\input style
ЧЕСКУЮ ЛОГИЧЕСКУЮ СХЕМУ РЕЛЕЙНОЙ СХЕМОЙ, КОТОРАЯ ЗАРАБОТАЛА В 1941~Г.

в ПЕРВЫХ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ, ПОСТРОЕННЫХ В аМЕРИКЕ 
В НАЧАЛЕ СОРОКОВЫХ ГОДОВ, ИСПОЛЬЗОВАЛАСЬ ДЕСЯТИЧНАЯ АРИФМЕТИКА. нО В 
1946~Г.\ В СЫГРАВШЕМ БОЛЬШУЮ РОЛЬ ОТЧЕТЕ а.~у.~б╦РКСА, X.~X.~гОЛДСТАЙНА 
И~дЖ.~ФОН~нЕЙМАНА О ПРОЕКТЕ ПЕРВОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ С ХРАНИМОЙ В 
ПАМЯТИ ПРОГРАММОЙ БЫЛИ ПОДРОБНО ИЗЛОЖЕНЫ ПРИЧИНЫ ИХ РЕШЕНИЯ ПОРВАТЬ С 
ТРАДИЦИЕЙ И ПЕРЕЙТИ К СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$2$ 
[СМ.\ John von~Neumann, Collected Works, Vol.~5, 41--65]. с ТЕХ ПОР ДВОИЧНЫЕ 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ПОЛУЧИЛИ ВСЕОБЩЕЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ. пОСЛЕ ПЕРВОЙ 
ДЮЖИНЫ ЛЕТ РАБОТЫ С ДВОИЧНЫМИ МАШИНАМИ ОБСУЖДЕНИЕ СРАВНИТЕЛЬНЫХ ДОСТОИНСТВ 
И НЕДОСТАТКОВ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ БЫЛО ДАНО в.~бУХХОЛЬЦЕМ В СТАТЬЕ 
"пАЛЬЦЫ ИЛИ КУЛАКИ?"\note{1}%
{аВТОР СТАТЬИ ОБЫГРЫВАЕТ ВЕРСИЮ АНТРОПОЛОГИЧЕСКОГО 
ПРОИСХОЖДЕНИЯ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ, ПОДЫСКИВАЯ АНТРОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ 
И ДЛЯ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}}
[{\sl CACM,\/} {\bf 2} (December, 1959), 3--11].

вЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА~\MIX, ИСПОЛЬЗУЕМАЯ В ЭТОЙ КНИГЕ, ОПРЕДЕЛЕНА ТАКИМ 
ОБРАЗОМ, ЧТО ОНА МОЖЕТ БЫТЬ КАК ДВОИЧНОЙ, ТАК И ДЕСЯТИЧНОЙ. иНТЕРЕСНО 
ОТМЕТИТЬ, ЧТО ПОЧТИ ВСЕ \MIX-ПРОГРАММЫ МОЖНО ЗАПИСАТЬ, НЕ ЗНАЯ, КАКАЯ 
ИМЕННО СИСТЕМА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ, ДВОИЧНАЯ ИЛИ ДЕСЯТИЧНАЯ,---ДАЖЕ ПРИ 
ПРОВЕДЕНИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ МНОГОКРАТНОЙ ТОЧНОСТИ. иТАК, МЫ ВИДИМ, ЧТО 
ВЫБОР ОСНОВАНИЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ НЕ ОКАЗЫВАЕТ СЕРЬЕЗНОГО ВЛИЯНИЯ НА 
ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ эвм. (зАСЛУЖИВАЮЩИМ УПОМИНАНИЯ ИСКЛЮЧЕНИЕМ ИЗ ЭТОГО 
ПРАВИЛА СЛУЖАТ, ОДНАКО, "БУЛЕВЫ" АЛГОРИТМЫ, ОБСУЖДАЕМЫЕ В ГЛ.~7; СМ. 
ТАКЖЕ АЛГОРИТМ~4.5.2B.)

иМЕЕТСЯ НЕСКОЛЬКО РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ \emph{ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ} 
ЧИСЕЛ В эвм, И ВЫБОР ТОГО ИЛИ ИНОГО МЕТОДА ОКАЗЫВАЕТ ВЛИЯНИЕ НА СПОСОБЫ 
РЕАЛИЗАЦИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ. рАЗБЕРЕМ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ЭТИМИ 
ОБОЗНАЧЕНИЯМИ. бУДЕМ СНАЧАЛА СЧИТАТЬ МАШИНУ~\MIX{} ДЕСЯТИЧНОЙ эвм; ТОГДА 
КАЖДОЕ СЛОВО СОДЕРЖИТ 10~ЦИФР И ЗНАК, НАПРИМЕР:
\EQ[2]{
 -12345\,67890.
}

эТОТ СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НАЗЫВАЕТСЯ \dfn{ПРЯМЫМ КОДОМ}. 
тАКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СООТВЕТСТВУЕТ ОБЩЕПРИНЯТЫМ ОБОЗНАЧЕНИЯМ, И ПОЭТОМУ 
МНОГИЕ ПРОГРАММИСТЫ ПРЕДПОЧИТАЮТ ЕГО. вОЗМОЖНОЕ НЕУДОБСТВО ЗДЕСЬ СОСТОИТ 
В ТОМ, ЧТО МОГУТ ПОЯВЛЯТЬСЯ КАК МИНУС НУЛЬ, ТАК И ПЛЮС НУЛЬ, В ТО ВРЕМЯ 
КАК ОБЫЧНО ОНИ ДОЛЖНЫ ОБОЗНАЧАТЬ ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО; ТАКАЯ ВОЗМОЖНОСТЬ 
ТРЕБУЕТ ПРИНЯТИЯ НЕКОТОРЫХ МЕР ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ.

в БОЛЬШИНСТВЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СЧЕТНЫХ МАШИН, ВЫПОЛНЯЮЩИХ ДЕЙСТВИЯ ДЕСЯТИЧНОЙ 
АРИФМЕТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ДРУГАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ,
%% 212
НАЗЫВАЕМАЯ \dfn{ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ КОДОМ}. вЫЧТЯ~$1$ ИЗ~$00000\,00000$, 
МЫ ПОЛУЧИМ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ ЗАПИСИ~$99999\,99999$; ДРУГИМИ СЛОВАМИ, ЧИСЛУ НЕ 
ПРИПИСЫВАЕТСЯ ЯВНОГО ЗНАКА, А ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОВОДЯТСЯ \emph{ПО МОДУЛЮ~$10^{10}$}. 
чИСЛО~$-12345\,67890$ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ БУДЕТ ВЫГЛЯДЕТЬ ТАК:
\EQ[3]{
 87654\,32110.
}
в ЭТОЙ СИСТЕМЕ ОБОЗНАЧЕНИЙ ПРИНЯТО СЧИТАТЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЛЮБОЕ ЧИСЛО, 
ГОЛОВНАЯ ЦИФРА КОТОРОГО ЕСТЬ~$5$, $6$, $7$, $8$ ИЛИ~$9$, ХОТЯ С ТОЧКИ 
ЗРЕНИЯ ПРАВИЛЬНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ НЕ БУДЕТ НИКАКОГО 
ГРЕХА РАССМАТРИВАТЬ~\eqref[3], ЕСЛИ ЭТО УДОБНО, КАК ЧИСЛО~$+87654\,32110$. 
пРИ ПРИМЕНЕНИИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КОДА НЕ ВОЗНИКАЕТ И ПРОБЛЕМЫ "МИНУС НУЛЯ".
гЛАВНОЕ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМ КОДОМ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ СОСТОИТ 
ПРАКТИЧЕСКИ В ТОМ, ЧТО СДВИГ ВПРАВО В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ НЕ 
ЭКВИВАЛЕНТЕН ДЕЛЕНИЮ НА~$10$; НАПРИМЕР, ЧИСЛО~$-11=\ldots{}99989$ ПОСЛЕ 
СДВИГА ВПРАВО ПРЕВРАЩАЕТСЯ В ЧИСЛО~$\ldots{}99998=-2$ (В ПРЕДПОЛОЖЕНИИ,
ЧТО СДВИГ ВПРАВО ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА ПОРОЖДАЕТ В ГОЛОВНОМ РАЗРЯДЕ~"$9$").
в ОБЩЕМ СЛУЧАЕ РЕЗУЛЬТАТОМ СДВИГА ЧИСЛА~$x$, ЗАПИСАННОГО В 
ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ, НА ОДНУ ЦИФРУ ВПРАВО БУДЕТ ЧИСЛО~$\floor{x/10}$ 
НЕЗАВИСИМО ОТ ТОГО, ПОЛОЖИТЕЛЬНО~$x$ ИЛИ ОТРИЦАТЕЛЬНО. оДНО ИЗ 
ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ НЕУДОБСТВ ЗАПИСИ ПРИ ПОМОЩИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КОДА ЗАКЛЮЧАЕТСЯ 
В ЕЕ НЕСИММЕТРИЧНОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО НУЛЯ; НАИБОЛЬШЕЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, 
ПРЕДСТАВИМОЕ ПОСРЕДСТВОМ $p$~ЦИФР, $500\ldots{}0$, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЗНАКОВЫМ 
ОБРАЩЕНИЕМ НИКАКОГО $p\hbox{-РАЗРЯДНОГО}$ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА. тАКИМ 
ОБРАЗОМ, ВОЗМОЖНО, ЧТО ИЗМЕНЕНИЕ ЗНАКА (ЗАМЕНА~$x$ НА~$-x$) ПОСЛУЖИТ 
ПРИЧИНОЙ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ.

еЩЕ ОДНА СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ, ПРИНЯТАЯ С САМЫХ ПЕРВЫХ ДНЕЙ ЭРЫ 
БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН,---ЭТО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В 
\emph{ОБРАТНОМ КОДЕ}. в ЭТОМ СЛУЧАЕ ЧИСЛО~$-12345\,67890$ ЗАПИСЫВАЕТСЯ В ВИДЕ
\EQ[4]{
  87654\,32109.
}
кАЖДАЯ ЦИФРА ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЧИСЛА~$-x$ РАВНА РАЗНОСТИ МЕЖДУ~$9$ И 
СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ЦИФРОЙ~$x$. нЕТРУДНО ВИДЕТЬ, ЧТО ДЛЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО 
ЧИСЛА ЕГО ОБРАТНЫЙ КОД ВСЕГДА НА ЕДИНИЦУ МЕНЬШЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО; СЛОЖЕНИЕ 
И ВЫЧИТАНИЕ ПРОИЗВОДЯТСЯ ПО МОДУЛЮ~$10^{10}-1$, А ЭТО ОЗНАЧАЕТ, ЧТО 
ПЕРЕНОС ИЗ КРАЙНЕЙ ЛЕВОЙ ПОЗИЦИИ ДОБАВЛЯЕТСЯ К КРАЙНЕЙ ПРАВОЙ 
(СМ.~П.~3.2.1.1). сНОВА ВОЗНИКАЮТ ТРУДНОСТИ С МИНУС НУЛЕМ, ТАК КАК 
ЗАПИСИ~$99999\,99999$ И~$00000\,00000$ ОБОЗНАЧАЮТ ОДНО И ТО ЖЕ.

тОЛЬКО ЧТО ИЗЛОЖЕННЫЕ ИДЕИ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К АРИФМЕТИКЕ ПО ОСНОВАНИЮ~$10$, 
АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ ПРИМЕНИМЫ К АРИФМЕТИКЕ ПО ОСНОВАНИЮ~$2$, И МЫ ПОЛУЧАЕМ 
\emph{ДВОИЧНЫЕ ПРЯМОЙ}, \emph{ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ} И \emph{ОБРАТНЫЙ КОДЫ}. в 
ПРИМЕРАХ ЭТОЙ ГЛАВЫ МАШИНА~\MIX{}
%% 213
ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ РАБОТЫ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ В ПРЯМОМ, КОДЕ; 
СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО И ОБРАТНОГО КОДОВ 
ОБСУЖДАЮТСЯ, ЕСЛИ ЭТО ОКАЗЫВАЕТСЯ ВАЖНЫМ, В СОПРОВОДИТЕЛЬНОМ ТЕКСТЕ.

бОЛЬШИНСТВО РУКОВОДСТВ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ МАШИНАМ СООБЩАЮТ, ЧТО МАШИННОЙ 
СХЕМОЙ ДОПУСКАЕТСЯ, ЧТОБЫ ПОЗИЦИОННАЯ ТОЧКА РАСПОЛАГАЛАСЬ В ФИКСИРОВАННОЙ 
ПОЗИЦИИ ВНУТРИ КАЖДОГО МАШИННОГО СЛОВА. эТО ИЗВЕЩЕНИЕ СТОИТ ОБЫЧНО ИГНОРИРОВАТЬ;
ГОРАЗДО ЛУЧШЕ ВЫУЧИТЬ ПРАВИЛА, КАСАЮЩИЕСЯ ТОГО, ГДЕ ПОЯВИТСЯ ПОЗИЦИОННАЯ 
ТОЧКА В РЕЗУЛЬТАТЕ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМАНДЫ, ЕСЛИ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО ДО ЕЕ 
ВЫПОЛНЕНИЯ ОНА РАСПОЛОЖЕНА НА КАКОМ-ТО ОПРЕДЕЛЕННОМ МЕСТЕ. нАПРИМЕР, В 
СЛУЧАЕ МАШИНЫ~\MIX{} МЫ МОГЛИ БЫ РАССМАТРИВАТЬ НАШИ ОПЕРАНДЫ ЛИБО КАК 
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА С ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКОЙ В КРАЙНЕМ ПРАВОМ ПОЛОЖЕНИИ, ЛИБО КАК 
ПРАВИЛЬНЫЕ ДРОБИ С ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКОЙ В КРАЙНЕМ ЛЕВОМ ПОЛОЖЕНИИ, ЛИБО 
КАК НЕКОТОРЫЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ МЕЖДУ ЭТИМИ ДВУМЯ КРАЙНИМИ ВАРИАНТАМИ; ПРАВИЛА 
РАССТАНОВКИ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ В КАЖДОМ РЕЗУЛЬТАТЕ ПОЛУЧАЮТСЯ НЕПОСРЕДСТВЕННО.

лЕГКО ВИДЕТЬ, ЧТО СУЩЕСТВУЕТ ПРОСТАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ЗАПИСЬЮ ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ 
СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ~$b$ И~$b^k$:
\EQ[5]{
 (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=
   (\ldots A_3 A_2 A_1 A_0.A_{-1} A_{-2}\ldots)_{b^k},
}
ГДЕ
\EQ{
A_j=(a_{kj+k-1}\ldots a_{kj+1}a_{kj})_b;
}
СМ.~УПР.~8. тАКИМ ОБРАЗОМ, МЫ ПОЛУЧАЕМ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПЕРЕХОДИТЬ "С 
ОДНОГО ВЗГЛЯДА" ОТ, СКАЖЕМ, ДВОИЧНОЙ К ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ И ОБРАТНО.

иМЕЕТСЯ МНОГО ИНТЕРЕСНЫХ ВАРИАНТОВ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ, ПОМИМО 
СТАНДАРТНЫХ $b\hbox{-АРНЫХ}$ СИСТЕМ, ОБСУЖДАВШИХСЯ ДО СИХ ПОР. нАПРИМЕР, 
МЫ МОГЛИ БЫ РАССМАТРИВАТЬ ЧИСЛА ПО ОСНОВАНИЮ~$(-10)$, ТАК ЧТО
\EQ{
\eqalign{
 (\ldots a_3 a_2 a_1 a_0 . a_{-1} a_{-2} \ldots)_{-10}&=\cr
&=\ldots+a_3(-10)^3+a_2(-10)^2+a_1(-10)^1+a_0+\ldots=\cr
&=\ldots-1000a_3+100a_2-10a_1+a_0-{1\over 10}a_{-1}+{1\over 100}a_{-2}-\ldots\,.\cr
}
}
зДЕСЬ, КАК И В ОБЫЧНОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ, ЦИФРЫ~$a_k$ УДОВЛЕТВОРЯЮТ 
НЕРАВЕНСТВАМ~$0\le a_k \le 9$. чИСЛО~$12345\,67890$ ЗАПИШЕТСЯ В  ТАКОЙ 
"НЕГА-ДЕСЯТИЧНОЙ" СИСТЕМЕ В ВИДЕ
\EQ[6]{
 (1\,93755\,73910)_{-10},
}
ТАК КАК ОНО РАВНО КАК РАЗ~$10305070900-9070503010$. иНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, 
ЧТО ЕГО ЗНАКОВОЕ ОБРАЩЕНИЕ, ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО~$-12345\,67890$, 
ЗАПИСЫВАЕТСЯ В ВИДЕ
\EQ[7]{
 (28466\,48290)_{-10},
}
%% 214
И В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ \emph{ЛЮБОЕ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО, ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ИЛИ 
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ, МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО В СИСТЕМЕ ПО ОСНОВАНИЮ~$-10$ БЕЗ ЗНАКА.}

сИСТЕМЫ ПО ОТРИЦАТЕЛЬНОМУ ОСНОВАНИЮ БЫЛИ УПОМЯНУТЫ В ЛИТЕРАТУРЕ ВПЕРВЫЕ, 
ПО-ВИДИМОМУ, з.~пАВЛЯКОМ И~а.~вАКУЛИЧЕМ [{\sl Bulletin de l'Academie 
Polonaise des Sciences,\/} Classe~III, {\bf 5} (1957), 233--236; S\'erie 
des sciences techniques, {\bf 7} (1959), 713--721] И л.~уЭЙДЕЛОМ [{\sl IRE 
Transactions,\/} {\bf EC-6} (1957), 123]. дАЛЬНЕЙШИЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ ССЫЛКИ 
МОЖНО НАЙТИ В ЖУРНАЛАХ {\sl IEEE Transactions\/} [{\bf EC-12} (1963), 274--276]
%% fixed: (May, (1967) ---> (May, 1967)
И {\sl Computer Design\/} [{\bf 6} (May, 1967), 52--63]. 
(иМЕЮТСЯ СВИДЕТЕЛЬСТВА ТОГО, ЧТО ИДЕЯ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ОСНОВАНИЯ ВОЗНИКЛА 
НЕЗАВИСИМО СРАЗУ У ЦЕЛОГО РЯДА ЛИЦ ПО ПРИЧИНЕ РАСТУЩЕГО ИНТЕРЕСА К 
ПРОЕКТИРОВАНИЮ эвм.)

дЖ.~ф.~сОНГСТЕР, ПО ПРЕДЛОЖЕНИЮ дЖ.~у.~пЭТТЕРСОНА, ИССЛЕДОВАЛ СИСТЕМЫ НО 
ОСНОВАНИЮ~$-2$ В СВОЕЙ МАГИСТЕРСКОЙ ДИССЕРТАЦИИ (пЕНСИЛЬВАНСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ, 1956~Г.). сИСТЕМЫ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ РАССМАТРИВАЛ 
ТАКЖЕ В 1955~Г.\ д.~э.~кНУТ В НЕБОЛЬШОМ МАШИНОПИСНОМ ТЕКСТЕ, 
ПРЕДНАЗНАЧЕННОМ ДЛЯ КОНКУРСА "пОИСК НАУЧНЫХ ТАЛАНТОВ" СРЕДИ УЧЕНИКОВ 
СТАРШИХ КЛАССОВ; ТАМ ЖЕ ОБСУЖДАЛОСЬ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ---ДО 
КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ОСНОВАНИЙ. тОТ ФАКТ, ЧТО ВСЕ ЧИСЛА МОГУТ 
БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНЫ ПО ОТРИЦАТЕЛЬНОМУ ОСНОВАНИЮ, ОТМЕЧАЛ В ДРУГОМ КОНТЕКСТЕ 
НЕСКОЛЬКИМИ ГОДАМИ РАНЕЕ н.~г.~ДЕ~бР╦ЙН [{\sl Publ. Math. Debrecen,\/} 
{\bf 1} (1950), 232--242, ОСОБЕННО СМ.~СТР.~240], ОДНАКО ОН НЕ ПРИМЕНИЛ 
ЭТУ ИДЕЮ К АРИФМЕТИКЕ.

вЫБОР ОСНОВАНИЯ~$2i$ ПРИВОДИТ К ИНТЕРЕСНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, КОТОРУЮ 
ЕСТЕСТВЕННО НАЗВАТЬ "МНИМО-ЧЕТВЕРИЧНОЙ" (ПО АНАЛОГИЯ С "ЧЕТВЕРИЧНОЙ"\note{1}%
{в ОРИГИНАЛЕ АНАЛОГИЯ "ПОЛНЕЙ": "quaternary"---"quater-imaginary".---{\sl 
пРИМ. РЕД.\/}}, ВВИДУ ТОГО ЧТО \emph{КАЖДОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО МОЖЕТ БЫТЬ 
ПРЕДСТАВЛЕНО В ЭТОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПОМОЩИ ЦИФР $0$, $1$, $2$ И~$3$, ПРИЧЕМ 
ТЕХ ЖЕ ЦИФР, ВЗЯТЫХ СО ЗНАКОМ МИНУС, НЕ ТРЕБУЕТСЯ)}. [сМ.~{\sl CACM,\/} 
{\bf 3}, (1960), 245--247.] нАПРИМЕР,
%% !!! ЗАЧЕМ ЗДЕСЬ ФОРМУЛА ОФОРМЛЕНА С ВЕРТ. ЧЕРТОЙ, НЕ ЗНАЮ, 
%% ДЕЛАЮ ПО-ЧЕЛОВЕЧЕСКИ
\EQ{
 (11210.31)_{2i}=1\cdot 16+1\cdot (-8i)+2\cdot (-4)+1\cdot (2i)+3\cdot\left(-{1\over2}i\right)+1\left(-{1\over4}\right)=7{3\over4}-7{1\over2}i.
}
чИСЛО~$(a_{2n}\ldots{} a_1 a_0.a_{-1}\ldots{} a_{-2k})_{2i}$ РАВНО
\EQ{
 (a_{2n}\ldots a_2 a_0 . a_{-2}\ldots{} a_{-2k})_{-4}+2i(a_{2n-1}\ldots a_3 a_1.a_{-1}\ldots{} a_{-2k+1})_{-4},
}
ТАК ЧТО ПЕРЕВОД ЧИСЛА В МНИМО-ЧЕТВЕРИЧНУЮ ФОРМУ И ОБРАТНО СВОДИТСЯ К 
ПЕРЕВОДУ В "НЕГА-ЧЕТВЕРИЧНУЮ" ФОРМУ И ОБРАТНО. иНТЕРЕСНОЕ СВОЙСТВО ЭТОЙ 
СИСТЕМЫ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО ОНА ДОПУСКАЕТ ВЫПОЛНЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ 
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
%% 215
ЦЕЛОСТНЫМ ОБРАЗОМ БЕЗ РАЗДЕЛЬНОГО РАССМОТРЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ 
ЧАСТЕЙ. нАПРИМЕР, ПЕРЕМНОЖИТЬ ДВА ЧИСЛА МЫ МОЖЕМ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ ТАК ЖЕ, 
КАК И ПРИ ЛЮБОМ ДРУГОМ ОСНОВАНИИ, ИСПОЛЬЗУЯ ТОЛЬКО НЕСКОЛЬКО ИНОЕ "ПРАВИЛО 
ПЕРЕНОСА": В СЛУЧАЕ ЕСЛИ ЦИФРА СТАНОВИТСЯ БОЛЬШЕ~$4$, МЫ ВЫЧИТАЕМ~$4$ И 
"ПЕРЕНОСИМ"~$-1$ НА ДВА СТОЛБЦА ВЛЕВО, А КОГДА ПОЛУЧАЕТСЯ 
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ЦИФРА, МЫ ПРИБАВЛЯЕМ К НЕЙ~$4$ И "ПЕРЕНОСИМ"~$+1$ НА ДВА 
СТОЛБЦА ВЛЕВО. рАЗБОР НИЖЕСЛЕДУЮЩЕГО ПРИМЕРА ПОЯСНИТ, КАК РАБОТАЕТ ЭТО 
СВОЕОБРАЗНОЕ ПРАВИЛО ПЕРЕНОСА:
\ctable{
\strut$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 & \quad [9-10i]\hfil\cr
\multispan{4} & \multispan{5}\hrulefill\cr
  &   &   &   & 1 & 2 & 2 & 3 & 1 \cr
1 & 0 & 3 & 2 & 0 & 2 & 1 & 3\cr
  &   & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr
  & 1 & 3 & 0 & 2 & 2\cr
1 & 2 & 2 & 3 & 1\cr
\multispan{9}\hrulefill\cr
0 & 2 & 1 & 3 & 3 & 3 & 1 & 2 & 1 & \quad [-19-180i]\hfil\cr
}

мОЖНО ПОСТРОИТЬ АНАЛОГИЧНУЮ СИСТЕМУ ПО ОСНОВАНИЮ~$\sqrt{2}i$,  В КОТОРОЙ 
ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ЛИШЬ ЦИФРЫ~$0$ И~$1$, НО В ЭТОЙ СИСТЕМЕ УЖЕ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 
САМОЙ МНИМОЙ ЕДИНИЦЫ~$i$ ТРЕБУЕТСЯ БЕСКОНЕЧНОЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ.

"бИНАРНУЮ" КОМПЛЕКСНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ МОЖНО ТАКЖЕ ПОЛУЧИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ 
ОСНОВАНИЕ~$i-1$, ПРЕДЛОЖЕННОЕ у.~пЕННИ [{\sl JACM,\/} {\bf 12} (1965), 247--248]:
\EQ{
 (\ldots{}a_4a_3a_2a_1a_0.a_{-1}\ldots)_{i-1}
  =\ldots-4a_4+(2+2i)a_3-2ia_2+(i-1)a_1+a_0-{1\over 2}(i+1)a_{-1}+\ldots\,.
}
в ЭТОЙ СИСТЕМЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ТОЛЬКО ЦИФРЫ~$0$ И~$1$. оДИН ИЗ СПОСОБОВ 
ДОКАЗАТЬ, ЧТО КАЖДОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО ДОПУСКАЕТ ТАКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, 
СОСТОИТ В РАССМОТРЕНИИ ИНТЕРЕСНОГО МНОЖЕСТВА~$S$, ИЗОБРАЖЕННОГО НА РИС.~1\note{1}%
{с МНОЖЕСТВОМ~$S$ И ТЕМ САМЫМ С СИСТЕМОЙ СЧИСЛЕНИЯ ПО 
ОСНОВАНИЮ~$i-1$ ТЕСНО СВЯЗАНЫ "КРИВЫЕ ДРАКОНА", ИЗОБРЕТЕННЫЕ И НАЗВАННЫЕ 
ТАК АМЕРИКАНСКИМ ФИЗИКОМ дЖ.~хЕЙВЕЕМ. зАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭТИХ КРИВЫХ 
ИССЛЕДОВАЛ АВТОР НАСТОЯЩЕЙ КНИГИ дОНАЛЬД кНУТ (СМ., НАПРИМЕР, СТАТЬЮ 
н.~б.~вАСИЛЬЕВА И в.~л.~гУТЕНМАХЕРА ВО 2-М НОМЕРЕ ЖУРНАЛА "кВАНТ" 
ЗА~1970~Г., 36--46).---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}};
ЭТО МНОЖЕСТВО СОСТОЯТ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ИЗ ВСЕХ ТОЧЕК КОМПЛЕКСНОЙ 
ПЛОСКОСТИ, КОТОРЫЕ ДОПУСКАЮТ ЗАПИСЬ В ВИДЕ~$\sum_{k\ge 1}a_k(i-1)^{-k}$ 
ДЛЯ НЕКОТОРОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $a_1$, $a_2$, $a_3$,~\dots{} 
НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ. нА РИСУНКЕ ПОКАЗАНО, КАК МОЖНО РАЗБИТЬ МНОЖЕСТВО~$S$ НА 
256~ЧАСТЕЙ, КОНГРУЭНТНЫХ~$(1/16)S$;
%% 216
ЗАМЕТИМ, ЧТО ЕСЛИ МНОЖЕСТВО~$S$ ПОВЕРНУТЬ ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ 
НА~$135^\circ$, ТО МЫ УВИДИМ, ЧТО ОНО РАСПАДАЕТСЯ НА ДВА ПРИМЫКАЮЩИХ 
ДРУГ К ДРУГУ МНОЖЕСТВА, 
КОНГРУЭНТНЫХ~$(1/\sqrt{2})S$ (ПОСКОЛЬКУ~$(i-1)S=S\cup (S+1)$). пО ПОВОДУ 
ДЕТАЛЕЙ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
\picture{рИС.~1. мНОЖЕСТВО~$S$.}
ТОГО, ЧТО $S$~СОДЕРЖИТ ВСЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДОСТАТОЧНО МАЛОГО МОДУЛЯ, 
СМ.~УПР.~18. (в ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ГРАНИЦА~$S$ СОДЕРЖИТ МНОГО МЕЛКИХ "ЗУБЦОВ"; 
ЭТИ ЗУБЦЫ НА РИС.~1 СГЛАЖЕНЫ.)

\def\ternary{\bgroup\catcode`\!=\active}
\def\endternary{\egroup}
\catcode`!=\active
\def!{\overline{1}}
\catcode`\!=12


бЫТЬ МОЖЕТ, САМОЙ ИЗЯЩНОЙ ИЗ ВСЕХ ЯВЛЯЕТСЯ \emph{УРАВНОВЕШЕННАЯ ТРОИЧНАЯ} 
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ---СИСТЕМА ПО ОСНОВАНИЮ~$3$, В КОТОРОЙ ВМЕСТО ЦИФР~$0$, $1$,
 $2$ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ "ТРИТЫ"\note{1}%
{пО АНАЛОГИИ С "БИТАМИ".---{\sl пРИМ. РЕД.\/}} $-1$, $0$, $+1$. еСЛИ
%% 217
ВМЕСТО~$-1$ ПИСАТЬ~\ternary$!$\endternary, ТО МЫ ПОЛУЧИМ СЛЕДУЮЩИЕ ПРИМЕРЫ 
ЧИСЕЛ, ЗАПИСАННЫХ В УРАВНОВЕШЕННОЙ ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ:
\ternary\ctable{
\strut\hfil$#$&#&$#$\hfil&\hfil$\quad#$&$#$\hfil\cr
\multispan{3} уРАВНОВЕШЕННАЯ ТРОИЧНАЯ СИСТЕМА & \multispan{2} дЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА\cr
\multispan{3} СЧИСЛЕНИЯ & \multispan{2} СЧИСЛЕНИЯ\cr
 10!& &            &   8\cr
11!0&.&!!          &  32& {5\over 9}\cr
!!10&.&11          & -32&{5\over 9}\cr
!!10&.&            & -33\cr
   0&.&11111\ldots &    &{1\over 2}\cr
}\endternary

уРАВНОВЕШЕННАЯ ТРОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ОБЛАДАЕТ МНОГИМИ ПРИЯТНЫМИ СВОЙСТВАМИ:
{\medskip\narrower
\item{a)}пЕРЕХОД ОТ ЧИСЛА К ПРОТИВОПОЛОЖНОМУ ПО ЗНАКУ ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ 
ВЗАИМНОЙ ЗАМЕНОЙ~$1$ НА~\ternary$!$\endternary.

\item{b)}зНАК ЧИСЛА ЗАДАЕТСЯ ЕГО НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМЫМ НЕНУЛЕВЫМ ТРИТОМ, И, 
БОЛЕЕ ОБЩО, МЫ МОЖЕМ СРАВНИВАТЬ ЛЮБЫЕ ДВА ЧИСЛА, ИСПОЛЬЗУЯ 
ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКИЙ ПОРЯДОК ПРИ ЧТЕНИИ СЛЕВА НАПРАВО, КАК И В ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ.

\item{c)}оПЕРАЦИЯ ОКРУГЛЕНИЯ ДО БЛИЖАЙШЕГО ЦЕЛОГО СВОДИТСЯ К ОТБРАСЫВАНИЮ 
ДРОБНОЙ ЧАСТИ (Т.~Е.\ ВСЕХ ТРИТОВ, СТОЯЩИХ СПРАВА ОТ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ).
\medskip}

сКЛАДЫВАТЬ В УРАВНОВЕШЕННОЙ ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СОВСЕМ ПРОСТО, ЕСЛИ 
ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТАБЛИЦЕЙ СЛОЖЕНИЯ
\ternary\ctable{
\strut\hfil$#$\bskip&&\bskip\hfil$#$\bskip\cr
! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 
& 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \cr
! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! & ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ! 
& ! & ! & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \cr
! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! 
& 0 & 1 & ! & 0 & 1 & ! & 0 & 1 \cr
\noalign{\hrule}
!0 & !1 & ! & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & !1 & ! & 0 & ! & 0 & 1 & 0 & 1 & 1! 
& ! & 0 & 1 & 0 & 1! & 1 & 1! & 10 \cr
}\endternary
(тРИ ВХОДНЫХ ТРИТА---ЭТО ТРИТЫ ДВУХ НАШИХ СЛАГАЕМЫХ И ТРЮ ПЕРЕНОСА.) 
вЫЧИТАНИЕ СОСТОИТ В ПЕРЕХОДЕ К ЧИСЛУ, ПРОТИВОПОЛОЖНОМУ ПО ЗНАКУ, И 
ПОСЛЕДУЮЩЕМ СЛОЖЕНИИ; УМНОЖЕНИЕ ТАКЖЕ СВОДИТСЯ К ПЕРЕМЕНЕ ЗНАКА И СЛОЖЕНИЮ,
КАК В СЛЕДУЮЩЕМ ПРИМЕРЕ:
\ternary\ctable{
$#$\bskip&&\bskip$#$\bskip\cr
 & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr
 & & &1&!&0&!& \quad [17]\cr
 & & & \multispan{4}\hrulefill\cr
 & & &!&1&0&1\cr
 &!&1&0&1&0\cr
1&!&0&!\cr
\multispan{7}\hrulefill\cr
0&1&1&!&!&0&1& \quad [289]\cr
}\endternary
пО ПОВОДУ ДЕЛЕНИЯ СМ.~УПР.~4.3.1-31.

оДИН ИЗ СПОСОБОВ НАЙТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В УРАВНОВЕШЕННОЙ ТРОИЧНОЙ 
СИСТЕМЕ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО СНАЧАЛА ЗАПИСЫВАЮТ
%% 218
ЭТО ЧИСЛО В ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЕ; НАПРИМЕР,
\EQ{
 208.3=(21\,201.022002200220\ldots)_3.
}
(оЧЕНЬ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПЕРЕХОДА К ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЕ, ПРИГОДНЫЙ ДЛЯ 
ВЫЧИСЛЕНИЯ ВРУЧНУЮ, С КАРАНДАШОМ И БУМАГОЙ, ОПИСАН В УПР.~4.4-12.) дАЛЕЕ 
СКЛАДЫВАЕМ ЭТО ЧИСЛО В ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЕ С БЕСКОНЕЧНЫМ 
ЧИСЛОМ~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$; ДЛЯ НАШЕГО ПРИМЕРА МЫ ПОЛУЧИМ
\EQ{
 (\ldots{}11111210012.210121012101\ldots)_3.
}
нАКОНЕЦ, ПОРАЗРЯДНО ВЫЧИТАЕМ~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$, УМЕНЬШАЯ 
НА ЕДИНИЦУ КАЖДУЮ ЦИФРУ; МЫ ПОЛУЧИМ
\ternary\EQ[8]{
 208.3=(10!!01.10!010!010!0\ldots)_3.
}\endternary
эТОТ ПРОЦЕСС, ОЧЕВИДНО, МОЖНО СДЕЛАТЬ ВПОЛНЕ "ЗАКОННЫМ", ЕСЛИ ЗАМЕНИТЬ 
ИСКУССТВЕННОЕ БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО~$\ldots{}11111.11111\ldots{}$ НЕКОТОРЫМ 
ЧИСЛОМ С СООТВЕТСТВУЮЩИМ КОЛИЧЕСТВОМ ЕДИНИЦ.

пРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В УРАВНОВЕШЕННОЙ ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЕ НЕЯВНО ПРИСУТСТВУЕТ 
В ОДНОЙ ЗНАМЕНИТОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГОЛОВОЛОМКЕ, ОБЫЧНО НАЗЫВАЕМОЙ 
"ЗАДАЧЕЙ бАШЭ О ВЕСАХ", ХОТЯ ОНА БЫЛА СФОРМУЛИРОВАНА ЕЩЕ фИБОНАЧЧИ ЗА 
ЧЕТЫРЕ СТОЛЕТИЯ ДО ТОГО, КАК бАШЭ НАПИСАЛ СВОЮ КНИГУ. [сМ.\ W.~Ahrens, 
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910, \S~3.4.]

пОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЦИФРАМИ БЫЛИ ИЗОБРЕТЕНЫ 
СЭРОМ дЖОНОМ лЕСЛИ [The philosophy of arithmetic, Edinburgh, 1817; 
СМ.~СТР.~33--34, 54, 64--65, 117, 150] И НЕЗАВИСИМО о.~кОШИ [{\sl Comptes 
Rendus,\/} {\bf 11} (1840), 789--798], КОТОРЫЙ ОТМЕЧАЛ, ЧТО ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ 
ЦИФРЫ ИЗБАВЛЯЮТ ОТ НЕОБХОДИМОСТИ ЗАПОМИНАТЬ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ 
ДАЛЬШЕ~$5\times 5$. в "ЧИСТОМ" ВИДЕ УРАВНОВЕШЕННАЯ ТРОИЧНАЯ СИСТЕМА 
СЧИСЛЕНИЯ ВПЕРВЫЕ ПОЯВИЛАСЬ В СТАТЬЕ лЕОНА лАЛАННА [{\sl Comptes Rendus,\/} 
{\bf 11} (1840), 903--905], ИЗОБРЕТАТЕЛЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛИСТЕЛЬНЫХ 
УСТРОЙСТВ. в ТЕЧЕНИЕ ПОСЛЕДУЮЩИХ СТА ЛЕТ ПОСЛЕ РАБОТЫ лАЛАННА ЭТА 
СИСТЕМА УПОМИНАЛАСЬ ЛИШЬ ЭПИЗОДИЧЕСКИ, ПОКА В эЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ 
мУРА В 1945--1946~ГГ.\ НЕ СТАЛИ РАЗРАБАТЫВАТЬ ПЕРВЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА; В ЭТОТ ПЕРИОД ОНА СЕРЬЕЗНО РАССМАТРИВАЛАСЬ 
НАРЯДУ С ДВОИЧНОЙ СИСТЕМОЙ В КАЧЕСТВЕ ВОЗМОЖНОЙ ЗАМЕНЫ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ. 
сЛОЖНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНОВЕШЕННОЙ ТРОИЧНОЙ 
АРИФМЕТИКИ НЕ НАМНОГО ВЫШЕ, ЧЕМ ДЛЯ ДВОИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ, А ЧТОБЫ 
ЗАДАТЬ ЧИСЛО, В НЕЙ ТРЕБУЕТСЯ ЛИШЬ $\ln 2/\ln 3\approx 63\%$~ЦИФРОВЫХ 
ПОЗИЦИЙ ОТ ТОГО КОЛИЧЕСТВА, КОТОРОЕ НУЖНО В СЛУЧАЕ ДВОИЧНОЙ 
ЗАПИСИ. оБСУЖДЕНИЕ УРАВНОВЕШЕННОЙ ТРОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СМ.\ В ЖУРНАЛЕ {\sl AMM\/} 
[{\bf 57} (1950), 90--93] И В СБОРНИКЕ "High-speed computing devices" 
[Engineering Research Associates, McGraw-Hill, 1950, 287--289]. 
дО СИХ ПОР УРАВНОВЕШЕННАЯ ТРОИЧНАЯ СИСТЕМА ВСЕ
%% 219
ЕЩЕ НЕ НАШЛА СЕРЬЕЗНОГО ПРИМЕНЕНИЯ, НО ВОЗМОЖНО, ЧТО ЕЕ СИММЕТРИЧНОСТЬ И 
ПРОСТАЯ АРИФМЕТИКА ОКАЖУТСЯ В ОДИН ПРЕКРАСНЫЙ ДЕНЬ ВЕСЬМА СУЩЕСТВЕННЫМИ 
(КОГДА "ФЛИП-ФЛОП" ЗАМЕНИТСЯ НА "ФЛИП-ФЛЭП-ФЛОП"\note{1}%
{Flip---ЩЕЛЧОК, flap---ХЛОПОК, flop---ШЛЕПОК (\emph{АНГЛ.}); 
flip-flop---ПРИНЯТОЕ В АНГЛОЯЗЫЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЕ НАЗВАНИЕ ТРИГГЕРА.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}}).

дРУГОЕ ВАЖНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ПРОСТОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ---ЭТО ПОЗИЦИОННАЯ 
СИСТЕМА \emph{СО СМЕШАННЫМИ ОСНОВАНИЯМИ,} (ИЛИ \emph{ПО СМЕШАННЫМ 
ОСНОВАНИЯМ}). еСЛИ ДАНА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЕЛ~$\<b_k>$ (ГДЕ $k$~МОГУТ 
БЫТЬ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ), ТО МЫ ПОЛАГАЕМ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
\EQ[9]{
\left[\matrix{
\ldots, & a_3, & a_2, & a_1, & a_0; & a_{-1}, & a_{-2}, & \ldots \cr
\ldots, & b_3, & b_2, & b_1, & b_0; & b_{-1}, & b_{-2}, & \ldots \cr
}
\right]=\ldots+a_3b_2b_1b_0+a_2b_1b_0+a_1b_0+a_0+a_{-1}/b_{-1}+a_{-2}/b_{-1}b_{-2}+\ldots\,.
}
в ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМАХ СО СМЕШАННЫМИ ОСНОВАНИЯМИ МЫ РАБОТАЕМ ТОЛЬКО С 
ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ: МЫ ВЫБИРАЕМ В КАЧЕСТВЕ ЧИСЕЛ $b_0$, $b_1$, $b_2$,~\dots{} 
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, БОЛЬШИЕ ЕДИНИЦЫ, И РАССМАТРИВАЕМ ТОЛЬКО ТАКИЕ ЧИСЛА, КОТОРЫЕ 
НЕ СОДЕРЖАТ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ, ПРИЧЕМ ЧИСЛО~$a_k$ ДОЛЖНО ПРИНАДЛЕЖАТЬ 
ИНТЕРВАЛУ~$0\le a_k < b_k$.

оДНА ИЗ НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫХ СИСТЕМ СО СМЕШАННЫМИ ОСНОВАНИЯМИ---ЭТО 
\emph{ФАКТОРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ,} ГДЕ~$b_k=k+2$. иСПОЛЬЗУЯ ЭТУ 
СИСТЕМУ, МЫ МОЖЕМ ЕДИНСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ ПРЕДСТАВИТЬ ЛЮБОЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ 
ЦЕЛОЕ ЧИСЛО В ВИДЕ
\EQ[10]{
 c_n n!+c_{n-1}(n-1)!+\cdots+c_22!+c_1,
}
ГДЕ~$0\le c_k \le k$.

сИСТЕМЫ СО СМЕШАННЫМИ ОСНОВАНИЯМИ ЗНАКОМЫ ВСЕМ ИЗ ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ; РЕЧЬ 
ИДЕТ О ЕДИНИЦАХ МЕР. нАПРИМЕР, ВЕЛИЧИНА "ТРИ НЕДЕЛИ, 2 ДНЯ, 9 ЧАСОВ, 22 
МИНУТЫ, 57 СЕКУНД И 492 МИЛЛИСЕКУНДЫ" РАВНА
\EQ{
\left[\matrix{
 3, & 2, & 9, & 22, & 57; & 492\cr
    & 7, & 24, & 60, & 60; & 1000\cr
 }\right]\hbox{ СЕКУНД.}
}
в аНГЛИИ ДО ПЕРЕХОДА К ДЕСЯТИЧНОЙ ДЕНЕЖНОЙ СИСТЕМЕ ВЕЛИЧИНА "10 ФУНТОВ, 6 
ШИЛЛИНГОВ, ТРИ С ПОЛОВИНОЙ ПЕНСА" СОСТАВЛЯЛА
\EQ{
\left[\matrix{
 10, &  6, &  3; & 1\cr
     & 20, & 12; & 2\cr
 }\right]\hbox{ ПЕНСОВ.}
}

чИСЛА ПО СМЕШАННЫМ ОСНОВАНИЯМ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ 
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОБОБЩЕНИЕ ОБЫЧНЫХ АЛГОРИТМОВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ, ПРИ 
УСЛОВИИ, КОНЕЧНО, ЧТО ДЛЯ ОБОИХ ОПЕРАНДОВ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ОДНА И ТА ЖЕ 
СИСТЕМА (СМ.~УПР.~4.3.1-9). пОДОБНЫМ ЖЕ ОБРАЗОМ ЛЕГКО УМНОЖАТЬ ИЛИ ДЕЛИТЬ 
ЧИСЛА ПО СМЕШАННЫМ
%% 220
ОСНОВАНИЯМ НА МАЛЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, ИСПОЛЬЗУЯ ПРОСТЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 
ОБЩЕИЗВЕСТНЫХ ПРИЕМОВ СЧЕТА ПРИ ПОМОЩИ КАРАНДАША И БУМАГИ.

в ОБЩЕМ ВИДЕ СИСТЕМЫ ПО СМЕШАННЫМ ОСНОВАНИЯМ ВПЕРВЫЕ ОБСУЖДАЛИСЬ гЕОРГОМ 
кАНТОРОМ [{\sl Zeitschrift f\"ur Mathematik und Physik,\/} {\bf 14} (1869), 121--128). 
дОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ТАКИХ СИСТЕМАХ СОДЕРЖИТСЯ В УПР.~26 И~29.

пОМИМО СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ, ОПИСАННЫХ В ЭТОМ ПАРАГРАФЕ, СУЩЕСТВУЕТ 
НЕСКОЛЬКО ДРУГИХ СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ, КОТОРЫЕ УПОМИНАЮТСЯ В 
РАЗЛИЧНЫХ РАЗДЕЛАХ ЭТОЙ СЕРИИ КНИГ: БИНОМИАЛЬНАЯ СИСТЕМА (УПР.~1.2.8-35),
СИСТЕМА фИБОНАЧЧИ (УПР.~1.2.8-34); ФИ-СИСТЕМА (УПР.~1.28-35), МОДУЛЯРНОЕ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (П.~ 4.3.2), КОД гРЭЯ (П.~7.2.1) И ЛАТИНСКИЕ ЧИСЛА (\S~9.1).

нЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К \emph{ИРРАЦИОНАЛЬНЫМ} ОСНОВАНИЯМ, БЫЛИ 
ИССЛЕДОВАНЫ у.~пЭРРИ 
[{\sl Acta Mathematica,\/} Acad. Sci. Hung., {\bf 11} (1960), 401--416].

\excercises
\ex[15] вЫРАЗИТЕ ЧИСЛА $-10$, $-9$, $-8$,~\dots, $8$, $9$, $10$ В СИСТЕМЕ 
СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$-2$.

\rex[24] рАССМОТРИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ЧЕТЫРЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ: (a)~ДВОИЧНУЮ 
(ПРЯМОЙ КОД); (b)~НЕГА-ДВОИЧНУЮ (ОСНОВАНИЕ~$-2$); (c)~УРАВНОВЕШЕННУЮ ТРОИЧНУЮ;
(d)~ПО ОСНОВАНИЮ~$b=1/10$. иСПОЛЬЗУЙТЕ КАЖДУЮ ИЗ ЭТИХ СИСТЕМ ДЛЯ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТАКИХ ТРЕХ ЧИСЕЛ: (i)~$-49$, (ii)~$-3{1\over7}$ (УКАЖИТЕ 
ПЕРИОД); (iii)~$\pi$ (НЕСКОЛЬКО ЗНАЧАЩИХ ЦИФР).

\ex[20] вЫРАЗИТЕ~$-49+i$ В МНИМО-ЧЕТВЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ.

\ex[15] пРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО В \MIX-ПРОГРАММЕ ЯЧЕЙКА ПАМЯТИ~|A| СОДЕРЖИТ ЧИСЛО,
ПОЗИЦИОННАЯ ТОЧКА КОТОРОГО НАХОДИТСЯ МЕЖДУ 3-М И 4-М БАЙТАМИ, А ЯЧЕЙКА 
ПАМЯТИ~|B|---ЧИСЛО, ПОЗИЦИОННАЯ ТОЧКА КОТОРОГО РАСПОЛОЖЕНА МЕЖДУ  2-М И 3-М 
БАЙТАМИ. (сАМЫЙ ЛЕВЫЙ БАЙТ ИМЕЕТ НОМЕР~1.) гДЕ БУДЕТ 
РАСПОЛАГАТЬСЯ ПОЗИЦИОННАЯ ТОЧКА В РЕГИСТРАХ~|A| И~|X| ПОСЛЕ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМАНД

$$ 
\hbox{a)~\mixcode 
LDA & A 
MUL & B?
\endmixcode
}
\hbox{b)~\mixcode
LDA  & A
SRAX & 5
DIV  & B?
\endmixcode
}
$$

\ex[00] оБўЯСНИТЕ, ПОЧЕМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ЦЕЛОГО ЧИСЛА В 
ОБРАТНОМ ДЕСЯТИЧНОМ КОДЕ ВСЕГДА НА ЕДИНИЦУ МЕНЬШЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В 
ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ, ЕСЛИ РАССМАТРИВАТЬ ЭТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КАК ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

\ex[16] кАКОВЫ НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ $p\hbox{-РАЗРЯДНЫЕ}$ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА, 
КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНЫ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ ПОСРЕДСТВОМ 
(a)~ПРЯМОГО КОДА, (b)~ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КОДА, (c)~ОБРАТНОГО КОДА?

\ex[м20] в ТЕКСТЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ДЕСЯТИЧНОМ КОДЕ 
ОПРЕДЕЛЕНО ТОЛЬКО ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ЗАПИСАННЫХ В ОДНОМ МАШИННОМ СЛОВЕ. 
сУЩЕСТВУЕТ ЛИ СПОСОБ АНАЛОГИЧНО ОПРЕДЕЛИТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В 
ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ДЕСЯТИЧНОМ КОДЕ \emph{ДЛЯ ВСЕХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ,} 
ИМЕЮЩЕЕ "БЕСКОНЕЧНУЮ ТОЧНОСТЬ"? сУЩЕСТВУЕТ ЛИ ПОДОБНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛИТЬ 
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ОБРАТНОМ ДЕСЯТИЧНОМ КОДЕ ДЛЯ ВСЕХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ?

\ex[м10] дОКАЖИТЕ СООТНОШЕНИЕ~\eqref[5].

%% 221

\bye