyu tochku A' provedena pryamaya liniya, perpendikulyarnaya k O'A'; eto gorizontal'nyj sled ploskosti v ee novom polozhenii. Dlya nahozhdeniya frontal'nogo sleda ploskosti posle ee povorota dostatochno najti, pomimo najdennoj tochki H na osi h, eshche odnu tochku, prinadlezhashchuyu sledu. V pl. vzyata gorizontal' N'F', N"F", peresekayushchaya os' vrashcheniya (N'F¹prohodit cherez gorizontal'nuyu proekciyu osi vrashcheniya). Konechno, mozhno vzyat' gorizontal' i ne peresekayushchuyu os' vrashcheniya. Tak kak gorizontal' i pri novom polozhenii ploskosti ostanetsya parallel'noj ee gorizontal'nomu sledu, to nado provesti cherez O' pryamuyu, parallel'nuyu h'0 ; poluchitsya novoe polozhenie gori- 88 zontal'noj proekcii gorizontali. Frontal'naya ee proekciya ne izmenit svoego napravleniya, a poetomu legko najti novyj frontal'nyj sled gorizontali -- tochku N". Teper' mozhno postroit' frontal'nyj sled (f"o). Vrashchenie vokrug vybrannoj osn. V ryade sluchaev os' vrashcheniya mozhet byt' vybrana. Pri etom, esli os' vrashcheniya vybrat' prohodyashchej cherez odin iz koncov otrezka, to postroenie uprostitsya, tak kak tochka, cherez kotoruyu prohodit os', budet "nepodvizhnoj" i dlya povorota otrezka nado postroit' novoe polozhenie proekcij tol'ko odnoj tochki -- drugogo konca. Na ris. 219 pokazan sluchaj, kogda dlya povorota otrezka AV vybrana os' vrashcheniya, perpendikulyarnaya k pl. 1 i prohodyashchaya cherez tochku A. Pri povorote vokrug takoj osi mozhno, naprimer, raspolozhit' otrezok parallel'no pl. 2. Ris.. 219 Ris. 221 Imenno takoe polozhenie pokazano na ris. 219. Gorizontal'naya proekciya otrezka v svoem novom polozhenii perpendikulyarna k linii svyazi A'A". Najdya tochku V" i postroiv otrezok A"V^", poluchaem frontal'nuyu proekciyu otrezka AV v ego novom polozhenii. Proekciya A"V" vyrazhaet dlinu otrezka AV. Ugol A"V"V" raven uglu mezhdu pryamoj AV i pl. 1. Esli postavit' pered soboj cel' -- opredelit' ugol naklona pryamoj obshchego polozheniya k pl. 2, to nado provesti os' vrashcheniya perpendikulyarno k pl. 2 i povernut' pryamuyu tak, chtoby ona stala parallel'noj pl. . Predostavlyaem chitatelyu vypolnit' takoe postroenie. Esli pri povorote ploskosti, vyrazhennoj sledami, mozhno vybrat' os' vrashcheniya, to ee celesoobrazno raspolozhit' v ploskosti proekcij; postroeniya v etom sluchae uproshchayutsya. Primer dan na ris. 220. Polozhim, chto os' vrashcheniya dolzhna byt' perpendikulyarna k pl. 1. Esli ee vzyat', v pl. 2, to na slede f"o , okazyvaetsya "nepodvizhnaya" tochka O (v peresechenii s os'yu vrashcheniya). Posle povorota ploskosti frontal'nyj sled dolzhen projti cherez etu tochku. Sledovatel'no, najdya polozhenie gorizontal'nogo sleda (h'0) posle povorota, nado provesti sled f"o cherez tochku H i cherez tochku O". Po sravneniyu s ris. 218 uproshchenie sostoit v tom, chto otpala gorizontal'. Ona ponadobilas' by v sluchae "uhoda" tochki H" za predely chertezha; no v analogichnom sluchae na ris. 218 prishlos' by vzyat' dve vspomogatel'nye linii. Na ris. 221 ploskost' obshchego polozheniya povernuta v polozhenie gorizontal'no-proeciruyushchej; pri etom opredelilsya ugol naklona pl. k pl. 2. Esli vzyat' os' vrashcheniya, perpendikulyarnuyu k pl. 1 to mozhno pl. postavit' v polozhenie frontal'no-proeciruyushchej, opredeliv pri etom ugol naklona ploskosti k pl. 1. Sravnivaya mezhdu soboj ploskosti do i posle povorota, zamechaem, chto ugol, obrazuemyj sledami f"o i h'0 na chertezhe, voobshche izmenyaetsya. 89 Esli predstavit' sebe krugovoj konus s vershinoj v tochke O i s osnovaniem na ris. 220 v pl. 1' a na ris. 221 v pl. 2 i .kasatel'nuyu k konusu pl. , to povorot pl. vokrug osi vrashcheniya, sovpadayushchej s os'yu konusa, predstavlyaet soboj kak by "obkatku" konusa kasatel'noj k nemu ploskost'yu. VOPROSY K Ї 34-35 1. V chem zaklyuchaetsya sposob vrashcheniya? 2. CHto takoe ploskost' vrashcheniya tochki i kak ona raspolagaetsya po otnosheniyu k osi vrashcheniya? 3. CHto takoe centr vrashcheniya tochki pri povorote ee vokrug nekotoroj osi? 4. CHto takoe radius vrashcheniya tochki? Posleduyushchie voprosy otnosyatsya k vrashcheniyu vokrug osi, perpevdikulyarnoj k ploskosti proekcij. 5. Kak peremeshchayutsya proekcii tochki? 6. Kakaya iz proekcij otrezka pryamoj linii ne izmenyaet svoej velichiny? 7. Kak osushchestvlyaetsya povorot ploskosti: a) ne vyrazhennoj sledami, 6) vyrazhennoj sledami? 8. V kakom sluchae ne izmenyaetsya pri vrashchenii naklon pryamoj linii po otnosheniyu: a) k pl. ", b) k pl. -? 9. Takoj zhe vopros otnositel'no ploskosti 3. 10. Mozhno li putem povorota opredelit' dlinu otrezka pryamoj linii i ugol ee naklona k pl. , i . ..? 11. Mozhno li putem povorota ploskosti opredelit' ugol ee naklona k pl. a, i k pl. ya-? Kakoe vygodnoe polozhenie mozhno pridat' osi vrashcheniya pri povorote: 1) otrezka pryamoj, 2) ploskosti, vyrazhennoj sledami? Ї 36. PRIMENENIE SPOSOBA VRASHCHENIYA BEZ UKAZANIYA NA CHERTEZHE OSEJ VRASHCHENIYA, PERPENDIKULYARNYH K PLOSKOSTI , ILI , Ran'she (sm. Ї 35) my videli, chto esli vrashchat' otrezok pryamoj linii ili ploskuyu figuru vokrug osi, perpendikulyarnoj k ploskosti proekcij, to proekciya na etu ploskost' ne izmenyaetsya ni po vidu, ni po velichine -- menyaetsya lish' polozhenie etoj proekcii otnositel'no osi proekcij. CHto zhe kasaetsya drugoj proekcii -- na ploskosti, parallel'noj osi vrashcheniya, to vse tochki etoj proekcii (za isklyucheniem, konechno, proekcij tochek, raspolozhennyh na osi vrashcheniya) peremeshchayutsya po pryamym, parallel'nym osi proekcij, i proekciya voobshche izmenyaetsya po forme i po velichine. Pol'zuyas' etimi svojstvami, mozhno primenit' sposob vrashcheniya, ne zadavayas' izobrazheniem osi vrashcheniya i ne ustanavlivaya velichiny radiusa vrashcheniya; dostatochno lish', ne izmenyaya vida i velichiny odnoj iz proekcij rassmatrivaemoj figury, peremestit' etu proekciyu v trebuemoe polozhenie, a zatem postroit' druguyu proekciyu tak, kak.ukazano vyshe. Naprimer, zadavshis' cel'yu povernut' otrezok AV pryamoj obshchego polozheniya (ris. 222) tak, chtoby on okazalsya perpendikulyarnym k pl. , nachinaem s povorota vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1 do polozheniya, parallel'nogo pl. 2, no etu os' na chertezhe ne ukazyvaem. Tak kak pri takom povorote gorizontal'naya proekciya otrezka ne izmenyaet svoej velichiny, to proekciyu A'V' berem ravnoj A'V' i raspolagaem parallel'no osi h, chto sootvetstvuet parallel'nosti samogo otrezka pl. 2. Najdya sootvetstvuyushchuyu frontal'nuyu proekciyu otrezka (A"V") vypolnyaem vtoroj povorot, teper' vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 2, do iskomogo polozheniya -- perpendikulyarnosti AV k pl, . I etu os' na chertezhe ne izobrazhaem. Raspolagaem proekciyu A"V", ravnuyu A"V", perpendikulyarno k osi h. Gorizontal'naya proekciya otrezka vyrazhaetsya tochkoj s dvojnym oboznacheniem -- A'V'. Itak, vypolnennye operacii sootvetstvuyut povorotam vokrug osej, perpendikulyarnyh k ploskostyam proekcij, no osi eti ne ukazany. Konechno, ih mozhno najti. 90 Naprimer, esli provesti pryamye -- odnu cherez tochki A' i A', druguyu cherez V' i V', zatem provesti perpendikulyary v seredinah otrezkov A'A' i V'V', to poluchennaya tochka peresecheniya etih perpendikulyarov i budet gorizontal'noj proekciej osi vrashcheniya, perpendikulyarnoj k pl. ,. No, kak vidno, neobhodimosti v etom net. Na ris. 223 pokazany dve stadii povorota ABC, raspolozhennogo v ploskosti obshchego polozheniya, s cel'yu polucheniya natural'nogo vida etogo treugol'nika. Dejstvitel'no, on v poslednem svoem polozhenii parallelen pl. 1 i, sledovatel'no, proekciya ' ' ' predstavlyaet soboj natural'nyj vid treugol'nika. No chtoby poluchit' takoe polozhenie, nado predvaritel'no povernut' ploskost' obshchego Ris. 222 Ris. 223 polozheniya, v kotoroj raspolozhen treugol'nik, tak, chtoby eta ploskost' okazalas' perpendikulyarnoj k pl. 2. A dlya etogo nado vzyat' gorizontal' v ABC i povernut' ee do perpendikulyarnosti k pl. 2; togda i treugol'nik, soderzhashchij etu gorizontal', okazhetsya perpendikulyarnym k pl. 2. Tak kak postroenie proizvoditsya bez ukazaniya osej vrashcheniya, to proekciyu ' ' ^' raspolagaem proizvol'no, no tak, chtoby gorizontal' okazalas' perpendikulyarnoj k pl..p2; dlya etogo proekciyu gorizontali ' ' napravlyaem parallel'no hotya by linii svyazi A"A' (chertezh vypolnen bez osi proekcij). Pri etom povorote podrazumevaetsya os' vrashcheniya, perpendikulyarnaya k pl. ; poetomu gorizontal'naya proekciya treugol'nika sohranyaet svoj vid i velichinu ( ' ' '= A'V'S'), izmenyaetsya lish' ee polozhenie. Tak, tochki A, V i S pri takom povorote peremeshchayutsya v ploskostyah, parallel'nyh pl. 1; proekcii ", " i " nahodyatsya na gorizontal'nyh liniyah svyazi A" ", V" " i S" ". Pri vtorom povorote, privodyashchem treugol'nik v parallel'noe pl. 1 polozhenie, podrazumevaetsya os' vrashcheniya, perpendikulyarnaya k pl. 2. Teper' frontal'naya proekciya pri_povorote sohranyaet vid i velichinu, poluchennye vo vtoroj stadii povorota, tochki , i peremeshchayutsya v ploskostyah, parallel'nyh pl. 2, proekcii ', ' i '_nahodyatsya na gorizontal'nyh liniyah svyazi s tochkami ', ', '. Proekciya ' ' ' peredaet natural'nyj vid i natural'nuyu velichinu treugol'nika ABC. Pri takom sposobe, vo-pervyh, neskol'ko uproshchayutsya postroeniya i, vo-vtoryh, ne proishodit nalozheniya proekcij odnoj na druguyu, odnako chertezh zanimaet bol'shuyu ploshchad'¹). Eshche odin primer vrashcheniya bez izobrazheniya osej dan na ris. 224 i 225. Na etih risunkah pokazany posledovatel'nyj povorot kuba i vyvedenie ego v polozhenie, kogda diagonal' AV raspolozhitsya perpendikulyarno k pl. 2. ') Dlya rassmotrennogo sluchaya vrashcheniya, a imenno bez izobrazheniya osej vrashcheniya, vstrechaetsya nazvanie "sposob ploskoparallel'nogo peremeshcheniya". 91 Ris. 224 Ris. 225 Snachala vrashcheniem vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. 1,, kub postavlen tak, chto diagonal' AB okazalas' v profil'noj ploskosti (ris. 224). Iz etogo polozheniya kub pereveden v tret'e, pri kotorom diagonal' AV okazyvaetsya perpendikulyarnoj pl. 2 (ris. 225). |to dostignuto povorotom kuba vokrug osi, perpendikulyarnoj k pl. z ¹)З Ї 37. VRASHCHENIE TOCHKI, OTREZKA PRYAMOJ, PLOSKOSTI VOKRUG OSI, PARALLELXNOJ PLOSKOSTI PROEKCIJ, I VOKRUG SLEDA PLOSKOSTI Povorot ploskoj figury vokrug ee gorizontali. Dlya opredeleniya formy i razmerov ploskoj figury mozhno ee povernut' vokrug prinadlezhashchej ej gorizontali tak, chtoby v rezul'tate vrashcheniya figura raspolozhilas' parallel'no ploskosti 1. Rassmotrim snachala povorot tochki (ris. 226). Tochka V vrashchaetsya vokrug nekotoroj gorizontal'no raspolozhennoj osi ON", opisyvaya dugu okruzhnosti, lezhashchuyu v pl. . |ta ploskost' perpendikulyarna k osi vrashcheniya i, sledovatel'no, yavlyaetsya gorizontal'no-proeciruyushchej; poetomu gorizontal'naya proekciya okruzhnosti, opisyvaemoj tochkoj V, dolzhna nahodit'sya na '. Esli radius_OV zajmet polozhenie, parallel'noe pl. 1, to proekciya O' ' okazhetsya ravnoj OV, t. e. ravnoj natural'noj velichine radiusa OV. Teper' rassmotrim ris. 227. Na nem pokazan povorot treugol'nika ABC. V kachestve osi vrashcheniya vzyata gorizontal' AD. Tochka A, raspolozhennaya na osi Ris. 226 Ris. 228 ') Poluchayushchayasya pri etom proekciya kuba na pl. 2 (ris, 225) sovpadaet s izobrazheniem kuba v pryamougol'noj izometricheskoj proekcii, izuchaemoj v kurse chercheniya srednej shkoly. 92 vrashcheniya, ostanetsya na meste. Sledovatel'no, dlya izobrazheniya gorizontal'noj proekcii treugol'nika posle povorota nado najti polozhenie proekcij drugih dvuh ego vershin. Opuskaya iz tochki V^' perpendikulyar na A'D', nahodim gorizontal'nuyu proekciyu centra vrashcheniya -- tochku O' i gorizontal'nuyu proekciyu radiusa vrashcheniya tochki V -- otrezok O^'V', a zatem frontal'nuyu proekciyu centra vrashcheniya -- tochku O" i frontal'nuyu proekciyu radiusa vrashcheniya tochki V -- otrezok O"V". Teper' nado opredelit' natural'nuyu velichinu radiusa vrashcheniya tochki V. Dlya etogo primenen sposob, ukazannyj v Ї 13, t. e. postroenie pryamougol'nogo treugol'nika. Po katetam O'V' i V'V* = V"1 ^" stroim pryamougol'nyj treugol'nik O'V'V*, gipotenuza ego ravna radiusu vrashcheniya tochki V.